Universitas Gadjah Mada 1 Bab 4 Rangkaian Logika

Bab 4
Rangkaian Logika Kombinasional
4.1 Logika Biner Dan Gerbang ~ Binary Logic and Gates
Rangkaian-rangkaian dijital merupakan komponen perangkat keras (hardware) yang
memanipulasi
informasi
biner.
Rangkaian-rangkaian
diimplementasikan
dengan
menggunakan transistor-transistor dan antar-hubungan (interconnection) dalam peralatanperalatan (devices) semikonduktor kompleks yang disebut integrated circuits dan
selanjutnya lebih dikenal dengan IC Masing-masing rangkaian dasar disebut sebagai
gerbang lojik. Untuk penyederhanaan dalam rancangan, rangkaian-rangkaian elektronik
berbasis transistor dimodelkan sebagai gerbang-gerbang lojik. Sehingga perancang tidak
perlu memperhatikan tentang elektronik-elektronik internal dan gerbang-gerbang individu,
tetapi
banya
tentang
sifat-sifat
lojik
eksternal
mereka.
Masing-masing
gerbang
menyelenggarakan operasi lojik tertentu. Keluaran-keluaran (outputs) dan gerbang-gerbang
diterapkan sebagai masukan-masukan (inputs) dan gerbang-gerbang lain untuk membentuk
suatu rangkaian dijital.
Untuk menggambarkan sifat-sifat operasional rangkaian-rangkaian dijital, perlu
diperkenalkan notasi matematik yang menentukan operasi dari masing-masing gerbang dan
yang bisa digunakan untuk menganalisa dan merancang rangkaian-rangkaian. Sistem lojik
biner ini merupakan salah satu klas sistem matematika yang secana umum disebut sebagai
aijabar Boolean. Nama ini sebagai penghormatan matematisi Inggnis George Boole, yang
ditahun 1854 menerbitkan sebuah buku yang memperkenalkan teori matematika tentang
lojik. Aljabar Boolean khusus yang akan dibicarakan digunakan untuk menggambarkan
antar hubungan gerbang-gerbang dijital dan untuk merancang rangkaian-rangkaian lojik
melalui manipulasi ekspresi-ekspresi Boolean. Pertama-tama akan diperkenalkan konsep
logika biner dan memperlihatkan hubungannya dengan gerbang-gerbang lojik dan sinyalsinyal biner. Kemudian disajikan sifat-sifat aljaban Boolean, bersama dengan konsep-konsep
lain dan metode-metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian-rangkaian lojik.
Logika Biner  Binary Logic
Logika biner berurusan dengan variabel-variabel biner yang mempunyai dua nilai
diskrit dan dengan operasi-operasi logika matematika yang diterapkan pada variabel-variabel
tersebut. Dua nilai diskrit yang dimaksud mungkin disebut dengan nama-nama yang
berbeda, namun untuk rnaksud dan tujuan ini akan lebih mudah untuk berfikir tentang istilahistilah nilai biner dan memasang (assign) 1 atau 0 ke masing-masing variabel. Variabelvariabel ditandai dengan hunuf-huruf alfabet seperti A, B, C, X, Y, dan Z. Selanjutnya notasi
ini akan diperluas dan bisa meliputi string dan huruf-huruf, bilangan-bilangan, dan karakterUniversitas Gadjah Mada
1
karakter khusus. Terhadap variabel-variabel biner terhubung tiga operasi lojik dasar yang
disebut AND, OR,dan NOT.
1. AND. Operasi ini dinyatakan (atau diwakili oleh) dengan suatu titik (dot) atau dengan
ketidakhadiran (absence) operator. Sebagai contoh, Z = X.Y atau Z = X.Y dibaca Z
sama dengan X AND Y. Operator lojik AND diinterpretasikan sebagai berikut : Z = 1
bila dan hanya bila X = 1 dan Y = 1; selain itu Z = 0. (Ingat bahwa X, Y, dan Z
merupakan variabel-variabel biner yang hanya bisa mempunyai nilai 1 atau 0.)
2. OR. Operasi ini dinyatakan dengan simbol tambah (+). Sebagai contoh, Z = X + Y
dibaca Z sama dengan X OR Y, berarti bahwa Z = 1 bila X = 1 atau jika Y = 1, atau
jika kedua X = 1 dan Y = 1. Z = 0 bila hanya bila X =0 dan Y =0.
3. NOT Operasi ini dinyatakan dengan simbol petik tunggal („). Sebagai contoh, Z = X‟
dibaca Z sama dengan NOT X, berarti bahwa Z adalah apa yang X tidak. Dengan
kata lain, jika X = 1, maka Z = 0; tetapi jika X = 0, maka Z = 1. Operasi NOT juga
disebut sebagai operasi komplemen (complement), karena operasi ini merubah 1
menjadi 0 dan 0 menjadi 1.
Logika biner menyerupai aritmatika biner, dan operasi-operasi AND dan OR masing-masing
mempunyai kemiripan dengan perkalian dan penjumlahan. Ini kenapa simbol-simbol yang
digunakan untuk AND dan OR sama dengan mereka yang digunakan untuk perkalian dan
penjumlahan. Akan tetapi, logika biner seharusnya tidak dirancukan dengan aritmatika biner.
Di samping itu, harus disadari juga bahwa suatu variabel aritmatika menandakan suatu
bilangan yang bisa terdiri dari banyak angka (digits), sementara suatu variabel lojik selalu 1
atau 0. Persamaan-persamaan benikut mendefinisikan operasi-operasi lojik OR:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=1
Dari definisi di atas, kelihatan bahwa operasinya menyerupai operasi jumlahan, kecuali untuk
operasi terakhir. Dalam logika biner, 1 + 1 = 1 (dibaca satu OR satu sama dengan satu),
tetapi dalam aritmatika biner, 1 + 1 = 10 (dibaca satu tambah satu sama dengan dua). Untuk
menghindari anti mendua (ambiguity), sering kali digunakan simbol
. untuk operasi OR dari
pada simbol +. Akan tetapi selama operasi-operasi aritmatika dan logika tidak tercampur,
masing-masing bisa menggunakan simbol + dengan anti mereka masing-masing.
Persamaan berikutnya mendefinisikan operasi lojik AND:
0•0=0
0 • 1 = 13
1•0=0
1•1=1
Universitas Gadjah Mada
2
Operasi ini identik dengan perkalian biner, asalkan hanya digunakan bit tunggal. Simbol
alternatif terhadap • untuk AND adalah A, yang sering digunakan dalam konjungsi dengan
symbol v untuk OR.
Untuk masing-masing kombinasi nilai-nilai dari variabel biner seperti X dan Y, ada
nilai Z yang ditentukan dengan definisi operasi lojik. Definisi bisa didaftar dalam format yang
kompak dalam tabel kebenaran (truth table). Suatu tabel kebenaran untuk suatu operasi
adalah suatu tabel kombinasi variabel-variabel biner yang memperlihatkan hubungan antara
nilai-nilai yang diambil variabel dan nilai-nilai hasil operasi. Tabel-tabel kebenaran untuk
operasi-openasi AND, OR, dan NOT diperlihatkan dalam Tabel 4.1. Tabel kebenaran
mendaftar semua kombinasi yang mungkin dari nilai-nilai untuk dua variabel dan hasil-hasil
operasi. Tabel kebenaran mendemonstrasikan secara jelas definisi dari ketiga operasi.
Tabel 4.1 Tabel-tabel kebenaran untuk tiga operasi lojik dasar
Gerbang Lojik  Logic Gates
Gerbang-gerbang lojik adalah rangkaian-rangkaian elektronik yang beroperasi pada
satu atau lebih sinyal-sinyal masukan untuk menghasilkan sinyal-sinyal keluaran. Sinyalsinyal elektronik seperti voltase atau arus ada dalam suatu sistem dijital dalam salah satu
dari dua nilai yang bisa dikenali. Rangkaian-rangkaian yang dioperasikan dengan voltase
(voltage-operated) menanggapi dua jangkauan voltase terpisah yang menyatakan suatu
variabel biner sama dengan lojik 1 atau lojik 0, seperti digambarkan dalam Gambar 4.1.
Terminal-terminal masukan dari gerbang-gerbang lojik menerima sinyal-sinyal biner dalam
jangkauan (voltase) yang diperbolehkan dan merespon pada terminal-terminal keluaran
dengan sinyal-sinyal biner yang masuk dalam jangkauan yang ditentukan.
Simbol-simbol grafik yang digunakan untuk menandakan tiga tipe gerbang - AND,
OR, dan NOT - diperlihatkan dalam Gambar 4.2 (a). Gerbang merupakan rangkaianrangkaian elektronik yang menghasilkan ekuivalen sinyal-sinyal output lojik 1 dan lojik 0
sesuai dengan tabel-tabel kebenaran mereka jika ekuivalen sinyal-sinyal input diterapkan.
Dua sinyal input X dan Y ke gerbang-gerbang AND dan OR mengambil satu dan empat
kombinasi yang mungkin : 00, 01, 10, atau 11. Sinyal-sinyal input ini diperlihatkan sebagai
timing diagram dalam Gambar 4.2 (b), bersama dengan timing diagram untuk sinyal output
yang bersesuaian untuk masing-masing tipe gerbang. Sumbu mendatar dari timing diagram
menyatakan waktu, dan sumbu tegak memperlihatkan sinyal berserta perubahannya antara
Universitas Gadjah Mada
3
dua tingkatan voltase yang mungkin. Tingkat bawah (low level) menyatakan lojik 0 dan
tingkat atas (high level) menyatakan lojik 1. Gerbang AND merespon dengan sinyal output
lojik 1 jika kedua sinyal input adalah lojik 1. Gerbang OR merespon dengan sinyal output lojik
1 jika salah satu atau kedua sinyal input adalah lojik 1. Selanjutnya gerbang NOT lebih
dikenal dengan sebutan inverter. Alasan dan penggunaan nama ini adalah jelas, yaitu dari
tanggapan dalam timing diagram. Sinyal lojik output merupakan versi kebalikan dari sinyal
lojik input X.
Gerbang-gerbang AND dan OR bisa mempunyai lebih dari dua input. Suatu gerbang
AND dengan tiga input dan suatu gerbang OR dengan enam input diperlihatkan dalam
Gambar 4.3. Gerbang AND dengan tiga input menanggapi dengan output lojik 1 jika tiga
input semuanya adalah lojik 1. Sementara output-nya adalah lojik 0 jika ada input berupa
Universitas Gadjah Mada
4
lojik 0. Gerbang OR dengan enam input menanggapi dengan lojik 1 jika ada input berupa
lojik 1; dan output-nya menjadi lojik 0 hanya jika semua input berupa lojik 0.
4. 2 Aljabar Boolean  Boolean AIgebra
Aljabar Boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel
biner dan operasi-operasi lojik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet,
dan tiga operasi dasar dengan AND, OR, dan NOT (komplemen). Fungsi Boolean terdiri dari
variabel-variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu tanda sama dengan, dan suatu
ekspresi aljabar yang dibentuk dengan menggunakan variabel-variabel biner, konstantakonstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi lojik, dan tanda kurung. Untuk nilai variabelvariabel yang diketahui, suatu fungsi Boolean bisa sama dengan 1 atau 0. Sebagai contoh
perhatikan fungsi Boolean berikut
F = X + Y‟Z
dua bagian ekspresi, X dan Y‟Z disebut suku-suku (terms) dari fungsi F. Fungsi F sama
dengan 1 jika term X sama dengan 1 atau jika term Y‟Z sama dengan 1, dan ini akan terjadi
hanya jika kedua Y‟ dan Z sama dengan 1. Selain itu, F sama dengan 0. Operasi komplemen
menyebabkan bahwa jika Y‟l, maka Y harus sama dengan 0. Sehingga, kesimpulannya F1
jika X1, atau jika Y0 dan Z1. Suatu fungsi Boolean mengekspresikan relasi lojik antara
variabel-variabel biner.
Suatu fungsi Boolean bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran. Suatu tabel kebenaran
untuk fungsi Boolean merupakan daftar semua kombinasi anka-angka biner 0 dan 1 yang
diberikan ke variabel-variabel biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk
masing-masing kombinasi biner. Tabel-tabel kebenaran untuk operasi-operasi lojik dasar
diberikan dalam Tabel 4.1. Banyaknya baris dalam tabel kebenaran adalah 2”, di mana n
adalah banyaknya variabel dalam fungsi. Kombinasi-kombinasi biner untuk tabel kebenaran
adalah bilangan biner n-bit yang bersesuaian dengan cacah dalam desimal dari 0 sampai
dengan 2”- l. Tabel 4.2 memperlihatkan tabel kebenaran untuk fungsi FX+Y‟Z. Ada delapan
kombinasi biner yang mungkin dengan meng-assign bit ke masing-masing tiga variabel X, Y,
dan Z. Kolom dengan label F memuat 0 atau 1 untuk masing-masing delapan kombinasi
yang disebut di atas Tabel memperlihatkan bahwa fungsi sama dengan I jika X = 1 dan jika Y
= 0 dan Z = 1. Selain itu fungsi sama dengan 0.
Suatu fungsi Boolean bisa ditransformasi dari suatu ekspresi aljabar ke suatu
diagram rangkaian (circuit diagram) yang dibentuk dari gerbang-gerbang lojik. Diagram
Universitas Gadjah Mada
5
rangkaian lojik untuk fungsi F diperlihatkan dalam Gambar 4.4. Suatu inverter pada input Y
menghasilkan komplemen dan Y, yaitu Y‟ Kemudian gerbang AND beroperasi pada Y‟ dan
Z, dan akhirnya gerbang OR mengkombinasikan X dengan Y‟Z. Dalam diagram rangkaian
lojik, variabel-variabel fungsi diambil sebagai input-input rangkaian, dan variabel biner F
diambil sebagai output rangkaian. Selanjutnya gerbang-gerbang dihubungkan dengan kabel
(wires) yang membawa sinyal-sinyal lojik. Rangkaian-rangkaian lojik tipe ini disebut
rangkaian logika kombinasional (combinational logic circuits), karena veriabel-variabel
dikombinasikan dengan operasi-operasi lojik.
