operasi dalam sistem bilangan

OPERASI DALAM SISTEM BILANGAN
Pertemuan Kedua Teknik Digital
Yus Natali, ST.,MT
SISTEM BILANGAN

Sistem bilangan adalah cara untuk mewaikili besaran dari suatu item fisik.
Sistem bilangan yang banyak dipergunakan oleh manusia adalah sistem
bilangan desimal, di mana manusia mengenal bilangan angka dari 0, 1, 2
hingga 9 (10 digit).

Sistem ini digunakan karena manusia memiliki 10 buah jari untuk membuat
perhitungan-perhitungan.

Lain halnya dengan komputer, logika komputer diwakili oleh bentuk elemen
dari dua keadaan (two state elements), yaitu keadaan off (tidak ada arus)
dan keadaan on (ada arus).

Konsep ini yang dipakai menjadi sistem bilangan Binari yang hanya
menggunakan 2 macam nilai untuk mewakili besaran nilai (0 dan 1).

Selain itu komputer juga menggunakan sistem bilangan yang lain yaitu
sistem bilangan oktal dan sistem bilangan heksadesimal.
• Sistem Bilangan Desimal
Angka yang dipakai adalah: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.
Nilai Desimal
Standard Exponential Form
123,4
0,1234 x 10
3
12,34
0,1234 x 10
2
1,234
0,1234 x 10
1
0,1234
0,1234 x 10
0
0,01234
0,1234 x 10
-1
-1,234
-0,1234 x 10
1
• Sistem Bilangan Biner
Angka yang dipakai: 0 dan 1
Misal: nilai bilangan binari 10012 dapat diartikan dalam sistem bilangan desimal bernilai:
1
0
1
1
x
x
x
x
23 22
21 20
||
||
||
||
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Pertambahan Bilangan Biner
Dasar pertambahan untuk masing - masing digit bilangan binary
0
0
1
1
+
+
+
+
0
1
0
1
Contoh:
=
=
=
=
0
1
1
0 Dengan carry of 1
1111 2
10100 2 +
100011
2
Carry of 1 (3 kali)
Pengurangan Bilangan Biner
Dasar pengurangan untuk masing - masing digit bilangan binary
0
1
1
0
–
–
–
–
0
0
1
1
=
=
=
=
0
1
0
1 Dengan borrow of 1
Contoh: 11101 2
1011 2 _
10010 2
borrow of 1 (1 kali)
11001
10011
00110
2
2
2
_
borrow of 1 (2 kali)
Perkalian Bilangan Biner
Dasar perkalian untuk masing - masing digit bilangan binary
0x0=0
1x0=0
0x1=0
1x1=1
Contoh :
1110 2
1100 2
0000
0000
1110
1110
10101000 2
x
Pembagian Bilangan Biner
Dasar pembagian untuk masing - masing digit bilangan binary
0:1=0
0:0=0
1:1=1
1:0=1
Contoh :
101
1111101
101
101
101
0101
101
0
11001

KOMPLEMEN (COMPLEMENT)
Komplemen pada dasarnya merubah bentuk pengurangan menjadi bentuk
pertambahan.
i.
ii.
Bilangan desimal ada 2 macam :

Komplemen 9 (merupakan komplemen basis 1)

Komplemen 10 (merupakan komplemen basis)
Bilangan binari ada 2 macam :

Komplemen 1 (merupakan komplemen basis 1)

