Modul dan LKS MAt. Teknik Tk. 3 Sm. 5

XIII
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
0
CERMAT
Cerdas Matematika
MODUL DAN LEMBAR KERJA SISWA (LKS)
MATEMATIKA
KELOMPOK TEKNOLOGI DAN INDUSTRI
TINGKAT XII SEMESTER GASAL
Disusun oleh :
Dirwanto
Nama Siswa
: …………………………………..
NIS
: …………………………………..
Tingkat
: …………………………………..
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
1
KATA PENGANTAR
Puji syukur penyusun panjatkan kehadirat Allah SWT karena hanya dengan ridho Nya
penyusun telah menyelesaiakan Modul dan Lembar Kerja Siswa (LKS) matematika SMK
untuk Tingkat XII semester gasal pada kelompok Teknologi dan Industri.
Tujuan dalam penyusunan Modul dan Lembar Kerja Siswa (LKS) ini adalah untuk
membantu proses belajar mengajar, sehingga diharapkan bisa menjadi sarana belajar siswa
agar lebih mudah untuk memahami materi yang dipelajari. Dan juga Modul dan LKS ini
dapat dijadikan sebagai alat untuk mengukur tingkat keberhasilan siswa dalam proses belajar
mengajar.
Modul dan Lembar Kerja Siswa ini disusun berdasarkan kurikulum SMK edisi tahun
2006 yang isinya mencakup :
* Materi singkat
* Contoh soal-soal
* Latihan soal-soal
* Evalausi tiap pokok bahasan
* Ulangan harian
* Ulangan Umum Semester
Penyusun menyadari bahwa dalam penyusunan Modul dan LKS ini masih jauh dari
sempurna, untuk itu saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan agar lebih baik lagi.
Penyusun mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah mambantu
penyusun sehingga terselesaikannya Modul dan LKS ini.
Jakarta, Mei 2009
Penyusun
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
2
STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR
MATEMATIKA TEKNOLOGI DAN INDUSTRI
TINGKAT XII KURIKULUM 2006
Standar Kompetensi
16.
Kompetensi Dasar
Menggunakan konsep 16. 1
limit fungsi dan turunan
fungsi dalam pemecahan
Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di
suatu titik dan di tak hingga
16. 2
masalah
Menggunakan sifat limit fungsi untuk
menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan
trigonometri
16. 3 Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam
perhitungan turunan fungsi
16. 4
Menggunakan turunan untuk menentukan
karakteristik suatu fungsi dan memecahkan
masalah
16. 5 Menyelesaikan model matematika dari masalah
yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan
penafsirannya
17.
Menggunakan konsep 17. 1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral
integral dalam pemecahan
masalah
tentu
17. 2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu
dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang
sederhana
17. 3 Menggunakan integral untuk menghitung luas
daerah di bawah kurva dan volum benda putar
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
3
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ………………………………………………………………….
1
KATA PENGANTAR ………………………………………………………………..
2
PETA KOMPETENSI ……………………………………………………………….
3
DAFTAR ISI ……………………………………………………………………….....
4
KOMPETENSI 1 6LIMIT DAN TURUNAN FUNGSI ……………………………
5
16.1.Pengertian limit fungsi...........................……………………
5
16.2. Limit fungsi aljabar da n trigonometri ...................................
7
1. Limit Fungsi Aljabar .................................................
.....
7
2. Limit Fungsi Trigonometri .........................................
.....
11
16.3. Turunan fungsi aljabar dan trigonometri ..............................
19
1. Turunan Fungsi Aljabar .............................................
.....
19
2. Turunan Fungsi Trigonometri ..........................................
27
16.4. Fungsi naik, fungsi turun, dan stationer ................................
30
1. Fungsi naik, turun, dan stationer ........................................
30
2. Persamaan garis singgung ..................................................
32
3. Teorema L'Hospital ..................................................... ......
33
16.5. Pemakaian turunan ........................................................
......
35
1. Hubungan antara jarak, kecepatan dan percepatan ...........
35
2. Maksimum dan Minimum ..................................................
36
KOMPETENSI 17INTEGRAL ............................................……………………….
40
17.1.Integral tak tentu dan integral tertentu ..........………………
40
1. Integral Tak Tentu ....... ....................................................
40
2. Integral Tertentu ...............................................................
49
17.2.Integral substitusi dan intergal parsial ...................…………
54
1. Integral Substitusi ......................................................
.....
54
2. Integral Parsial ..........................................................
....
57
17.3. Pemakaian integral .................................................................
59
1. Luas Daerah .......................................................................
59
2. Volume Benda Putar ..........................................................
67
LATIHAN ULANGAN UMUM ………………………………………………………
74
DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………………….
78
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
4
KOMPETENSI 16
LIMIT DAN TURUNAN FUNGSI
LIMIT AND DERIVATIVE FUNCTION
Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
Alokasi Waktu
Dilaksanakan
: 16.
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan
fungsi dalam pemecahan masalah
: 16.1. Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu
titik dan di tak hingga
16.2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung
bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri
16.3. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam
perhitungan turunan fungsi
16.4. Menggunakan
turunan
untuk
menentukan
karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah
16.5. Menyelesa ikan model matematika dari masalah
yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan
penafsirannya.
: 36 jam pelajaran
: Pada minggu ke 1 s.d. ke 9
Tujuan Pembelajaran Umum :
Siswa dapat menerapkan konsep dasar limit dan turunan fungsi pada permasalahan, baik
dalam pelajaran di sekolah maupun dalam kehidupan sehari-hari.
16.1.
16.1.
Pengertian Limit Fungsi
Understanding of Limit Function
Indikator
Tujuan
Uraian Materi
: 1. Arti limit fungsi di satu titik dijelaskan melalui perhitungan nilai-nilai
disekitar titik tersebut
2. Arti limit fungsi di tak hingga dijelaskan melalui grafik dan
perhitungan.
: Siswa dapat :
1. Menjelaskan pengertian tentang limit fungsi disuatu titik melalui
perhitungan
2. Menjelaskan pengertian tentang limit fungsi ta k terhingga
5. Menerapkan konsep limit fungsi dalam menyelesaikan masalah
program keahlian
:
Limit dapat digunakan unuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang bergerak mendekati
suatu titik tertentu terhadap fungsi tersebut.
x 2 + 2 x − 15
, untuk x = 3, hasilnya adalah bilangan
x−3
(3) 2 + 2 (3) − 15
0
yang tak terdefinisikan yaitu : f (3) =
= . Sehingga tidak dapat mencari
3− 3
0
nilai fungsi untuk x tepat sama dengan 3, ma lainkan mendekati 3.
x 2 + 2x − 15
Nilai limit fungsi f (x) untuk x mendekati 3 ditulis : lim
.
x →3
x−3
Kita ambil contoh untuk fungsi f (x) =
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
5
Pendekatan suatu bilangan ada dua arah, yaitu arah dari bilangan yang lebih kecil disebut
limit kiri dan dari arah bilangan yang lebih besar disebut limit kanan. Jika nilai limit kiri f(x)
sama dengan nilai limit kanan f(x) maka ada nilai limitnya. Sebaliknya jika nilai limit kiri
f(x) tidak sama dengan nilai limit kanan f(x) maka nilai limitnya tidak ada.
x 2 + 2x − 15
Limit kiri yaitu lim
pendekatan dari arah kiri
x−3
x → 3−
x→ 3
x
… 1
2
2,2 2,4 2,6 2,8 2,9 2,99 …
f (x) → 8
f (x)
… 6
7
7,2 7,4 7,6 7,8 7,9 7,99 …
x 2 + 2x − 15
pendekatan dari kanan
x −3
x → 3+
x
… 5
4
3,8 3,6 3,4 3,2 3,1 3,01 …
f (x)
… 10 9
8,8 8,6 8,4 8,2 8,1 8,01 …
Dengan demikian limit kiri sama dengan limit kanan, yaitu :
x 2 + 2x − 15
x 2 + 2x − 15
lim
= lim
=8
x−3
x−3
x → 3−
x → 3+
Limit kanan yaitu
lim
x→ 3
f (x) → 8
Untuk contoh kedua, kita ambil untuk fungsi f (x) trigonometri dengan limit x mendekati 0.
sin x
f (x) =
→ (x dalam radian), untuk x = 0 maka f (x) tidak terdefinisikan, karena
x
sin 0o
0
f (0) =
= .
0
0
sin x
Untuk lim −
bergerak mendekati 0 (x → 0) dari kanan ke kiri, hasilnya bisa dilihat pada
x→0
x
tabel di bawah ini.
x (radian)
sin x
x
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,01
0,8415
0,8967
0,9411
0,9734
0,9934
0,9999
sin x
bergerak mendekati 0 (x → 0) dari kiri ke kanan, hasilnya dapat dilihat
x
pada tabel berikut ini.
Untuk lim +
x→0
x (radian)
sin x
x
–1,0
–0,8
–0,6
–0,4
–0,2
–0,01
0,8415
0,8967
0,9411
0,9734
0,9934
0,9999
Dari kedua tabel di atas ternyata untuk x → 0, f (x) → 1. Berdasarkan hasil tersebut dapat
sin x
dinyatakan dengan rumus : lim
=1
x→0 x
Berdasarkan uraian tersebut kita dapat mendefinisikan limit secara intuitif, yaitu :
Bahwa lim f (x) = k berarti bila x dekat tetapi berlainan dari a maka f (x) dekat ke k.
x →a
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
6
16.2.
16.2.
Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri
Limit of Algebraic and Trigonometric Function
Indikator
Tujuan
Uraian Materi
1.
1.
: 1. Sifat-sifat limit digunakan dalam menghitung nilai limit
2. Bentuk tak tentu dari limit fungsi ditentukan nilainya
3. Limit fungsi aljabar dan trigonometri dihitung dengan menggunakan
sifat-sifat limit
: Siswa dapat :
1. Menentukan sifat-sifat limit fungsi.
2. Menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri dengan
menggunakan sifat-sifat limit.
3. Melakukan perhitungan limit dengan manipulasi aljabar
4. Mengenal macam-macam bentuk tak tentu
5. Menghitung nilai limit tak tentu.
6. Menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri dengan
menggunakan sifat-sifat limit fungsi
:
Limit Fungsi Aljabar
Limit of Algebraic Function
Secara umum bentuk limit ditulis :
lim f (x) = f (a)
x→a
Jika f (a) = k, maka lim f (x) = k
x →a
0
Jika f (a) = , maka lim f (x) = 0
x→a
k
k
Jika f (a) = , maka lim f (x) = 8
x→a
0
Untuk menentukan nilai dari limit, x diganti dengan a (batas dari limit).
Contoh :
1.
lim 2x + 3 = 2 . 3 + 3 = 9
x→3
3x + 5
3 .2 + 5
6 + 5 11
3
2.
lim
=
=
=
=2
x → 2 2x
2.2
4
4
4
2
2
x + 4x − 5 (1) + 4(1) − 5 1 + 4 − 5 0
3.
=
lim
=
= =0
x →1
3x
3(1)
3
3
4.
lim
x→0
x 2 + 5x − 4
(0 ) 2 + 5(0) − 4 0 + 0 − 4 − 4
=
=
=
=∞
6x
6(0 )
0
0
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
7
f(x) 0
maka harus difaktorkan
lim f (x) = 0 dan lim g (x) = 0, sehingga lim
=
x→a
x →a
x → a g(x) 0
atau diuraikan terlebih dahulu.
Contoh :
x 2 - 3x + 2
22 − 3.2 + 2 0
1.
lim
→ substitusi langsung :
= (tidak boleh)
x→2
x -2
2−2
0
x2 - 3x + 2
( x.....)(x − 2)
= lim
(perhatikan angka belakang : berapa kali ( -2)
lim
x→2
x→ 2 x -2
( x − 2)
hasilnya (+2) → (-1)
2
x - 3x + 2
(x - 1) . (x - 2)
= lim
lim
= lim x - 1 = 2 – 1 = 1
x→ 2 x -2
(x - 2)
x→2
x→ 2
Jika
2.
lim
x 2 − 3x − 10
x → −2 x 2 + 5x + 6
Substitusi langsung :
lim
x 2 − 3x − 10
x → −2 x 2 + 5x + 6
= ....
( −2) 2 − 3(−2 ) − 10
4 + 6 − 10
0
=
=
(tidak boleh)
2
(− 2) + 5(− 2) + 6
4 − 10 + 6
0
=
lim
(x.....) (x + 2)
x → −2 (x.....) (x + 2)
(perhatikan angka belakang : berapa kali
(+2) hasilnya (-10) dan berapa kali (+2) hasilnya (+6) → (-5) dan (+3)
lim
x 2 − 3x − 10
x → −2 x 2 + 5x + 6
3.
4.
=
lim
(x − 5 (x + 2)
x → −2 (x + 3) (x + 2)
=
lim
(x − 5)
x → −2 (x + 3)
=
−2−5
−7
=
= –7
−2+3
1
x 3 − 27
33 − 27
0
lim
? substitusi langsung :
=
(tidak boleh)
x→3 x −3
3 −3
0
x 3 − 27
(x − 3) . (x 2 + 3x + 9)
lim
= lim
= lim (x 2 + 3x + 9)
x→3 x −3
x→3
(x − 3)
x→3
= 32 + 3 . 3 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27
x 3 - 5x 2 + 6x
0 3 − 5 .0 2 + 6 .0
0
?
substitusi
langsung
:
=
(tidak boleh)
2
2
x - 3x
0 − 3.0
0
x 3 - 5x 2 + 6x
x (x2 - 5x + 6)
(x 2 - 5x + 6)
0 2 − 5.0 + 6
lim
=
lim
=
lim
=
x → 0 x 2 - 3x
x→0
x (x - 3)
x → 0 (x - 3)
0−3
6
=
= –2
−3
lim
x→0
Jika
lim f (x) = 0 dan lim g (x) = 0 dengan f(x) dan g(x) fungsi akar, sehingga
x→a
x →a
f(x) 0
lim
= maka harus dikalikan dengan nilai satu dari faktor sekawannya.
x → a g(x) 0
(a + b) → sekawannya : (a – b) atau sebaliknya
(a – b) → sekawannya : (a + b)
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
8
Contoh :
1.
x−2
?
lim
x→2 x − 2
x+ 2
(x − 2) . ( x + 2 )
= lim
(x − 2 )
x + 2 x→2
x−2
x−2
= lim
.
lim
x→2 x − 2
x→2 x − 2
= lim
x+ 2 =
x→2
=2 2
2.
3.
2− 2
0
=
(tidak boleh)
0
2− 2
substitusi langsung :
2 +
2
x +1 − 2
3 +1 − 2 2 − 2 0
→ substitusi langsung :
=
= (tidak boleh)
x −3
2−2
0
0
(
x
+ 1) − 4
x+1 − 2
x +1 − 2
x +1 + 2
= lim
.
= lim
lim
x → 3 ( x − 3)( x + 1 + 2)
x→ 3
x →3
x −3
x−3
x +1 + 2
( x − 3)
1
1
= lim
= lim
=
x → 3 ( x − 3)( x + 1 + 2)
x → 3 ( x + 1 + 2)
3 +1 + 2
1
1
=
=
2+ 2 4
lim
x→ 3
lim
x→ 2
2x − 4
2x + 5 − x + 7
2 (2 ) − 4
→ substitusi langsung :
2( 2) + 5 − 2 + 7
=
4− 4 0
= (tidak
3−3 0
boleh)
lim
x→ 2
2x − 4
2x + 5 − x + 7
= lim
2x − 4
x →2
2x + 5 + x + 7
.
2x + 5 − x + 7
2x + 5 + x + 7
( 2 x − 4 )( 2 x + 5 + x + 7 )
= lim
x →2
( 2 x + 5) − ( x + 7 )
2( x − 2 )( 2 x + 5 + x + 7 )
2x + 5 − x − 7
2( x − 2 )( 2 x + 5 + x + 7 )
= lim
x →2
( x − 2)
= lim
x →2
= lim 2( 2 x + 5 + x + 7 ) = 2 ( 2 (2 ) + 5 + 2 + 7 )
x →2
= 2(3+3) = 12
4.
lim
x→1
lim
x→1
x+3−2
x −1
x+3−2
x −1
→ substitusi langsung :
1+ 3 − 2
=
2−2 0
= (tidak boleh)
1−1 0
1 −1
x+3− 2
x + 3 + 2 x +1
= lim
.
.
x →1
x −1
x + 3 + 2 x +1
( x + 3 − 4)( x + 1)
( x − 1)( x + 1)
= lim
= lim
x → 1 ( x − 1)( x + 3 + 2 )
x → 1 ( x − 1)( x + 3 + 2 )
= lim
( x + 1)
x → 1 ( x + 3 + 2)
=
1 +1
1+ 3 + 2
=
1+1 2 1
= =
2+ 2 4 2
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
9
Jika
lim f(x) = ∞ dan
x →∞
lim g(x) = ∞ , sehingga
x→ ∞
lim
f(x)
x → ∞ g(x)
=
∞
maka harus dibagi dengan
∞
pangkat tertinggi dari pembilang atau penyebutnya.
Contoh :
2x 2 + 6x - 8
2 .∞ 2 + 6.∞ − 8
∞
1.
→ substitusi langsung : 3
=
(tidak boleh)
lim
3
2
2
∞ − 4 .∞ + 3 .∞ ∞
x → ∞ x - 4x + 3x
f (x) atas dan bawah harus dibagi dengan pangkat tertinggi.
2 6
8
2x 2 6x 8
+ 3− 3
+ 2− 3
2
3
2x + 6x - 8
x
x =
x x
x
= lim x3
lim
3
2
lim
4 3
4x 2 3 x
x → ∞ x - 4x + 3x
x→∞ x
x→∞
1− + 2
− 3 + 3
x x
x3
x
x
2 6 8
+ −
∞
∞ ∞ = 0 + 0-0 = 0 = 0
=
4 3
1- 0 + 0 1
1− +
∞ ∞
2.
3x 3 − 5x 2 + 4x
x → ∞ 2 x 3 + 6x 2 − 3x
boleh)
lim
→ substitusi langsung :
3x 3 5x 2 4x
− 3 + 3
3
3x 3 − 5x 2 + 4x
x
x
x =
= lim
lim
x → ∞ 2 x 3 + 6x 2 − 3x
x → ∞ 2x 3
6x 2 4 x
+ 3 − 3
x3
x
x
5 4
3− +
∞ ∞ = 3−0+0 =
=
6 3
2+0 −0
2+ −
∞ ∞
Jika
lim f(x) = ∞ dan
x →∞
∞
3( ∞)3 − 5 (∞) 2 + 4(∞)
=
(tidak
3
2
2(∞) + 6 (∞) − 3 (∞)
∞
5 4
+ 2
x
x
lim
x→ ∞
6x 4
2+
−
x x2
3−
3
2
lim g(x) = ∞ dengan f(x) dan g(x) fungsi akar, sehingga
x→ ∞
lim f(x) − g(x) = ∞ − ∞ maka harus diselesaikan dulu dengan dikalikan nilai satu dari faktor
x→ ∞
sekawannya.
Contoh :
1.
lim
x→ ∞
x 2 + 5x − x 2 + x → substitusi langsung :
∞ + 5 (∞ ) − ∞ + ∞ = ∞ – ∞
(tidak boleh)
lim
x→ ∞
x 2 + 5x − x 2 + x = lim
x →∞
x 2 + 5x − x 2 + x .
x 2 + 5x + x 2 + x
x 2 + 5x + x 2 + x
( x 2 + 5 x) − ( x 2 + x)
x 2 + 5x − x 2 − x
= lim
= lim
x → ∞ x 2 + 5x + x 2 + x
x → ∞ x 2 + 5x + x 2 + x
4x
4x
x
= lim
= lim
x → ∞ x 2 + 5x + x 2 + x
x →∞
2
x
5x
x2
x
+
+
+ 2
2
2
2
x
x
x
x
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
10
4
= lim
x→ ∞
=
2.
5
1
5
1
+ 1+
1+ + 1+
x
x
∞
∞
4
4
=
=2
1+1
1+ 0 + 1+ 0
x + 7 − x − 5 → substitusi langsung :
lim
x + 7 − x − 5 = lim
x →∞
4
1+
lim
x →∞
=
x →∞
x+7 − x−5 .
∞ + 7 − ∞ − 5 = ∞ – ∞ (tidak boleh)
x+7 + x−5
x+7 + x−5
( x + 7 ) − ( x − 5)
x +7− x +5
= lim
= lim
x→ ∞ x + 7 + x − 5
x →∞ x + 7 + x − 5
12
12
= lim
= lim
x →∞ x 7
x→ ∞ x + 7 + x − 5
x 5
+ +
−
x x
x x
12
12
12
=
=
=
=6
7
5
1+1
1+ 0 + 1− 0
1+ + 1−
∞
∞
Untuk menjawab soal pilihan ganda :
f(x) 0
Untuk soal : lim
= maka yang harus dilihat x pangkat terendahnya.
x → 0 g(x) 0
Jika ada diatas hasilnya = 8 , jika ada dibawah hasilnya = 0 dan jika atas dan bawah
pangkat terendahnya sama maka hasilnya lihat angka didepan x.
6
x 3 - 5x 2 + 6x
=
= -2
lim
2
x → 0 x - 3x
−3
∞
maka harus dilihat pangkat tertingginya
∞
Jika diatas hasilnya = 8 , jika pangkat tertingginya dibawah hasilnya = 0 dan jika atas
dan bawah pangkat tertingginya sama maka hasilnya lihat angka di depan x.
2x 2 + 6x - 8
0
3x 3 + 7x 2 - 5x
3
3x 3 + 6x 2 - 4x
3
=
=
0
;
=
=
8
;
=
lim
3
2
lim
2
lim
3
1
3x - 4x + 3
0
2x - 7x + 2
2
x → ∞ x - 4x + 3x
x→∞
x→∞
Untuk soal :
lim
f(x)
x → ∞ g(x)
=
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
11
Soal latihan :
Selesaikan soal-soal di bawah ini dengan sifat-sifat limit.
x2 − 4
x 2 + 4x + 3
1.
a. lim
= ….
b. lim
= ….
x→ 2 x − 2
x → -3
x +3
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
x 2 − 5x + 6
x 3 − 64
2.
a. lim 2
= ….
b. lim
= ….
x → 2 x + 3x − 10
x→ 4 x − 4
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
x 2 − 6x + 8
2x 3 − 4 x 2 + 8x
3.
a. lim
= ….
b. lim
= ….
x→ 0
x→ 0
x−2
x 2 + 2x
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
x−2
x −3
4.
a. lim
= ….
b. lim 2
= ….
2
x→2
x→3 x − 9
x +5 − 3
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
4x 3 − 5x 2 + 6x
5.
a. lim
= …. b. lim x − 3 − x − 6 = ….
x →∞
x → ∞ 2x 3 − x 2 − 2x
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
EVALUASI 1
A.
Pilihlah jawaban yang dianggap paling benar.
1.
Nilai dari lim
2.
3.
4.
5.
3x 2 + 2x − 16
= ….
x→2
2x − 4
a. 7
b. 6
c. 4
2
x −4
lim
= ….
x→2
5x − 1 − 3
1
4
2
a. 5
b. 4
c. 2
5
5
5
x 2 − 6x + 5
lim
= ….
x →1
x 2 −1
a. –4
b. –3
c. –2
3
x −8
lim 2
=…
x→2 x + x − 6
4
a. 0
b.
c. 2
3
x 2 − 16
= ….
lim
x → 4 3x 2 − 8x − 16
1
1
1
a.
b.
c.
8
6
4
d. 2
d. 1
e. 0
1
5
d. 3
e.
4
5
e. 4
d.
12
5
e. 4
d.
1
3
e.
1
2
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
12
6.
7.
2x 2 − 5x + 2
= ….
x→2 x2 + x − 6
3
5
a.
b.
5
7
2− x
lim
= ….
x→2 4 − x2
c.
a. 8 2
c.
lim
b. 2 2
2
5
3x 2 − 6x + 2
= ….
lim 2
x → 0 x − 3x − 4
4
1
a.
b. 1
c.
3
2
3
2
2x − 5x + 3x
9.
Nilai dari lim
= ....
x → ∞ 2x 2 − 4x + 10
5
1
a. –
b. –
c. 0
2
2
5x 3 − 4x 2 − 12
10. lim
= ….
x → ∞ 3x 3 + 5x 2 − 4x
4
a. −
b. 0
c. 1
5
d. –
2
d.
2
5
1
8
e. –
2
e.
5
3
1
16
2
8.
B.
1.
2.
3.
4.
5.
d. –
1
2
e. –
d.
1
4
e. ∞
d.
5
3
e. ∞
4
3
Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar.
3x + 6
= ….
lim
x → − 2 2x 2 + 3x - 2
Jawab :
.............................................................................................................................................
x2 - 9
lim
= ….
x → 3 3x 2 − 7x - 6
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
2x − 2
= ….
lim
x →1
3x + 1 − 2
Jawab :
.............................................................................................................................................
2x 3 − 5x 2 + x
= ….
x→0
2x 2 − 3x
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
9 + 4x − 4x 3
lim 3
= ….
x → ∞ x + 2x 2 + 3x
Jawab :
……………………………………………………………………………………………
lim
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
13
2.
2.
Limit Fungsi Trigonometri
Limit of Trigonometric Function
lim
x →0
lim
x→0
sin x
x
= lim
= 1 atau
x
x → 0 sin x
tan x
x
= lim
= 1 atau
x
x → 0 tan x
lim
x →0
lim
x→0
sin ax
ax
= lim
=1
ax
x → 0 sin ax
tan ax
ax
= lim
=1
ax
x → 0 tan ax
Untuk bentuk yang lainnya, jika dimasukan langsung ha silnya
0
funsi f (x) harus diuraikan
0
dengan aturan rumus trigonometri.
Contoh :
1.
2.
3.
4.
5.
sin 5x
sin 5x 5
5
sin 5x
5
5
lim
= lim
. = . lim
= .1=
x → 0 3x
x → 0 3x
5
3 x → 0 5x
3
3
sin 5x
5
atau : lim
=
x → 0 3x
3
6x
6x
2
6
2x
6
lim
= lim
. =
. lim
=
.1= 3
x → 0 tan 2x
x → 0 tan 2x 2
2 x → 0 tan 2x
2
6x
6
atau : lim
=
=3
x → 0 tan 2x
2
sin 4x
sin 4x 4x 3x
4x
sin 4x
3x
4
= lim
.
.
=
. lim
. lim
=
lim
x → 0 tan 3x
x → 0 tan 3x 4x 3x
3x x → 0 4x
x → 0 tan 3x
3
sin 4x
4
atau : lim
=
x → 0 tan 3x
3
cos 2x
cos 2 . 45 o
cos 90 o
0
0
lim
=
=
=
=
o
o
o
o
1
1
cos 45 − sin 45
cos 45 − sin 45
0
x → π cos x − sin x
2−
2
4
2
2
fungsi x harus diuraikan dengan aturan rumus trigonometri.
cos 2x = cos2 x – sin2 x = (cos x – sin x) (cos x + sin x)
cos 2x
(cos x − sinx) (cos x + sin x)
lim
=
lim
= lim (cos x + sin x)
cos
x
−
sin
x
(cos
x
−
sin
x)
π
π
x→
x→
x→π
4
4
4
1
1
o
o
= cos 45 + sin 45 =
2 +
2 = 2
2
2
1 − cos 2x
1 − cos 0 o
1−1 0
→ substitusi langsung :
=
= (tidak boleh)
o
x → 0 5x sin x
5( 0).sin 0
0 .0 0
f(x) harus diuraikan dengan menggunakan rumus trigonometri
1 − cos 2x
1 − (1 − 2sin 2 x)
= lim
→ cos 2x = 1 – 2sin2 x
lim
x → 0 5x sin x
x→0
5x sin x
2
sin x
sin x
1 − 1 + 2sin 2 x
2sin 2 x
= lim
= lim
=
lim
. lim
x→0
x → 0 5x sin x
5x sin x
5 x → 0 x x → 0 sin x
2
2
= .1.1=
5
5
lim
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
14
Soal latihan :
Selesaikan soal-soal di bawah ini dengan aturan limit
sin 6x
5x
1.
a. lim
= ….
b. lim
= ….
x→0
x
→
0
4x
tg 3x
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
sin 3x
tg 5x
2.
a. lim
= ….
b. lim
= ….
x → 0 tg 4x
x → 0 sin 2x
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
sin 2 2x
2x 2
3.
lim
=
….
b.
lim
= ….
x→0
x → 0 sin 2x . tg 3x
4x 2
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
x
tg 2
x2
2 = ….
4.
b.
= ….
lim
lim
x →0
x → 0 tg 2 4x
x2
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
cos x
sin 2x
5.
= ….
b. lim
= ….
lim
π
x → 0 3x cos x
x → sin 2x
2
Jawab :
……………………………………………………………………………………………
EVALUASI 2
A.
1.
2.
3.
4.
Pilihlah jawaban yang benar.
sin 3x
lim
= ….
x→0
5x
3
3
a.
b.
2
5
sin 5x . tg 3x
lim
= ….
x→0
x sin 2x
3
5
a.
b.
2
2
4 tg 2x
lim
= ….
x → 0 sin 6x
1
a. 0
b.
3
2
3x
= ….
lim
x → 0 4 sin 2 x
3
3
a.
b.
4
2
c.
2
5
c. 3
1
5
e. 0
d. 5
e. 7
d.
c.
2
3
d.
4
3
e. ∞
c.
9
4
d. 3
e. ∞
1
2
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
15
5.
6.
7.
sin 2 4x
lim
= ….
x → 0 4x 2
a. 0
b. 1
 tg 3x   4x 
lim 