Selanjutnya dengan menerapkan aturan-aturan operasi lojik dasar di atas, maka tabel
kebenaran F = X + YZ bisa diperlihatkan pada Tabel 4.2 berikut.
Hanya ada satu cara jika fungsi Boolean dinyatakan dalam tabel kebenaran. Akan tetapi,
ada banyak cara untuk menyatakan fungsi Boolean dalam bentuk aljabar. Dengan
memanipulasi suatu ekspresi Boolean menurut aturan-aturan aljabar Boolean, seringkali bisa
diperoleh suatu ekspresi yang lebih sederhana untuk fungsi yang sama. Untuk mengetahui
bagaimana hal ini dilakukan, penting sekali untuk terlebih dahulu mempelajari aturan-aturan
dasar (basic rules) aljabar Boolean.
Identitas-identitas Dasar Aljabar Boolean Basic Identities of Boolean Algebra
Tabel 4.3 memperlihatkan identitas-identitas dasar aljabar Boolean. Notasi
disederhanakan dengan menghilangkan simbol untuk AND. Sembilan identitas dasar
memperlihatkan hubungan antara variabel tunggal X, komplemennya X‟, dan konstantakonstanta biner 0 dan 1. Lima identitas berikutnya, yaitu 10 sampai 14 mepunyai lawanpasangan (counterparts) dalam aljabar biasa. Selanjutnya identitas tiga terakhir, yaitu 15
sampai 17 tidak berlaku dalam aljabar biasa, akan tetapi bermanfaat dalam pemanipulasian
ekspresi-ekspresi aljabar.
Universitas Gadjah Mada
6
Aturan-aturan dasar didaftar dalam tabel yang telah disusun dalam dua kolom yang
mendemonstrasikan sifat dualitas aljabar Boolean. Dual dari suatu ekspresi aljabar diperoleh
dengan mempertukarkan operasi-operasi OR dengan AND dan sebaliknya, dan angka biner
0 dengan angka biner 1.
Sembilan identitas yang melibatkan variabel tunggal bisa dengan mudah dibuktikan dengan
mengganti masing-masing dengan dua nilai yang mungkin dan X. Sebagai contoh, untuk
memperlihatkan bahwa X + 0 = X, ambil X = 0 untuk mendapatkan 0 + 0 = 0, dan X = 1
untuk mendapatkan 1 + 0 = 1. Kedua persamaan benilai true menurut definisi operasi lojik
OR. Setiap ekspresi bisa diganti dengan variabel X untuk semua persamaan Boolean yang
terdaftar dalam tabel. Sehingga dengan identitas nomor dan dengan X = AB + C, akan
diperoleh AB + C + 1 = 1. Identitas nomor 9 menyatakan bahwa komplementasi dobel
(doubly commplement) akan mengembalikan suatu variabel ke nilai asli. Sehingga jika X =
0,maka X‟= 1 dan X” = 0 = X.
Indentitas 15 merupakan dual dan aturan distributif biasa (identitas 14). Seperti yang
sudah diilustrasikan sebelumnya bahwa setiap variabel dalam identitas bisa diganti dengan
ekspresi Boolean, dan identitas masih tetap berlaku. Jadi untuk ekspresi (A + B)(A + CD),
bisa diambil X = A, Y = B, dan Z = CD, dan dengan aturan (identitas 15), diperoleh (A + B)(A
+ CD) = A + BCD.
Selanjutnya dua identitas terakhir, (X + Y)‟ = X‟•Y‟ dan (X•Y)‟ = X‟ + Y‟ disebut dengan teori
DeMorgan. Teori ini sangat penting untuk memperoleh komplemen dari suatu ekspresi.
Pada waktu mengkomplemenkan suatu ekspresi, tanda kurung memegang peranan yang
sangat penting, karena simbol komplemen yang digunakan dalam pembahasan ini adalah
petik tunggal (single quote — ‘). Sehingga ekspresi (X + Y)‟ menyatakan komplemen dari X +
Universitas Gadjah Mada
7
Y, akan tetapi jika tanda kurung dihilangkan maka akan mempunyai arti yang berbeda, yaitu
X di-OR-kan dengan komplemen dari Y.
Teorema DeMorgan bisa diperluas menjadi tiga atau lebih variabel. Selanjutnya teori
umum DeMorgan bisa dinyatakan sebagai
Perhatikan bahwa operasi lojik berubah dan OR ke AND atau dari AND ke OR. Di
samping itu, komplemen dihilangkan dari keseluruhan ekspresi dan ditempatkan di atas
masing-masing variabel. Sebagai contoh, (A + B + C + D)‟ = A‟ B‟ C‟D‟
Manipulasi Aljabar  Algebra Manipulation
Aljabar Boolean merupakan alat yang bermanfaat untuk menyederhanakan
rangkaian-rangkaian dijital. Sebagai contoh perhatikan fungsi Boolean F = X‟YZ + X‟YZ‟+ XZ.
Implementasi dari fungsi di atas dengan gerbang-gerbang lojik diperlihatkan dalam Gambar
4.5 bagian (a). Variabel-variabel input X dan Z dikomplemenkan dengan inverter untuk
mendapatkan X‟ dan Z‟ Ketiga term dalam ekspresi diimplemenkan dengan dengan tiga
gerbang AND. Gerbang OR membentuk OR logic terms (suku-suku logika OR). Sekarang
perhatikan penyederhanaan fungsi dengan penerapan beberapa identitas yang tendaftar
dalam Tabel 4.5 :
Terlihat bahwa fungsi bisa direduksi (disederhanakan) menjadi hanya dua term, dan
bisa diimplementasikan dengan gerbang-gerbang sepeti dalam Gambar 4.5 (b). Secara jelas
bisa dilihat bahwa rangkaian dalam gambar (b) lebih sederhana dibanding dengan gambar
(a), meskipun keduanya mengimplementasikan fungsi yang sama. Jika diperlukan bisa
digunakan tabel kebenaran untuk membuktikan bahwa dua implementasinya ekuivalen.
Sebagainuna diperlihatkan dalam Tabel 4.5.
Universitas Gadjah Mada
8
Ketika ekspresi Boolean diimplementasikan dengan gerbang-gerbang lojik, masing-masing
term memerlukan sebuah gerbang, dari masing-masing variabel dalam term menandakan
sebuah masukan ke gerbang. Dalam pembahasan ini, literal didefinisikan sebagai variabel
tunggal terkomplemen (complemented) atau tak-terkomplemen (uncomplemented). Sebagai
contoh, fungsi dalam Gambar 4.4 (a) mempunyai tiga terms dan delapan literals; sementara
fungsi dalam Gambar 4.4 (b) mempunyai dua terms dan empat literals. Dengan mengurangi
jumlah terms atau literals atau keduanya dalam ekspresi Boolean, sering bisa mendapatkan
rangkaian yang lebih sederhana. Sehingga aljabar Boolean diterapkan untuk mereduksi
ekspresi untuk mendapatkan rangkaian yang lebih sederhana. Untuk fungsi-fungsi yang
sangat kompleks, menemukan ekspresi terbaik berdasarkan hitungan terms dan literals
adalah sangat sukar, meskipun dengan program-program komputer. Akan tetapi metodemetode tertentu untuk mereduksi ekspresi sering disertakan (included) dalam computer tools
untuk melakukan sintesa rangkaian-rangkaian lojik. Metode-metode ini bisa digunakan untuk
mendapatkan penyelesaian yang baik meskipun bukan yang terbaik. Satu-satunya metode
manual untuk kasus umum adalah prosedur cut-and-try yang menggunakan relasi-relasi
dasar dan manipulasi-manipulasi lain yang menjadi terbiasa apabila sering digunakan.
Universitas Gadjah Mada
9
Selanjutnya contoh-contoh berikut menggunakan identitas-identitas dari Tabel 4.3
untuk ambarkan beberapa kemungkinan:
Perhatikan bahwa langkah tengahan X = X•1(identitas
2)
dihilangkan dalam persamaan 1,
sehingga X + XY (identitas 2) X•1 + XY (identitas 14) X(1 + Y)= (identitas 3) X•1 = (dentitas 2 lagi) X.
Perhatikan bahwa persamaan 4 sampai 6 merupakan dual persamaan 1 sampai 3,
ingat bahwa dual dari suatu ekspresi diperoleh dengan merubah AND ke OR dan sebaliknya,
bit-bit 1 menjadi bit-bit 0 dan sebaliknya, jika mereka muncul dalam ekspresi. Prinsip dualitas
(duality principle) aljabar Boolean menyatakan bahwa suatu persamaan Boolean tetap valid
ekspresi di kedua sisi tanda sama dengan diambil dualnya. Sehingga persamaanpersamaan 4, 5, dan 6 bisa dibuktikan dengan mengambil dual dari masing-masing
persamaan-persamaan 1,2, dan 3.
Teorema konsesus berikut kadang-kadang bermanfaat ketika menyederhanakan
ekspresi-ekspresi Boolean XY+X‟Z+YZ = XY+X‟Z.
Teorema memperlihatkan bahwa term ke tiga (yaitu YZ) berlebih (redundant) sehingga bisa
dihilangkan. Teorema konsensus bisa dibuktikan dengan terlebih dahulu meg-AND-kan
(AND ing) YZ dengan (X + X‟) = 1 sebagai benikut:
Selanjutnya, dual dari teorema konsensus adalah (X + Y)(X‟ + Z)(Y + Z) = (X + Y)(X‟ + Z).
Contoh berikut memperlihatkan penggunaan teorema konsensus untuk menyederhanakan
(memanipulasi) ekspresi Boolean.
Komplemen Fungsi  Function Complement
Komplemen suatu fungsi, F‟ diperoleh dari suatu pertukaran antara angka biner 0
dengan angka biner 1 dan sebaliknya untuk nilai-nilai F dalam tabel kebenaran. Komplemen
suatu fungsi bisa diturunkan secara aljabar dengan menerapkan teorema DeMorgan. Bentuk
umum dan teorema ini menyatakan bahwa komplemen suatu ekspresi diperoleh dengan
Universitas Gadjah Mada
10
menukar operasi AND dengan OR dan sebaliknya, dan mengkomplemenkan masing-masing
variabel dan konstan.
Contoh 4.1 Mengkomplemenkan Fungsi
Tentukan komplemen dari masing-masing dua fungsi berikut : F1 = X‟YZ‟ + X‟Y‟Z dan
F2 = X(Y‟Z‟ + YZ).
Dengan menerapkan teorema DeMorgan sebanyak yang diperlukan, akan diperoleh
komplemen fungsi sebagai benikut:
F1‟= (X‟YZ‟+X‟Y‟Z)‟= (X‟Y‟Z)‟(‟XY‟Z)‟= (X+ Y‟+ Z)(X+ Y+ Z‟)
F2‟= (X(Y‟Z‟+ YZ))‟=X‟+ (Y‟Z‟+ YZ‟)‟=X‟+ (Y‟Z‟)‟(YZ‟)‟=X‟ + (Y+Z)(Y‟+Z)
Metode yang lebih sederhana untuk menurunkan komplemen fungsi adalah dengan
mengambil dual dari fungsi dan mengkomplemenkan masing-masing literal. Metode ini
sebenarnya merupakan generalisasi dan teorema DeMorgan.
Contoh 4.2 Mengkomplemenkan Fungsi Dengan Menggunakan Dual
Tentukan komplemen fungsi-fungsi dalam Contoh 4.1 dengan mengambil dual
mereka dan mengkomplemenkan masing-masing literal.
F1 = X‟YZ‟ + X‟Y‟Z = (X‟YZ)+ (X‟Y‟Z)
Dual dari F1: (X‟+ Y+ Z‟)(X‟+ Y‟+ Z)
Komplemen masing-rnasmg literal: (X + Y‟ + Z)(X + Y +Z‟) = F,‟
F2 = X(Y‟Z‟ + YZ) = X((Y‟Z‟) + (YZ))
DualdariF2:X+ (Y‟+Z‟)(Y+Z)
Komplemen masing-masing literal : X + (Y‟ + Z)(Y‟ + Z‟) = F2‟
Bentuk Standar  Standard Forms
Fungsi Boolean bisa ditulis dalam banyak cara jika dinyatakan secara aljabar. Akan
tetapi ada beberapa cara penulisan ekspresi aljabar yang dianggap sebagai bentuk standar.
Bentuk standar memfasilitasi prosedur-prosedur penyederhanaan untuk ekspresi Boolean
dan sering menghasilkan rangkaian-rangkaian lojik yang lebih diinginkan.
Bentuk-bentuk standar memuat product terms dan sum terms. Contoh product term
misalnya XYZ, yang terdiri dari suatu operasi AND antara tiga literals. Sedang contoh sum
term misalnya X + Y + Z‟, yang terdiri dari suatu operasi OR antara tiga literals. Dalam
pembahasan ini perlu diperhatikan bahwa kata product dan sum tidak mengakibatkan
operasi aritmatika dalam aljabar Boolean; melainkan mereka menentukan masing-masing
operasi-operasi lojik AND dan OR.
