analisis model dinamika virus dalam sel tubuh dan pengaruh

ANALISIS MODEL DINAMIKA VIRUS
DALAM SEL TUBUH
DAN PENGARUH RESPON IMUN CTL
Nughthoh Arfawi Kurdhi
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Sebelas Maret,
Surakarta, 57126
[email protected]
ABSTRAK
Berbagai jenis virus telah menyerang manusia dan menyebabkan berbagai macam penyakit. Di dalam
tubuh manusia, virus menggunakan sel sebagai media untuk berkembang biak dan mempertahankan
hidup. Keberadaan virus dalam tubuh akan mengaktifkan respon imun yang diperankan oleh CTL
(cytotoxic T lymphocyte). Pada paper ini akan ditunjukkan dinamika virus dan pengaruh respon imun CTL
dalam mengendalikan infeksi virus. Kestabilan global titik ekuilibrium model dinamika virus tanpa dan
dengan respon imun CTL diselidiki dengan menggunakan fungsi Lyapunov. Hasil penelitian
menunjukkan bahwa kestabilan global titik ekuilibrium tergantung dari rasio reproduksi dasar R0  . Jika
R0  1 , maka titik ekuilibrium bebas virus stabil asimtotik global, sedangkan jika R0  1 , maka terdapat
satu titik ekuilibrium endemik yang memiliki sifat stabil asimtotik global. Pengaruh respon imun CTL
terhadap infeksi virus adalah menurunkan kepadatan virus bebas dan sel terinfeksi serta meningkatkan
kepadatan sel tak terinfeksi.
Keywords: Virus, respon imun, CTL, stabil asimtotik global, fungsi Lyapunov.
PENDAHULUAN
Virus adalah salah satu organisme yang sering mengganggu pertumbuhan sel di dalam
tubuh manusia. Hal ini dikarenakan virus menggunakan sel pada suatu organisme sebagai media
untuk bereproduksi dan mempertahankan hidup, yaitu dengan mengambil alih fungsi-fungsi
yang ada pada sel. Virus memiliki struktur biologis yang sangat kecil dan untuk bereproduksi
membutuhkan sel pada suatu organisme. Setiap virus mempunyai afinitas terhadap tipe sel
tertentu. Sebagai contoh, virus HIV hanya menyerang sel-sel CD4+ dalam darah putih dan virus
Hepatitis C hanya menginfeksi sel liver.
Tubuh manusia memiliki sistem imun yang berperan melawan patogen asing, seperti
virus, yang masuk ke dalam tubuh. Dalam tubuh manusia, sistem imun diperankan oleh sel B
dan sel T yang diproduksi berturut-turut oleh sumsum tulang dan thymus. Kedua sel tersebut
memiliki peran masing-masing. Sel B membawa molekul-molekul antibodi pada permukaan sel
yang dapat mengindentifikasi dan menghancurkan virus, sedangkan sel T mampu
mengidentifikasi virus dan sel terinfeksi. Salah satu jenis sel T adalah CTL (cytotoxic T
lymphocyte), yang mampu menghancurkan sel terinfeksi. Selain itu, CTL juga dapat
mengeluarkan zat kimia yang memicu reaksi di dalam sel terinfeksi. Reaksi yang terjadi dapat
mencegah agar gen virus (viral genome) tidak diekspresikan menjadi partikel-partikel virus
baru. Pada saat virus tertentu pertama kali menginfeksi sel dalam tubuh, respon imun yang
bekerja adalah CTL, sedangkan antibodi belum dapat diaktifkan. Hal ini dikarenakan sel B
belum mengenal virus tersebut.
Dalam bukunya, Nowak dan May (2000) dan Woodarz (2007) menjelaskan bahwa untuk
menganalisis penyebaran dan kontrol dari infeksi virus dapat digunakan model matematika.
Wodarz mengkonstruksi beberapa model (sistem persamaan diferensial) mengenai dinamika
virus dan respon imun yang dihasilkan oleh tubuh. Selain itu, Wodarz juga menentukan titik
ekuilibrium dan rasio reproduksi dasar, R0 , dari masing-masing model. Tetapi, kestabilan titik
ekuilibrium dan perilaku model untuk jangka panjang tidak dijelaskan. Dalam papernya, Pruss
(2008) dan Kurdhi dan Aryati (2010) menganalisis kestabilan titik ekuilibrium model dinamika
1
virus tanpa dan dengan respon imun CTL. Kurdhi dan Aryati menganalisis model dengan ratarata produksi CTL proporsional dengan kepadatan sel terinfeksi dan CTL. Namun, model
tersebut memiliki dua kelemahan, yaitu (i) respon imun CTL tidak bereaksi terhadap infeksi
virus untuk nilai rasio reproduksi cukup kecil, dan (ii) kepadatan sel terinfeksi pada titik
kesetimbangan untuk rasio reproduksi cukup besar tidak bergantung pada parameter laju CTL
menghancurkan sel terinfeksi maupun parameter virus. Kedua kelemahan tersebut dapat
dihilangkan jika rata-rata produksi CTL proposional terhadap sel terinfeksi dan tidak
bergantung pada kepadatan CTL. Hal ini sesuai dengan kenyataan bahwa CTL tidak
memproduksi dirinya sendiri seperti pada model mangsa-pemangsa.
Dalam paper ini ditunjukkan bagaimana dinamika virus dalam sel tubuh, serta peran
respon CTL dalam melawan infeksi virus. Pertama dikonstruksi model dinamika virus tanpa
respon imun, menentukan titik kesetimbangan dan R0 , serta menganalisis kestabilan global titik
ekuilibrium model dengan menggunakan fungsi Lyapunov. Selanjutnya, dikonstruksi model
dinamika virus dengan respon imun CTL dan menunjukkan pengaruh respon CTL terhadap
infeksi virus melalui simulasi numerik.
BAHAN DAN METODE
Fakta-fakta mengenai morfologi dan reproduksi virus, serta bagaimana sistem imun dalam
tubuh manusia bekerja diperoleh dari Wodarz (2007). Berdasarkan fakta-fakta tersebut,
kemudian dibentuk beberapa asumsi yang digunakan untuk memodelkan dinamika virus dalam
sel tubuh tanpa dan dengan respon imun CTL ke dalam sistem persamaan diferensial nonlinear.
Kedua model tersebut dianalisa melalui beberapa tahap meliputi eksistensi titik ekuilibrium,
kestabilan titik ekuilibrium, dan simulasi model. Titik ekuilibrium merupakan keadaan steady
state dari model, yaitu kepadatan populasi yang terlibat dalam model tidak mengalami
perubahan dalam jangka waktu yang lama. Wodarz (2007) menyatakan bahwa secara umum
titik ekuilibrium suatu model dinamika virus dibedakan menjadi titik ekuilibrium bebas virus
dan endemik. Pada titik ekulibrium bebas virus, virus bebas dan sel terinfeksi sudah tidak
terdapat dalam tubuh, sedangkan pada titik ekuilibrium endemik masih terjadi infeksi virus.
Definisi titik ekuilibrium diperoleh di Perko (1991). Diberikan sistem persamaan diferensial
x1  f 1 x1 , x 2 ,..., x n 
x 2  f 2 x1 , x 2 ,..., x n 
(1)