 = ….
x→0
 x   sin 3x 
c. 2
d. 4
a. 4
c. 1
d.
π
2
a. 0
8.
10.
1.
2.
3.
4.
5.
1
3
b.
1
4
a.
2
b.
3
c. 2
Nilai lim 2 sin x cotg x adalah …
d. 3
e. ∞
a. 2
d. –1
e. –2
1 + cos 2x
= ….
cos 2x
lim
π
6
c.
1
2
e. 4
x→0
lim
b. 1
1 − cos 2x
= ....
5x 2
3
1
b.
5
2
c. 0
x →0
a.
B.
e.
d. 2
x→
9.
4
3
sin x . cos x
= ….
sin 2x
lim
x→
b. 3
e. 8
c.
2
5
d.
1
3
e. 0
Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar.
sin 4x . tg 5x
lim
= ….
x→0
8x 2
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
4x 2 tg 2x
lim
= ….
x → 0 5x sin 2 x
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
1 − cos 2x
lim
= ….
x→0
4x 2
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
cos 2x − 1
lim
= ….
x → 0 3x sin x
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
1 − cos x
= ….
lim
x→0
x
x sin
2
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
16
ULANGAN HARIAN 1
A.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Pilihlah jawaban yang benar.
x 2 − 4x + 3
lim
= ….
x →1
2x − 2
a. –3
b. –2
x−4
lim 2
= ….
x → 4 x − 2x − 8
1
1
a.
b.
8
6
2x + 4
lim
= ….
x → − 2 2x 2 + 5x + 2
4
2
a.
b.
3
3
2x 2 − 7x + 3
= ….
lim 2
x → 3 x + x − 12
5
5
a.
b.
3
7
2x − 2
= ….
lim
x →1
3x + 1 − 2
2
2
a.
b. 1
3
3
4 − x2
lim
= ….
x→2
2− x
a. 8 2
7.
8.
9.
10.
b. 4 2
x 2 − 5x + 4
= ….
lim 2
x → 0 2x − 5x − 3
4
a.
b. 1
3
3x 3 − 7x 2 + 2x
lim
= ….
x → 0 2x 2 − 3x − 2
7
a. ∞
b.
3
2
5x − 4x − 12
= ….
lim
x → ∞ 3x 3 + 5x 2 − 12x
4
a. −
b. 0
5
2x 2 − 4x 3 + 6x
= ….
lim
x → ∞ 2x 3 + 3x 2 + 3x
4
a. –2
b. –
3
c. –1
d. 2
e. 3
c.
1
4
d.
c.
1
3
d. –
1
3
e. –
2
3
c.
2
5
d. –
2
5
e. –
5
3
d. 2
2
3
e. 3
1
3
d.
2
e.
1
2
e. –
c. 2
1
3
c. 2 2
1
3
c.
1
2
d. –
c.
3
2
d. 0
e.
1
2
1
4
2
4
3
e. –1
c. 1
d.
5
3
e. ∞
c. 1
d. 2
e. ∞
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
17
11.
sin 2 3x
= ….
x→0
3x 2
lim
a. 0
12.
b.
14.
15.
b.
2.
3.
4.
5.
c.
e. ∞
1
2
5
2
e. 5
2 cos x
= ….
sin 2x
a. 0
b. 1
1 − cos 2x
lim
= ….
x → 0 x sin 2x
c. 2
d. 4
e. ∞
a. 2
c.
d.
1
4
e. 0
d.
1
2
e. 0
d.
lim
x→0
limπ
2
b. 1
1
2
cos 2x
= ….
sin 2x
a. ∞
1.
1
5
d. 3
5x tg 2 2x
= ….
x → 0 4x 2 sin x
x→
B.
c. 1
lim
a. 0
13.
1
3
b. 2
c. 1
Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar.
2x 2 − 3x − 2
lim
= ….
x→2
x2 + x − 6
Jawab :
.............................................................................................................................................
x−3
= ….
lim
x→3
x +1 − 2
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
sin 4x tg 3x
= ….
lim
x→0
9x 2
Jawab :
.............................................................................................................................................
cos 2x − 1
= ….
lim
x → 0 5x sin 2x
Jawab :
………………………………………………………………………………………….....
cos 2x
lim
= ….
π cos x − sin x
x→
4
Jawab :
.............................................................................................................................................
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
18
16.3.
16.3.
Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri
Derivative Algebraic and Trigonometric Function
Indikator
Tujuan
Uraian Materi
1.
1.
: 1. Arti fisis (sebagai laju perubahan) dan arti geometri dari turunan
dijelaskan konsepnya
2. Turunan fungsi yang sederhana dihitung dengan menggunakan definisi
turunan
3. Turunan fungsi dijelaska n sifat-sifatnya
4. Turunan fungsi aljabar dan trigonometri ditentukan dengan
menggunakan sifat-sifat turunan
5. Turunan fungsi komposisi ditentukan dengan menggunakan aturan
rantai.
: Siswa dapat :
1. Mengtahui konsep laju perubahan nilai fungsi dan gambaran
geometrisnya
2. Menjelaskan pengertian turunan fungsi.
3. Menghitung nilai turunan fungsi aljabar dengan menggunakan aturan
turunan fungsi.
4. Menurunkan sifat-sifat turunan dengan menggunakani sifat lmit
5. Menentukan berbagai turunan fungsi aljabar dan trigonometri
6. Menentukan turunan fungsi dengan menggunakan aturan rantai
7. Melakukan latihan soal tentang turunan fungsi
:
Turunan Fungsi Aljabar
Derivative Algebraic Function
Turunan pertama dari fungsi f(x) dilambangkan dengan f'(x), dirumuskan dengan :
f(x + h) − f(x)
h→0
h
f'(x) = lim
Contoh :
1.
Tentukan turunan pertama dari f(x) = 4x2
Jawab :
f ( x + h) − f ( x)
4( x + h) 2 − 4x 2
f'(x) = lim
= lim
h →0
h →0
h
h
2
2
2
4 ( x + 2 xh + h ) − 4 x
4 x 2 + 8 xh + 4 h 2 − 4 x 2
= lim
= lim
h →0
h →0
h
h
2
8 xh + 4 h
h (8 x + 4 h)
= lim
= lim
= lim (8 x + 4 h )
h →0
h →0
h
→
0
h
h
= 8x + 4(0) = 8x
Jadi f(x) = 4x2 → f'(x) = 8x
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
19
2.
Tentukan turunan pertama dari f(x) = x3 – 6x
Jawab :
f ( x + h) − f ( x )
{( x + h) 3 − 6 ( x + h )} − ( x 3 − 6 x)
f'(x) = lim
= lim
h →0
h →0
h
h
3
2
2
3
3
x + 3 x h + 3 xh + h − 6 x − 6 h − x + 6 x
3 x 2 h + 3 xh 2 + h 3 − 6 h
= lim
= lim
h →0
h →0
h
h
2
2
h(3x + 3xh + h − 6)
= lim
= lim (3x 2 + 3xh + h 2 − 6)
h →0
h →0
h
= 3x2 + 3x(0) + (0)2 – 6 = 3x 2 – 6
Jadi f(x) = x3 – 6x → f'(x) = 3x2 – 6
a.
a.
Rumus Turunan Fungsi Aljabar
Formula of Derivative Algebraic Fuction
Rumus Dasar Turunan
1. f (x) = ax n → df (x)/dx atau f' (x) = n . ax n – 1
2.
f (x) = ax → f' (x) = a
3.
f (x) = a
4.
f (x) = ln x → f'(x) =
5.
f (x) = e x → f' (x) = e x
→ f' (x) = 0
1
x
Contoh :
1.
Tentukan turunan pertama dari f(x) = 2x2 + 3x
Jawab :
f'(x) = 2 . 2x2 – 1 + 3
= 4x + 3
2.
Turunan dari f(x) = 4x3 – 2x2 + 6x – 5 adalah :
Jawab :
f' (x) = 3 . 4x3 – 1 – 2 . 2x2 – 1 + 6
= 12x2 – 4x + 6
2.
Turunan dari f(x) = (x – 2) (2x + 6) adalah :
Jawab :
f (x) = 2x2 + 6x – 4x – 12 = 2x2 + 2x – 12
f' (x) = 4x + 2
3.
Turunan dari f(x) = (2x + 3) 2 adalah :
Jawab :
f (x) = 4x2 + 12x + 9
f' (x) = 8x + 12
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
20
4.
Tentukan turunan pertama dari f (x) =
2x 3 − 4 x 2 + 6x
2x 2
Jaw ab :
Sebelum diturunkan, fungsinya disederhanakan dulu
2x 3 4 x 2
6x
f (x) =
− 2 + 3 = x – 2 + 3x-1
2
2x
2x
2x
f' (x) = 1 – 0 + (-1) . 3x–1 – 1
f' (x) = 1 – 3x–2
3
f' (x) = 1 – 2
x
5.
Turunan dari f (x) = 2e x adalah :
Jawab :
f' (x) = 2ex
f' (x) = 2ex
6.
Tentukan turunan pertama dari fungsi f (x) = 2x x – 4 x
Jawab :
3
1
f (x) = 2x x – 4 x = 2 x 2 – 4 x 2
1
1
1
3 2
1 −
2
x – 4 . x 2 = 3x2 – 1
2
2
x2
2
f' (x) = 3 x –
x
f' (x) = 2 .
Soal latihan :
Tentukan turunan pertama dari fungsi :
1.
a. f(x) = 3x4 – x3 + 5x2
b. f(x) = 2x5 + 5x3 – 7x + 4
Jawab :
.............................................................................................................................................
2.
a. f(x) = 3x (x2 + 2x)
b. f(x) = (2x + 1) (3x – 5)
Jawab :
.............................................................................................................................................
3.
a. f(x) = (x – 6)2
b. f(x) = (3x + 2)2
Jawab :
............................................................................................................................................
3x 3 + 2x 2 − 5x
6 x 3 + 4 x 2 − 3x + 9
4.
a. f(x) =
b.
f(x)
=
4x 2
2x 3
Jawab :
.............................................................................................................................................
5.
a. f(x) = 3 x 3 + 2 3 x
b. f(x) = x (3x2 – 4x)
Jawab :
.............................................................................................................................................
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
21
b.
b.
Aturan Rantai
Chine Rule
Turunan bentuk pangkat
Contoh :
1.
Tentukan turunan pertama dari f(x) = (2x + 5) 3
Jawab :
Misal : U = 2x + 5 → dU/dx = 2
f(U) = U3 → df(x)/dU = 3U 2 = 3(2x + 5) 2
f'(x) = df(x)/dx = df(x)/dU . dU/dx = 3(2x + 5) 2 . 2
f'(x) = 6(2x + 5) 2
2.
Tentukan turunan pertama dari f(x) = (x2 – 3)4
Jawab :
Misal : U = x2 – 3 → dU/dx = 2x
f(U) = U4 → df(x)/dU = 4U 3 = 4(x2 – 3) 3
f'(x) = df(x)/dx = df(x)/dU . dU/dx = 4(x2 – 3) 3 . 2x
f'(x) = 8x(x2 – 3)3
Dari contoh diatas dapat dirumuskan sebagai berikut :
F(x) = U n → f'(x) = n . U n – 1 . U '
Contoh :
1.
Tentukan turunan pertama dari f(x) = (3x – 4)5
Jawab :
f'(x) = 5 . (3x – 4)4 . 3 = 15(3x – 4)4
2.
Tentukan turunan pertama dari f(x) = (2x2 + 7) 7
Jawab :
f'(x) = 7 . (2x 2 + 7) 6 . 4x = 28x(2x2 + 7) 6
3.
Tentukan turunan pertama dari f(x) =
Jawab :
(3x + 2)
1
f(x) =
(3x + 2) = (3x + 2) 2
1
−
1
f'(x) = (3 x + 2) 2 .3 =
2
f'(x) =
3
1
2.(3 x + 2 ) 2
3
2 (3 x + 2)
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
22
Turunan bentuk perkalian
Contoh :
1.
Tentukan turunan pertama dari f(x) = (5x – 1) (3x + 2)
Jawab :
Misal : U = 5x – 1 → U' = dU/dx = 5
V = 3x + 2 → V' = dV/dx = 3
f(x) = U . V → f'(x) = dU/dx . V + dV/dx . U
f'(x) = 5(3x + 2) + 3(5x – 1) = 15x + 10 + 15x – 3
f'(x) = 30x + 7
2.
Tentukan turunan pertama dari f(x) = (x2 + 3) (4x – 5)
Jawab :
Misal : U = x2 + 3 → U' = dU/dx = 2x
V = 4x – 5 → V' = dV/dx = 4
f(x) = U . V → f'(x) = dU/dx . V + dV/dx . U
f'(x) = 2x(4x – 5) + 4(x2 + 3) = 8x2 – 10x + 4x2 + 12
f'(x) = 12x2 – 10x + 12
Dari contoh diatas maka dapat dirumuskan :
f(x) = U . V → f'(x) = U' . V + V' . U
Contoh :
1.
Tentukan turunan pertama dari f(x) = (6x + 3) (3x – 1)
Jawab :
f'(x) = 6(3x – 1) + 3(6x + 3) = 18x – 6 + 16x + 9
f'(x) = 36x + 3
2.
Tentukan turunan pertama dari f(x) = (5x – 1) (2x2 + 4)
Jawab :
f'(x) = 5(2x 2 + 4) + 4x(5x – 1) = 10x2 + 20 + 20x2 – 4x
f'(x) = 30x2 – 4x + 20
Turunan bentuk pembagian
f(x) =
U
U' . V − V' . U
→ f' (x) =
V
V2
Contoh :
1.
Tentukan turunan pertama dari f ( x) =
(5 x − 3)
(2 x + 1)
Jawab :
5(2 x + 1) − 2(5x − 3) 10 x + 5 − 10 x + 6
=
(2x + 1) 2
(2 x + 1) 2
11
f ' ( x) =
(2x + 1) 2
f ' ( x) =
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
23
2.
Tentukan turunan pertama dari f ( x) =
( x 2 + 2)
(3 x − 4)
Jawab :
f ' ( x) =
2 x(3 x − 4) − 3( x 2 + 2)
6 x 2 − 8x − 3x 2 − 6
=
(3 x − 4 ) 2
(3 x − 4) 2
f ' ( x) =
3x 2 − 8 x − 6
(3 x − 4) 2
Dengan cara lain :
ax + b
a.d − c.b
f ( x) =
→ f ' ( x) =
cx + d
(cx + d ) 2
Contoh :
(5 x + 3)
5 .(−2) − 3 .3
− 10 − 9
− 19
1.
→ f ' ( x) =
=
=
f ( x) =
2
2
(3 x − 2 )
(3 x − 2)
(3 x − 2 )
(3 x − 2 ) 2
2.
f ( x) =
(4 x − 1)
4 .3 − 2.(−1)
12 + 2
14
→ f ' ( x) =
=
=
2
2
(2 x + 3)
( 2 x + 3)
( 2 x + 3)
( 2 x + 3) 2
Turunan fungsi f(x) = e U
F(x) = e U → f'(x) = U' . e U
Contoh :
1.
f(x) = e3x → f'(x) = 3e3x
2.
f(x) = e(5x – 2) → f'(x) = 5e (5x – 2)
Soal latihan :
Tentukan turunan pertama dari :
1.
a. f(x) = (5x – 7)3
b. f(x) = (6x + 3)5
Jawab :
.............................................................................................................................................
2.
a. f(x) = (x2 – 5)6
b. f(x) = 5x − 4
Jawab :
.............................................................................................................................................
3.
a. f(x) = (2x – 7) (6x + 1)
b. f(x) = (4x + 5) (3x – 2)
Jawab :
.............................................................................................................................................
4.
a. f(x) = (x2 + 4) (4x – 2)
b. f(x) = (2x2 – 1) (x2 + 3)
Jawab :
.............................................................................................................................................
(3 x − 5)
(4 x + 6)
5.
a. f ( x) =
b. f ( x) =
( x + 2)
(2 x + 7 )
Jawab :
.............................................................................................................................................
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
24
c.
c.
Nilai Turunan
Derivative Value
Untuk menentukan nilai dari turunan fungsi f(x) → f'(a). Fungsinya diturunkan terlebih dahulu,
kemudian x nya diganti dengan a
Contoh :
1.
Tentukan nilai f'(3) dari : f(x) = 4x2 + 5x – 4
Jawab :
f'(x) = 8x + 5 → f'(3) = 8(3) + 5 = 24 + 5 = 29
2.
Tentukan nilai f'(2) dari : f(x) = (2x + 3) (x – 1)
Jawab :
f(x) = 2x 2 – 2x + 3x – 3 = 2x 2 + x – 3
f'(x) = 4x + 1 → f'(2) = 4(2) + 1 = 8 + 1 = 9