Minterms dan Maxterms
Telah diperlihatkan bahwa suatu tabel kebenaran mendefinisikan suatu fungsi
Boolean. Suatu ekspresi aljabar yang menyatakan fungsi diturunkan dari tabel dengan
menemukan jumlahan lojik dan semua product terms di mana fungsi mempunyai nilai biner
1. Suatu product terms di mana semua literal (variabel) muncul tepat satu kali, baik
Universitas Gadjah Mada
11
terkomplemen atau tak-terkomplemen, disebut minterm. Minterm menyatakan secara tepat
satu kombinasi dari variabel-variabel biner dalam tabel kebenaran. Untuk fungsi dengan n
vaniabel, ada 2n minterms yang berbeda.
Bilangan-bilangan biner dad 000 sampai 111 terdaftar di bawah variabel-variabel.
Untuk masing-masing kombinasi biner ada minterm yang terhubung. Masing-masing
minterm merupakan product term dari tepat tiga literal. Literal merupakan variabel
terkomplemen jika bit yang bersesuaian dan kombinasi biner terhubung adalah 0 dan
merupakan vaniabel tak-terkomplemen jika sebaliknya. Simbol mj untuk masingmasing
minterm juga diperlihatkan dalam tabel, di mana indeks (subscript) menunjukkan ekuivalen
decimal dan kombinasi biner di mana minterm bernilai 1. Daftar minterm untuk sembarang
nilai n (banyaknya avriabel) bisa dicari dengan cara serupa. Di samping itu, tabel kebenaran
untuk masing-masing minterm diperlihatkan di samping kanan tabel. Tabel kebenaran ini
dengan jelas memperlihatkan bahwa masing-masmg minterm bernilai 1 untuk kombinasi
biner yang bersesuaian dan bernilai 0 untuk semua kombinasi yang lain. Tabel-tabel
kebenanan semacam ini akan bermanfaat dalam pembentukan ekspresi Boolean
menggunakan minterm.
Sementara suatu suku jumlah yang memuat semua variabel dalam bentuk
terkomplemen atau takterkomplemen disebut maxterm. Seperti minterm, dengan n variabel
bisa dihasilkan 2n maxterms. Tabel 4.5 memperlihatkan delapan maxterms untuk tiga
variabel.
Universitas Gadjah Mada
12
Masing-masing maxterm merupakan jumlahan lojik dari tiga variable, dimana masing-masing
variabel dikomplemenkan jika bit dari bilangan biner yang bersesuaian sama dengan 1, dan
tak-terkomplemen jika sama dengan 0. Simbol untuk maxterm adalah Mj, dengan j
menunjukkan ekuivalen desimal dan kombinasi biner di mana maxterm bernilai 0. Separuh
sebelah kanan tabel memperlihatkan tabel kebenanan dan masing-masing maxterm.
Perhatikan bahwa nilai dari maxterm sama dengan 0 untuk kombinasi yang bersesuaian dan
sama dengan 1 untuk semua kombinasi lain. Sampai di sini jelas dari mana datangnya suku
minterm dan maxterm, minterm merupakan fungsi yang tidak sama dengan 0 mempunyai
jumlah minimum untuk angka biner 1 dalam tabel kebenarannya. Sementara maxterm
merupakan fungsi yang tidak sama dengan 1, dan mempunyai jumlah maksimum untuk
angka biner 1 dalam tabel kebenarannya. Perhatikan dani Tabel 4.4 dan Tabel 4.5 terlihat
bahwa antara minterm dan maxterm dengan indeks yang sama saling komplemen, yaitu Mj =
mj‟. Sebagai contoh untuk j = 3, akan diperoleh
Fungsi Boolean bisa dinyatakan secana aljabar dan tabel kebenaran yang diberikan dengan
membentuk jumlahan lojik semua minterm yang dalam fungsi menghasilkan nilai 1. Ekspresi
ini disebut dengan sum of minterms (jumlahan minterm). Perhatikan fungsi Boolean F dalam
Tabel 4.6 (a). Fungsi bernilal 1 untuk masing-masrng kombinasi biner dan variabel X, Y, dan
Z, yaitu : 000, 010, 101, dan 111. Kombinasi-kombinasi ini bersesuaian dengan minterms 0,
2, 5, dan 7. Sehingga fungsi ini bisa dinyatakan secara aljabar sebagai jumlaban lojik dan
minterm- minterm yang disebutkan di atas, yaitu :
Bentuk ini selanjutnya disingkat dengan hanya menulis indeks-indeks desimal dan minterms:
Simbol  menunjukkan jumlahan lojik sum (Boolean OR) dari minterms. Kemudian bilanganbilangan yang mengikutinya menyatakan minterm ke - dari fungsi. Huruf-huruf dalam
pasangan tanda kurung yang mengikuti F membentuk daftar variabel untuk diambil ketika
minterms dikonversikan ke product terms.
Universitas Gadjah Mada
13
Sekarang perhatikan komplemen fungsi Boolean. Nilai-nilai biner dan F‟ dalam Tabel
3.6 (a) diperoleh dengan mengganti angka biner 1 dengan angka biner 0 dan sebaliknya
dalam nilai-nilai F. Selanjutnya dengan mengambil jumlahan lojik dan minterms diperoleh :
atau disingkat menjadi bentuk ringkas sebagai : F‟(XY,Z) m(1,3,4,6).
Perhatikan bahwa nomor-nomor minterms untuk F‟ adalah mereka-mereka yang tidak
muncul dalam F. Selanjutnya dengan mengkomplemenkan F‟akan diperoleh F, yaitu:
Ini memperlihatkan prosedur untuk menyatakan fungsi Boolean sebagai product of
maxterms. Bentuk ringkas dan product ini adalah F(X,Y,Z) M(l,3,4,6) di mana simbol 
menunjukkan perkalian lojik (logical product - Boolean AND) dan maxterms yang nomornomornya terdaftar dalam pasangan tanda kurung. Perhatikan bahwa bilangan-bilangan
desimal yang disertakan dalam product of maxterms akan selalu sama dengan daftar
minterms dan fungsi komplemennya, seperti (1,3,4,6) dalam contoh sebelumnya. Maxterms
jarang digunakan secara langsung dalam fungsi-fungsi Boolean, selama masih bisa
mengganti mereka dengan daftar minterms dan F‟.
Berikut adalah rangkunun tentang sifat-sifat yang sangat penting daii minterms:
1. Untuk fungsi Boolean dengan n variabel, ada 2n minterms. Minterms ini bisa dihitung
dan bilangan-bilangan biner dan 0 sampai 2n -1.
2. Setiap fungsi Boolean bisa dinyatakan (expressed) sebagai jumlahan lojik dan
minterms.
3. Komplemen dari fungsi memuat minterms yang tidak termasuk dalam fungsi asli
(original function).
4. Fungsi yang memuat semua 2n minterms sama dengan lojik 1.
Fungsi yang tidak berada dalam bentuk sum-of-minterms bisa dikonversikan ke bentuk sumof-minterms dengan menggunakan tabel kebenaran, karena tabel kebenaran selalu
menentukan minterms dan fungsi. Sebagai contoh perhatikan fungsi Boolean E=Y‟ + X‟Z‟
Ekspresi ini tidak dalam bentuk sum-of-minterms, karena masing-masing term tidak memuat
semua literal (ketiga variabel X, Y dan Z). Tabel kebenaran untuk fungsi ini bisa dilihat pada
Tabel 4.6 (b) di halaman sebelumnya. Selanjutnya dan tabel diperoleh minterm-mintermnya,
dan selanjutnya fungsi bisa dinyatakan sebagai sum-of minterms:
Dengan mudah akan diperoleh minterms dan fungsi komplemennya, yaitu:
Universitas Gadjah Mada
14
Perhatikan bahwa jumlahan antara banyaknya minterms dalam E dengan banyaknya
minterms dalam E‟ sama dengan delapan, karena fungsi yang mempunyai tiga variabel akan
menghasilkan delapan minterms. Dengan empat vanabel, secara keseluruhan akan ada
sebanyak 16 minterms, dan untuk dua variabel akan ada empat minterms. Contoh fungsi
yang memuat semua minterms adalah :
Karena G merupakan fungsi dua variabel dan memuat semua empat minterms, sebingga
selalu sama dengan 1.
Jumlahan Perkalian - Sum of Products
Bentuk sum-of-minterms merupakan ekspresi aljabar standar yang diperoleh secara
langsung dari tabel kebenaran. Ekspresi yang diperoleh dengan cara ini memuat cacah
terbesar literal dalam masing-masing term biasanya mempunyai lebih banyak product terms
dan yang diperlukan. Ini karena, menurut defimsi masing-masing minterm harus memuat
semua variabel dan fungsi, terkomplemen atau tak terkomplemen. Sekali jumlahan minterms
diperoleh dan tabel kebenaran, langkah selanjutnya adalah mencoba menyederhanakan
ekspresi untuk melihat apakah mungkin mengurangi banyaknya product term dan banyaknya
literal dalam term. Hasilnya berupa ekspresi tersederhanakan dalam bentuk sum-ofproducts. ini merupakan bentuk standar lain suatu ekspresi yang memuat product terms
dengan sam, dua, atau sejumlah berapa saja literals. Suatu contoh fungsi Boolean yang
diekspresikan sebagai sum-of-products adalah
Ekspresi di atas mempunyai tiga product terms, pertama dengan satu literal, kedua dengan
tiga literals, dan ketiga dengan dua literals.
Diagram lojik untuk suatu bentuk sum-of-products terdiri dan sekelompok gerbang
AND diikuti oleh gerbang OR tunggal, sebagaimana diperlihatkan dalam Gambar 4.1.
Masing-masing product terms memerlukan gerbang AND, kecuali untuk term dengan literal
tunggal. Jumlahan lojik dibentuk dengan suatu gerbang OR yang mempunyai literal tunga1
dan ouiputs dan gerbang AND sebagai inputs. Diasumsikan bahwa variabel-vaniabel input
tersedia secana langsung dalam bentuk-bentuk terkomplemen dan tak-terkomplemen
mereka, sehingga inverter tidak termuat dalam diagram. Gerbang-gerbang AND diikuti oleh
gerbang OR membentuk suatu konfigurasi rangkaian (circuit configuration) yang disebut
sebagai implementasi tingkat-dua (two-implementation two-level).
Universitas Gadjah Mada
15
Gambar 4.1 Implementasi Sum-of Products
Jika suatu ekspresi tidak berada dalam bentuk sum-of-products, ekspresi tersebut
bisa dikonversikan menjadi bentuk standar dengan menggunakan hukum-hukum distributif.
Perhatikan ekspresi :
Ekspresi di atas tidak berada dalam bentuk sum-ofproducts, karena term D+E
merupakan bagian dan literal product, tetapi bukan literal tunggal. Ekspresi bisa
dikonversikan ke sum of products dengan menerapkan hukum distributif yang sesuai
sebagai berikut :
Fungsi F diimplementasikan dalam bentuk tak-standar dalam Gambar 4.7 (a).
Implementasi ini memerlukan dua gerbang AND dan dua gerbang OR Dalam rangkaiannya
ada tiga tingkat penggerbangan (three levels of gating). Kemudian dalam Gambar 4.7 (b) F
diimplementasikan dalam bentuk sum-of-products. Rangkaian dalam implementasi ini
memerlukan tiga gerbang AND dan satu gerbang OR, dan menggunakan dua tingkat
penggerbangan. Keputusan apakah mau menggunakan implementasi tingkat-dua atau
tingkat-banyak (tingkat-tiga atau lebih) adalah sangat kompleks. Di antara permasalahan permasalahan yang terlibat adalah banyaknya gerbang, banyaknya masukan gerbang, dan
sejumlah delay antara waktu di mana nilai-nilai masukan dipasang dan waktu di mana nilainilai keluaran terlihat. Implementasi-implementasi tingkat-dua merupakan bentuk natural
untuk teknologi-teknologi implementasi tertentu.
Gambar 4.7 Implementasi Dua-Tingkat dan Tiga-Tingkat
Universitas Gadjah Mada
16
Perkalian Jumlahan - Product Of Sums
Bentuk standar lain untuk mengekspresikan fungsi-fungsi Boolean secara aljabar
adal ahpro duct-of- sums. Bentuk ini diperoleh dengan membentuk suku-suku perkalian lojik
dan jumlahan. Masing-masing suku jumlahan lojik bisa mempunyai berapa saja banyaknya
literals yang berbeda. Suatu contoh fungsi yang diekspresikan dalam bentuk product-ofsums adalah F = X(Y‟+ Z)(X + Y + Z‟). Ekspresi ini mempunyai suku-suku jumlahan dengan
satu, dua, dan tiga literaic. Suku-suku jumlahan menyelenggarakan operasi OR, dan
perkalian adalah operasi AND.
Struktur gerbang dari ekspresi product-of-sums terdiri dari sekelompok gerbanggerbang OR untuk suku-suku jumlahan (kecuali untuk suku-suku literal tunggal), diikuti oleh
sam gebang AND. Implementasi dan fungsi ini bisa dilihat pada Gambar 4.8. Seperti halnya
dengan sum-of products, tipe ekspresi standar ini menghasilkan struktur penggerbangan
tingkat-dua.
Gambar 4.8 Implementasi Product of sum
Penyederhanaan dengan MAP- Map Simplification
Kompleksitas gerbang-gerbang lojik dijital yang mengimplementasikan fungsi
Boolean secara langsung berhubungan dengan ekspresi aijabar dari mana fungsi
diimplementasikan. Meskipun representasi tabel kebenaran suatu fungsi adalah tunggal,
tetapi ketika diekspresikan secara aijabar, fungsi muncul dalam banyak bentuk yang
berbeda. Ekspresi-ekspresi Boolean bisa disederhanakan dengan manipulasi aijabar
sebagaimana dibicarakan sebelumnya. Akan tetapi prosedur penyederhanaan im sangat
membosankan
karena
kurangnya
aturan-aturan
tertentu
(specific
rules)
untuk
memperkirakan langkah-langkah selanjutnya dalam proses manipulatif. Di samping itu, juga
sangat sukar untuk menentukan apakah ekspresi paling sederhana telah dicapai.