x n  f n x1 , x 2 ,..., x n 
dengan f i : E  R n  R , i  1,2,..., n , dan  x1 , x2 ,..., xn   E  R n , E himpunan terbuka.
Definisi 1 Titik x̂  R n disebut titik ekuilibrium Sistem (1) jika f  xˆ   0 .
Perilaku solusi disekitar titik ekuilibrium model dapat dilihat dengan menganalisis
kestabilan dari titik ekuilibrium tersebut. Konsep kestabilan ini digunakan untuk mengetahui
apakah untuk jangka waktu yang lama, populasi sel dan virus akan menuju ke titik ekuilibrium
bebas virus atau endemik. Definisi umum mengenai kestabilan global suatu titik ekuilibrium
mengacu pada Verhulst (1989).
Definisi 2 Titik ekuilibrium x̂  R n pada Sistem (1) dikatakan stabil asimtotik global jika untuk
sebarang nilai awal x t 0  yang diberikan, setiap solusi Sistem (1) yaitu x t  dengan t  
menuju titik ekuilibrium x̂ .
Untuk menentukan kestabilan global suatu titik ekuilibrium, Verhulst (1989) dan
Luenberger (1979) berturut-turut memberikan definisi himpunan Invarian dan fungsi Lyapunov.
2
Definisi 3 Diberikan Sistem (1) dengan E  R n dan M  E . Himpunan M disebut himpunan
invarian terhadap Sistem (1), jika x (t 0 )  x0  M maka x  x0 , t   M untuk setiap t  R .
Definisi 4 Diberikan fungsi V : E  R n  R dan x̂  E titik ekuilibrium Sistem (1). Fungsi V
disebut fungsi Lyapunov jika memenuhi ketiga pernyataan berikut:
a.
Fungsi V kontinu dan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu pada E atau
V  C1 (E) .
b.
Titik ekuilibrium x̂ merupakan satu-satunya titik minimum fungsi V pada E.
c.
Fungsi V memenuhi V  x   0 untuk setiap x  E .
Sifat kestabilan global titik ekuilibrium Sistem (1) dapat dianalisis melalui Teorema 5 dan
Akibat 6 yang dapat dilihat Luenberger (1979).
Teorema 5 Diberikan Sistem (1) dengan E  R n . Jika terdapat fungsi Lyapunov V, dengan
(i)
E k  x  E | V ( x )  k  untuk suatu k  0 , merupakan himpunan terbatas,
(ii) V ( x )  0 untuk setiap x  E , dan
k