3.
Tentukan nilai f'(4) dari : f(x) = (2x – 5)2
Jawab :
f(x) = 4x 2 – 20x + 25
f'(x) = 8x – 20 → f'(4) = 8(4) – 20 = 32 – 20 = 12
4.
Tentukan nilai f'(2) dari : f(x) = (3x – 2)3
Jawab :
f'(x) = 3(3x – 2)2 . 3 = 9(3x – 2)2
f'(2) = 9(3(2) – 2)2 = 9(6 – 2)2 = 9 . 16 = 144
5.
Tentukan nilai f'(1) dari : f ( x) =
( 4x − 7)
(3 x − 5)
Jawab :
4 .(−5) − 3 .(−7 )
− 20 + 21
1
=
=
2
2
(3 x − 5 )
(3 x − 5)
(3 x − 5) 2
1
1
1
f ' (1) =
=
=
2
2
(3(1) − 5)
(3 − 5)
4
f ' ( x) =
Soal latihan :
Tentukan nilai dari turunan pertama berikut ini.
1.
a. f(x) = 3x3 + 2x2 – 9x → f'(2) = ....
b. f(x) = 2x 4 – 4x3 + 3x2 → f'(3) = ....
Jawab :
..........................................................................................................................................................
2.
a. f(x) = (x2 + 1) (3x – 2) → f'(1) = ....
b. f(x) = (4x + 3) (2x2 – 1) → f'(–2) = ....
Jawab :
..........................................................................................................................................................
3.
a. f(x) = (x – 7)2 → f'(–3) = ....
b. f(x) = (3x + 2)2 → f'(1) = ....
Jawab :
..........................................................................................................................................................
4.
a. f(x) = (2x + 3)4 → f'(1) = ....
b. f(x) = (3x – 4)5 → f'(2) = ....
Jawab :
..........................................................................................................................................................
5.
a.
f ( x) =
( 2 x + 3)
→ f'(2) = .....
( 4 x + 1)
b.
f ( x) =
(5 x − 4)
f'(1) = ....
( 2 x − 3)
Jawab :
..........................................................................................................................................................
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
25
EVALUASI 3
A.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Pilihlah jawaban yang paling benar !
Turunan pertama dari fungsi f (x) = 2x3 + 5x2 – 6x adalah f' (x) = ….
a. 6x4 + 10x 3 – 6x2
c. 6x2 + 10x – 6
e. 2x2 + 5x – 6
b. 6x3 + 10x 2 – 6x
d. 2x2 + 10x – 6
3
2
Turunan dari f (x) = 4x – 2x + 5x adalah ….
a. 24x
b. 24x – 4
c. 12x2 – 4 d. 12x2 – 4x e. 12x2 – 4x + 5
Turunan pertama dari fungsi f (x) = (2x – 3) (x2 + 1) adalah f' (x) = ….
a. 2x3 – 3x2 + 2x – 3
c. 6x2 – 6x – 3
e. 2x2 – 3x + 2
2
2
b. 6x – 6x + 2
d. 6x + 2x – 3
Turunan pertama dari fungsi f (x) = (2x – 1) 2 adalah f' (x) = ….
a. 4x2 – 4x + 1
c. 2x2 – 2x + 1
e. 4x – 4
b. 2x2 – 4x + 1
d. 4x – 2
Turunan pertama dari fungsi f (x) = 8x – 6 x adalah f' (x) = ….
3
3
a. 8 –
b. 8 +
c. 8 – 3 x d. 8 + 3 x e. 8 – 6 x
x
x
Turunan pertama dari fungsi f (x) = 2x (x2 – 4) adalah f' (x). Nilai f' (2) = ….
a. 8
b. 12
c. 16
d. 20
e. 24
Turunan perta ma dari fungsi f (x) = (x – 3)3 adalah f' (x). Nilai f' (1) = ….
a. 12
b. 8
c. 4
d. –4
e. –8
2
Turunan pertama dari f(x) = (2x – 3) (x + 6) adalah f'(x). Nilai dari f'(1) = ….
a. 18
b. 12
c. 8
d. 6
e. 4
(6x + 2)
Turunan pertama dari fungsi f (x) =
adalah f' (x) = ….
(5x + 3)
28
8
1
− 10
− 18
a.
b.
c.
d.
e.
2
2
2
2
(5x + 3)
(5x + 3)
(5x + 3)
(5x + 3)
(5x + 3) 2
6
x2
3
6
b. x –
+ 2
x
x
a. x – 3 +
B.
1.
2.
2x 4 + 6x 3 − 4
adalah f'(x) = ....
2x 3
3
6
6
c. 1 –
+ 2
e. 1 + 2
x
x
x
3
6
d. 1 +
–
x x2
Turunan pertama dari fungsi f(x) =
Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar.
Tentukan turunan pertama dari fungsi :
a. f(x) = (3x 2 + 1) (x – 4)
b. f(x) = (x + 4) 2
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Tentukan nilai turunan pertama dari fungsi :
a. f(x) = 3x2 + 5x – 2 unuk f'(3).
b. f(x) = (2x + 4) 2 untuk f'(2)
c. f(x) = (4x – 3) (3x + 2) untuk f'(–2)
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
26
2.
2.
Turunan Fungsi Trigonometri
Derivative of Trigonometric Function
a.
a.
Rumus Turunan Fungsi Trigonometri
Formula of D erivative Trigonometric Function
Rumus :
1.
f (x) = sin x → f' (x) = cos x ;
f (x) = sin ax ?
f' (x) = a cos ax
2.
f (x) = cos x → f' (x) = - sin x ;
f (x) = cos ax ?
f' (x) = -a sin ax
3.
f (x) = sin (ax + b) ?
f' (x) = a cos (ax + b)
4.
f (x) = cos (ax + b) ?
f' (x) = -a sin (ax + b)
5.
f (x) = tan x ? f' (x) = sec2 x ;
f (x) = tan ax ?
f' (x) = a sec2 ax
Contoh :
1.
Turunan dari f (x) = 2 sin 3x adalah :
Jawab :
f'(x) = 3 . 2 cos 3x = 6 cos 3x
2.
Turunan dari f (x) = 4 cos (2x – 5)
Jawab :
f'(x) = -2 . 4 cos (2x – 5) = -8 sin (2x – 5)
3.
Tentukan turuna n pertama dari f(x) = 4sin 2x – 3 cos x
Jawab :
f'(x) = 4 . 2 cos 2x + 3 sin x = 8 cos 2x + 3 sin x
4.
Tentukan turunan pertama dari f(x) = x2 – sin
2
x + 5 cos 3x
3
Jawab :
f'(x) = 2x –
2
2
cos x – 15 sin 3x
3
3
5.
Tentukan turunan pertama dari f(x) = 2 sin (4x – 1) + 3 cos (5 – 2x)
Jawab :
f'(x) = 2 . 4 cos (4x – 1) – (-2) sin (5 – 2x)
= 8 cos (4x – 1) + 2 sin (5 – 2x)
6.
Tentukan turunan pertama dari f(x) = cos (3x + 2) + 5 sin (2x – 7)
Jawab :
f'(x) = –3 sin (3x + 2) + 10 cos (2x – 7)
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
27
b.
b.
Nilai Turunan
Derivative Value
Setelah fungsi f(x) diturunkan, kemudian x diganti dengan nilai yang diminta
Contoh :
1.
Tentukan nilai f'(60o) dari f(x) = 4 sin x adalah :
Jawab :
f'(x) = 4 cos x
1
f' (60o) = 4 cos 60o = 4 .
=2
2
2.
Tentukan nilai f'(30o) dari f(x) = 3 cos 3x
Jawab :
f'(x) = –6 sin 3x
f'(30o) = –6 sin 3(30o) = –6 sin 90o = –6 . 1 = –6
3.
Tentukan nilai f'(45o) dari f(x) = 2 sin 4x
Jawab :
f'(x) = 8 cos 4x
f'(45o) = 8 cos 4(45o) = 8 cos 180o = 8 . (–1) = –8
Soal Latihan :
1.
Tentukan turunan pertama dari fungsi :
a. f (x) = sin 4x
c. f (x) = 3 sin (x – 3)
b. f (x) = 2 sin 3x
d. f (x) = 4 sin (5 – 2x)
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
2.
Tentukan turunan pertama dari fungsi :
a. f (x) = cos 2x
c. f (x) = 5 cos (3x – 1)
b. f (x) = 4 cos 5x
d. f (x) = 2 cos (4 – 2x)
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
3.
Tentukan nilai turunan pertama dari fungsi :
a. f (x) = sin 2x → f' (30o) = ….
b. f (x) = 3 cos 2x → f' (45o) = ….
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
EVALUASI 4
A.
1.
Pilihlah jawaban yang paling benar.
Turunan pertama dari f (x) = 2 cos 3x adalah f' (x) = ….
a. 6 sin 3x
e.
2
sim 3x
3
2
cos 3x
3
Turunan pertama dari f (x) = sin 4x - 2 cos x adalah f' (x) = ....
a. 4 cos 4x - 2 sin x
c. -4 cos 4x + 2 sin x
e. 4 cos 4x + 2 sin x
b. -4 cos 4x - 2 sin x
d. 4 sin 4x - 2 cos x
b. 6 cos 3x
2.
c. -6 sin 3x
d.
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
28
3.
4.
Turunan pertama dari f (x) = cos (5 - 4x) adalah f' (x) = ....
a. 5 sin (5 - 4x)
c. -4 sin (5 - 4x)
1
b. 4 sin (5 - 4x)
d.
sin (5 - 4x)
4
Turunan dari f (x) = sin (1 - 3x) adalah f' (x) = ....
a. -3 cos (1 - 3x)
5.
6.
7.
8.
9.
10.
B.
1.
2.
3.
4
5.
c. cos (1 - 3x)
e. -5 sin (5 - 4x)
e.
1
sin (1 - 3x)
3
b. 3 cos (1 - 3x)
d. -cos (1 - 3x)
Turunan pertama dari fungsi f (x) = 3 sin 4x adalah f' (x) = ….
3
a.
cos 4x
c. –12 cos 4x
e. 12 sin 4x
4
3
b. – cos 4x
d. 12 cos 4x
4
Turunan pertama dari fungsi f (x) = 2 cos (3x – 5) adalah f' (x) = ….
2
a. 2 sin (3x – 5)
c.
sin (3x – 5)
e. –6 sin (3x – 5)
3
2
b. 6 sin (3x – 5)
d. – sin (3x – 5)
3
Turunan pertama dari fungsi f (x) = sin 4x – 3 cos 2x adalah f' (x) = ….
a. cos 4x – sin 2x
c. 4 cos 4x – 6 sin 2x
e. 4 sin 4x + 6 cos 2x
b. cos 4x + sin 2x
d. 4 cos 4x + 6 sin 2x
Turunan dari fungsi f(x) = sin (2x + 60 o) adalah f'(x). Nilai dari f'(45o ) = ....
1
1
1
a. 0
b.
c.
2
d.
3 e. 1
2
2
2
Turunan dari f (x) = cos 2x adalah f' (x). Nilai dari f (45o) = ....
a. -2
b. -1
c. 0
d. 1
e. 2
Turunan dari 2 sin 3x adalah f' (x). Nilai dari f' (60o ) = ....
a. 6
b. 3
c. 0
d. -3
e. -6
Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !
Tentukan turunan pertama dari fungsi f (x) = 3 sin (4x – 1)
Jawab :
.............................................................................................................................................
Tentukan turunan dari f (x) = 4 cos (3 – 2x)
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Tentukan nilai turunan pertama dari fungsi f (x) = 3 sin 2x unuk f' (90o).
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Tentukan nilai turunan pertama dari fungsi f (x) = 2 cos (5) untuk f' (30 o)
Jawab :
.............................................................................................................................................
Tentukan nilai dari turunan pertama dari fungsi f (x) = sin 2x - cos 3x untuk f'(30o)
Jawab :
.............................................................................................................................................
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
29
16.4.
16.4.
Fungsi naik, Fungsi turun dan Stationer
Function Increase, Decrease and Stationer
Indikator
Tujuan
Uraian Materi
1.
1.
: 1. Fungsi monoton naik dan turun ditentukan dengan menggunakan
konsep turunan pertama
2. Sketsa grafik fungsi dinggambar dengan menggunakan sifat-sifat
turunan
3. Titik ekstrim grafik fungsi ditentukan koordinatnya
4. Garis singgung sebuah fungsi ditentukan persamaannya
: Siswa dapat :
1. Mengenal secara geometris tentang fungsi naik dan turun
2. Mengidentifikasi fungsi naik atau fungsi turun menggunakan aturan
turunan.
3. Menggambar sketsa grafik fungsi dengan menentukan perpotongan
sumbu koordinat, titik stasioner dan kemonotonannya
4. Menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenis ekstrimnya
5. Menentukan persamaan garis singgung fungsi.
:
Fungsi naik, Fungsi turun dan Stationer
Function Increase, Decrease and Stationer
y = f (x)
y
f (x) turun
f (x) naik
x
Pada gambar fungsi f (x), titik P terletak pada kurva
dengan koordinat {a, f (a)}. Untuk x < a, fungsi f (x)
merupakan fungsi turun. Sedangkan untuk x > a,
fungsi f (x) merupakan fungsi naik. Untuk x = a,
fungsi f (x) dalam kondisi diam(tidak turun dan
tidak naik). Kondisi diam tersebut dinamakan
stationer.
{a, f (x)}
a. Fungsi turun, jika turunannya f' (x) < 0
b. Fungsi naik, jika turunannya f' (x) > 0
c. Fungsi diam (stationer), jika turunannya f' (x) = 0
Contoh :
1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari f (x) = x3 + 3x2 – 9x + 6 jika fungsinya turun.
Jawab :
Syarat fungsi turun jika turunan fungsi f (x) < 0 → f' (x) < 0
f (x) = x3 + 3x 2 – 9x + 6 → f' (x) = 3x2 + 6x – 9 < 0
3x2 + 6x – 9 < 0 (dibagi dengan 3)
x2 + 2x – 3 < 0
(x + 3) (x – 1) < 0
x + 3 > 0 → x < –3
x–1<0 →x<1
HP : {x  –3 < x < 1}
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
30
2.
Tentukan nilai x yang memenuhi dari f (x) = = x2 – 8x + 12
Jawab :
f (x) = = x2 – 8x + 12 → f' (x) = 2x – 8 < 0
2x – 8 < 0 → 2x < 8
x<4
3.
Tentukan himpunan penyelesaian dari f (x) = x (x + 2)2 jika fungsinya naik.
Jawab :
Syarat fungsi naik jika turunan fungsi f (x) > 0 → f' (x) > 0
f (x) = x (x + 2) 2 = x (x2 + 4x + 4) = x3 + 4x2 + 4x
f' (x) = 3x2 + 8x + 4 > 0
(3x + 2) (x + 2) > 0
2
3x + 2 > 0 → 3x > –2 → x > –
3
x + 2 < 0 → x < –2
2
HP : {x  x < –2 atau x > – }
3
4.
Tentukan nilai x yang memenuhi dari f (x) = 1 + 2x – 2x2 – 2x3 jika fungsinya naik.
Jawab :
f (x) = 1 + 2x – 2x2 – 2x 3 → f'(x) = 2 – 4x – 6x2 > 0
2 – 4x – 6x2 > 0 (dibagi dengan 2)
1 – 2x – 3x2 > 0 → 3x 2 + 2x – 1 < 0
(3x – 1) (x + 1) < 0
1
3x – 1 < 0 → 3x < 1 → x <
3
x + > 0 → x > –1
1
HP : {x  –1 < x < }
3
5.
Tentukan nilai x yang memenuhi dari f (x) = x3 – 3x2 – 9x + 8 jika fungsinya diam
(stationer).
Jawab :
Syarat fungsi stationer jika turunan fungsi f (x) = 0 → f' (x) = 0
f (x) = x3 – 3x 2 – 9x + 8 → f' (x) = 3x2 – 6x – 9 = 0
3x2 – 6x – 9 = 0 (dibagi dengan 3)
x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x + 1) = 0
x–3=0 →x=3
x + 1 = 0 → x = –1
HP : {–1, 3}
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
31
Soal latihan :
1.
Tenuktan himpunan penyelesaian dari fungsi berikut, jika fungsinya turun :
a. f (x) = x2 – 2x + 6
b. f (x) = x3 – 2x 2 + 55x – 5