Sebaliknya, metode Map menyediakan prosedur yang jelas untuk penyederhanaan fungsifirngsi Boolean sanrpam empat vanabel. Meskipun Map untuk lima dan enam variabel masih
bisa digambar, akan tetapi sudah tidak praktis (cumbersome) untuk digunakan. Map ini juga
dikenal sebagai Karnauh-map, atau K-map. Map yang dimaksud merupakan diagram yang
dibentuk dan bujur sangkar-bujur sangkar (squares), dengan masing-masing bujur sangkar
Universitas Gadjah Mada
17
mewakili satu minterm dan fungsi. Karena sebarang fungsi Boolean bisa dinyatakan sebagai
sum of minterms, maka fungsi Boolean secara grafik dikenal dalam Map oleh bujursangkarbujursangkar yang minterm -nya disertakan dalam fungsi. Kenyataannya Map menyajikan
diagram visual dan semua cata yang mungkin suatu fungsi diekspresikan dalam bentuk
standar. Dengan mengenali berbagai macam pola, pengguna bisa menurunkan ekspresi
aljabar lain untuk fungsi yang sama, dan dan beberapa fungsi yang bisa diturunkan,
kemudian dipilih yang paling sederhana.
Ekspresi-ekspresi tersederhana yang dihasilkan oleh Map selalu dalam bentuk sumof products atau product-of-sums. Selanjutnya akan dianggap bahwa ekspresi aljabar yang
paling sederhana adalah mereka yang banyaknya minterm terkecil dan mereka yang jumlah
literal-nya terkecil dalam masing-masing term. Proses ini menghasilkan implementasi
tingkat-dua yang mempunyai suatu diagram rangkaian lojik dengan banyaknya gerbang
terkecil dan banyaknya inputs ke gerbang juga terkecil. Selanjutnya akan bisa dilihat bahwa
ekspresi tersederhana tidak harus tunggal. Sehingga senngkali mungkin ditemukan dua atau
lebih ekspresi yang memenubi kriteria penyederbanaan. Dalam kasus seperti ini, salah satu
penyelesaiannya sama-sama memuaskan.
Map Dua-Variabel Two- variable Map
Untuk fungsi Boolean dua variabel ada empat minterms. Sehingga map dua-variabel
terdiri dari empat bujursangkar, masing-masing untuk satu minterm, sebagaimana
diperlihatkan dalam Gambar 4.9 (a). Map digambar kembali dalam Gambar 49. (b) untuk
memperlihatkan hubungan antara bujursangkar-bujursangkar dengan dua-variabel X dan Y
Tanda-tanda 0 dan 1 pad.a sisi kiri dan atas dan map menandakan nilai dan variabelvariabel. Variabel X muncul terkomplemen pada baris 0 dan tak terkomplemen pada baris 1.
Secara serupa, X muncul terkomplemenkan pada kolom 0 dan tak terkomplemenkan pada
kolom 1. Perhatikan bahwa empat kombinasi dan nilai-nilai biner ini bersesuaian dengan
baris-baris tabel kebenaran yang terhubung dengan empat minterms.
Gambar 4.9
Gambar 4.10
Map Dua-variabel
Representasi fungsi dalam Map
Universitas Gadjah Mada
18
Suatu fungsi dengan dua variabel bisa dinyatakan dalam map dengan menandai
bujur sangkar - bujursangkar yang bersesuaian dengan minterm-minterm fungsi. Sebagai
contoh, fungsi XY diperlihatkan dalam Gambar 4.10 (a). Karena XY sama dengan minterm
m3, nilai biner 1 ditempatkan dalam bujur sangkar milik m3. Gambar 4.10 (b) memperlihatkan
map untuk jumlahan lojik dan tiga mirnterms
m1 + m2 + m3 = X‟Y + XY‟ + XY = X + Y
Ekspresi tersederhana X + Y ditentukan dan daerah dua-bujur sangkar untuk variabel
X dalam baris kedua dan daerah dua-bujursangkar untuk Y dalam kolom kedua. Bersamasama, dua daerah ini yang termuat dalam tiga bujursangkar kepunyaan X atau Y.
Penyederhanaan ini bisa diperlihatkan dengan manipulasi aijabar:
Map Tiga-Variabel Three-variable Map
Untuk tiga variabel biner ada delapan minterms. Oleh karena itu map tiga-variabel
terdiri dari delapan bujursangkar seperti diperlihatkan dalam Gambar 4.11. Map yang
digambar di bagian (b) ditandai dengan bilangan-bilangan biner untuk masing-masing baris
dan masing-masing kolom untuk memperlihatkan nilai-nilai biner dan minterms. Perhatikan
bahwa bilangan-bilangan sepanjang kolom tidak unit. Karakteristik dan barisan terdaftar
(bilangan-bilangan) adalah hanya berubah satu bit dalam nilai dan satu kolom yang
berdampingan (adjacern) dengan kolom berikutnya.
Gambar 4.11 Map tiga-variabel
Sebuah bujursangkar minterm bisa ditempatkan dalam map dengan dua cara.
Pertama, kita bisa mengingat bilangan-bilangan yang terdaftar dalam Gambar 4.11(a) untuk
masing-masing lokasi minterm, atau kita bisa mengacu bilangan-bilangan biner sepanjang
baris-baris dan kolom-kolom dalam Gambar 4.12 (b). Sebagai contoh, bujursangkar yang diassign ke m3 bersesuaian dengan baris 1 dan kolom 01. Jika dua bilangan ini digabung akan
menjadi bilangan 101, yang ekuivalen dengan desimal 5.
Cara lain untuk mencari bujursangkar m5 = XYZ adalah dengan memperhatikannya
dalam baris bertanda X dan kolom kepunyaan Y‟Z (kolom 01). Perhatikan bahwa ada empat
Universitas Gadjah Mada
19
bujursangkar di mana masing-masing variabel sama dengan 1 dan empat yang lain di mana
masing-masing variabel sama dengan 0. Variabel yang muncul tak-terkomplemen dalam
empat bujursangkar di mana nilainya sama dengan I dan terkomlemen dalam empat
bujursangkan di mana nilainya sama dengan 0. Untuk kenyamanan, tuliskan nama-nama
vaniabel bersama dengan empat bujursangkar di mana vaniabel tersebut dikomplemenkan.
Setelah terbiasa dengan map, penggunaan variabel-variabel sendirian sudah cukup untuk
memberi label daerah-daerah map. Akhirnya, penting untuk diperhatikan lokasi dan labellabel ini untuk mendapatkan semua minterms pada map.
Dalam map dua-variabel, fungsi XY mendemonstrasikan bahwa suatu fungsi atau
sebuah term untuk suatu fungsi bisa terdiri dari bujursangkar tunggal dalam map. Akan tetapi
untuk mencapai penyederhanaan perlu memperhatikan bujursangkar-bujursangkar yang
bersesuaian
dengan
product
terms.
Untuk
memahami
bagaimana
penggabungan
bujursangkar-bujursangkar bisa menyederhanakan fungsi-fungsi Boolean, terlebih dahulu
baris mengenali sifat-sifat dasar yang dipunyai oleh bujur sangkar-bujursangkar yang
bertetangga, yaitu setiap dua bujursangkar yang ditempatkan secara horisontal atau vertikal
(tapi tidak secara diagonal) membentuk sebuah bujursangkar yang bersesuaian dengan
minterm yang berbeda hanya dalam satu variabel. Variabel tunggal ini muncul takterkomplemen dalam satu bujursangkar dan terkomplemen dalam bujursangkar lain.
Sebagai contoh, m5 dan m7 bertempat dalam dua bujursangkar yang adjacent. Variabel Y
dikomplemenkan dalam m5 dan tidak dikomplemenkan dalam m7, sementara dua variabel
yang lain cocok dalam kedua bujursangkar. Jumlahan lojik dari dua minterms bertetangga
seperti ini bisa disederhanakan menjadi product term tunggal dan dua variabel:
m5+m7 = XY‟Z+XYZ=XZ(Y‟+Y)XZ
Dalam hal ini dua bujursangkar tersebut hanya berbeda dalam variabel Y, yang bisa
dihilangkan jika jumlahan lojik (OR) dan dua minterms dibentuk. Sehingga, pada map 3variabel, setiap dua minterms dalam bujursangkar yang bertetangga bisa di-OR-kan
bersama menghasilkan sebuah product term dan dua variabel.
Contoh 4.3 Penyederhanaan Fungsi Boolean Menggunakan Map
Sederhanakan fungsi Boolean F(X,Y,Z) = ∑m(2,3,4,5).
Pertama-tama, masing-masing minterm yang mewakili fungsi ditandai dengan 1, lihat
Gambar 4.12, di mana bujursangkar-bujursangkar untuk minterms 010, 011, 100, dan 101
ditandai dengan 1. Langkah selanjutnya adalah menjelajahi (explore) koleksi bujursangkarbujursangkar pada map yang mewakili product terms untuk dipertimbangkan dalam ekspresi
tersederhana. Selanjutnya objek-objek mi disebut rectangles (empat persegi panjang-empat
persegi panjang), karena bentuk mereka adalah persegi-panjang (tentunya termasuk
bujursangkar). Akan tetapi, rectangles yang bersesuaian dengan product terms dibatasi
Universitas Gadjah Mada
20
hanya memuat jumlah bujursangkar sebanyak bilangan pangkat 2, seperti 1, 2, 4, 8
Sehingga tujuan kita adalah menemukan jumlah paling kecil bujursangkar-bujursangkar
seperti yang memuat semua minterms yang ditandai dengan 1. Hal ini akan memberi
product terms dengan juinlah terkecil. Pada map dalam gambar, dua bujursangkar memuat
empat bujursangkar yang semuanya memuat 1. Bujursangkar kanan atas mewakili product
term X‟Y, yang ditentukan dengan mengamati bahwa bujursangkar berada dalam baris 0,
bersesuaian dengan X‟, dan dua kolom akhir bersesuaian dengan Y. Secara serupa,
bujursangkar kiri bawah mewakili product term XY‟ (Baris kedua mewakili X dan dua kolom
kiri mewakili Y‟.) Karena dua rectangles ini semua memuat angka biner 1 dalam map, jumlah
lojik dan dua product terms yang bersesuaian memberikan ekspresi tersederhana untuk F;
F=X‟Y+XY‟
Gambar 4.12 Map untuk fungsi F = ∑m(2,3,4,5) = X’Y + XY’
Dalam beberapa kasus, dua bujursangkar dalarn map yang bertetangga membentuk
suatu rectangle dengan ukuran dua, meskipun mereka tidak saling bersinggungan. Sebagai
contoh, dalam Gamban 4.13, mo bertetangga dengan m2 dan m4 bertetangga dengan m6
karena minterms dibedakan oleh satu vaniabel. Selanjutnya bisa dibuktikan secara aljabar
sebagai berikut:
Gambar 4.13
Map Tiga-variabel dalam bentuk Rata dan Silinder untuk menunjukkan bujursangkar yang adjacent
Universitas Gadjah Mada
21
Empat segiempat untuk product terms ini diperlihatkan dalam Gambar 4.13 (a). Perhatikan
bahwa product term Z‟ menggunakan fakta bahwa tepi-tepi kiri dan kanan map adalah
adjacent untuk membentuk segiempat. Dua contoh lain dan segiempat yang bersesuaian
dengan product terms yang diturunkan dari empat minterms ditunjukkan dalam Gambar 4.13
(b).
Pada umumnya, semakin banjak bujunsangkar digabung, akan diperoleh product
term dengan jumlah literal semakin kecil . Untuk map tiga-variabel:

Satu bujursangkar mewakili sebuah minterm dengan tiga literal

Segiempat dengan dua bujursangkar mewakili sebuah product term dengan dua
literal

Segiempat dengan empat bujursangkar mewakili sebuah product term dengan satu
literal

Segiempat dengan delapan bujursangkar memuat semua map menghasilkan suatu
fugsi yang selalu sama dengan lojik 1.
Gambar 4.14 Product term menggunakan empat minterms
Contoh 4. 4 Penyederhanaan Fungsi 3-Variabel Dengan Map
Sederhanakan dua fungsi Boolean berikut:
Map untuk F1 diperlihatkan dalam Gambar 4.15 (a). Ada empat bujursangkar yang
diberi tanda dengan 1, yaitu untuk masing-masing minterm dan fungsi. Dua bujursangkar
yang adjacent dalam kolom ketiga untuk menghasilkan term dua-literal YZ. Sisa dua
bujursangkar dengan 1 juga adjacent menurut definisi cylinder-based dan diperlihatkan
dalam diagram dengan nilai-nilai mereka termuat dalam separoh segiempat. Ketika
Universitas Gadjah Mada
22
digabung, dua separoh segiempat ini akan menghasilkan term dua-literal XZ‟. Sehingga,
fungsi tersederhananya adalah F1(X,Y,Z) = YZ + XZ‟
Map untuk F2 diperlihatkan dalam Gambar 4.15 (b). Pertama-tama, empat
bujursangkar yang adjacent dalam kolom-kolom pertama dan terakhir bisa digabung dan
menghasilkan term dengan literal tunggal Z‟ Sisa bujursangkar tunggal mewakili minterm 5
dan digabung dengan sebuah bujursangkar yang adjacent dengannya meskipun sudah
digunakan. Hal seperti ini tidak hanya diperbolehkan, melainkan diperlukan sekali, karena
dua bujursangkar yang adjacent menghasilkan term dua-literal XY‟ Sementara bujursangkar
tunggal mewakili minterm tiga-literal XY‟Z. Selanjutnya, fungsi tersederhananya adalah:
F2(X,Y,Z) = Z‟,+ XY‟
Pada suatu saat ada cara-cara alternatif dalam penggabungan bujursangkarbujursangkar untuk menghasilkan ekspresi-ekspresi tersederhan yang sama. Suatu contoh
untuk ini didemonstrasikan dalam map Gambar 4.16. Minterm 1 dan 3 digabung untuk
menghasilkan term XZ, dan minterm 4 dan 6 menghasilkan term XZ‟ Akan tetapi ada dua
cara bahwa bujursangkar dan minterm 5 bisa digabung dengan bujursangkar adjacent yang
lain untuk menghasilkan term dua-literal ketiga. Penabungan minterm 5 dengan minterm 4
menghasilkan term XY‟, sementara penggabungannya dengan minterm 1 menghasilkan term
YZ. Masing-masing dua kemungkinan ekspresi tersederhana bisa dilihat pada Gambar 4.16,
masing-masing mempunyai tiga terms dengan dua literal, sehingga ada dua penyelesaian
tersederhana yang mungkin untuk fungsi ini.
