induction and recursion

CHAPTER 5
INDUCTION AND
RECURSION
5.1 MATHEMATICAL INDUCTION
Jumlah n Bilangan Ganjil Positif
1=1
1+3=4
1+3+5=9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Tebakan:
“Jumlah dari n bilangan ganjil positif pertama adalah n2.”
Metoda apa yang dapat dipakai untuk membuktikan bahwa
tebakan ini benar?
Logika dan Induksi
Modus ponens
p
p→q
q
Double modus ponens
p0
p0 → p 1
p1 → p 2
p2
Dapat diperoleh triple modus ponens, quadruple
modus ponens, dst.
Sehingga kita dapat melakukan penarikan
kesimpulan untuk bilangan bulat sebarang.
Domino dan Induksi
Aksioma induksi untuk bilangan bulat dapat dilihat sebagai
THE GREAT LEAP TO INFINITY
Diberikan barisan tak hingga domino
yang terhitung.
Misalkan:
(1) Domino pertama jatuh.
(2) Jika domino n jatuh, demikian juga
domino n + 1.
Kesimpulan: Semua domino akan jatuh.
Domino dan Induksi (2)
Induksi Matematika
• Merupakan teknik pembuktian yang sangat penting
• Dipergunakan secara luas untuk membuktikan
pernyataan yang berkaitan dengan objek diskrit.
(kompleksitas algoritma, teorema mengenai graf,
identitas dan ketidaksamaan yang melibatkan
bilangan bulat, dsb).
• Tidak dapat digunakan untuk menemukan rumus
atau teorema, tetapi hanya untuk melakukan
pembuktian.
Prinsip Induksi Matematika
Teknik untuk membuktikan kebenaran proposisi P(n) untuk
setiap n bilangan bulat positif.
Suatu bukti dengan menggunakan induksi matematika bahwa
“P(n) benar untuk setiap n bilangan bulat positif “
terdiri dari tiga langkah:
1. Langkah basis:
Tunjukkan bahwa P(1) benar.
2. Langkah induktif:
Tunjukkan bahwa P(k)
P(k + 1) benar untuk setiap k.
P(k) untuk suatu k tertentu disebut hipotesa induksi.
3. Konklusi: n P(n) bernilai benar.
Sifat Terurut dengan Baik
Validitas dari induksi matematika dapat diturunkan
dari suatu aksioma fundamental tentang himpunan
bilangan bulat.
Sifat Terurut dengan Baik (Well-Ordering Property)
Setiap himpunan bilangan bulat positif yang tak
kosong selalu memiliki anggota terkecil.
Mengapa Induksi Matematika
Suatu Teknik Pembuktian yang Valid?
Misalkan kita tahu bahwa P(1) benar dan P(k) P(k + 1) k.
Bagaimana menunjukkan bahwa P(n) benar n?
Dengan menggunakan kontradiksi.
Andaikan ada bilangan bulat sehingga P(n) salah.
Misalkan S adalah himpunan bilangan bulat n yang mengakibatkan P(n)
salah. Dengan demikian S tak kosong dan menurut well-ordering
property, S memiliki anggota terkecil, misalkan m.
Kita tahu bahwa m bukan 1, karena P(1) benar. Karena m positif dan
lebih besar dari 1, m−1 adalah bilangan bulat positif. Karena m−1 < m,
maka m-1 bukan anggota S, sehingga P(m-1) benar.
Karena pernyataan P(m− 1) →P(m) juga benar, maka haruslah P(m)
benar, suatu kontradiksi.
Maka, P(n) haruslah benar untuk semua bilangan bulat n.
Contoh 1
Tebakan:
“Jumlah dari n bilangan ganjil positif pertama adalah n2.”
Bukti.
Misalkan P(n): “Jumlah dari n bilangan ganjil positif pertama adalah n2.”
1. Langkah basis:
P(1) benar, karena 1 = 12.
2. Langkah induktif:
Asumsikan bahwa P(k) benar untuk semua k, yaitu
1 +3 + 5 + … + (2k-1) = k2.