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
2.
Tentukan himpunan penyelesaian dari fungsi berikut, jika fungsinya naik :
a. f (x) = 2x3 – 6x 2 – 18x + 14
b. f (x) = 2x3 + 3x2 + 12x + 6
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
3.
Tentukan nilai stationer dari fungsi :
a. f (x) = 2x3 + 3x 2 – 12x – 11
b. f (x) = x2 – 2x – 3
Jawab :
………………………………………………………………………………………….....
2.
2.
Persamaan Garis Singgung
Equation of Polecat Line
Persamaan garis singgung pada kurva parabola di titik P (x 1 , y1) adalah ….
y – y1 = m (x – x 1)
m = gradien garis
= f'(x)
Contoh :
1.
Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 – 5x – 6 di titik (2, –12).
Jawab :
y = x2 – 5x – 6 → y' = 2x – 5
m = 2 (2) – 5 = 4 – 5 = –1
y – y1 = m (x – x 1)
y – (-12) = –1(x – 2)
y + 12 = –x + 2
x + y + 12 – 2 = 0
x + y + 10 = 0
2.
Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 + 4 di titik dengan absis
x1 = 2.
Jawab :
y = x2 + 4 → y' = 2x
m = 2 (2) = 4
y1 = (2)2 + 4 = 4 + 4 = 8
y = m (x – x1 ) + y1
y = 4 (x – 2) + 8
y = 4x – 8 + 8
y = 4x
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
32
3.
Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = 3x2 yang sejajar dengan garis
y = 3x – 6.
Jawab :
y = 3x2 → y' = 6x → m1 = 6x
y = 3x – 6 → y' = 3 → m2 = 3
Karena garisnya sejajar maka m 1 = m2 = 3
1
6x = 3 → x1 =
2
1 2
1
3
y1 = 3 ( ) = 3 ( ) =
2
4
4
y = m (x – x1 ) + y1
1
3
y = 3 (x – ) +
2
4
3
3
y = 3x –
+
2
4
3
y = 3x –
atau 4y – 12x + 3 = 0
4
Soal latihan :
1.
Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva :
a. y = 3x2 – 4x di titik (1 , –1)
b. y = x2 + 4x di titik (1, 5)
c. y = x2 + 1 di titik dengan absis x1 = 2
d. y = x2 + 4x + 1 di titik dengan absis x1 = 1
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
2.
Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 + 1, jika :
a. sejajar dengan garis y = 4x + 1
b. tegak lurus dengan garis y = 3 – 2x
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
3.
3.
Teorema L'Hospital
L'Hospital Theorem
Jika Jika
lim
f(x)
x → a g(x)
lim f (x) = 0 dan
x→a
= lim
f' (x)
x → a g' (x)
lim g (x) = 0, sehingga
x →a
f(x) 0
=
x → a g(x) 0
lim
maka
. (masing-masing diturunkan)
Contoh :
1.
x 2 − 2x − 3
2x − 2
= lim
= 2(3) – 2 = 6 – 2 = 4
x→ 3
x →3 1
x−3
2.
x 2 − 7x + 10
2x − 7 2 (2 ) − 7
4−7
= lim
=
=
= –3
2
x → 2 x − 3x + 2
x → 2 2x − 3
2( 2) − 3
4−3
lim
lim
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
33
3.
x3 − 8
3x 2
3(2 ) 2
= lim
=
=4
x → 2 3x − 6
x →2 3
3
4.
cos x − 1
− sin x
− cos x
− cos 0o 1
=
=
=
lim
lim
=
x → 0 2x 2
x → 0 4x
x →0
4
4
4
lim
lim
EVALUASI 5
A.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Pilihlah jawaban yang benar.
Himpunan penyelesaian dari f (x) = 2x3 + 3x2 – 12x + 11 jika fungsinya turun
adalah ….
a. {x  x < –1 atau x > 2}
c. {x  –2 < x < 1}
e. {x  1 < x < 2}
b. {x  x < –1 atau x > –2}
d. {x  –2 < x < –1}
1 3 1 2
Fungsi f (x) = x – x – 2x + 5, naik pada ….
3
2
a. {x  x < –1 atau x > 2}
c. {x  x < –2 atau x > 1} e. {x  –2 < x < 1}
b. {x  x < 1 atau x > 2}
d. {x  1 < x < 2}
Nilai x yang memenuhi fungsi f (x) = x3 – 3x2 + 6, jika fungsinya turun adalah ….
a. {x  x < 1 atau x > 3}
c. {x  0 < x < 2}
e. {x  –2 < x < 0}
b. {x  x < 0 atau x > 2}
d. {x  0 < x < 3}
Himpunan penyelesaian dari f (x) = x3 – 6x2 + 9x + 1, jika fungsinya diam adalah ….
a. {1, –3}
c. {3, –1)
e. {2, 3}
b. {1, 3}
d. {–3, 3}
1
Fungsi f (x) = x3 – 4x, stationer pada titik ….
3
a. {1, 1}
c. {2, 2}
e. {2, –2}
b. (1 , –1}
d. (1 , –2}
Nilai x yang memenuhi fungsi f (x) = x3 – x2 – x + 1, jika fungsinya naik adalah ….
1
1
1
a. {x  x < –1 atau x > }
c. {x  x <
atau x > 1} e. {x  –1 < x < }
3
3
3
1
1
b. {x  x < – atau x > 1}
d. {x  – < x < 1}
3
3
Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x3 + x di titik (1, 2) adalah ….
a. y = 4x + 2
c. y = 2x – 4
e. 2x – 2
b. y = 4x – 2
d. y = 2x + 2
Persamaan garis yang menyinggung kurva y = 1 – x3 di titik dengan absis = 2 adalah ….
a. y – 12x + 17 = 0
c. 12x + y – 17 = 0
e. 12x + y + 17 = 0
b. 12x – y – 17 = 0
d. 12x – y + 17 = 0
Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x3 – x di titik (2, 6) adalah ….
a. y = 11x + 6
c. y = 11x + 16
e. y = 11x – 16
b. y = –11x + 6
d. y = –11x + 16
Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 – 2x – 3 dan sejajar dengan garis
y = 2 – 6x adalah ….
a. 6x + y + 7 = 0
c. x + 6y + 7 = 0
e. 6x – y – 7 = 0
b. 6x + y – 7 = 0
d. x – 6y – 7 = 0
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
34
B.
1.
2.
3.
4.
5.
Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar.
Tentukan himpunan penyelesaian dari fungsi f (x) = x3 – 3x2 , jika fungsinya turun.
Jawab :
……………………………………………………………………………………………
Tentukan nilai x yang memenuhi dari fungsi f (x) = x3 + 9x 2 + 15x + 5, jika fungsinya
naik.
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Tentukan nilai stationer dari fungsi f (x) = x3 – 6x2 + 2.
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 – 5x + 4 di titik (2, –2)
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = 4 – x2 di titik dengan absis
x1 = 1
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
16.5. Pemakaian Turunan
16.5. The Derivative
Indikator
Tujuan
Uraian Materi
1.
1.
: 1. Masalah-masalah yang bisa diselesaikan dengan konsep ekstrim fungsi
disusun model matematikanya
2. Model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi
ditentukan penyelesaiannya
: Siswa dapat :
1. Menentukan variabel-variabel (x dan y) dari masalah ekstrim fungsi
2. Menyatakan masalah nyata dalam kehidupan sehari-hari dibentuk ke
dalam model matematika
3. Menentukan penyelesaian model matematika dengan menggunakan
konsep ekstrim fungsi.
:
Hubungan antara Jarak (S), Kecepatan (v) dan Percepatan (a)
Relationship between distance (S), speed (v) and acceleration (a)
Jika persamaan dari jarak S (t) diturunkan terhadap waktu (t) maka menjadi kecepatan
atau v (t).
dS(t)
S (t) →
= S'(t) = v (t)
dt
Jika persamaan dari kecepatan v (t) diturunkan erhadap waktu (t) maka menjadi
perceparat atau a (t).
dv(t)
v (t) →
= v'(t) = a (t)
dt
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
35
Contoh :
1. Benda bergerak sepanjang lintasannya dengan persamaan gerak S (t) = 2t3 + 3t2.
Jika jarak dalam satuan meter dan waktu dalam satuan detik, tentukan kecepatan
dan percepatan pada saat t = 3 detik.
Jawab :
S (t) = 2t3 + 3t 2
v (t) = 6t2 + 6t ? v (3) = 6 . 32 + 6 . 3 = 54 + 18
= 72 m/s
a (t) = 12t + 6 ? a (3) = 12 . 3 + 6 = 36 + 6
= 42 m/s 2
2. Benda bergerak sepanjang lintasannya dengan persamaan gerak S (t) = 4t2 + 12t + 8.
Jika jarak dalam satuan meter dan waktu dalam satuan detik, tentukan kecepatan
dan percepatan pada saat t = 4 detik.
Jawab :
S (t) = 4t2 + 12t + 8
dS(t)
v (t) =
= 8t + 12
dt
v (4) = 8 (4) + 12 = 32 + 12
= 44 m/s
v (t) = 8t + 12
dv(t)
a (t) =
= 8
dt
2
a (4) = 8 m/s (gerak beraturan)
2.
2.
Maksimum dan Minimum
Maximum and Minimum
Syarat nilai maksimum dan minimum adalah turunan dari fungsi f (x) = 0 atau f' (x) = 0.
Contoh :
1. Sebuah bola ditembakan tegak lurus ke atas dengan memenuhi persamaan gerak h
(t) = 32 – 4t2. Jika ketinggian maksimum dalam satuan meter dan waktu dalam
satuan detik, tentukan ketinggian maksimum yang dicapai bola.
Jawab :
h (t) = 32t – 4t2 → h' (t) = 32 – 8t
Syarat maksimum jika h' (t) = 0
32 – 8t = 0 → 8t = 32
t = 4 detik
h (4) = 32 (4) – 4 (4) 2 = 128 – 64
= 64 meter.
2. Sebuah ba lok dengan alas berbentuk bujur sangkar dan bagian atasnya tanpa tutup
dibuat agar dapat menampung volume 32 cm3. Tentukan ukuran dari balok agar
bahan yang dipakai minimum.
Jawab :
Volume balok :
V = p x l x t → alas berbenuk bujur sangkar, p = l
32
32 = p x p x t → t = 2
p
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
36
Luas permukaan balok anpa tutup :
Lp = p x l + 2 x p x t + 2 l x t → p = l
Lp = p x p + 2 x p x t + 2 p x t
Lp = p2 + 4pt
32
128
Lp = p2 + 4p. 2 → Lp = p2 +
p
p
Agar luas bahan yang digunakan minimum → Lp' = 0
128
Lp' = 2p – 2 = 0
p
128
2p – 2 = 0 (dikali dengan p2 )
p
2p3 – 128 = 0 → p3 = 64
p = 3 64 = 4 cm
l = p = 4 cm
32
32
= 2 = 2 cm
2
p
4
Jadi ukuran balok adalah panjang = 4 cm, lebar = 4 cm dan tinggi = 2 cm.
t=
Soal latihan :
1.
Sebuah benda bergerak sepanjang lintasannya memenuhi persamaan gerak
S (t ) = 4t3 – 3t 2 + 8t + 10 (satuan meter). Pada saat benda bergerak dalam waktu 3
detik, tentukan :
a. kecepatan
b. percepatan
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
2.
Peluru ditembakan keatas tegak lurus dengan persamaan h (t) = 60t – 5t2 (meter)
Berapa tinggi maksimum sebelum peluru kembali lagi ke bawah ?
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
3.
Reaksi obat tidur setelah disuntikan pada tubuh dapat dinyatakan dengan persamaan
F (t) = 6t – t2 , dimana t adalah waktu perjam. Tentukan reaksi maksimum yang dicapai.
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
4.
Talang air terbuat dari seng denan lebar 4 meter. Jika penampang talang berbentuk
persegi panjang dengan ukuran x dan y, tentukan ukuran penampang talang agar air
yang mengaliir sebanyak-banyaknya.
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
5.
Sebuah tabung tanpa tutup terbuat dari seng, dapat menampung minyak se banyak
64π cm3. Tentukan ukuran dari tabung agar luas bahan yang digunakan minimum.
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
37
ULANGAN HARIAN 2
A.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Pilihlah jawaban yang paling benar !
Turunan pertama dari f (x) = 4x (x2 + 3) adalah f' (x) = ….
a. 4x3 + 12x
c. 4x2 + 12x
e.
b. 12x2 + 12x
d. 12 (x2 + 1)
Turunan pertama dari fungsi f (x) = (x – 5)2 adalah f'(x) = ….
a. 2x – 10
c. 2x + 25
e.
b. 2x + 10
d. x2 – 10x – 25
Turunan pertama dari : f (x) = (x3 + 1) (x4 – 1) adalah ….
a. 12x6 + x4 – x3 – 1
c. 7x6 + 4x 3 – 3x2
e.
6
4
3
b. 12x – x + x
d. 7x6 – 4x 3 + 3x2
Turunan pertama dari f (x) = x2 (x3 + 2) adalah ….
a. f '(x) = 5x4 + 4
c. f '(x) = 5x + 2
e.
b. f '(x) = 6x4 + 2x
d. f '(x) = x (5x 3 + 4)
Turunan pertama dari f (x) = (2x – 3) (x2 + 6) adalah f' (x) = ….
a. 2x3 – 3x2 + 12x – 18
c. 6x2 – 3x + 6
e.
3
2
2
b. 2x – 3x + 12x
d. 2 (x – x + 6)
Turunan pertama fungsi f (x) = 6 x + 3x adalah f ' (x) = ….
a. 3 x – 3x
c. 3 x + 3x
b. 3 x – 3
d.
3
e.
12 (x + 1)
x2 – 10x + 25
42x5 + 12x 2 – 6x
f '(x) = x2 (5x2 + 4)
6 (x2 – x + 2)
3
+3
x
– 3x
x
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Turunan pertama fungsi y = 17 − 4x 2 adalah y' = ….
8x
2x
1
a. −
c. −
e. −
2
2
17 − 4x
17 − 4x
17 − 4x 2
4x
x
b. −
d. −
17 − 4x 2
17 − 4x 2
Turunan dari fungsi y = sin (4x + 3) adalah f ‘(x) = ….
a. ¼ cos (4x + 3)
c. –4 cos (4x + 3)
d. cos (4x + 3)
b. –¼ cos (4x + 3)
d. 4 cos (4x + 3)
Turunan pertama dari y = sin 2x – cos 3x adalah ….
a. cos 2x + sin 3x
c. –2 cos 2x + 3 sin 3x
e. –2 cos 2x – 3 sin 3x
b. –cos 2x – sin 3x
d. 2 cos 2x + 3 sin 3x
Turunan fungsi f (x) = 4x3 + 2x2 – 8x adalah f' (x). Nilai f' (–1) = ….
a. 6
c. 2
e. –4
b. 4
d. 0
Persamaan garis singgung kurva y = 2x2 – 5x – 3 pada titik P (2, –5) adalah ….
a. 3y – x – 11 = 0
c. 3x + y + 11 = 0
e. 3x – y – 11 = 0
b. 3y + x + 11 = 0
d. 3x – y + 11 = 0
Grafik fungsi f (x) = x3 – 3x + 3, naik pada interval ….
a. -1 < x < 3
c. x > 1 atau x > 3
e. x < -1 atau x > 1
b. 1 < x < -3
d. x < 1 atau x > -1
Fungsi y = x3 – 3x2 , turun pada interval ….
a. x > 0
c. 0 < x < 3
e. x > 3
b. x > 2
d. 0 < x < 2
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
38
14.
15.
B.
1.
2.
3.
4.
5.
Fungsi f (x) = 2x3 + 3x2 – 12x + 2, turun pada interval ….
a. 1 < x < 2
c. -2 < x < 2
b. -2 < x < 1
d. -1 < x < 1
Fungsi f yang ditentukan oleh :
f (x) = 2x3 + 9x 2 – 24x naik pada interval:
a. x < -4 atau x > 1
c. x < -1 atau x > 4
b. x < -4 atau x > -1
d. -1 < x < 4
e. -1 < x < 2
e. -4 < x < 1
Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !
Tentukan turunan pertama dari fungsi f (x) = (2x 2 – 1) (x2 + 3x).
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
8
Tentukan turunan pertama dari fungsi f (x) = 5x –
x
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Tentukan turunan pertama dari fungsi f (x) = 3 sin 2x + 5 cos 3x
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 – 5x + 4 pada titik yang
berbsis 2.
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
1
Grafik fungsi f (x) = x3 – 3x2 + 5x, naik pada interval ….
3
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Siapa yang keluar rumah untuk menuntut ilmu
maka ia berjuang fisabilillah hingga kembali
Who went out to the science he struggled to return
Fisabilillah
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
39
KOMPETENSI 17
INTEGRAL
INTEGRAL
Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
: 17. Integral
: 17.1. Memahami konsep Intergral tak tentu dan Integral tentu
17.2. Integral Subsitusi dan Integral Parsial
17.3. Pemakaian Integral
: 36 jam pelajaran
: Minggu ke 10 s.d. ke 18
Alokasi Waktu
Dilaksanakan Pada
Tujuan Pembelajaran Umum :
Siswa dapat menerapkan konsep dari integral dalam memecahkan permasalahan baik di
sekolah maupun dalam kehidupan sehari-hari.
17.1. Integral Tak Tentu dan Tertentu
17.1. Not Necessarily and a Certain Integral
Indikator
Tujuan
Uraian Materi
: 1. Fungsi aljabar dan trigonometri ditentukan integral tak tentunya
2. Fungsi aljabar dan trigonometri ditentukan integral tentunya
3. Menyelesaikan masalah yang melibatkan integral tentu dan tak tentu
: Siswa dapat :
1. Mengenal integral tak tentu sebagai anti turunan
2. Menentukan integral tak tentu dari fungsi sederhana
3. Merumuskan integral tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri
4. Merumuskan sifat-sifat integral tak tentu
5. Mengenal integral tentu seba gai luas daerah dibawah kurva
6. Mendiskusikan teorema dasar kalkulus
7. Merumuskan sifat integral tentu
8. Menyelesaikan masalah aplikasi integral tak tentu dan integral tentu
:
1.
1.
Integral Tak Tentu
Not Necessarily Integral
A.
A.
Fungsi Aljabar
Algebraic Function
Rumus Dasar Integral tak tentu :
a
n
n +1
1.
∫ ax dx = n + 1 x + C → n ≠ -1
2.
∫ a dx = ax + C
3.
1
∫ x dx = ∫ x
-1
dx = ln x + C
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
40
Contoh :
1.
∫ ( 2x + 3) dx
2.
∫ (3x
3.
5.
2 1+1
x + 3x + C = x2 + 3x + C
1+1
3 2+1
6 1+1
x –
x + 5x + C
2 +1
1+1
= x3 – 3x2 + 5x + C
− 6 x + 5) dx =
2
3
5
1
3 3 5 2 1
3+1
2+1
1+1
∫ ( 2 x + 6 x − 2 x) dx = 3 2+ 1 x + 2 6+ 1 x – 1 +2 1 x + C
3
5
1
= 2 x4 + 6 x 3 – 2 x2 + C
4
3
2
3 4
5 3 1 2
= x +
x – x +C
8
18
4
2
4.
=
1
1
∫ ( 4x 3 − 3x 2 + 2x 4 ) dx =
4
2
+1
x3 −
3
1
+1
x2 +
2
1
+1
x4 + C
2
1
1
+1
+1
+1
3
2
4
5
3
5
5
3
5
4
3
2
12 3
8
= x3 − x2 + x4 + C =
x − 2x 2 + x 4 + C
5
3
5
5
5
3
2
4
3
∫ (4 x
1
2
1
3
5
+ x ) dx
6
3
5
3
5
1
1
3
4
+1
+1
6
6
4
3
4
2
2
=
x +
x +C = x + x3 +C
1
1
3
4
+1
+1
2
3
2
3
3
4
3
4
6 2 15 3
1
5
=
x + x + C = x 2 + x3 + C
12
24
2
8
Soal Latihan :
1.
2.
3.
a.
∫ 6x
3
dx = ….
b.
∫ (4x
2
− 6 x) dx = ….
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
a. ∫ (2 x 2 − 8x + 3) dx = ….
b. ∫ (8 x 3 + 3x 2 − 5x + 6) dx = ….
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
1
1
2
3
3
a. ∫ ( x 2 − x) dx = ….
b. ∫ ( x 3 + x 2 + x + 4) dx = ….
2
5
5
2
4
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
41
4.
1
3
3
5.
1
4
2
1
1
b. ∫ (5x 3 − 6x 5 + 3x 8 ) dx = ….
∫ ( 4x + 5x ) dx = ….
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
a.
1
1
1
1
5
5
2
3
b. ∫ ( x 2 − x 3 + 3x 5 ) dx = ….
∫ ( 4 x 4 + 6 x 4 ) dx = ….
3
4
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Bentuk Perkalian
Untuk menyelesaikan integral bentuk perkalian, sebelum di integralkan perkaliannya
diselesaiaka n dulu.
Contoh :
15 3 12 2
2
1.
∫ 3x (5x + 4) dx = ∫ (15x + 12x) dx = 3 x + 2 x + C
= 5x3 + 6x2 + C
2.
∫ (x + 3) (2x - 4) dx
=
∫ (2x
=
2 3
x + x 2 – 12x + C
3
2
− 4 x + 6x - 12) dx = ∫ ( 2x 2 + 2x - 12) dx
Bentuk Pembagian
Untuk menyelesaikan integral bentuk pembagian, sebelum di integralkan pembagiannya di
selesaikan dulu
Contoh :
6 x 3 − 4 x 2 + 8x
1.
(
) dx = ∫ (3 − 2 x -1 + 4x -2 ) dx = 3x – 2 ln x – 4x-1 + C
∫
2x3
2.
∫(
5x 4 + 3x 3 − 2 x + 1
) dx =
3x2
5
2 -1 1 - 2
x + x ) dx
3
3
5
1
1
2
= 3 x3 + x2 − ln x + 3 x-1 + C
3
2
3
−1
5 3 1 2 2
1
= x + x – ln x – x -1 + C
9
2
3
3
∫ (3 x
2
+x−
Bentuk Pangkat
Untuk menyelesaikan integral bentuk pangkat, sebelum di integralkan fungsinya di
pangkatkan dulu.
Contoh :
1 3
2
2
2
1.
∫ (x + 3) dx = ∫ (x + 6x + 9) dx = 3 x + 3x + 9x + C
2.
∫ (2x − 4)
2
dx = ∫ (4x 2 − 16 x + 16) dx =
4 3
x – 8x2 + 16x + C
3
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
42
Bentuk Akar
Untuk menyelesaikan integral bentuk akar, akarnya diubah dulu ke bentuk pangkat pecahan.
Contoh :
1.
1
∫ x . x 2 dx =
∫ x x dx =
5
∫
dx
x3
=
5
1 2
2
x + C= x 2 + C
5
5
2
=
2.
3
∫ x 2 dx
-
3
∫ x 2 dx
1
1
1 -2
=
x + C = − 2x 2 + C
1
−
2
Soal latihan :
1.
a. ∫ (8x 5 − 9x 2 + 10x) dx = …. b. ∫ (12x 3 + 6x 2 − 4x + 5) dx = ….
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
2.
a. ∫ 3 x 2 (2x + 4) dx = ….
b. ∫ (4x + 2) (2x + 3) dx = ….
3.
4.
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
2
3 1
3x 2 − 4 x + 8
a. ∫ ( 3 − 2 + ) dx = ….
b. ∫ (
) dx = ….
x
x
x
2x 3
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
a. ∫ (x + 5) 2 dx = ….
b. ∫ (3x − 2) 2 dx = ….
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
5.
a.
∫5
x dx = ….
b.
∫ 2x (
x 3 − x ) dx = ….
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
43
EVALUASI 6
A.
1.
Pilihlah jawaban yang dianggap paling benar
2
∫ ( x − 6x + 12) dx = ….
a. 2x – 6 + C
d.
b. x3 – 3x 2 + 12 + C
e.
1 3
x – 3x2 + 12 + C
3
2
∫ (3x + 4x + 2) dx = ….
1 3
x – 3x 2 + 12x + C
3
1 3
x – 6x 2 + 12x + C
3
c.
2.
3.
a. x2 + 2x + 2 + C
b. x3 + 2x 2 + 2 + C
c. x3 + 2x 2 + 2x + C
2
∫ (x − 3) dx = ...
1 3
x – 6x2 + 9x + C
3
1 3
b.
x – 3x2 + 9x + C
3
2
∫ 4x (x − 4x + 4) dx = ….
a.
4.
2 3
x – 4x 2 + 16x + C
3
16 3
b. x4 –
x + 8x2 + C
3
16 3
4
c. x –
x + 16x2 + C
3
2
∫ (x − 6) dx = ….
a.
5.
1 3
x – 6x2 + 36x + C
3
1 3
b.
x – 12x 2 + 36x + C
3
1 3
c.
x – 6x2 – 36x + C
3
3x 2 − 4 x + 6
∫ ( 2x3 ) dx = ….
3
a.
– 2x -1 – 3x-2 + C
2
3
b.
+ 2x -1 – 3x-2 + C
2
3
3
c.
ln x – 2x-1 − x-2 + C
2
2
a.
6.
d. 3x3 + 2x 2 + 2x + C
e. 3x3 + 4x 2 + 2x + C
c.
1 3
x – 6x 2 + 6x + C
3
e. x2 – 6x + 6 + C
d. x2 – 6x + 9 + C
d. x4 – 8x3 + 8x2 + C
e. x4 – 16x 3 + 8x2 + C
d.
e.
d.
e.
1 3
x – 12x2 – 36x + C
3
1 3
x – 12x2 – 36 + C
3
3
ln x – 2x -1 +
2
3
ln x + 2x-1 −
2
3 -2
x +C
2
3 -2
x +C
2
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
44
7.
∫ (x + 4) (2x − 3) dx
2 3
x +
3
2 3
x 3
a.
b.
8.
∫ 3x
= ....
5 2
x - 12x + C
2
5 2
x - 12x + C
2
2 4
x x +C
3
2 3
b.
x x +C
3
2
∫ (2x − 3) dx = ….
4 3
x + 6x 2 + 9x + C
3
4 3
b.
x – 6x 2 – 9x + C
3
3
∫ ( x − 2 x ) dx = ....
a.
10.
a.
b.
B.
1.
2.
3.
e. 2x2 + 5x - 12 + C
d. 2x2 - 5x - 12 + C
x 5 dx = ….
a.
9.
c. x3 - 5x2 - 12x + C
5
3 3
x5 −
x +C
2
4
5 5 4 3
x −
x +C
2
3
d.
e.
c.
d.
c.
d.
2 3
x x +C
9
2 2
x x +C
9
4 3
x – 6x2 + 9x + C
3
4 3
x + 9x + C
3
2 5 4 3
x −
x +C
5
3
2 5 3 3
x −
x +C
5
4
e.
2 4
x x +C
9
e. 8x2 – 9x + C
e.
x5 − x3 + C
Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar.
2
∫ (3x − 4 x + 5)dx = ….
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
2
∫ (3x − 2)( x + 1) dx = ….
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
2
∫ (3x + 1) dx = ….
4.
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
 x2 + 5x + 4 
∫  3x 3 dx = ….
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
5.
∫ 7x
x 3 dx = ….
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
45
B.
B.
Fungsi Trigonometri
Trigonometric Function
Rumus dasar integral :
1.
∫ sin x dx = – cos x = C
1
∫ sin ax dx = − a cos ax + C
∫ cos x dx = sin x + C
2.
3.
1
∫ cos ax dx = a sin ax + C
4.
;
;
1
∫ sin (ax + b) dx = − a cos (ax + b) + C
1
∫ cos (ax + b) dx = a sin (ax + b) + C
Contoh :
1
sin 4x + C
4
1.
∫ cos 4x dx =
2.
∫ sin 3 x dx = – 2
3.
∫ (cos 5x - 2 sin 6x) dx =
4.
∫ (2x + sin 8x + 4 cos 3x) dx
2
3
cos
2
x+C
3
1
1
sin 5x +
cos 6x + C
5
3
= x2 –
1
4
cos 8x +
sin 3x + C
8
3
Soal latihan :
1.
2.
3.
4.
5.
a.
∫ (sin 2x − 5 cos x) dx
= ….
b.
∫ (cos 5x + 2 sin 3x) dx
= ….
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
b. ∫ 5 sin (2x + 3) dx = ….
∫ cos (4x + 3) dx = ….
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
3
3
∫ (3 cos 4 x + 4 sin 2x + 4x ) dx = …. b. ∫ (4 sin 5x + 3 cos (5 − 2x)) dx = ….
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
1 2 5
2
2
∫ ( 4 x − 6 sin 5x + 6 cos 3x) dx = …. b. ∫ (3x − cos 5 x + 2 sin 7x) dx = ….
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
∫ (2 cos 8x + 5 sin x + 3 x ) dx = …. b. ∫ (x x − sin (4 − 3x) + 6 cos 2x) dx = ….
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
46
EVALUASI 7
A.
1.
2.
3.
4.
5.
Pilihlah jawaban yang paling benar !
∫ sin (4x + 5) dx = ....
a. –¼cos (4x + 5) + C
b. ¼cos (4x + 5) + C
∫ (2 cos 2x − sin 3x) dx = ....
c. –4sin (4x + 5) + C
d. 4sin (4x + 5) + C
a. 4sin 2x - 3cos 3x + C
d. sin 2x -
b. -4sin 2x - 3cos 3x + C
1
e. sin 2x + cos 3x + C
3
∫ sin( 5 − 2x) dx = ....
1
cos (5 - 2x) + C
2
1
b.
cos (5 + 2x) + C
2
1
c. - cos (5 - 2x) + C
2
∫ (6 sin 2 x − 3 cos x)dx = ....
6.
7.
1
cis 3x + C
3
e. sin 2x + cos 3x + C
1
cos (5 - 2x) + C
5
1
e. - cos (5 - 2x) + C
5
a.
d.
a. 3cos 2x + 3sin x + C
b. -3cos 2x + 3sin x + C
c. -3cos 2x - 3sin x + C
∫ cos (4x + 3) dx = ….
d. 3cos 2x - 3sin x + C
e. 3sin 2x + 3cos x + C
1
sin 4x + C
4
1
b. - sin 4x + C
4
sin
∫ (2 − 3x) dx = ….
a.
1
cos (2 – 3x) + C
2
1
b.
cos (2 – 3x) + C
3
∫ (2 cos x - sin 2x) dx = ....
1
sin (4x + 3) + C
4
1
d. - sin (4x + 3) + C
4
1
sin 4x + C
3
c.
e.
1
cos (2 – 3x) + C
3
1
d. - cos (2 – 3x) + C
2
1
e. - cos 3x + C
2
a.
c. -
a. 2sin x – 2 cos 2x + C
d. 2sin x +
b. 2sin x – cos 2x + C
1
c. 2sin x –
cos 2x + C
2
e. cos (4x + 5) + C
1
cos 2x + C
2
e. 2sin x + cos 2x + C
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
47
8.
∫ (cos 4x - 2 sin 3x) dx = ....
a. -4sin 4x – 6 cos 3x + C
d.
b. 4sin 4x + 6 cos 3x + C
e.
1
sin 4x –
4
1
sin 4x +
4
2
cos 3x + C
3
2
cos 3x + C
3
1
1
sin 4x + cos 3x + C
4
6
2
∫ ( x + cos 2 x + 3 sin x) dx = ….
c.
9.
1 3 1
x + sin 2x - 3cos x + C d. 2x - 2sin 2x + 3cos x + C
3
2
1 3 1
b.
x + sin 2x + 3cos x + C e. 2x + 2sin 2x - 3cos x + C
3
2
1 3 1
c.
x - sin 2x - 3cos x + C
3
2
(2x
sin
2x
+ 5 cos 5x) dx = ….
∫
a.
10.
1
1
cos 2x + sin 5x + C
d. x2 –
cos 2x + sin 5x + C
2
2
1
1
b. 2x –
cos 2x + sin 5x + C e. x2 +
cos 2x + sin 5x + C
2
2
1
1
c. x2 +
cos 2x +
sin 5x + C
2
5
a. 2 –
B.
Jawablah pertanyaan dibawah ini dengan benar !
1.
∫ (4x
2.
3.
3
− 6 x 2 + 8 x) dx = ....
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
∫ (x + 3) (2x + 4) dx = ....
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
2
∫ (3x + 2) dx = ....
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
4.
5.
∫ 2x
x 3 dx = ....
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
∫ (cos (2x + 1) + 3 sin 5x) dx = ....
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
48
2.
2.
Integral Tertentu
Certain Integral
A.
A.
Bentuk Umum Integral Tertentu
The Form of a General Integral
b
b
∫ f (x) dx = F (x) a = F (b) - F (a)
a
Dimana :
a = batas bawah
b = batas atas
F (x) = fungsi hasil integral dari f (x)
F (b) = nilai fungsi F (x) untuk x = b
F (a) = nilai fungsi F (x) untuk x = a
B.
B.
Sifat-sifat Integral Tertentu
Attributes a Certain Integral
b
a
∫ f (x)dx = - ∫ f (x) dx
1.
a
c
b
b
c
a
b
∫ f (x) dx = ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx ; a < b < c
2.
a
a
∫ f (x) dx = 0
3.
a
b
b
a
a
∫ k . f (x) dx = k ∫ f (x) dx ; k = konstanta
4.
Contoh :
3
1.
∫ 2x dx = ....
1
Penyelesaian :
∫ 2x dx = [x ]
3
2 3
1
= (32 – 12)
1
=9– 1= 8
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
49
2
2.
∫(x
2
+ 4 x + 4) dx = ….
1
Penyelesaian :
2
1 3