Gambar 4.15 Map untuk contoh 4.4
Jika fungsi tidak dinyatakan sum-of-minterms, kita bisa menggunakan map untuk
mendapatkan minterm-minterm dan fungsi, dan kemudian menyederhanakan fungsi. Akan
tetapi, perlu mempunyai ekspresi aijabar dalam bentuk sum-of-products, di mana dan
masing-masing product term tersebut bisa dengan mudah diplot (plotted) dalam map.
Minterm-minterm dan fungsi selanjutnya dibaca secara Iangsung dan map. Sebagai contoh,
perhatikan fungsi Boolean
Universitas Gadjah Mada
23
Tiga product terms dalam ekspresi di atas mempunyai dua literal dan dinyatakan
dalam map tiga-variabel masing-masing dengan dua bujursangkar. Dua bujursangkar
bersesuaian dengan term pertama, X‟Z, yang bisa ditemukan dalam Gambar 4.16 sebagai
perpotongan dan X‟ (baris pertama) dengan Z (dua kolom tengah), dan menghasilkan
bujursangkar-bujursangkar 001 dan 011. Perhatikan bahwa jika menandai dengan bit 1
dalam bujursangkar, ada kemungkinan menjumpai bit 1 sudah berada di bujursangkar
tersebut dan term sebelumnya. Kasus ini terjadi pada term kedua X‟Y, yang mempunyai bit 1
dalam bujursangkar-bujursangkar 011 dan 010; akan tetapi bujursangkar 011 sama
(common) dengan term pertama X‟Z, sehingga hanya satu bit 1 yang ditandalan dalam
bujursangkar tersebut. Dengan melanjutkan model seperti ini, akhirnya akan diperoleh
bahwa fungsi ini mempunyai lima minterms, sebagaimana yang ditandakan oleh lima bit 1
dalam gambar. Minterms dibaca secara langsung dan map sebagai 1, 2, 3, 5, dan 7. Fungsi
aslinya mempunyai empat product terms, yang bisa disederhanakan pada map menjadi
hanya dua term sederhana, F = Z + X‟Y, yang memberi pengurangan sangat berarti dalam
biaya implementasi.
Map Empat VariabeI - Four variable Map
Untuk empat variabel biner ada 16 minterms, oleh karena itu map empat-variabel
terdiri dari 16 bujursangkar, sebagaimana diperlihatkan dalam Gambar 4.18. Pemasangan
minterm dalam masing-masing bujursangkar ditunjukkan dalam diagram bagian (a). Map
yang digambar di bagian (b) untuk memperlihatkan hubungan empat variabel Baris-baris dan
kolom-kolom diberi nomor sedemikian hingga hanya Satu bit dan bilangan biner yang
berubah nilai antara setiap dua kolom atau baris yang adjacent, yang menjamin kesamaan
sifat untuk bujursangkar-bujursangkar yang adjacent. Minterm yang bersesuaian dengan
masing-masing bujursangkar bisa diperoleh dengan menggabung nomor baris dengan
nomor kolom. Sebagai contoh, jika nomor dalam bans ke-tiga (11) dan kolom ke-dua (01)
digabung akan menghasilkan bilangan biner 1101, yaitu ekuivalen biner 13. Sehingga
Universitas Gadjah Mada
24
bujursangkar di baris ke-tiga dan kolom ke-dua mewakili minterm m13. Di samping itu,
masing-masing variabel ditandai dalam map untuk memperlihatkan delapan bujunsangkar di
mana ia musical tak-terkomplemen. Delapan bujursangkar lain, yang labelnya tidak
dimunculkan
bersesuaian
dengan
variabel
terkomplemen.
Sehingga,
W
muncul
terkomplemen dalam dua baris pertama dan tak-terkomplemen dalam dalam dua baris kedua.
Gambar 4.18 Map Empat-variabel
Metode yang digunakan untuk menyederhanakan fungsi empat-variabel serupa
dengan metode yang digunakan untuk menyederhanakan fungsi-fungsi tiga-variabel.
Bujursangkar-bujursangkar
yang
bertetangga
didefinisikan
sebagai
bujursangkar-
bujursangkar yang saling bersebelahan, sebagaimana untuk map dua- dan tiga-variabel.
Dengan kata lain, tepi-tepi bawah dan atas, kiri dan kanan saling bersinggungan sebagai
bujur sangkar yang adjacent. Sebagai contoh, mo dan m2, mo dan m8, dan seterusnya
merupakan dua bujur sangkar yang adjacent. Kombinasi bujursangkar yang bisa dipilih
selama proses penyederhanaan dalam map empat-variabel adalah sebagai berikut:

Segiempat dengan 1 bujur sangkar mewakili sebuah minterm empat literals.

Segiempat dengan 2 bujur sangkar mewakili sebuah minterm tiga literals.

Segiempat dengan 4 bujur sangkar mewakili sebuah minterm dua literals.

Segiempat dengan 8 bujur sangkar mewakili sebuah minter satu literal., dan
segiempat dengan 16 bujur sangkar menghasilkan fungsi yang selalu sama dengan
lojik 1.
Tidak ada kombinasi lain yang bisa digunakan. Suatu product term dan dua literal XZ‟
yang menarik diperlihatkan dalam Gambar 4.19. Product term ini perlu diperhatikan karena
sering kali hilang (atau tidak diperhitungkan). Di samping itu juga untuk mengingatkan kalau
tepi bawah dan atas adalah adjacent, demikian juga tepi kiri dan kanan.
Universitas Gadjah Mada
25
Gambar 4.19 Map Empat-vaniabel untuk memperlihatkan Adjaceny
Contoh 4.5 Penyederhanaan Fungsi Empat-variabel dengan Map
Sederhanakan fungsi Boolean F(WX,Y,Z,) = ∑m(0, 1,2,4,5,6,8,9,12,13,14)
Minterms dan fungsi ditandai dengan angka 1 dalam map Gambar 4.20. Delapan
bujursangkar dalam dua kolom sebelah kiri digabung menjadi segiempat yang mewakili term
dengan satu literal Y Sisa tiga angka 1 tidak bisa digabung menjadi term yang tersederhana,
melainkan mereka harus digabung sebagai segiempat dengan dua- atau empatbujursangkar. Dua angka 1 bagian atas kanan digabung déngan dua angka 1 bagian atas
kiri menghasilkan term W‟Z. Sebagai catatan lagi bahwa diperbolehkan menggunakan
bujursangkar sama lebih dari satu kali. Sekarang tinggal sebuah bujursangkar dengan tanda
angka I dalam baris ketiga dan kolom keempat (yaitu mewakili minterm 1110). Daripada
mengambil bujursangkar ini sendirian yang akan menghasilkan term dengan empat literal,
bujursangkar ini akan digabung dengan bujursangkar yang sudah digunakan untuk
membentuk sebuah segi-empat dengan empat bujursangkar dalam dua bans tengah dan
dua kolom akhir, menghasilkan term XZ‟. Selanjutnya ekspresi tersederhananya merupakan
jumlahan lojik dan tiga terms: F = Y‟ + W‟Z‟ + XZ‟
Universitas Gadjah Mada
26
Contoh 4..6 Penyederhanaan Fungsi Empat-vañabel dengan suatu Map
Sederhanakan fungsi Boolean F = A’B’C’ + B’CD’ + AB’C’ + A’BCD’
Fungsi di atas mempunyai empat variabel A, B, C, dan D yang dinyatakan dalam
bentuk sum-of-products dengan tiga term tiga-literal dari Satu term empat-literal. Selanjutnya
daerah dalam map yang ditumpu oleh fungsi diperlihatkan dalam Gambar 4.21. Masingmasing term tiga-literal dinyatakan dalam map dengan dua bujursangkar. A „B „C‟ dinyatakan
oleh bujursangkar-bujursangkar 0000 dan 0001, B „CD‟ oleh bujursangkar-bujursangkar
0010 dan 1010,dan AB‟C‟ oleh bujursangkar-bujursangkar 1000 dan 1001. Kemudian term
dengan empat literal adalah 0110. Fungsi disederhanakan dalam map dengan mengambil
angka-angka 1 di empat sudut, dan menghasilkan term B „D‟. Dua angka 1 dalam bans
paling atas diagbung dengan dun angka 1 dalam bans paling bawah untuk menghasilkan
term B „C‟. Angka 1 sisa dalam bujursangkar, 0110, digabung dengan bujursangkar yang
adjacent
dengannya,
0010,
untuk
menghasilkan
term
A„CD‟.
Sehingga,
fungsi
tersederhananya adalah
Manipulasi Map - Map manipulations
Ketika menggabungkan bujursangkar-bujursangkar dalam map, supaya dipastikan
bahwa semua minterm dalam fungsi termasuk. Pada waktu yang sama, supaya
meminimalkan jumlah term dalam fungsi tersederhana dengan menghindari setiap term yang
berlebih yaitu minterm yang sudah termuat dalam term lain.
Prime Implicants Penting -Essentiai Prime Implicants
Dengan diperkenalkannya implicant, prime implicant, dan essential prime iwplicant
akan menjadikan prosedur penggabungan bujursangkar-bujursangkar dalam sebuah map
lebih sistematik. Suatu product term merupakan suatu implicant sebuah fungsi jika fungsi
mempunyai nilai I untuk semua minterm dan product term tersebut. Jelasnya, semua segiempat pada sebuah map yang terbentuk dari bujursangkar-bujursangkar yang memuat nilai
Universitas Gadjah Mada
27
1 bersesuaian dengan implicants. Suatu implicant P merupakan prime itnplicant apabila
dengan menghilangkan sebarang literal dan implicant P menghasilkan suatu product term
yang bukan lagi merupakan implicant dan fungsi. Pada map untuk fungsi n-variabel,
himpunan prime implicant bersesuaian dengan himpunan semua segi empat yang terbuat
dan 2m bujursangkar-bujursangkar yang memuat nilai 1 (m =0, 1, ..., n), dengan masingmasing segi-empat memuat sebanyak mungkin bujursangkar.
Jika sebuah minterm suatu fungsi termuat hanya dalam satu prime implicant, maka
prime implicant dikatakan essential Sehingga, jika sebuah bujursangkar memuat nilai 1
hanya berada dalam satu segi-empat yang menyatakan sebuah prime implicant, maka prime
implicant, tersebut essential. Dalam Gambar 4.16 berikut, term-term XZ dan XZ‟ merupakan
prime implicants, yang essential sementara term-term XY‟ dan Y7 merupakan prime
implicants nonessential.
Prime implicant suatu fungsi bisa diperoleh dari map suatu fungsi sebagai semua
koleksi maksimum yang mungkin dan 2m bujursangkar-bujursangkar yang memuat nilai 1
(m=0, 1, ..., n), yang membentuk segiempat. Ini berarti bahwa nilai 1 tunggal pada map
menyatakan sebuah prime implicant jika tidak adjacent dengan nilai I lain manapun. Dua nilai
1 membentuk segi-empat yang mewakili prime implicant, selama mereka tidak berada dalam
segi-empat yang terdini dan empat atau lebih bujursangkar yang memuat nilai 1. Empat nilai
I membentuk segi-empat yang mewakili prime implicant, jika mereka tidak berada dalam
segi-empat yang terdini dan delapan atau lebih bujursangkar yang memuat nilai 1, dan
seterusnya.
Prosedur sistematis untuk menemukan ekspresi tersederhana dari map terlebih
dahulu perlu menentukan semua prime implicans. Selanjutnya, ekspresi tersederhana
diperoleh dan jumlahan lojik semua essential prime implicants, ditambah prime implicantsprime implicants lain yang dipenlukan untuk memasukkan sisa minterm yang tidak termasuk
dalam essentialprime implicants. Untuk lebih jelasnya akan diberikan contoh berikut.
