Metode Pembuktian - UIGM | Login Student

Pertemuan 3
METODE
PEMBUKTIAN
Metode Pembuktian
Petunjuk umum dalam pembuktian
Langkah-langkah untuk melakukan pembuktian adalah sebagai berikut:
1. Tulislah teorema yang akan dibuktikan
2. Tandailah permulaan pembuktian dengan kata-kata “BUKTI”
3. Buktikanlah secara lengkap dan menyeluruh
Beberapa keterangan pelengkap antara lain:
a. Tulislah variabel (dan tipenya) yang akan digunakan
b. Apabila di tengah-tengah pembuktian ada sifat suatu variabel yang
akan digunakan, tuliskanlah sifat tersebut dengan lengkap dan jelas
c. Apabila menggunakan sifat-sifat tertentu seperti distributif,
komutatif, dan sebagainya dalam suatu persamaan, tuliskanlah di
sebelah kanannya
d. Misalkan di tengah-tengah pembuktian dijumpai suatu ekspresi
yang panjang untuk menyingkatnya boleh menggunakan variabel
lain dengan member keterangan
4. Tandailah akhir pembuktian
Metode Pembuktian Langsung
Contoh (Metode Pengecekan Satu per Satu):
Buktikan bahwa untuk semua bilangan genap n besar sama 4 dan kecil
sama 30, n dapat dinyatakan sebagai jumlahan 2 bilangan prima.
Penyelesaian:
Dengan pengecekan satu per satu, maka:
4=2+2
6=3+3
8=3+5
14=11+3
16=5+11
18=7+11
24=5+19
26=7+19
28=11+17
10=5+5
20=7+13
30=11+19
12=5+7
22=5+17
Terlihat bahwa semua bilangan genap 4 ≤ 𝑛 ≤ 30 dapat dinyatakan
sebagai jumlahan 2 bilangan prima
Contoh (Jika jumlahnya tak hingga):
Buktikan bahwa jumlah 2 bilangan genap adalah genap
Penyelesaian:
Ambil sembarang 2 bilangan genap, misal m dan n.
Akan dibuktikan bahwa (m+n) juga bilangan genap.
Oleh karena m dan n adalah bilangan-bilangan genap, maka m=2r dan
n=2s untuk bilangan-bilangan bulat r dan s sehingga
m+n = 2r + 2s
= 2 (r+s)
(sifat distributif)
Misal k = r+s
Oleh karena r dan s adalah bilangan-bilangan bulat, amak k adalah
bilangan bulat juga sehingga m+n = 2k untuk suatu bilangan bulat k.
Menurut definisi bilangan genap, (m+n) adalah bilangan genap karena
merupakan hasil kali 2 bilangan bulat.
Contoh (Pembuktian berdasarkan kasus-kasus):
Untuk sembarang bilangan riil x, buktikan bahwa jika |x|>4,
maka x2 > 16.
Bukti:
Misal x adalah bilangan riil yang memenuhi |x| > 4.
Akan dibuktikan bahwa x2 > 16
|x| > 4 berarti bahwa x > 4 atau x < -4.
Jika x > 4, maka x2 > 42 = 16
Jika x < -4 berarti -x > 4, sehingga (-x)2 > 42 atau x2 > 16.
Jadi, baik x > 4 maupun x < -4, x2 > 16.
Terbukti bahwa jika |x| > 4, maka x2 > 16.
Metode Pembuktian Tak Langsung
1. Pembuktian dengan kontradiksi
Langkah-langkah yang dilakukan dalam pembuktian dengan
kontradiksi adalah sebagai berikut:
a. Misalkan negasi dari pernyataan yang akan dibuktikan benar
b. Dengan langkah-langkah yang benar, tunjukkanlah bahwa pada
akhirnya pemisalan tersebut akan sampai pada suatu kontradiksi
c. Simpulkan bahwa pernyataan yang akan dibuktikan benar
Contoh:
Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat yang terbesar
Bukti:
Misalkan negasi dari pernyataan tersebut benar. Jadi, diandaikan ada
bilangan bulat yang terbesar (sebutlah N).
Oleh karena N terbesar, maka 𝑁 ≥ 𝑛 untuk semua bilangan bulat n.
Ambillah M = N + 1. Oleh karena N adalah bilangan bulat, maka M
juga bilangan bulat. Disamping itu, jelaslah bahwa N < M (karena M =
N+1). Didapatkan:
𝑁 ≥ 𝑛 untuk semua bilangan bulat n (pengandaian)
𝑁 < 𝑀 untuk bilangan bulat M (karena M = N+1)
Keduanya kontradiksi. Berarti penandaian salah sehingga pernyataan
mula-mula yang benar.
Terbukti bahwa tidak ada bilangan bulat yang terbesar.
2. Pembuktian dengan kontraposisi
Contoh:
Buktikan bahwa untuk bilangan-bilangan bulat m dan n:
Jika 𝑚 + 𝑛 ≥ 73, maka 𝑚 ≥ 37 atau 𝑛 ≥ 37
Bukti:
Jika
p adalah pernyataan 𝑚 + 𝑛 ≥ 73
q adalah pernyataan 𝑚 ≥ 37
r adalah pernyataan 𝑛 ≥ 37
maka dalam symbol, kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai
𝑝 → 𝑞 ∨𝑟
kontraposisinya adalah ∼ 𝑞 ∨ 𝑟 →∼ 𝑝 atau ∼ 𝑞 ∧∼ 𝑟 →∼ 𝑝
dengan demikian, untuk membuktikan pernyataan mula-mula, cukup
dibuktikan kebenaran pernyataan
jika m < 37 dan n < 37, maka m+n<73.
Ambil 2 bilangan bulat m dan n dengan sifat m < 37 dan n <37
m < 37 berarti 𝑚 ≤ 36 dan n < 37 berarti 𝑛 ≤ 36 sehingga
𝑚 + 𝑛 ≤ 36 + 36
𝑚 + 𝑛 ≤ 72
𝑚 + 𝑛 < 73
Terbukti bahwa jika m < 37 dan n < 37, maka (m+n) <73
Dengan terbuktinya kontraposisi, maka terbukti pulalah kebenaran
pernyataan mula-mula, yaitu:
Jika 𝑚 + 𝑛 ≥ 73, maka 𝑚 ≥ 37 atau 𝑛 ≥ 37