2
∫1 ( x + 4x + 4) dx = 3 x + 2x + 4x 1
1
= (23 – 13) + 2 (22 – 12 ) + 4 (2 – 1)
3
1
1
= (8 – 1) + 2 (4 – 1) + 4 . 1 = 2 + 6 + 4
3
3
1
= 12
3
2
2
3
3.
∫ (x + 3)
2
dx = ….
1
Penyelesaia n :
3
1
3
1 3

2
∫ (x + 6x + 9) dx = 3 x + 3x + 9x 1
1
1 3 3
= (3 – 1 ) + 3 (32 – 12 ) + 9 (3 – 1)
3
1
= (27 – 1) + 3 (9 – 1) + 9 . 2
3
2
= 8 + 24 + 18
3
2
= 50
3
∫ (x + 3) dx =
2
3
2
4
4.
∫10 x
x dx = ….
1
Penyelesaian :
4
4
∫10 x x dx
1
4
3
= ∫10x 2 dx =
1
10
x
5
2
5
2
= 4 x5
4
1
1
= 4 ( 4 − 1 ) = 4 ( ( 22 ) 5 − 1 )
= 4 (25 – 1) = 4 (32 – 1)
= 124
5
5
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
50
3
5.
4
6
) dx = ….
3
x
1
Penyelesaian :
∫ (2 x + x
2
−
3
4
6
∫1 (2x + x 2 − x 3 ) dx =
3
3
4 -1 6 - 2
∫1 (2x + 4x − 6x ) dx = x + − 1 x − − 2 x 1
-2
-3
2
3
4 3
4
3
+ 2 2
+ 2 = (32 – 12) –
x x 1
(3 − 1) (3 − 1 )
4
3
3
=9 –1+
=8– 2+
2
9 −1
8
3
=6
8
= x2 −
π
6.
∫ sin 2x dx
= ….
π
2
Penyelesaian :
π
π
1
 1