(iii) Terdapat M himpunan invarian terbesar dalam H  x  E k | V ( x )  0 ,
maka untuk t   , setiap solusi Sistem (1) dengan syarat awal di dalam E k termuat di
dalam M.
Akibat 6 Diberikan Sistem (1) dengan E  R n . Jika terdapat fungsi Lyapunov V, dengan
(i)
E k  x  E | V ( x )  k  untuk suatu k  0 , merupakan himpunan terbatas,
(ii) V ( x )  0 untuk setiap x  E , dan
k


(iii) H  x  E k | V ( x )  0 tidak memuat solusi kecuali titik ekuilibrium x̂ ,
maka x̂ stabil asimtotik lokal. Selanjutnya jika E k  E , maka titik ekuilibrium tersebut stabil
asimtotik global.
Peran respon imun CTL dalam mengendalikan infeksi virus diselidiki dengan
membandingkan model dinamika virus tanpa respon imun dan dengan respon CTL
Perbandingan kedua model tersebut dilakukan secara analisis maupun simulasi numerik.
Simulasi numerik terhadap masing-masing model dilakukan dengan bantuan software
Mathematica untuk beberapa nilai parameter dan nilai awal. Semua nilai parameter yang
digunakan dalam simulasi numerik mengacu pada Nowak dan May (2000), Adams (2004),
Parelson (1992), dan Wodarz (2007) untuk mensimulasikan penyebaran virus HIV (human
immunodeficiency virus) yang menyerang sel CD4.
HASIL DAN DISKUSI
1.
Model Dinamika Virus Dalam Sel Tubuh Tanpa Respon Imun CTL
Dalam proses pemodelan dinamika virus tanpa respon imun CTL, populasi sel dalam
tubuh dibagi menjadi dua sub populasi, yaitu Z menyatakan sub populasi sel tak terinfeksi dan
I menyatakan sub populasi sel terinfeksi. Untuk populasi virus bebas dinotasikan dengan V .
Beberapa asumsi yang digunakan adalah populasi berdistribusi homogen, suatu sel akan
terinfeksi jika terjadi kontak dengan virus, dan sel yang sudah terinfeksi pada akhirnya akan
mati. Sel tak terinfeksi diproduksi tubuh dengan laju konstan  . Virus bereproduksi dengan
rata-rata kepadatan kI per hari dan rata-rata kepadatan sel yang berhasil diinfeksi oleh virus
adalah rZV per hari. Rata-rata kepadatan sel tak terinfeksi, sel terinfeksi, dan virus bebas yang
mati berturut-turut adalah mZ , I , dan cV per hari. Secara matematis, dinamika virus tanpa
respon imun dapat dimodelkan dalam bentuk sistem persamaan diferensial non linear berikut:
3
dZ
   mZ  rZV , t  0 ,
dt
dI
 rVZ  I , t  0 ,
dt
dV
 kI  cV , t  0 ,
dt
Z (0)  Z 0 , I (0)  I 0 , V (0)  V0 ,
(2)
dengan  , m , r ,  , k , c > 0 dan Z 0 , I 0 ,V0  0 . Rasio reproduksi dasar
rk ,
(3)
R0 
mc
adalah rata-rata kepadatan sel terinfeksi baru yang dihasilkan dari satu sel terinfeksi ketika
hampir semua kepadatan sel masih dalam keadaan tak terinfeksi Sistem (2) mempunyai dua titik
ekuilibrium, yaitu