Komplemen 2 (merupakan komplemen basis)
Sistem Bilangan Octal
Sistem bilangan Octal menggunakan 8 macam simbol bilangan, yaitu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
dan 7. Contoh sistem bilangan octal adalah sebagai berikut:
Misalnya bilangan oktal 12138 di dalam sistem bilangan desimal akan bernilai
1
2
1
3
x
x
x
x
83
82
81
80
||
||
||
||
(1 x 512)
+
(2 x 64)
+
(1 x 8)
Jika ditulis dengan notasi: 12138 = 65110
+
(3 x 1)
= 651
PERTAMBAHAN BILANGAN OKTAL
Pertambahan bilangan oktal dapat dilakukan seperti halnya bilangan desimal, dengan
langkah-langkah sebagai berikut:
1. Tambahkan masing-masing kolom secara desimal
2. Ubah hasil dari desimal ke oktal
3. Tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil oktal
4. Jika hasil pertambahan tiap-tiap kolom terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri
merupakan carry of untuk pertambahan pada kolom selanjutnya.
Contoh:
258
1278
1548
+
carry of 1 (1 kali)
PENGURANGAN BILANGAN OKTAL
Pengurangan bilangan oktal dapat dilakukan seperti halnya bilangan desimal, dengan
langkah-langkah sebagai berikut:
1.
Konversikan bilangan yang akan dikurangkan ke bentuk desimal
2.
Kurangkan setiap bilangan secara desimal
3.
Jika bilangan yang akan dikurangkan nilainya lebih kecil dari bilangan
pengurang, maka pinjamlah (borrow of) dari sebelah kirinya dan
konversikan ke bentuk desimal.
Contoh:
1548
1278
258
borrow of 1 (1 kali)
PERKALIAN BILANGAN OKTAL
Perkalian bilangan oktal dapat dilakukan dengan cara berikut :
1.
Kalikan setiap bilangan secara desimal
2.
Konversikan hasilnya ke Oktal
3.
Jika hasil perkalian setiap bilangan bernilai 2 digit, maka digit yang paling kiri
merupakan carry of untuk penjumlahan bilangan berikutnya.
Contoh: 16 8
14 8 x
70
16
+
250 8
SISTEM BILANGAN HEKSADESIMAL
Terdiri dari 16 macam simbol, yaitu:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F
Misal bilangan heksadesimal C7 16 dalam sistem bilangan desimal bernilai:
C
7
x
x
= (12x16) + (7x1)
1
0
16
16
= 192 + 7
= 19910
Pertambahan Bilangan Heksadesimal
Pertambahan bilangan oktal dapat dilakukan dengan cara berikut :
1. Tambahkan masing – masing bilangan secara desimal
2.
Konversikan hasilnya ke Heksadesimal
3. Jika Hasil Pertambahan terdiri dari 2 digit maka digit paling kiri merupakan
carry of untuk pertambahan bilangan berikutnya.
Misal:
BAD
16
431
16
FDE
16
CBA
16
627
16
12E1
16
+
+
Pengurangan Bilangan Heksadesimal
Pengurangan bilangan Heksadesimal dapat dilakukan dengan cara berikut :
1. Koversikan Bilangan yang akan dikurang ke Desimal
2. Kurangkan setiap bilangan secara desimal
3. Jika Bilangan yang akan dikurang lebih kecil dari bilangan pengurang
maka Pinjam atau Borrow dari sebelah kirinya dan konvesikan pula ke
Desimal.
Contoh:
1 2 E 1 16
6 2 7 16
CBA
16
Perkalian Bilangan Heksadesimal
Perkalian bilangan heksadesimal dapat dilakukan dengan cara berikut :
1. Kalikan setiap bilangan secara desimal
2. Konversikan hasilnya ke heksadesimal
3. Jika hasil perkalian setiap bilangan bernilai 2 digit, maka digit yang
paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan bilangan berikutnya.
Contoh:
AC 16
1B 16
764
AC +
1224
16
x
ARITMATIKA BINER
Operasi aritmatika untuk bilangan biner dilakukan
dengan cara hampir sama dengan operasi aritmatika
untuk bilangan desimal. Penjumlahan, pengurangan,
perkalian dan pembagian dilakukan digit per digit.
 Kelebihan nilai suatu digit pada proses penjumlahan
dan perkalian akan menjadi bawaan (carry) yang
nantinya ditambahkan pada digit sebelah kirinya.