o
o
∫ sin 2x dx = − 2 cos 2x  π = − 2 (cos 2 . 180 – cos 2 . 90 )
π
2
2
1
1
(cos 360o – cos 180 o) = − (1 – (-1))
2
2
1
= − .2
2
= -1
= −
π
2
7.
∫ 3 cos 4x dx = ….
π
6
Penyelesaian :
π
π
2
3
3
2
o
o
∫ 3 cos 4x dx =  4 sin 4x π = 4 (sin 4 . 90 – sin 4 . 30 )
π
6
6
3
3
1
(sin 360o – sin 120o) =
(0 –
3)
4
4
2
3
= −
3
8
=
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
51
Soal latihan :
2
1.
a.
∫ (4x + 2) dx = ….
3
b.
0
∫ (3x
2
− 2x + 5) dx = ….
1
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
2
2.
∫ 2x (3x + 1) dx = ….
a.
1
b.
−1
∫ (x + 2) (x + 3) dx
= ….
−1
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
3
3.
a.
2
∫ (x + 2) dx = ….
2
b.
0
∫ (2x − 3)
2
dx = ….
1
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
2
4.
a.
3
∫ 2x x dx = ….
b.
0
1
∫ (2x + x
2
) dx = ….
1
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
π
2
5.
a.
π
∫ 2 sin x dx = ….
b.
∫ cos 2x dx = ….
π
3
0
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
EVALUASI 8
A.
Pilihlah jawaban yang paling benar !
3
1.
∫ ( 2x + 3) dx
= ….
0
a. 9
4
2.
∫ (3x
b. 15
2
c. 18
d. 24
e. 27
c. 33
d. 36
e. 63
c. 15
d. 9
e. 5
− 4x + 1) dx = ….
1
a. 15
2
3.
∫ (x
2
−1
b. 30
+ 2x + 5) dx = ….
a. 21
b. 17
3
4.
∫ (3x − 1) dx
= ….
0
a. 8
b. 10
1
2
c. 13
1
2
d. 16
1
2
e. 18
5
5.
∫ ( 4x + 2) dx = ….
2
a. 6
b. 12
c. 24
d. 42
e. 48
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
52
4
6.
∫ (3 −
x ) dx = ….
a. 12
b. 9
0
9
7.
∫(
c. 7
1
3
d. 6
2
3
e. 5
1
3
x 3 − x ) dx = ….
0
a. 79
1
5
b. 54
3
5
c. 33
2
3
d. 27
e. 18
c. 12
d. 8
e. 7
c. 0
d. 2
e. 4
c. 1
d.
4
8.
∫3
x dx = ….
1
a. 16
b. 14
π
9.
∫ 2 sin x dx = ….
0
a. -4
b. -2
π
2
10.
∫ cos x dx
= ….
0
a. -1
B.
1
2
3
2
e. 2
Jawablah pertanyaan di bawah !
3
1.
b.
∫(x
1
2 − 2x + 2) dx
= ….
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
2
2.
∫ (6x + 1) dx = ….
0
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
4
3.
∫ (2x
2
− 3x + 4) dx = ….
1
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
4
4.
∫ (2x +
x ) dx = ….
0
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
π
5.
∫ sin 2x dx
= ….
π
2
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
53
17.2. Integral Substitusi dan Integral Parsial
17.2. Substitution Integral and Partial Integral
Indikator
Tujuan
Uraian Materi
1.
1.
: 1. Nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara substitusi
2. Nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara parsial
3. Nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara substitusi
trigonometri
: Siswa dapat :
1. Menentukan nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara
substitusi
2. Menentukan nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara parsial
3. Menentukan nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara
substitusi trigonometri
4. Melakukan teknik pengintegralan untuk menyelesaikan masalah.
:
Integral Substitusi
Substitution Integral
Untuk mengerjakan soal-soal integral benuk perkalian, pembagian, dan bentuk pengkat, maka
sebelum diintegralkan erlebih dahulu harus diselesaikan dalam bentuk penjumlahan atau
selisih. Jika bentuk-bentuk ttersebut tidak dapat diubah ke bentuk jumlah atau selisih, maka
harus diselesaikan dengan cara substitusi.
Ingat rumus dasar intergal :
1 n +1
n
∫ x dx = n + 1 x + c ; n ≠ –1
∫ sin xdx = –cos x + c
∫ cos xdx = sin x + c
Karena yang akan diselesaikan adalah fungsi dari aljabar dan fungsi trigonometri, maka
untuk integral substitusi rumusnya adalah :
1
∫ u du = n + 1 u + C
∫ sin udu = –cos u + C
∫ cos udu = sin u + C
n
Contoh :
1.
Selesaikan :
n +1
∫ x(x
2
; n ≠ –1 dan u = f (x)
− 2 ) 3 dx
Jawab :
du
du
= 2x atau dx =
dx
2x
du
1
3
3
2
3
∫ x(x − 2) dx = ∫ x.u 2x = ∫ 2 u du
1
1 4
1 2
4
=
u 3+1 + C = u + C = (x – 2) + C
2(3 + 1)
8
8
Misal : u = x2 – 2 →
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
54
2.
Selesaikan :
∫ 2 x( x + 5)
6
dx
Jawab :
du
= 1 atau dx = du
dx
6
6
∫ 2 x( x + 5) dx = ∫ x.u du
Karena masih ada unsur x, maka x harus dinyatakan dalam u.
u = x + 5 → x = u – 5 → 2x = 2(u – 5), jadi :
6
6
∫ 2 x( x + 5) dx = ∫ 2(u − 5).u du
Misal : u = x + 5 →
=
∫ 2u
7
− 10u 6 du
2 8 10 7
u –
u +C
8
7
1
10
= (x + 5)8 –
(x + 5)7 + C
4
7
=
3.
Selesaikan :
x2
∫ ( x 3 − 3) 5 dx
Jawab :
du
du
= 3x2 → dx =
dx
3x 2
du
1 −5
x 2 du
∫ u 5 3x 2 = ∫ 3u 5 = ∫ 3 u du
1
u–5 + 1 + C
3( −5 + 1)
1
− u–4 + C
12
1
− (x3 – 3)–4 + C
12
1
+C
−
3
12 ( x − 3) 4
Misal : u = x3 – 3 →
x2
∫ ( x 3 − 3) 5 dx =
=
=
=
=
4.
Selesaikan :
∫x
x 2 + 6 dx
Jawab :
du
du
= 2x → dx =
dx
2x
1
du
1
2
∫ x x + 6 dx = ∫ x u 2 x = ∫ 2 u 2 du
1
3
+1
1
1
=
u2 +C =
u2 +C
1
3
2( + 1)
2( )
2
2
3
1
1
= ( x 2 + 6) 2 + C =
( x 2 + 6) 3 + C
3
3
Misal : u = x2 + 6 →
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
55
5.
Selesaikan :
∫ 4x cos( x
2
− 1)dx
Jawab :
du
du
= 2x → dx =
dx
2x
du
2
∫ 4x cos( x − 1)dx = ∫ 4 x cos u 2 x = ∫ 2 cos udu
= 2 sin u + C
= 2 sin (x2 – 1) + C
Misal : u = x2 – 1 →
6.
Selesaikan :
∫ sin
3
x .cos xdx
du
du
= cos x → dx =
dx
cos x
du
3
3
3
∫ sin x.cos xdx = ∫ u cos x cos x = ∫ u du
1
= u4 + C
4
1
= sin4 + C
4
Misal : u = sin x →
Soal latihan :
1.
Selesaikan :
a. ∫ 4 x ( x 2 + 2) 4 dx
2.
3.
4.
∫ (2 x − 1)( x
2
− x ) 5 dx
Jaw ab :
………………………………………………………………………………………….....
Selesaikan :
a. ∫ 3 x 2 ( x 3 − 4) 3 dx
b. ∫ (3 x 2 + 4)( x 3 + 4 x ) dx
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Selesaikan :
4x
( 2 x + 3)
a. ∫ 2
b. ∫ 2
dx
dx
( x − 2) 4
( x + 3 x)
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Selesaikan :
a.
5.
b.
∫ 3x
x 2 − 5dx
b.
∫ 3x
2
2 x 3 + 1dx
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Selesaikan :
a. ∫ 4 x sin( 2 x 2 − 6 )dx
b. ∫ cos 4 x .sin xdx
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
56
2.
2.
Integral Parsial
Partial Integral
Integral parsial digunakan untuk menyelesaikan soal-soal integral fungsi aljabar dan fungsi
trigonometri yang tidak dapat diselesaikan dengan cara substiusi.
Rumus Integral Parsial :
∫ u'.vdx = uv − ∫ uv' dx
dimana :
u = f (x) dan v = f (x)
u' = turunan dari u dan v' turunan dari v
− cos x . sin n −1 x n − 1
+
sin n − 2 dx
∫
n
n
n −1
sin x . cos
x n −1
n
+
cos n − 2 dx
∫
∫ cos x dx =
n
n
n
∫ sin x dx =
Contoh :
1.
Selesaikan :
∫ xsin xdx
Misal : u' = sin x → u = –cos x
v = x → v' = 1
∫ xsin xdx = uv – ∫ uv' dx
= –cosx . x –
= –x coc x +
∫ − cos x.1dx
∫ cos xdx
= –x coc x + sinx + c
= sinx – x cos x + c
2.
Selesaikan :
∫x
2
cos xdx
Misal : u' = cosx → u = sin x
v = x2 → v' = 2x
2
∫ x cos xdx = uv – ∫ uv' dx
= sin x . x2 –
2
= x sin x –
∫ sin x.2xdx
∫ 2x sin xdx
Misal : u' = sin x → u = –cos x
v = 2x → v' = 2
2
2
∫ x cos xdx = x sin x – {(– cos x . 2x) –
∫ − cos x.2dx }
∫ x cos xdx = x sin x + 2x cos x - ∫ 2 cos xdx
2
2
∫ x cos xdx = x sin x + 2x cos x - 2 sin x + C
2
2
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
57
3.
Selesaikan :
∫ sin
3
x dx
Jawab :
− cos x . sin 3 − 1 x 3 − 1
+
sin 3 − 2 dx
∫
3
3
1
2
= − cos x . sin2 x +
sin xdx
3
3 ∫
1
2
= − cos x . sin2 x –
cos x + c
3
3
3
∫ sin x dx =
Dalam menyelesaiakn integral parsial dapat juga dilakukan dengan cara tabel
contoh :
1.
∫ (4x cos 2x) dx = ….
Jawab :
di depan diturunkan sampai hasilnya 0 dan di belakang diintegralkan, kemudian kalikan
silang.
4x
cos 2x dx
4
1
sin 2x + C
tanda (+)
2
0
1
tanda (-)
- cos 2x + C
4
1
1
Hasilnya : 4x . ( sin 2x) + -4 . (- cos 2x) + C
2
4
2x sin 2x + cos 2x + C
2.
∫x
2
cos xdx = ….
Jawab :
di depan diturunkan sampai hasilnya 0 dan di belakang diintegralkan, kemudian kalikan
silang.
x2
cos x dx
2x
sin x + C
tanda (+)
2
-cos x + C
tanda (-)
0
-sin x + C
tanda (+)
Hasilnya : x2 sin x -2x (-cos x) - 2 sin x + C
x2 sin x + 2x cos x - 2 sin x + C
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
58
Soal latihan :
Selesaikan soal-soa l di bawah ini.
1.
a. ∫ x cos x dx
2.
3.
4.
5.
b.
∫ x sin 2x dx
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
a. ∫ x 2 sin x dx
b. ∫ x 2 cos 2x dx
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
a. ∫ (x + 2) sin x dx
b. ∫ (2x - 3) cos x dx
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
a. ∫ 2x cos 3x dx
b. ∫ 3x sin 5x dx
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
a. ∫ cos 3 x dx
b. ∫ sin 2 x dx
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
17.3. Pemakaian Integral
17.3. The Integral
Indikator
: 1. Daerah yang dibatasi oleh kurva dan/atau sumbu-sumbu koordinat
dihitung luasnya menggunakan integral.
2. Volume benda putar dihitung dengan menggunakan integral.
: Siswa dapat :
1. Menggambar grafik-grafik fungsi dan menentukan perpotongan grafik
fungsi sebagai batas integrasi.
2. Menentukan luas daerah dibawah kurva dengan menggunakan integral
3. Menyelesaikan soal yang berkaitan dengan luas daerah di bawah kurva
4. Mendiskusikan cara menentukan volume benda putar (menggambar
daerahnya, batas integrasi)
5. Menghitung volum benda putar dengan menggunakan integral
:
Tujuan
Uraian Materi
1.
1.
Luas Daerah
Wide Area
a.
1.
menentukan luas daerah antara kurva dan sumbu x
Daerah diatas sumbu x
Jika y = f (x) > 0 maka luas daerah yang dibatasi kurva
y
y = f(x)
y = f (x), sumbu x, garis x = a dan x = b dapat dihitung
dengan rumus :
b
L = ∫ f (x) dx
(daerah diatas sumbu x)
a
a
b
x
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
59
2.
Daerah dibawah sumbu x
y
a
b
x
Jika y = f (x) < 0 maka luas daerah yang dibatasi kurva
y = f (x), sumbu x, garis x = a dan x = b dapat dihitung
dengan rumus :
b
L = − ∫ f (x) dx
y = f(x)
3.
(daerah dibawah sumbu x)
a
Daerah diatas dan dibawah sumbu x
y
Jika y = f (x) > 0 dan y = f (x) < 0, (daerah diatas dan
dibawah sumbu x), maka dapat dihitung dengan rumus :
L=
a
c
b
b
c
a
b
∫ f (x) dx – ∫ f (x) dx
x
y = f(x)
Contoh :
1.
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 4, sumbu x, garis x = 2 dan
x=4!
Penyelesaian :
4
y = 2x + 4
L=
y
∫ (2x + 4) dx
2
[
]
4
= x 2 + 4x 2 = (42 – 22) + 4 (4 – 2)
= 16 – 4 + 8
= 20 satuan luas
4
2
2.
x
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 dan sumbu x !
Penyelesaian :
Titik potong kurva dengan sumbu x
y
6x – x2 = 0
x (6 – x) = 0 ? x = 0 dan x = 6
6
L=
∫ (6x − x ) dx
2
0
6
1 