(4)
Q  Z , I ,V    ,0,0  ,
m

  1 mc

(5)
R0  1, m R0  1 .
Q*  Z* , I* ,V*   
,
m
R
rk
r
0


Titik Q disebut titik ekuilibrium bebas virus, karena sudah tidak terdapat virus dalam
tubuh, sedangkan Q* disebut titik ekuilibrium endemik, karena virus masih menginfeksi sel-sel
dalam tubuh. Dapat dibuktikan bahwa jika Ro  1 , maka titik ekuilibrium Q stabil asimtotik
global. Pada kondisi ini, dalam jangka panjang virus tidak akan menginfeksi sel tubuh lagi. Jika
Ro  1 , maka Q menjadi tidak stabil, sedangkan Q* stabil asimtotik global. Dengan kata lain,
dalam jangka panjang dapat diprediksi masih terdapat virus bebas dan sel terinfeksi dalam
tubuh. Selanjutnya, akan dikonstruksi dan dianalisis kestabilan titik ekuilibrium dari model
dinamika virus dengan respon imun CTL.
2.
Model Dinamika Virus Dalam Sel Tubuh Dengan Respon Imun CTL
CTL merupakan salah satu respon imun yang berperan mengidentifikasi dan
menghancurkan sel terinfeksi, serta melenyapkan virus yang ada dalam sel tersebut. Interaksi
antara CTL dan sel terinfeksi analog dengan model mangsa-pemangsa (predator-prey model),
dengan CTL berperan sebagai pemangsa dan sel terinfeksi sebagai mangsa. Populasi CTL
dalam tubuh dinotasikan dengan T. Pertumbuhan CTL dipengaruhi oleh rata-rata produksi CTL
setiap waktu dan kematian alami. Rata-rata produksi CTL pada suatu waktu proporsional
terhadap sel terinfeksi, yaitu dI . Laju kematian CTL adalah n , sehingga rata-rata kepadatan
CTL yang mati adalah nT per hari. Dari uraian di atas, diperoleh sistem persamaan diferensial
nonlinear yang merupakan model dinamika virus dalam sel tubuh dengan respon imun CTL
sebagai berikut:
dZ
   mZ  rVZ , t  0 ,
dt
dI
 rVZ  I  sIT , t  0 ,
dt
dV
 kI  cV , t  0 ,
dt
dT
 dI  nT
dt
Z (0)  Z 0 , I (0)  I 0 , V (0)  V0 , T (0)  T0 ,
4
(6)
dengan  , m , r ,  , k , c , s , d , n > 0 dan Z 0 , I 0 ,V0 , T0  0 . Sistem (6) mempunyai dua titik
ekuilibirum, yaitu titik ekuilibrium bebas virus


P  Z , I , V , T    , 0, 0, 0 
m

(7)
dan titik ekuilibrium endemik
c ~ ~ dc ~ 
~ ~ ~ ~ ~  
P  Z , I ,V , T  
~ , V ,V, V  ,
kn 
 m  rV k

~

(8)
dengan R0  1 dan V adalah akar positif dari persamaan kuadrat
~
~  m kn  ~ kmn nk 2
q(V ) : V 2   

