Limit dan Kekontinuan - FMIPA Personal Blogs

Limit
Pada ruang dimensi satu:
lim
x  a
f ( x, y) 
lim
x  a
f ( x, y)
Pada ruang dimensi dua: nilai limit sama untuk semua arah. (Bagaimana
mencari untuk semua arah??)
Definisi:
lim
( x, y)  (a, b)
f ( x, y)  L berarti untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan δ > 0
sedemikian sehingga
f ( x, y)  L   dengan syarat 0  ( x, y)  (a, b)   .
Catatan:
1. Nilai untuk satu arah saja tidak berguna, misal hanya arah y = x, karena bisa
berbeda untuk arah yang lain.
Contoh: Hitunglah
x2  y 2
. Akan dilihat pada arah sumbu x saja
( x, y)  (0, 0) x 2  y 2
lim
dan pada arah sumbu y saja.
Nilai limit saat (x,y) menuju (0,0) sepanjang sumbu x adalah:
x 2  02
1
( x, 0)  (0, 0) x 2  02
lim
Nilai limit saat (x,y) menuju (0,0) sepanjang sumbu y adalah:
02  y 2
 1
(0, y)  (0, 0) 02  y 2
lim
Jadi nilai limit untuk arah sepanjang sumbu x tidak sama dengan arah
sepanjang sumbu y.
2. Nilai fungsi di titik (a,b) tidak perlu ada.
Teorema: (khusus untuk fungsi polinom)
1. Jika f(x,y) fungsi polinom maka
2. Jika (
)
dengan (
)
(
)
(
)
dan (
(
) (
lim
( x, y)  (a, b)
( x, y)  (a, b)
) dan (
)
(
)
) (
)
dan
(
(
(
)
(
f ( x, y)  f (a, b) .
) adalah fungsi-fungsi polinom
, maka
(
3. Jika
lim
) (
)
)
)
(
)
maka
f ( x, y) tidak ada.
Contoh:
Cari limitnya atau tunjukkan limitnya tidak ada.
1.
2.
3.
xy  y 3
(dimasukkan langsung nilainya, bila ada maka limitnya ada)
( x, y)  (1, 2) ( x  y  1)2
lim
xy  y 3
lim
( x, y)  (1, 2) ( x  y  1)2
lim
x4  y4
(masalah pembagian dengan nol)
(fungsi dapat disederhanakan terlebih dahulu dengan eliminasi)
( x, y )  (0,0) x 2  y 2
lim
xy
4.
(fungsi disederhanakan dengan mengubah ke koordinat polar)
2
( x, y)  (0, 0) x  y 2
lim
sin( x 2  y 2 )
5.
( x, y)  (0, 0) 3x 2  3 y 2
Kekontinuan
Kontinu di suatu titik (a,b) : Nilai f(x,y) di (a,b) ada, limit di (a,b) ada, dan keduanya
bernilai sama.
Kontinu pada himpunan: kotinu pada setiap titik pada himpunan.
x 2  2 xy 4
Contoh: Tentukan himpunan di mana fungsi f ( x, y ) 
kontinu.
y  x2
Keterdiferensialan
Keterdiferensialan f di x berarti eksistensi turunan f ’(x).
Pada fungsi satu peubah:
f ' ( x0 ) 
lim f ( x0  h)  f ( x0 )
f ( x)  f ( x0 )

x  x0
h0
x  x0
h
lim
Analoginya: jika
f ' ( p0 ) 
p  ( x, y)
dan p 0  ( x0 , y0 )
lim f ( p 0  h)  f ( p 0 )
f ( p)  f ( p 0 )

p  p0
h0
p  p0
h
lim
Tetapi apa arti pembagian oleh suatu vektor?
Definisi:
Fungsi f dapat dideferensialkan di p jika terdapat suatu vektor m sedemikian
sehingga
f ( p  h)  f ( p)  m  h  h  (h)
dengan  (h)  0 pada h  0 .
Jika vektor m ada maka tunggal dan m  f ( p) (=delta f) gradien f di p .
Contoh:
Teorema A:
Jika f fungsi dua-peubah yang dapat dideferensialkan di p maka turunan parsial
pertama dari f di p ada dan
f ( p) 


f ( p)i 
f ( p) j
x
y
Teorema B:
Jika f punya turunan parsial pertama di suatu lingkungan dari p dan turunan
parsialnya kontinu di p maka f dapat dideferensialkan di p .
Teorema C:


(ii )f ( p)  f ( p)
(iii ) f ( p) g ( p)   f ( p)g ( p)  f ( p)g ( p)
(i) f ( p)  g ( p)  f ( p)  g ( p)
Teorema D:
Jika f dapat dideferensialkan di p maka f kontinu di p .
Contoh: f ( x, y)  x y  xy
a. Tunjukkan f dapat dideferensialkan dan cari gradiennya di titik
(-2,3).
b. Cari persamaan garis singgung di (-2,3).
2
2