PENJUMLAHAN
Aturan dasar penjumlahan pada sistem bilangan
biner :
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 0, simpan (carry) 1
Penjumlahan Desimal
103
(1000)
Simpan (carry)
1
Jumlah
1
102
(100)
101
(10)
100
(1)
8
3
2
3
3
8
1
1
6
Penjumlahan Biner
0
0
1
21
2
0
1
1
20
1
1
1
1
0
0
25 24
32 16
1
1
Simpan (carry) 1 1
23
8
22
4
1
1
Jumlah
0
1
1
1
Bit Bertanda
Bit 0 menyatakan bilangan positif
Bit 1 menyatakan bilangan negatif
A6
A5
A4
A3
A2
A1
A0
0
1
1
0
1
0
0
Bit Tanda
Magnitude
B6
B5
B4
B3
B2
B1
B0
1
1
1
0
1
0
0
Bit Tanda
= + 52
Magnitude
= - 52
Komplemen ke 2
Metode untuk menyatakan bit bertanda digunakan sistem
komplement kedua (2’s complement form)
Komplemen ke 1
Biner 0 diubah menjadi 1
Biner 1 diubah menjadi 0
Misal
1
0
1
1
0
1
0
Biner Awal
0
1
0
0
1
0
1
Komplemen pertama
Membuat Komplemen ke 2
1. Ubah bit awal menjadi komplemen pertama
2. Tambahkan 1 pada bit terakhir (LSB)
Misal
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
Biner Awal = 45
Komplemen 1
Tambah 1 pada LSB
Komplemen 2
Menyatakan Bilangan Bertanda dengan Komplemen ke 2
1. Apabila bilangannya positif, magnitude dinyatakan
dengan biner aslinya dan bit tanda (0) diletakkan di
depan MSB.
2. Apabila bilangannya negatif, magnitude dinyatakan
dalam bentuk komplemen ke 2 dan bit tanda (1)
diletakkan di depan MSB
0
1
0
Bit Tanda
1
1
1
0
1
Biner = + 45
1
1
Biner = - 45
Biner asli
0
Bit Tanda
1
0
0
Komplemen ke 2
Negasi
Operasi mengubah sebuah bilangan negatif
menjadi bilangan positif ekuivalennya, atau
mengubah bilangan positif menadi bilangan negatif
ekuivalennya.
Hal
tersebut
dilakukan
dengan
mengkomplemenkan ke 2 dari biner yang dikehendaki
Misal : negasi dari + 9 adalah – 9
+ 9 = 01001 Biner awal
- 9 = 10111 Negasi (Komplemen ke 2)
+ 9 = 01001 Di negasi lagi
Penjumlahan di Sistem Komplemen ke 2
Dua bilangan positif
Dilakukan secara langsung. Misal penjumlahan +9 dan +4
+9

0
1
0
0
1
+4

0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan
Bilangan positif dan sebuah bilangan negatif
yang lebih kecil
Misal penjumlahan +9 dan -4. Bilangan -4 diperoleh dari
komplemen ke dua dari +4
+9

0
1
0
0
1
-4

1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
Carry diabaikan, hasilnya adalah 00101 ( = +5)
Bilangan positif dan sebuah bilangan negatif
yang lebih Besar
Misal penjumlahan -9 dan +4. Bilangan -9 diperoleh dari
komplemen ke dua dari +9
-9

1
0
1
1
1
+4

0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan
Dua Bilangan Negatif
Misal penjumlahan -9 dan -4. Bilangan -9 dan - 4 masing –
masing diperoleh dari komplemen ke dua dari +9 dan -4
-9

1
0
1
1
1
-4

1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan
Carry diabaikan
Operasi Pengurangan
Aturan Umum
0–0=0
1–0=1
1–1=0
0 – 1 =1 , pinjam 1
Misal
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
Pinjam
1
1
Hasil
0
0
Operasi Pengurangan
Operasi pengurangan melibatkan komplemen ke 2 pada
dasarnya melibatkan operasi penjumlahan tidak
berbeda dengan contoh – contoh operasi penjumlahan
sebelumnya.
Prosedur pengurangan
1. Negasikan pengurang.
2. Tambahkan pada yang dikurangi
3. Hasil penjumlahan merupakan
pengurang dan yang dikurangi
selisih
antara
Misal : +9 dikurangi +4
+9  01001
+4  00100 Operasi tersebut akan memberikan hasil yang sama
dengan operasi
+9  01001
-4  11100 +
+9

0
1
0
0
1
-4

1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
Carry diabaikan, hasilnya adalah 00101 ( = +5)
Perkalian Biner
Perkalian biner dilakukan sebagaimana perkalian desimal
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
9
11
0
1
1
99
TUGAS

a.
b.
c.
d.
e.
Kerjakan operasi matematis berikut
10010 + 10001
00100 + 00111
10111 - 00101
10011 x 01110
10001 x 10111