 0.
V 
sdcr
sdc 2
 r sdc 
(9)
Teorema berikut menjelaskan mengenai eksistensi dan kestabilan masing-masing titik
ekuilibrium Sistem (6).
Theorema 7 Diberikan R0 seperti pada Persamaan (3).
(i)
(ii)
Jika Ro  1 , maka Sistem (6) mempunyai satu titik ekuilibrium P , dengan P seperti
pada (7). Titik tersebut stabil asimtotik global.
~
Jika Ro  1 , maka Sistem (6) mempunyai dua titik ekuilibrium, yaitu P dan P , dengan
~
P dan P berturut-turut seperti pada (7) dan (8). Titik ekuilibrium P tidak stabil,
~
sedangkan P stabil asimtotik global.
Bukti
Sistem (6) dapat diubah menjadi sistem yang lebih sederhana dengan transformasi berikut:
x (t ) 
kr
kr
r
s
Z t   , y (t )  2 I t   , z (t )  V t   , w(t )  T t   ,
2




krZ 0
krI 0
rV0
sT0
x0  2 , y0  2 , z0 
, w0 
,




rk
m
n
c
ds
  ,   3 ,   ,   ,  ' ,




rk
(10)
sehingga Sistem (6) ekivalen dengan sistem berikut:
x    x  xz , t  0 ,
y  xz  y  yw , t  0 ,
z  y  z , t  0 ,
(11)
w   ' y  w , t  0 ,
x(0)  x0 , y (0)  y0 , z (0)  z0 , w(0)  w0 ,
dengan  ,  ,  ,  ,  '  0 dan x0 , y0 , z0 , w0  0 . Kondisi R0  1 ekivalen dengan    dan
Ro  1 ekivalen dengan    . Sistem (11) mempunyai dua titik ekuilibrium, yaitu


P   x , y , z , w    ,0,0,0 


(12)
 '~z 
~
~     , ~
~
,
P  ~
x, ~
y, ~
z,w
z
,
z
,
~
z
 

(13)
dan
dengan ~
z adalah akar positif dari persamaan kuadrat
5
(i)

 ~

~
 z 
     0 .
(14)
z 2    
2

'


'



Diberikan fungsi Lyapunov pada  0  {( x, y, z , w)  R 4 : x  0, y, z, w  0} , yaitu
 0  x, y, z , w 
1
x  x 2  2  x  y  z  1 w2  ,
2
2 ' 

dengan x    . Dari fungsi tersebut diperoleh
 0 x, y, z, w     ( x  x ) 2  z  x   2     x    2  x w2 .

'
  x, y , z , w   0 untuk setiap
Karena z  0 dan x      , sehingga 
0
x, y, z, w  0 . Persamaan  0 x, y, z , w   0 dipenuhi jika dan hanya jika x  x ,


y  0 , z  0 , dan w  0 . Sehingga berdasarkan Akibat 6, P stabil asimtotik global
pada  0 .
(ii)
Diberikan fungsi Lyapunov pada   {( x, y, z , w)  R 4 : x, y , z , w  0} , yaitu
~
x
1
 x, y, z , w    x  ~
x ln x    y  ~
y ln y    z  ~
z ln z  
w  w~ 2 ,

2 '
~ diberikan pada Persamaan (13). Dari fungsi tersebut diperoleh
dengan ~
x, ~
y,~
z,w
2
~~
~
  x, y, z, w    x  ~x 2  x z  y  x   xz  3    w  w
~ 2


~

x
 z x
xy
 '
Berdasarkan pertidaksamaan aritmatika-geometri diperoleh
y ~
x  2 xz

 ~  3 .
z
x
xy
 x, y , z , w   0 untuk setiap  x, y, z , w   . Persamaan 
 x, y, z , w   0
Akibatnya, 
~
~
~
~
dipenuhi jika dan hanya jika x  x , y  y , z  z , dan w  w . Sehingga berdasarkan
Akibat 6, P stabil asimtotik global pada  0 .
Teorema 7 menjelaskan bahwa jika R0  1 , maka dalam jangka panjang sudah tidak
terdapat virus bebas dan sel terinfeksi dalam tubuh. Jika R0  1 , maka dalam jangka panjang
masih terdapat virus bebas, sel terinfeksi, dan CTL dalam tubuh. Pada kondisi ini diperoleh
2
kmn nk
 m kn 
2
q (V* )  V*   

V* 
sdcr
sdc 2
 r sdc 
2
m
  m kn  m
 kmn
  R0  1   
R0  1
 R0  1 
r
  r sdc  r
 sdcr
m2
 2 R0 R0  1  0 .
r
~
~
Karena q V  0 , maka V  V* . Oleh karena itu, respon imun CTL berperan menurunkan
kepadatan virus dalam tubuh. Dari (5) dan (8) diperoleh