Kita perlu menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu
1 +3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)2.
1 +3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = k2 + (2k+1)
= (k+1)2
3. Konklusi:
“Jumlah dari n bilangan ganjil positif pertama adalah n2.”
Contoh 2
Tunjukkan bahwa n < 2n untuk setiap bilangan bulat positif n.
Solusi.
Misalkan P(n): “n < 2n.”
1. Langkah basis:
P(1) benar, karena 1 < 21 = 2.
2. Langkah induktif:
Asumsikan bahwa P(k) benar untuk semua k, yaitu k < 2k.
Kita perlu menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu k + 1 < 2k+1
Kita mulai dari k < 2k
k + 1 < 2k + 1  2k + 2k = 2k+1
Jadi, jika k < 2k maka k + 1 < 2k+1
3. Konklusi:
Jadi, n < 2n benar untuk setiap n bilangan bulat positif.
Contoh 3
Tunjukkan bahwa jika S adalah himpunan hingga dengan n
anggota, maka S mempunyai 2n subhimpunan.
Solusi.
P(n): proposisi “himpunan hingga dengan n anggota
mempunyai 2n subhimpunan”.
1.Langkah basis:
P(0) benar, karena himpunan dengan nol anggota, yaitu
himpunan kosong, mempunyai tepat 20 = 1 subhimpunan.
2.Langkah induktif:
Asumsikan bahwa P(k) benar untuk semua k, yaitu
himpunan dengan k anggota mempunyai 2k subhimpunan.
Kita perlu menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu
himpunan dengan (k+1) anggota mempunyai 2(k+1)
subhimpunan.
Contoh 3 (2)
Misalkan T: himpunan dengan k+1 anggota.
Dapat ditulis T = S  {a} dengan aT dan S = T – {a}.
a
X
X
T
S
X  {a}
a
T
Untuk setiap subhimpunan X dari S, terdapat tepat dua subhimpunan
T, yaitu X dan X  {a}, yang membentuk semua subhimpunan T dan
semuanya berbeda.
Jadi, terdapat 2 . 2k = 2(k+1) subhimpunan dari T.
3. Konklusi:
Jadi, setiap himpunan hingga dengan n anggota mempunyai 2n
subhimpunan”
Contoh 4
[Gauss] 1 + 2 + … + n = n (n + 1)/2
Bukti.
Misalkan P(n): proposisi 1 + 2 + … + n = n (n + 1)/2
1. Langkah basis:
Untuk n = 0 diperoleh peroleh 0 = 0. Jadi, P(0) benar.
2. Langkah induktif:
Asumsikan bahwa P(k) benar untuk semua k, yaitu
1 + 2 + … + k = k (k + 1)/2
Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu
1 + 2 + … + k + (k + 1) = (k + 1) ((k + 1) + 1)/2
Dari 1 + 2 + … + k = k (k + 1)/2, diperoleh
1 + 2 + … + k + (k + 1) = k (k + 1)/2 + (k + 1)
= (2k + 2 + k (k + 1))/2
= (2k + 2 + k2 + k)/2
= (2 + 3k + k2 )/2
= (k + 1) (k + 2)/2
= (k + 1) ((k + 1) + 1)/2
3. Konklusi:
Jadi 1 + 2 + … + n = n (n + 1)/2 benar untuk setiap nN.
Soal 1 [Carmony (1979)]
Sejumlah ganjil orang berdiri di suatu lapangan dengan
jarak antar dua orang berbeda.
Pada waktu yang bersamaan, setiap orang melempar
kue pada orang yang terdekat dengan mereka, dan
mengenai orang tersebut.
Gunakan induksi matematika untuk membuktikan
bahwa ada paling sedikit satu orang yang tidak terkena
lemparan kue.
Catatan. Hal ini tidak berlaku jika terdapat sejumlah
genap orang.
Soal 2
Misalkan n suatu bilangan bulat positif.
Tunjukkan bahwa setiap papan catur berukuran 2n x
2n yang satu kotaknya dihilangkan dapat selalu
ditutupi oleh potongan berbentuk-L.