Universitas Gadjah Mada
28
Contoh 4.7 Penyederhanaan Dengan Prime Implicarns
Menurut Gambar 4.22, ada tiga cara untuk melakukan penggabungan empat
bujursangkar menjadi segi-empat. Product term yang diperoleh dan penggabungan ini
adalah prime implicant-prime implicant fungsi, yaitu A „D, BD‟, dan A B. Term A V dan BD‟
merupakan essential prime implicants, akan tetapi A „B tidak essential. Karena minterm 1
dan 3 hanya bisa termuat dalam term A „D, dan minterms 12 dan 14 hanya bisa termuat
dalam term BD‟. Akan tetapi minterms 4, 5, 6, dan 7 masing-masing termuat dalam dua
prime implicants, salah satunya adalah A „B, sehingga term A „B bukan essential prime
implicant. Sebenannya, sekali essential prime implicant terpilih, term ketiga tidak diperlukan
karena semua minterm sudah termuat dalam essentialprime implicants. Sehingga ekspresi
tersederhananya adalah F = A „D + BD‟
Contoh 4.8 Penyederhanaan Melalui Essential & Nonesential Prime Implicants
Untuk contoh ini diperlihatkan dalam Gambar 4.23. Fungsi yang digambar di bagian
(a) mempunyai tujuh minterms. Jika kita mencoba menggabung bujursangkan-bujursangkar,
kita akan menjumpai bahwa ada enam prime implicants. Untuk mendapatkan jumlah minimal
minterm untuk fungsi, terlebih dahulu kita harus menentukan prime implicant-prime imp licant
yang essential. Sebagaimana diperlihatkan di bagian (b), fungsi mempunyai empat prime
implicants yang essential Product term AB „CV‟ adalah essential karena satu-satunyaptime
imp licant yang memuat minterm 0.
Secara serupa, product terms BC‟D, ABC‟, dan AB „C merupakan prime implicant
yang essential karena mereka masing-masing merupakan satu-satunya prime implicant yang
memuat minterms 5, 12, dan 10. Minterm 15 termuat dalam dua nonessential prime
implicants. Selanjutnya ekspresi tersederhana untuk fungsi merupakan jumlahan lojik dan
empat essential prime implicants dan satu prime implicant yang memuat minterm.
Identifikasi essential prime implicants dalam map menyediakan alat tambahan yang
mempenlihatkan term-term yang hams muncul dalam setiap ekspresi sum-of-product untuk
fungsi, dan menyediakan struktur parsial untuk metode yang lebih sistematis dalam
pemilihan pola-pola bujursangkar.
Universitas Gadjah Mada
29
(a) Penempatan minterms
(b) Prime implicant yang penting
Gambar 4.23 Penyederhaan dengan Prime Implicants dalam Contoh 4.8
Prime Implicant Tak-Penting Nonessential Prime implicants
Di luar penggunaan semua prime implicant yang penting, aturan berikut bisa
diterapkan untuk mengikutkan minterm-minterm sisa dan fungsi dalam prime implicants takpenting:
Aturan pemilihan : minimalkan di antara prime implicant yang overlap sebanyak
mungkin. Khususnya, dalam penyelesaian akhir pastikan bahwa masing-masing prime
implicant yang terpilih memuat paling sedilcit sam minterm yang tidak termuat dalam prime
implicant terpilih lain manapun.
Dalam kebanyakan kasus, ini akan menghasilkan suatu ekspresi tersederbana
meskipun tidak harus minimum-cost. Penggunaan aturan pemilihan diilustrasikan dalam
contoh berikut:
Contoh 4.9 Penyederhanaan Fungsi Menggunakan Aturan Pemilihan.
Tentukan bentuk sum-of-products tersederhana untuk F(A,B,C,D) = Em (0, 1,2, 4,5,
10, 11, 13, 15).
Map untuk F diberikan dalam Gambar 4.24, dengan memperlihatkan semua prime
implicants. A „C‟ adalah satu-satunya essential prime implicant. Dengan menggunakan
aturan pemilihan di depan, kita bisa memilih prime implicants sisa untuk bentuk sum-ofproducts dengan unutan sesuai penomoran. Perhatikan bagaimana prime implicant 1 dan 2
dipilih untuk memuat minterm-minterm tanpa overlapping. Prime implicant 3 (A „B „D‟) dan
prime implicant B „CD‟ keduanya memuat satu minterm sisa 0010, dan prime implicant 3
dipilih dengan cara sebarang untuk memuat minterm dan melengkapi ekspresi sum-ofproducts:
F(A,B,C)=A‟C‟+ABD +AB‟C+A‟B‟D‟
Universitas Gadjah Mada
30
Gambar 4.24 Map untuk contoh 4.9
Penyederhanaan Product of Sums - Product of Sums Simplification
Fungsi-fungsi Boolean tersederhana yang diturunkan dan map dalam semua contoh
sebelumnya dinyatakan dalam bentuk sum-of-products. Dengan hanya modifikasi kecil,
bentuk product-of-sum bisa diperoleh.
Prosedur untuk memperoleh suatu ekspresi tersederhana dalam bentuk product-of
sum mengikuti sifat-sifat dasar fungsi Boolean. Bit I yang diIempatkan dalam bujursangkarbujursangkar map menyatakan minterm dan fungsi. Minterm-minterm tidak termuat dalam
fungsi kepunyaan komplemen fungsinya. Dari sini kita melihat bahwa komplemen dari suatu
fungsi dinyatakan dalam map dengan oleh bujursangkar-bujursangkar yang tidak ditandai
dengan bit 1. Jika sekarang kita tandai bujursangkar-bujursangkar kosong dengan bit 0 dan
menggabung mereka menjadi segiempat-segiempat yang valid, maka kita akan mendapat
suatu ekspresi tersederhana dan komplemen suatu fungsi. Kemudian kita akan mengambil
komplemen dan fungsi F‟ untak mendapatkan fungsi F sebagai product-of sums. Hal ini
dikerjakan dengan mengambil dual fungsi dan kemudian mengkomplemenkan masingmasing literal, seperti yang sudah dijelaskan dalam bagian sebelumnya.
Contoh 4.10 Penyederhaan Bentuk Product-of sum
Sederhanakan fungsi Boolean berikut dalam bentuk product-of sums: F(A,B,C,D) =
∑m(0,1,2,5,8,9,10)
Tanda bit 1 dalam map Gambar 4.25 menyatakan minterm-minterm fungsi. Bujursangkarbujursangkar yang ditandai dengan bit 0 menyatakan minterm-minterm yang tidak termuat
dalam F dan oleh karena itu menunjukkan komplemen dan F. Dengan menggabung
bujursangkar-bujursangkar yang ditandai dengan bit 0, kita mendapatkan komplemen fungsi
tersederhana F‟ = AB + CD + BD‟
Universitas Gadjah Mada
31
Kemudian dengan mengambil dualnya, dan mengkomplemenkan masing-masing literalnya
akan menghasilkan komplemen dan F‟, yaitu fungsi F dalam bentuk product-of sums:
F= (A‟+B‟)(C‟+D‟)(‟B‟+D)
Contoh sebelumnya memperlihatkan prosedur untuk mendapatkan penyederhanaan
product-of-sums jika fungsi aslinya diyatakan sebagai jumlahan minterm-minterm. Prosedur
juga valid jika fungsi aslinya dinyatakan sebagai product of maxterms atau product-of sums.
Ingat bahwa nomor-nomor maxterm sama dengan nomor-nomor minterm dan fungsi
terkomplemen, sehingga bit 0 dimasukkan ke dalam map untuk maxterm-maxterm atau
komplemen dan fungsi. Untuk memasukkan suatu fungsi yang dinyatakan sebagai productof sums ke dalam map, kita mengambil komplemen dari fungsi dan dari hasil tadi tentukan
bujursangkar-bujursangkar untuk ditandai dengan bit 0. Sebagai contoh, fungsi
F (A‟+B‟+ C)(B +D)
Bisa diplot dalam map dengan terlebih dahulu menentukan komplemennya, yaitu F‟ =ABC‟ +
B „D‟.
Kemudian menandai bujursangkar-bujursangkar yang menyatakan minterm dan
fungsi F‟ dengan bit 0. Selanjutnya bujursangkar-bujursangkar sisa diberi tanda dengan bit 1.
Peuggabungan bit-bit 1 akan menghasilkan ekspresi tersederhana dalam bentuk sum-ofproducts. Sedang penggabungan bit-bit 0 dan kemudian mengkomplemenkan alan
meughasilkan ekspresi tersederhana dalam bentuk product-of-sums. Sehingga, untuk
sebatang fungsi yang diplot pada map, kita bisa menurunkan fungsi tersederhana dalam
salah satu dan dua bentuk standar.
Kondisi Don’t Care - Don’t Care Condition
Minterm-minterm suatu fungsi Boolean menentukan semua kombinasi dan nilai-nilai
vanabel di mana fungsi sama dengan 1. Fungsi dianggap sama dengan 0 untuk mintermminterm sisanya. Akan tetapi anggapan ini tidak selalu valid, karena aplikasi-aplikasi di mana
Universitas Gadjah Mada
32
fungsi tidak ditentukan untuk kombinasi nilai-nilai variabel tertentu. Kasus ini bisa terjadi
karena dua kemungkinan. Kemungkinan pertama, kombinasi-kombinasi input tidak pernah
muncul. Sebagai contoh, kode biner empat-bit untuk angka-angka desimal mempunyai enam
kombinasi yang tidak digunakan dan tidal diharapkan muncul. Kemungkinan kedua,
kombmasi-kombinasi input diharapkan muncul, akan tetapi kita tidal peduli (do not care don‟t care) output apa yang dihasilkan sebagai tanggapan untuk kombinasi-kombinasi
tersebut. Dalam kedua kasus, outputs dikatakan tak-ditentukan (unspecified) untuk
kombmasi-kombinasi inputs. Fungsi-fungsi yang mempunyai output tak-ditentukan untuk
suatu kombinasi inputs disebut “fungsi tertentu secara tidak lengkap” (incompletely specified
functions). Dalam kebanyakan penerapan, kita cukup tidak mempedulikan nilai apa yang
diasumsikan fungsi untuk minterm-minterm tak-ditentukan. Untuk alasan ini, biasanya
minterm-minterm tak-ditentukan (unspecified minterms) dan fungsi disebut sebagai “don‟t
care conditions” Kondisi-kondisi ini bisa digunakan pada map untuk menyediakan
penyederhanaan Iebih lanjut dan fungsi.
Perlu disadari bahwa minterm don‟t care tidak bisa ditandai dengan bit 1 pada map,
karena jika demikian akan berarti bahwa fungsi sama dengan 1. Demikian juga dengan
menempatkan bit 0 pada map (khususnya bujursangkar) akan berarti bahwa fungsi sama
dengan 0. Untuk membedakan kondisi don‟t care dengan bit 1 dan 0, digunakan simbol X.
Sehingga suatu simbol X di dalam bujursangkar pada map menandakan bahwa kita tidak
peduli apakah nilai 0 atau I yang di-assign ke fungsi untuk minterm tertentu.
Dalam
pemilihan
bujur
sangkar-bujur
sangkar
yang
adjacent
untuk
menyederhanakan fungsi dalam map, don‟t care minterm bisa dianggap sama dengan 1 atau
0. Ketika menyederhanakan fungsi, kita bisa memilih untuk memasukkan masing-masing
don‟t care minterm dengan bit 1 atau bit 0, tergantung pada kombinasi mana yang
menghasilkan ekspresi tersederhana. Di samping itu, suatu don‟t care minterm tidak harus
dipilih, jika tidak memberi kontribusi untuk menghasilkan implicant yang lebih besar. Secara
keseluruhan pemilihan tergantung pada penyederhanaan yang akan dicapai.
Contoh 4.11 Penyederhanaan dengan Kondisi Don’t Care
Untuk memperjelas prosedur yang digunakan untuk menangani kondisi don‟t care,
perhatikan fungsi F yang terspesifikasi secara tidak lengkap yang mempunyai tiga don‟t care
minterms d:
Minterm-minterm dari F adalah kombinasi variabel-variabel yang membuat fungsi
sama dengan 1, sementara minterm-minterm dan d adalah don‟t care minterms yang bisa diassign dengan 0 atau 1. Penyederhanaan map diperlihatkan dalam Gambar 4-26. MintermUniversitas Gadjah Mada
33
minterm dan F diberi tanda bit 1, minterm-minterm dan d diberi tanda dengan simbol X, dan
bujur sangkar-bujur sangkar sisa diisi dengan bit 0. Untuk mendapatkan fungsi tersederhana
dalam bentuk sum-of products, kita harus menyertakan semua lima bit 1 dalam map, tapi
symbol X mungkin atau mungkin tidak disertakan tergantung bagaimana fungsi F
disederhanakan. Term CD memuat empat minterms dalam kolom ke-tiga, sisa minterm
dalam bujur sangkar 0001 bisa digabung dengan bujun sangkar 0011 untuk menghasilkan
term tiga-literal. Akan tetapi, dengan menyertakan sam atau dua simbol X yang adjacent kita
bisa menggabung empat bujur sangkan menjadi satu empat persegi panjang untuk
menghasilkan term dua-literal. Dalam Gambar 4-26 di bagian (a), minterm-minterm don‟t
care 0 dan 2 disertakan denga bit 1, yang menghasilkan fungsi tersederhana
F= CD +AB‟
Di bagian (b), minterm don‟t care 5 disertakan dengan bit 1, hasil fungsi tersederhananya
adalah
F=CD+A‟D
Gambar 4.26 Contoh dengan kondisi-kondisi Don‟t care
Dua ekspresi di atas menyatakan dua fungsi berbeda secara aljabar. Keduanya memuat
minterm-minterm tertentu dan “fungsi tertentu secana tidak lengkap”, akan tetapi masingmasing memuat minterm don‟t care yang berbeda. Selama memperhatikan “fungsi tertentu
secara tidak lengkap”, kedua ekspresi bisa ditenima. Perbedaannya hanya dalam nilai F
untuk minterm-minterm yang tidak ditentukan.
Di samping itu, mungkin juga mendapatkan ekspresi product-of-sum untuk fungsi
Gamban 4-26. Dalam kasus ini, cara menggabung bit 0 adalah untuk memuat mintermminterm don‟t care 0 dan 2 dengan bit 0 menghasilkan fimgsi terkomplemen tersederhana F‟
= D‟ + AC‟.