V* I* mR0  1
~  ~ 
~ ,
V
rV
Iˆ
sehingga respon imun CTL juga menurunkan kepadatan sel terinfeksi dengan rasio yang sama.
~
Selanjutnya, dari pertidaksamaan V  V* 
m
R0  1 diperoleh
r
6
~
m  rV  mR0 

c
~
 Z  Z* ,
~
rk
m  rV
sehingga respon imun CTL meningkatkan kepadatan sel tak terinfeksi dalam tubuh. Dengan
kata lain, respon imun CTL berperan menurunkan tingkat infeksi yang disebabkan oleh virus.
Dinamika virus dalam sel tubuh dan bagaimana peran respon imun CTL dalam mengendalikan
infeksi virus juga dapat dilihat secara geometris, yaitu dengan melakukan simulasi terhadap
Sistem (2) dan (6) dengan nilai awal dan nilai parameter tertentu.
3.
Simulasi Numerik
Diberikan nilai-nilai parameter untuk Sistem (2) dan (6), yaitu   10 , m  0,01 ,
r  2  10 4 ,   0,7 , k  100 , c  5 , s  0,01 , d  0,7 , dan n  0,1 . Nilai parameter
 , m , r ,  , k , c , s , d , dan n diperoleh dari Nowak dan May (2000), Adams (2004), dan
Perelson (1992) untuk mensimulasikan penyebaran virus HIV (human imunnodeficiency virus)
yang menyerang sel T CD4+.
Berdasarkan nilai parameter di atas, diperoleh R0  5,71429 dan R1  1,05714 ,
sehingga R1  R0 . Dengan menggunakan sofware Mathematica, diperoleh grafik Z (t ) , I (t ) ,
dan V (t ) terhadap waktu (t ) dari Sistem (2) yang dapat dilihat pada Gambar 1. Dalam
simulasi ini digunakan nilai awal Z 0 , I 0 ,V0   1000, 0, 0,001 sel/mm3. Gambar 1
menunjukkan bahwa untuk kedua nilai awal yang diberikan, populasi sel tak terinfeksi, sel
terinfeksi, dan virus bebas mengalami osilasi dan dalam jangka panjang konvergen menuju ke
titik ekuilibrium endemik Q*  175, 11,786, 235,714  sel/mm3. Hal ini menunjukkan bahwa
populasi sel terinfeksi dan virus bebas tetap ada. Dengan kata lain, infeksi virus tetap menyebar
dalam tubuh. Gambar 1 juga menunjukkan bahwa populasi sel terinfeksi dan virus bebas mulai
mengalami peningkatan pada saat kepadatan sel tak terinfeksi menurun. Demikian juga
sebaliknya, pada saat populasi sel tak terinfeksi mulai mengalami peningkatan kembali,
populasi sel terinfeksi dan virus bebas akan menurun.
Sifat kestabilan global dari titik ekuilibrium Q* diilustrasikan pada Gambar 2. Gambar
tersebut menunjukkan bahwa untuk beberapa pengambilan nilai awal yang berbeda, populasi sel
dan virus tetap konvergen menuju ke titik ekuilibrium endemik Q* . Sebagai contoh, perhatikan
trayektori untuk nilai awal
800, 900, 0,001
Z 0 , I 0 ,V0   50, 550, 0,001
sel/mm3 (warna merah) dan
sel/mm3 (warna biru). Kedua trayektori tersebut bergerak dari nilai awal
menuju ke titik ekuilibrium Q* .
Gambar 3 memperlihatkan pengaruh respon CTL terhadap infeksi virus. Gambar 3
menunjukkan bahwa tanpa adanya respon imun, angka kepadatan tertinggi sel terinfeksi dan
virus bebas dalam tubuh berturut-turut mencapai sekitar 460 sel/mm3 dan 9,1  103 virus/mm3,
serta populasi konvergen menuju ke titik ekuilibrium Q* . Untuk model dinamika virus dengan
respon CTL, angka kepadatan tertinggi sel terinfeksi dan virus bebas berturut-turut mencapai
sekitar 200 sel/mm3 dan 3,9  103 virus/mm3, serta populasi konvergen menuju ke titik
~
ekuilibrium P  284,843, 6,277, 125,535, 43,937  sel/mm3. Dengan demikian, respon CTL