Pembuktian yang salah
dalam Induksi
Misalkan P(n) menyatakan bahwa “setiap n garis
berbeda pada bidang, tidak ada dua yang
sejajar, berpotongan pada satu titik”.
Bukti:
1.Langkah basis: P(2) benar karena setiap 2 garis
yang tidak sejajar berpotongan pada satu titik.
2.Langkah Induktif: Misalkan P(k) benar. Setiap k
garis, tidak ada dua garis yang sejajar,
berpotongan pada satu titik.
Pembuktian yang salah
dalam Induksi
• Ambil sebarang k+1 garis berbeda, tidak ada
dua yang sejajar. Misalkan garis-garis
tersebut: G1, G2, …, Gk , Gk+1.
• HI: G1, G2, …, Gk berpotongan di satu titik t1.
• HI: G2, G3 …, Gk+1 berpotongan di satu titik t2.
• Bila t1 ≠ t2 maka semua garis yang melalui
keduanya akan sama, kontradiksi.
• Sehingga t1 = t2. Semua garis melalui t1.
• Kesimpulan: P(k+1) benar. Terbukti.
APA YANG SALAH ?
• Kesalahan dalam
pembuktian tadi agak
halus.
• Langkah induksi
memerlukan bahwa
k ≥ 3.
• Kita tidak dapat
menunjukkan
P(2)  P(3).
• t1 : titik potong G1
dan G2 .
• t2 : titik potong G2
dan G3.
• Namun, t1 tidak
harus sama t2.
5.2 STRONG INDUCTION
Induksi Kuat
(Prinsip Kedua Induksi Matematika)
Terdapat bentuk lain dari induksi matematika yang
sering dipergunakan dalam bukti.
1. Langkah basis:
Tunjukkan bahwa P(0) benar.
2. Langkah induktif:
Tunjukkan bahwa jika P(0) dan P(1) dan … dan P(k)
benar, maka P(k + 1) untuk setiap kN.
3. Konklusi: n P(n) bernilai benar.
Contoh 5
Tunjukkan bahwa setiap bilangan bulat yang lebih
besar dari 1 dapat dituliskan sebagai hasil kali
bilangan prima.
Solusi.
P(n): proposisi “setiap bilangan bulat n yang lebih
besar dari 1 dapat dituliskan sebagai hasil kali bilangan
prima”.
1. Langkah basis:
P(2) benar, karena 2 adalah hasil kali dari satu bilangan
prima, dirinya sendiri.
Contoh 5
2. Langkah induktif:
• Asumsikan P(j) benar untuk semua bilangan bulat j,
1 < j  k.
• Harus ditunjukkan bahwa P(k+1) juga benar.
Ada dua kasus yang mungkin:
– Jika (k + 1) bilangan prima, maka jelas P(k + 1)
benar.
– Jika (k + 1) bilangan komposit, (k+1) dapat
ditulis sebagai perkalian dua buah bilangan
bulat a dan b sehingga 2  a  b < k + 1.
Oleh hipotesa induksi, a dan b keduanya dapat
dituliskan sebagai hasil kali bilangan prima.
Jadi, k + 1 = a  b dapat ditulis sebagai hasil kali
bilangan prima.
Contoh 5
3. Konklusi:
“Setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1
dapat dituliskan sebagai hasil kali bilangan prima”.
Soal 3
Dalam suatu permainan, dua pemain secara
bergantian mengambil sejumlah korek api yang
berasal dari salah satu dari dua tumpukan
korek api. Pemain yang mengambil korek api
terakhir adalah yang menang.
Tunjukkan bahwa jika kedua tumpukan korek
api memuat korek api dalam jumlah yang
sama, pemain kedua selalu dapat menjadi
pemenang.
Soal 4
Tunjukkan bahwa setiap biaya pengiriman surat
(dalam ribuan) dengan menggunakan perangko
seharga Rp12.000 atau lebih dapat dilakukan
dengan hanya menggunakan sekumpulan
perangko seharga Rp4.000 dan Rp5.000.