Selanjutnya dengan mengambil komplemen dan F‟ akan menghasilkan ekspresi
tersederhana dalam bentuk product-of sum: F = D(A‟ + C)
Universitas Gadjah Mada
34
Contoh sebelumnya memperlihatkan bahwa minterm-minterm don‟t care dalam map
awalnya dianggap sebagai pernyataan suatu pilihan antara 1 dan 0. Pemilihan dibuat
tergantung pada cara kita untuk menyederhanakan “fungsi yang ditentukan secara tidak
lengkap”. Akan tetapi, sekali pemilihan dibuat, fungsi tersederhana akan mempunyai nilainilai khusus untuk semua minterm dan fungsi asli, termasuk minterm-minterm yang awalnya
tidak ditentukan. Sehingga meskipun outputs dalam penentuan awal mungkin memuat
simbol-simbol X, outputs dalam implementasinya hanya bit 0 dan bit 1.
4.6 Gerbang NAND dan NOR - NAND and NOR Gates
Karena fungsi-fungsi Boolean dinyatakan dalam terms operasi-operasi AND, OR, dan
NOT, maka implementasi dengan gerbang-gerbang AND, OR dan NOT merupakan prosedur
yang jelas. Akan tetapi, dijumpai bahwa kemungkinan mengkonstruksikan gerbang dengan
operasi-operasi lojik lain merupakan praktek yang menarik. Faktor-faktor yang hams
dipertimbangkan ketika mengkonstruksikan tipe-tipe gerbang yang lain adalah kelayakan
(feasibility) dan biaya pembuatan gerbang dengan komponenkomponen elektronik,
kemungkinan perluasan gerbang untuk bisa meneritna lebth dan dun input, dan kemampuan
gerbang
untuk
mengimplementasikan
fungsi-fungsi
Boolean
sendiri
atau
dalam
hubungannya dengan gerbang-gerbang lain.
Universitas Gadjah Mada
35
Gambar 4-27 Gerbang-gerbang Lojik Dijital
Di samping gerbang-gerbang AND dan OR, gerbang-gerbang lojik lain digunakan
secara ekstensif dalam perancangan rangkaian-rangkaian dijital. Simbol-simbol grafik dan
tabel-tabel kebenaran dan delapan gerbang lojik diperlihatkan dalam Gambar 4.27.
Gerbang-gerbang diperlihatkan dengan dua variable input biner, X dan Y, dan satu variable
output biner, F. Dua simbol grafik digambar untuk masing-masing gerbang. Simbol-simbol
segiempat di sebelah kanan direkomendasikan oleh Institute of Electrical and Electronics
Engineers‟ (IEEE) Standard Graphic Symbols for Logic Functions (IEEE Standard 9 - 1984).
Universitas Gadjah Mada
36
Simbol-simbol dengan bentuk beda di sebelah kiri dianggap sebagai alternatif yang bisa
diterima dalam ukuran standar. Simbol-simbol segiempat akan lebih nyaman jika
kemampuan komputer grafik terbatas. Akan tetapi, dengan grafika modem, simbol-simbol
altematif hampir digunakan secara universal baik untuk grafika komputer maupun dalam
literatur-literatur teknik.
Gerbang-gerbang AND, OR, dan NOT didefinisikan sebelumnya. Rangkaian NOT
membalik (inverl) nilai lojik dan sinyal biner untuk menghasilkan operasi komplemen. Bulatan
kecil di ouçput merupakan simbol grafik gerbang NOT secara formal disebut penunjuk
negasi (negation indicator) dan menandakan komplemen lojik. Kita akan secara formal
merujuk indikator negasi sebagai “bubble‟ Simbol segitiga sendiri menandakan rangkaian
„buffer‟: Buffer menghasilkan fungsi lojik Z = X, karena nilai biner darn ouput sama dengan
riilai biner dan input. Rangkaian ini utamanya digunakan untuk “amplify” sinyal-sinyal listrik.
Gerbang NAND menyatakan komplemen dan operasi AND. Namanya merupakan
singkatan darn NOT AND. Simbol-simbol grafik untuk gerbang NAND terdiri dan simbol AND
dengan bubble (bulatan kecil) pada output, yang menandakan operasi komplemen. Gerbang
NOR merupakan singkatan dan NOT OR) merupakan komplemen darn operasi OR dan
disimbolkan dengan simbol grafik OR dengan bubble pada output. Gerbang-gerbang NAND
dan NOR digunakan secara ekstensif sebagai gerbanggerbang lojik standar dan
kenyataannya jauh lebih populer dibanding dengan gerbang-gerbang AND dan OR. Karena
gerbang-gerbang NAND dan NOR merupakan fungsi-fungsi alami untuk rangkaianrangkaian eletrorik paling sederhana.
Gerbang exclusive-OR (XOR) serupa dengan gerbang OR, tetapi hanya berbeda
(mempunyan nilai o untuk) kombinasi di mana X dan Y mempunyan nilai sama dengan 1.
Simbol grafik untuk gerbang XOR menyerupan simbol grafik untuk gerbang OR. kecuali ada
tambahan garis melengkung pada input. Exclusive- OR mempunyai simbol khusus
untuk
menunjukkan operasinya. Exclusive-NOR merupakan komplemen dari exclusive-OR,
sebagaimana ditunjukkan dengan bubble pada output simbol grafiknya.
Universitas Gadjah Mada
37
Gambar 4-28 Operasi-operasi Lojik dengan gerbang-gerbang NAND
Dalam sisa bagian ini akan diseidiki implementasi rangkaian-rangkaian dijital dengan
gerbang-gerbang NAND dan NOR. Gerbang XOR akan dibahas dalam bagian benikutnya.
Rangkaian NAND - NAND Circuits
Gerbang NAND dikatakan sebagai gerbang universal karena setiap sistem dijital bisa
diimplementasikan dengan hanya gerbang-gerbang NAND saja. Untuk membuktikan bahwa
setiap fungsi Boolean bisa diimplementasikan dengan gerbang-gerbang NAND, kita hanya
penlu memperlihatkan bahwa operasi-operasi lojik dan AND, OR dan NOT bisa diperoleh
hanya dengan gerbang-gerbang NAND saja. Hal ini dilakukan dalam Gambar 4.28. Operasi
komplemen diperoleh dari gerbang NAND satu-input yang berperilaku persis seperti gerbang
NOT. Kenyataannya NAND satu-input merupakan simbol invalid sehingga diganti dengan
symbol NOT seperti terlihat dalam gambar. Operasi AND memerlukan dua gerbang NAND.
Pertama menghasilkan operasi NAND dan kedua membahk (invert) nilai lojik sinyal,
sehmgga kombinasinya menjadi sebuah AND. Operasi OR diperoleh dengan menggunakan
gerbang NAND dengan NOT pada masing-masing input. Ketika teorema DeMorgan
diterapkan sebagaimana dalam Gambar 4.29, inversi membatalkan dan hasilnya fungsi OR.
Cara yang nyaman untuk mengimplementasikan fungsi Boolean dengan gerbanggerbang NAND adalah untuk memperoleh fungsi Boolean tersederhana dalam terms
operator-operator Boolean AND, 4 OR dan NOT dan kemudian mengkonversi fungsi ke
logika NAND. Konversi suatu ekspresi aijabar dari AND, OR dan NOT ke NAND bisa
dilakukan dengan teknik sederhana yang merubah diagram lojik AND-OR menjadi diagram
lojik NAND.
Universitas Gadjah Mada
38
Gambar 4.28 Simbol-simbol grafik alternative untuk Gerbang-gerbang NAND dan NOT
Untuk memfasilitasi konversi ke lojik NAND, akan lebih nyaman jika terlebih dahulu
mendefinisikan symbol-simbol grafik alternatif untuk gerbang. Dua symbol grafik yang
ekuivalen untuk gerbang NAND diperlihatkan pada Gambar 4.29 (a) dan 4.29 (b). Simbol
AND-NOT, yang diberikan untuk NAND sebelumnya, terdiri dari simbol grafik AND dengan
bubble pada outputnya. Secara alternatif, dimungkinkan menyatakan gerbang NAND dengan
sebuah simbol grafik OR dengan bubble pada masing-masing input. Simbol NOT-OR untuk
gerbang NAND mengikuti teorema DeMorgan don konvensi bahwa indikator-indikator negasi
menandakan komplementasi. Untuk berurusan dengan simbol-simbol alternatif kasus NAND
satu-input, simbol alternatif untuk gerbang NOT diberikan pada Gambar 4.29 (c). Simbol
kedua diperoleh dengan memindah bubble dan output ke input buffer. Simbolsimbol grafik
alternatif ini akan bermanfaat dalam analisa dan rancangan rangkaian-rangkaian NAND.
Implementasi Dua-Tingkat Two-Ievel implementihon
Implementasi fungsi Boolean dengan gerbang NAND adalah paling sederhana jika
fungsi dalam bentuk sum-of-products. Bentuk mi bersesuatan dengan rangkaian dua-tingkat
(two-level-circuit).
jika
gerbang
AND
dan
sam
gerbang
OR
digunakan
untuk
mengimplementasikan rangkaian, dikatakan bahwa gerbang AND dalam tingkat sam dan
gerbang OR dalam level kedua. Untuk rangkaian dua-tingkat sebagaimana yang
didefinisikan di sini, inverter-inverter pada input ke para AND dan pada output dart OR tidak
terhitung sebagai tingkat. Untuk melihat hubungan antara ekspresi sum-of-products dan
implementasi NAND ekuivalensinya, perhatikan diagram lojik dalam Gambar 4.30. Semua
tiga diagram adalah ekuivalen dan mengimplementasikan fungsi F = AB + CD.
Di (a), fungsi diimplementasikan dengan gerbang-gerbang AND dan OR Sedang di
(b), gerbang-gerbang AND diganti dengan gerbang-gerbang NAND dan gerbang OR diganti
dengan gerbang NAND yang menggunakan simbol grafik NOT-OR. Ingat bahwa bubble
menandakan komplementasi, dan dua bubble pada garis yang sama menyatakan
komplementasi ganda; sehingga keduanya bisa dihilangkan dalam penerapannya.
Universitas Gadjah Mada
39
Gambar 4-30 Tiga cara implementasi untuk F = AB + CD
Menghilangkan bubble pada gerbang di (b) menghasilkan rangkaian di (a). Oleh
karena itu, dua diagram mengtmplementasikan fungsi yang sanu dan ekuivalen. Dalam
Gambar 4.30 (c), oulput gerbang NAND digambar-ulang (redrawn) dengan simbol grafik
AND-NOT Dalam menggambar diagram-diagram lo1ik NAND, rangkaian yang diperlihatkan
dalam (b) atau (c) bisa ditennia. Rangkaian (b) menyatakan hubungan lebih langsung
dengan ekspresi Boçan yang diimplementasikan. Implementasi NAND dalam Gambar 4.30
(c) bisa dibuktikan secara aljajar. Fungsi yang diimplementasikan bisa dengan mudah
dikonversi ke bentuk sum-of-products dengan menggunakan teorema DeMoran:
F = ((AB)‟.(CD)‟)‟ = ((AB))‟ + ((CD)‟)‟ = AB + CD
Contoh 4.12 Implementasi Dengan Gerbang-gerbang NAND
Implementasikan fungsi Boolean berikut dengan gerbang-gerbang NAND.
F(X,Y,Z)=∑m(1,2,3,4,5, 7)
Langkah pertama adalah menyederhanakan fungsi menjadi bentuk sum-of-products. Ini
dilakukan dengan menggunakan map Gambar 4.31 (a), selanjutnya diperoleh fungsi
tersederhanakan F = XY‟ + X‟Y + Z
Universitas Gadjah Mada
40
Gambar 4.31 Penyelesaian contoh 4.12
Implementasi NAND dua-tingkat diperlihatkan dalam Gambar 4.31 (b) menggunakan simbol
NOT-OR pada level kedua. Perhatikan bahwa input Z hams mempunyai gerbang NOT untuk
mengimbangi (compensate) bubble pada gerbang tingkat kedua. Suatu cara lain untuk
menggambar diagram lojik diperlihatkan dalam Gambar 4.31 (c). Di sini semua gerbang
NAND digambar dengan sirnbol grafik yang sama. Inverter dengan input Z telah dihilangkan,
tetapi variabel input dikomplemenkan dan dinyatakan dengan X
Prosedur yang dijelaskan dalam contoh sebelumnya menandakan bahwa fungsi
Boolean bisa diimplementasikan dengan dua tingkat gerbang NAND. Prosedur untuk
mendapatkan diagram lojik dan fungsi Boolean adalah sebagai berikut:
1. Sederhanakan fungsi dan nyatakan dalam bentuk sum-of-products.
2. Gambar gerbang NAND untuk masing-masing product term dan ekspresi yang paling
sedikit mempunyai dua literal. Input untuk masing-masing gerbang NAND adalah literalliteral dan term. Ini membentuk kelompok gerbang-gerbang tingkat-pertama.
3. Gambar gerbang tunggal menggunakan simbol-simbol grafik AND-NOT atau NOT-OR di
tingkat kedua, dengan input-input dating dan output-ouput gerbang tingkat-pertama.
4. Suatu term dengan literal tunggal memerlukan sebuah NOT di tingkat pertama. Akan
tetapi, jika literal tunggal dikomplemenkan dan pemunculan aslinya, maka ia bisa
dihubungkan secara langsung ke input dan gerbang NAND tingkat-kedua.
Rangkaian NANDTingkat – Banyak MuItileveI NAND Circuits
Bentuk standar dari ekspresi fungsi Boolean menghasilkan implementasi tingkatkedua. Akan tetapi, ada banyak kejadian-kejadian ketika merancang sistem dijital
Universitas Gadjah Mada
41
menghasilkan struktur-struktur penggerbangan (gatin) dengan tiga atau lebih tingkat.