berperan menurun kepadatan sel terinfeksi dan virus bebas pada saat puncak epidemi, serta
meningkatkan kepadatan sel tak terinfeksi dan menurunkan kepadatan virus bebas dan sel
terinfeksi dalam tubuh pada titik ekuilibrium.
KESIMPULAN
Dari pembahasan di atas, kestabilan global titik ekuilibrium dari model dinamika virus
tanpa dan dengan respon imun tergantung dari rasio reproduksi dasar R0  . Jika R0  1 , maka
titik ekuilibrium bebas virus stabil asimtotik global, sedangkan jika R0  1 , maka terdapat satu
7
titik ekuilibrium endemik yang memiliki sifat stabil asimtotik global. Selanjutnya, dengan
membandingkan model dinamika virus tanpa dan dengan respon imun CTL, dapat disimpulkan
bahwa respon imun CTL mempunyai pengaruh dalam mengendalikan infeksi virus yang terjadi,
yaitu mampu menurunkan kepadatan sel terinfeksi dan virus bebas dalam tubuh.
DAFTAR PUSTAKA
Adams, B. M., Banks, H.T., Davidian, M., Hee-Dae Kwon, Tran H. T. 2004. Dynamic
Multidrug Therapies For HIV: Optimal And STI Control Approaches, Mathematical
Biosciences And Engineering, Volume 1, Number 2, pp.223-241.
Kurdhi, N. A. and Aryati, L. 2010. Global Stability of Virus Dynamics Model with CTL
Response, Department of Mathematics UGM, Yogyakarta.
Luenberger, G. D. 1979. Introduction to Dynamic Systems Theory, Models, and Applications,
John Wiley & Sons, New York.
Nowak, M. A. and May, R. M. 2000. Virus Dynamics, Oxford University Press, Inc., New
York.
Perelson, A. S., Kirschner, D. E., and Boer, R. D. 1993 Dynamics of HIV infection of CD4+ T
Cells, Mathematical Biosciences 114:81-125.
Perko, L. 1991. Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag New York,
Inc.
Pruss, J., Zacher, R., and Schnaubelt, R. 2008. Global Asymptotic Stability of Equilibria in
Models for Virus Dynamics, Math. Model. Nat. Phenom. Vol. 3, No. 7, pp. 126-142.
Verhulst, Ferdinand. 1996. Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, 2nd
Edition.
Wodarz, D. 2007. Killer Cells Dynamics, Mathematical and Computational Approaches to
Immunolog. Springer-Verlag, New York.
8
Lampiran: Grafik Simulasi Numerik
Z,I,V selmm3
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0
50
100
thari 
150
200
Gambar 1 Populasi sel tak terinfeksi (garis hitam), sel terinfeksi (garis merah), dan
m  0,01 ,
r  2  0 ,   0,7 , k  100 , c  5 , dan nilai awal Z 0 , I 0 ,V0   1000, 0, 0,001
virus bebas (garis biru) dari Sistem (2) dengan nilai parameter   10 ,
4
1000
750
I
500
250
0
0
200
0
5000
400
10000
600
Z
15000
80020000
Gambar 2 Potret fase Sistem (2) dengan
V
  10 , m  0,01 , r  2  04 ,
  0,7 , k  100 , dan c  5 , dengan beberapa nilai awal
9
1200
Z selmm3
1000
800
600
400
200
0
0
50
100
thari 
150
200
0
50
100
thari 
150
200
0
50
100
thari 
I selmm3
400
300
200
100
0
10000
V virusmm3
8000
6000
4000
2000
0
150
200
Gambar 3 Populasi sel tak terinfeksi, sel terinfeksi, dan virus bebas dari Sistem (2)
(garis merah) dengan   10 , m  0,01 , r  2  10 4 ,   0,7 , k  100 , c  5 , dan
nilai awal Z 0 , I 0 ,V0   1000, 0, 0,001 serta Sistem (6) (garis biru) dengan   10 ,
m  0,01 , r  2  10 4 ,   0,7 , k  100 , c  5 , s  0,01 , d  0,7 , n  0,1 , dan nilai
awal Z 0 , I 0 ,V0 , T0   1000, 0, 0,001, 0,001
10