Prosedur yang paling biasa digunakan dalam merancang rangkaian-rangkaian tingkatbanyak untuk menyatakan fungsi Boolean dalam terms operasi-operasi AND, OR, dan NOT.
Kemudian fungsi diimplementasikan secara langsung dengan gerbang-gerbang AND, OR,
dan NOT. Selanjutnya jika perlu, fungsi tersebut bisa dikonversikan ke dalam suatu
rangkaian yang semua gerbang-nya NAND.
Contoh 4.13 Perhatikan fungsi Boolean berikut.
F=A(CD+B)+BC’
Meskipun pasangan kurung bisa dihilangkan dan mereduksi ekspresi ke bentuk
standar sum-of-products. Sebagai ilustrasi dalam kasus ini akan dipilih implementasi
rangkaian tingkat-banyak. Implementasi AND- OR diperlihatkan dalam Gambar 4.32 (a).
Dalam rangkaian tersebut terdapat empat tingkat penggerbangan. Tingkat pertama
mempunyai dua gerbang AND, tingkat kedua mempunyai sebuah gerbang OR dan diikuti
oleh sebuah gerbang AND pada tingkat ketiga dan sebuah gerbang OR pada tingkat
keempat. Diagram lojik dengan pola tingkat-tingkat alternatif dan gerbang-gerbang AND dan
OR bisa dengan mudah dikonversikan ke rangkaian NAND dengan menggunakan simbolsimbol NAND alternatif. Ini diperlihatkan dalam Gambar 4.32 (b). Prosedur yang digunakan
adalah untuk merubah setiap gerbang AND ke simbol grafik AND-NOT. dan setiap gerbang
OR dikonversikan ke simbolsimbol grafik NOT-OR Rangkaian NAND menyelenggarakan lojik
sama seperti rangkaian AND-OR, selama tidak ada bulatan kecil atau ada dua bulatan kecil
Universitas Gadjah Mada
42
sepanjang masing-masing garis. Bulatan kecil yang terhubung dengan input B ke simbol
grafik NOT-OR mengakibatkan komplementasi tambahan yang harus diimbangi dengan
merubah literal input menjadi B‟.
Prosedur umum untuk mengkonversi diagram AND-OR menjadi diagram NAND-semua
dengan menggunakan simbol NAND alternatif sebagai benikut:
1. Konversikan semua gerbang AND ke gerbang NAND dengan simbol-simbol grafik
AND- NOT.
2. Konversikan semua gerbang OR ke gerbang NAND.
3. Periksa semua bulatan kecil dalam diagram. Untuk setiap bulatan kecil yang tidak
diimbangi oleh bulatan kecil lain sepanjang ganis yang sama, sisipkan gerbang NOT
atau komplemenkan literal input dan pemunculan awalnya.
Contoh 4.14 Perhatikan fungsi Boolean tingkat-banyak berikut:
F= (AB‟+A‟B)E(C+D‟))
Implementasi AND-OR dan fungsi ini diperlihatkan dalam Gambar 4-33 (a) dengan tigatingkat penggerbangan. Konversi ke dalam NAND dengan simbol-simbol alternatif disajikan
dalam diagram bagian (b). Dua bulatan kecil tambahan yang dthubungkan dengan iuput C
dan D‟ mengakibatkan dua literal ini dikomplemenkan masing-masing menjadi C‟ dan D.
Bulatan kecil pada oulput gerbang NAND mengkomplemenkan nilai oulput, sehingga perlu
disisipkan gerbang NOT pada oulput untuk mengkomplemenkan lagi sinyal sehingga
diperoleh nilai awal. Demikian Juga, bulatan kecil pada oulput gerbang NAND X tidak
diimbangi, sehingga gerbang NOT disisipkan.
Universitas Gadjah Mada
43
Rangkaian NOR - NOR circuits
Operasi NOR merupakan dual dari operasi NAND. Oleh karena itu, semua prosedur
dan aturan untuk lojik NOR juga merupakan dual dan prosedur-prosedur dan aturan-aturan
yang dikembangkan untuk lojik NAN)). Gerbang NOR merupakan gerbang universal lain
yang bisa digunakan untuk mengimplementasikan fungsi Boolean. Implementasi dan
operasi-operasi AND, OR, dan NOT dengan gerbang NOR diperlihatkan dalam Gambar 434. Operasi komplemen diperoleh dari gerbang NOR satu input yang seperti NAND akan
mengurangi terhadap gerbang NOT. Operasi OR memenlukan dua gerbang NOR, dan
operasi AND diperoleh dengan sebuah gerbang NOR yang mempunyai gerbanggerbang
NOT pada masing-masing input Dua simbol grafik alternatif untuk gerbang NOR
diperlihatkan pada Gambar 4-35. Simbol OR-NOT mendefinisikan operasi NOR sebagai OR
diikuti oleh NOT Simbol NOT-AND mengkomplemenkan marng-masing input dan kemudian
melakukan suatu operasi AND. Simbol-simbol alternatif ini menandakan operasi NOR yang
sama dan identik secara lojik karena teorema DeMorgan.
Gambar 4.34 Operasi-operasi lojik dengan gerbang NOR
Implementasi dua-tingkat dengan gerbang-gerbang NOR adalah yang paling
sederhana jika fungsi tersederhananya dalam bentuk product-of sums. Ingat bahwa ekspresi
product-of sums tersederhana diperoleh dan map dengan menggabung bit-bit 0 dan
kemudian mengkomplemenkan. Suatu ekspresi product-of-sums diimplementasikan dengan
tingkat-pertama gerbang-gerbang OR yang menghasilkan sum terms, diikuti oleh tingkat
kedua gerbang AND untuk menghasilkan product. Transformasi dan diagram OR-AND ke
diagram NOR dicapai dengan mengganti gerbang-gerbang OR menjadi gerbang-gerbang
NOR dengan simbol-simbol grafik NOT-AND. Suku dengan literal tunggal yang menuju ke
gerbang tingkat-kedua baris dikomplemenkan menurut cara mereka awalnya muncul, atau
gerbang NOT harus disisipkan. Gambar 4-36 memperlihatkan implementasi NOR terhadap
Universitas Gadjah Mada
44
fungsi yang dinyatakan dalam bentuk product-of sums. Pola OR-AND bisa dengan mudah
dideteksi dengan menghilangkan bulatan-bulatan kecil sepanjang garis yang sama. Variabel
E dikomplemenkan untuk mengimbangi bulatan kecil ketiga pada input dan gerbang tingkatkedua.
Gambar 4.35 Dua simbol grafik untuk gerbang NOR
Gambar 4.36 Pengimplementasian F = (A + B)(C + D) dengan gerbang-gerbang NOR
Gambar 4-37 Pengimplementasian F = (AB‟ + A B)E(C + D) dengan gerbang-gerbang NOR
Prosedur untuk mengkonversi suatu diagram AND-OR tingkat-banyak ke suatu
diagram NORsemua adalah serupa dengan yang disajikan untuk gerbang-gerbang NAND.
Untuk kasus NOR, kita hams mengkonversi masing-masing gerbang OR ke suatu simbol
OR-NOT dan masing-masing gerbang AND dikonversikan ke simbol NOT-AND. Setiap
bulatan kecil yang tidak diimbangi dengan bulatan kecil lain sepanjang ganis yang sama
memerlukan suatu inverter atau komplementasi literal input dan pemunculan awalnya.
Transformasi diagram AND-OR dalam Gambar 4-33 (a) ke diagram NOR diperlihatkan
dalam Gambar 4-37. Fungsi Boolean untuk rangkaian mi adalah F = (AB‟ + A B)E(C + D‟)
Universitas Gadjah Mada
45
Diagram NOR ekuivalennya bisa dikenali dan diagram NOR dengan menghilangkan
semua bulatan kecil. Agar supaya bulatan-bulatan kecil tenimbangi, suatu inverter
ditambahkan pada input dan F yang lebih rendah dan A, B‟, A‟, B, dan E dikomplemenkan.
4.7 Gerbang EkskIusif.OR Exclusive-OR Gates
Eksklusif-OR (X-OR) yang ditunjukkan dengan
, merupakan operasi lojik yang
menyelenggarakan fungsi
Gambar 4-38 Eksklusif-OR yang dikonstruksikan dengan gerbang NAND
Fungsi sama dengan 1 jika tepat salah satu variabel sama dengan 1. Eksklusif-NOR, yang
juga dikenal sebagai ekuivalensi (equivalence), merupakan komplemen dan eksklusif-OR
dan dinyatakan dengan fungsi
Fungsi sama dengan 1 jika kedua X dan Y sama dengan 1 atau jika keduanya sama dengan
0. Dua fungsi bisa diperlihatkan sebagai fungsi yang saling komplemen, baik dengan
menggunakan tabel kebenaran atau dengan manipulasi aijabar sebagai berikut:
Identitas-identitas berikut menerapkan operasi eksklusif-OR:
Setiap identitas di atas bisa dibuktikan dengan menggunakan suatu tabel kebenaran
mengganti operasi
dengan ekspresi Boolean ekuivalennya. Di samping itu, bisa juga
diperlihatkan bahwa operasi eksklusif-OR bersifat komutatif dan asosiatif, yaitu:
Ini berarti bahwa dua input untuk gerbang eksklusif-OR bisa ditukar tanpa mempengaruhi
operasi. Di samping itu, juga berarti bahwa kita bisa mengevaluasi operasi eksklusif-OR tigaUniversitas Gadjah Mada
46
variabel dalam urutan apapun, dan untuk alasan ini eksklusif-OR dengan tiga atau lebih
variabel bisa diekspresikan tanpa tanda kurung. Sehingga dimungkinkan menggunakan
eksklusif-OR dengan tiga atau lebih input.
Suatu fungsi eksklusif-OR dua-input bisa dibentuk dengan gerbang-gerbang
konvensional, yaitu dua gerbang NOT, dua gerbang AND, dan Satu gerbang OR. Gambar 438 memperlihatkan sebuah implementasi dengan empat gerbang NAND. Simbol alternatif
diagram NAND menyelenggarakan operasi
X(X‟+ Y‟) + Y(X‟+ Y‟) = XY‟+X‟Y
Fungsi Ganjil - Odd Function
Operasi eksklusif-OR dengan tiga atau lebih variabel bisa dikonversi ke dalam suatu
fungsi Boolean biasa dengan menukar simbol dengan ekspresi Boolean ekuivalennya.
Khususnya, kasus tiga variabel bisa dikonversi ke suatu ekspresi Boolean sebagai berikut:
Ekspresi Boolean secara jelas menandakan bahwa eksklusif-OR tiga-variabel sama
dengan I hanya jika satu variabel sama dengan 1 atau jika semua dan tiga variabel sama
dengan 1. Sehingga, dalam fungsi dua-variabel hanya satu variabel yang perlu sama dengan
1, dan untuk tiga atau lebih variabel sejumlah ganjil variabel harus sama dengan 1. Sebagai
akibatnya, operasi eksklusif-OR variabel banyak didefinisikan sebagai fungsi ganjil (odd
function). Kenyataannya, fungsi ganjil adalah nama yang tepat untuk operasi dengan tiga
atau lebih variabel; sedang nama “eksklusif-OR” bisa diterapkan hanya untuk kasus dua
variabel.
Gambar 4.39 Map untuk Fungsi Ganjil Variabel-banyak
Universitas Gadjah Mada
47
Fungsi Boolean yang diturunkan dari fungsi ganjil dinyatakan sebagai jumlahan lojik
dan empat minterm yang mempunyai kesesuaian nilai 001, 010, 100, dan 1.11 dalam tabelkebebaran biner. Masing-masing bilangan biner di atas mempunyai sejumlah ganjil bit-bit 1.
Empat minterm lain yang tidak termasuk dalam fungsi adalah 000, 011, 101, dan 110, dan
mereka mempunyai sejumlah genap bit-bit 1. Pada umurnnya, suatu fungsi ganjil dengan n
variabel didefinisikan sebagai jumlahan lojik dan 2‟/2 minterm yang bersesuaian dengan nilai
yang mempunyai sejumlah ganjil bit-bit 1 dalam tabel kebenaran biner.
Definisi fungsi ganjil bisa diklarifikasi dengan mem-plot (plotting fungsi pada map.
Gambar 4-39 (a) mempenlihatkan map utuk fungsi ganjil dengan tiga-vaniabel. Empat
minterm dan fungsi berbeda dengan yang lain pada paling sedikit dari literal, jadi tidak bisa
adjacent dalam map. Minterm-minterm ini dikatakan “dua jarak” (distance two) dan masingmasing yang lain. Fungsi ganjil dikenali dan ke empat minterm yang nilai-nilai binernya
mempunyai sejumlah ganjil bit-bit I. Kasus empat-variabel diperlihatkan pada Gambar 4-39
(b). Delapan minterms yang ditandai dengan bit I dalam map membentuk fungsi ganjil.
Perhatikan karaktenistik pola jarak antana bit-bit 1 dalam map. Selanjutnya bisa dikatakan
bahwa mintçrmminterm yang tidak ditandai dengan bit 1 membentuk komplemen fungsi
ganjil, yang disebut fungsi genap (even function). Fungsi ganjil diimplementasikan dengan
menggunakan gerbang-gerbang esklusifOR dua input, sebagaimana diperlihatkan dalam
Gambar 4-40. Kemudian fungsi genap diperoleh dengan mengganti gerbang output dengan
gerbang eksklusif-NOR.
Gambar 4-40 Fungsi-fungsi Ganjil Input-banyak
Universitas Gadjah Mada
48