L = 3x 2 − x 3 
3 0

1 3
= 3 (62 – 0) –
(6 – 0)
3
1
= 3 . 36 –
. 216 = 108 – 72
3
L = 36 satuan luas
0
6
x
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
60
3.
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 6x + 8, sumbu x, x = 2 dan x = 4
Penyelesaian :
Luas daerah ada dibawah sumbu x (tanda integral negatif)
4
L = - ∫ (x 2 − 6x + 8) dx
y
2
4
1

L = -  x 3 − 3x 2 + 8 x 
3

2
1 3 3
= - { (4 – 2 ) – 3 (42 – 22) + 8 (4 – 2)}
3
1
= - { (64 – 8) – 3 (16 – 4) + 8 . 2}
3
2
1
= - (18 – 36 + 16) = - (-1 )
3
3
1
L = 1 satuan luas
3
4.
2
x
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x ; sumbu x ; x = -1, x = 0 dan x = 3
seperti terlihat pada gambar !
Penyelesaian :
y
0
L= -
3
∫ x dx + ∫ x dx
−1
0
0
–1
5.
4
0
3
3
1 
1 
L = -  x 2  +  x2 
 2  −1  2 0
1
1
x
= - (0 – (-1)2)+ (32 – 0)
2
2
1
1
1
1
= - (-1) + 4 = + 4
2
2
2
2
L = 5 satuan luas
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = sin 2x ; sumbu x ; x = 0 dan x = π
y
π
π
2
0
π
x
P enyelesaian :
π
L=
2
π
0
π
2
∫ sin 2x dx − ∫ sin 2x dx
π
π
 1
2  1

L = − cos 2x  −  − cos 2x 
 2
0  2
π
2
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
61
1
1
(cos 2 . 90o – cos 2 . 0o) +
(cos 2 . 180o – cos 2 . 90o )
2
2
1
1
=(cos 180o – cos 0o) +
(cos 360o – cos 180o)
2
2
1
1
= - (-1 – 1) + (1 – (-1))
2
2
1
1
= - (-2) +
.2=1+1
2
2
L = 2 satuan luas
=-
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dan sumbu x dapat dihitung dengan rumus :
D. D
L=
dengan D = diskriminan
6a 2
D = b2 - 4.a.c
Contoh :
1.
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 - 5x + 4 dan sumbu x.
Jawab :
a = 1 ; b = -5 ; c = 4
y
Titik potong kurva dengan sumbu x
2
x - 5x + 4 = 0
(x - 1) (x - 4) = 0
4
x = 1 dan x = 4
D = b2 - 4.a.c
= (-5)2 - 4 . 1 . 4
= 25 - 16
=9
1
4
x
D. D
9. 9
L =
=
6a 2
6.12
9 .3
27
=
=
6
6
1
= 4 satuan luas
2
2.
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x2 - 6x + 4 dan sumbu x.
Jawab :
a = 2 ; b = -6 ; c = 4
D = b2 - 4.a.c
= (-6)2 - 4 . 2 . 4
= 36 - 32
=4
D. D
4. 4
=
2
6a
6 .2 2
4.2
8
=
=
6.4
24
1
= satuan luas
3
L =
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
62
b.
Menentukan Luas Daerah antara dua Kurva
y
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x) dan
y = g (x), dimana f (x) > g (x) dalam interval x = a dan
g(x) x = b, dapat dihitung dengan rumus :
b
L = ∫{f (x) − g (x)} dx
a
x
f(x)
Untuk luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva dan sumbu x dapat juga dihitung
dengan rumus : L =
D. D
dengan D = b2 - 4.a.c
2
6a
Contoh :
1.
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 2x dan garis y = 2x !
Penyelesaian :
y = x2 – 2x
y
Perpotongan kedua kurva :
y = 2x
y = x2 – 2x ; y = 2x
x2 – 2x = 2x
x2 – 2x – 2x = 0
x2 – 4x = 0
x
2 4
0
x (x – 4) = 0
x = 0 dan x = 4
4
L = ∫{2x − (x 2 − 2x)} dx =
0
4
2
∫ (2x − x + 2x) dx =
0
4
∫ (4x − x ) dx
2
0
4
1 

1 3
L = 2x 2 − x3  = 2 (42 – 0) –
(4 – 0)
3 0
3

1
1
L = 2 . 16 – . 64 = 32 – 21
3
3
2
L = 10 satuan luas
3
D. D
6a 2
2
Perpotongan dua kurva : x - 4x = 0
a = 1 ; b = -4 ; c = 0
D = b2 - 4.a.c
= (-4)2 - 4. 1 . 0
= 16
Dihitung dengan rumus : L =
D. D
16 . 16
=
2
6a
6.12
16 .4
64
=
=
6
6
2
= 10 satuan luas
3
L =
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
63
2.
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 2x dan y = 4x – x2 !
Penyelesaian :
y
y = x2 – 2x
Perpotongan kedua kurva
2
2
y = x – 2x dan y = 4x – x
x2 – 2x = 4x – x 2
x2 – 2x – 4x + x2 = 0
y = 4x – x2
2x2 – 6x = 0
2 3
x
0
2x (x – 3) = 0
x = 0 dan x = 3
3
3
0
0
L = ∫{(4x − x 2 ) − (x 2 − 2x)} dx = ∫ (4x − x 2 − x 2 + 2x) dx
3
 2 2 3
2
∫0 (6x − 2x ) dx = 3x − 3 x 0
2 3
2
L = 3 (32 – 0) –
(3 – 0) = 3 . 9 –
. 27
3
3
L = 27 – 18
L = 9 satuan luas
3
L=
D. D
6a 2
2
Perpotongan dua kurva : 2x - 6x = 0
a = 2 ; b = -6 ; c = 0
D = b2 - 4.a.c
= (-6)2 - 4 . 2 . 0
= 36
Dihitung dengan rumus L =
D. D
36. 36
=
2
6a
6 .2 2
36 .6
36
=
=
6 .4
4
= 9 satuan luas
L =
Soal latihan :
1.
Tentukan luas daerah dari kurva dan garis -garis berikut ini :
a. y = 4 – x2 ; x = -2 dan x = 2
b. y = x2 – 3x – 4 ; x = 0 dan x = 3
c. y = 4x – x 2 ; x = 1 dan x = 3
d. y = x2 – 3x ; x = 0 dan x = 3
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
64
2.
Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar berikut ini :
a.
c.
y
y= x
y = x2 – 2x
y
0
b.
x
4
0
6
4
–3
x
x
y
d.
y
0
2
0
3
x
y = 9 – x2
y=4 –x
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
EVALUASI 9
A.
1.
2.
3.
4.
5.
Pilihlah jawaban yang dianggap paling benar.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x + 2, x = 0 dan x = 2 adalah … satuan luas.
a. 12
b. 14
c. 16
d. 18
e. 24
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4x, x = 0 dan x = 3 adalah … satuan luas.
a. -18
b. -9
c. 9
d. 18
e. 27
2
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 – x , x = 0 dan x = 2 adalah … satuan luas.
2
1
2
a. 2
b. 5
c. 8
d. 10
e. 12
3
3
3
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x + 1, sumbu x, x = 1 dan x = 3 adalah …
satuan luas.
a. 6
b. 7
c. 12
d. 14
e. 15
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 3 seperti terlihat pada gambar di bawah
ini adalah … satuan luas.
y = 2x + 3
a. 14
y
b. 16
c. 18
d. 20
3
e. 24
0
1
3
x
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
65
6.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 2x – 8, sumbu x, dan sumbu x seperti
terlihat pada gambar adalah … satuan luas.
y
2
a. 10
y = x2 – 2x – 8
3
b. 16
c. 21
-2
4
x
–2
4
2
d. 21
3
e. 36
7.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, untuk x = 0 dan x = 2 seperti terlihat pada
gambar di bawah ini adalah … satuan luas.
2
a. 2
y
3
1
b. 4
2
1
c. 5
3
d. 8
2
0
2
e. 10
x
3
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 5x + 4 dan y = x – 4 adalah … satuan
luas.
1
2
2
1
a. 8
b. 4
c. 3
d. 1
e. 1
2
3
3
3
Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah … satuan luas.
a. 8
y
y = x +2
b. 12
c. 22
d. 24
e. 36
8.
9.
0
10.
2
6
x
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = x + 2, sumbu x adalah ... satuan
luas.
1
2
1
1
a. 1
b. 2
c. 4
d. 5
e. 9
3
3
2
3
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
66
B.
1.
2.
Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar.
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva :
a. y = 2x + 1 dengan x = 1, dan x = 4
b. y = x2 - 2x - 3x dengan x = 0, dan x = 3
c. y = 3x2 - 3x - 6 dengan x = -1, dan x = 2
Jawab :
.............................................................................................................................................
Hitunglah luas daerah antara dua kurva berikut ini :
a. y = x2 – 7x + 10 dan y = 2 – x
b. y = x2
dan y = 2x
Jawab :
.............................................................................................................................................
2.
2.
Volume benda putar
Volum of Play
a.
Perputaran terhadap sumbu x
y
Jika daerah yang dibatasi kurva y = f (x), garis x = a
dan x = b diputar mengelilingi sumbu x, maka akan
didapatkan benda yang volumenya :
b
V = p ∫ y 2 dx
a
a
b.
b
x
Perputaran terhadap sumbu y
y
x = f (y) Jika daerah yang dibatasi kurva x = f (y), garis y = a
dan y = b diputar mengelilingi sumbu y, maka akan
b
didapatkan benda yang volumenya :
b
V = p ∫ x2 dy
a
a
x
Contoh :
1.
Hitunglah volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 2, x = 0 dan x = 2
diputar mengelilingi sumbu x
Penyelesaian :
b
V = π ∫ y2 dx
a
2
2
V = π ∫ (x + 2) dx = π ∫ (x2 + 4x + 4) dx
2
0
0
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
67
2
1

V = π  x 3 + 2x 2 + 4x 
3
0
1
= π { (23 – 0) + 2 (22 – 0) + 4 (2 – 0)}
3
1
= π ( . 8 + 2 . 4 + 4 . 2)
3
2
= π (2 + 8 + 8)
3
2
V = 18 π satuan volum
3
2.
Hitunglah volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 ; x = 0 dan x = 3
diputar mengelilingi sumbu x !
Penyelesaian :
b
V = π ∫ y2 dx
a
3
3
V = π ∫ (6x − x2 ) 2 dx = π
∫ (36x
0
2
− 12x 3 + x4 ) dx
0
3
1 

= π 12x 3 − 3x 4 + x 5 
5 0

= π {12 (33 – 0) – 3 (34 – 0) +
= π (12 . 27 – 3 . 81 +
= π (324 – 243 + 48
V = 129
1 5
(3 – 0)
5
1
. 243)
5
3
)
5
3
π satuan volum
5
Soal latihan :
1.
Hitunglah volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut ini
diputar mengelilingi sumbu x !
a. y = 3x – 1 ; x = 1 dan x = 4
b. y = 4 x ; x = 0 dan x = 2
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
2.
Hitunglah volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut ini
diputar mengelilingi sumbu y !
a. x = y ; y = 0 dan y = 3
b. y = 2 – x ; y = 2 dan y = 3
Jawab :
.............................................................................................................................................
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
68
EVALUASI 10
A.
1.
2.
3.
Pilihlah jawaban yang dianggap paling benar.
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 3x – 1, x = 2, x = 3 dan diputar 360o
mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volum.
2
1
a. 21 π
b. 37 π
c. 43π
d. 64π
e. 81π
3
2
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 3, x = 1, x = 4 dan diputar
mengelilingi sumbu x sejauh 360o adalah … satuan volum.
1
2
2
a. 198 π
b. 200 π
c. 201π
d. 211π
e. 231 π
3
3
3
Sebuah kerucut terpancung yang dibentuk oleh garis y = x + 2, sumbu x ; x = 0, x = 2.
Diputar 360o mengelilingi sumbu x seperti gambar di bawah. Volume kerucut tersebut
adalah … satuan volum.
2
a. 18 π
y
y=x+2
3
3
b. 19 π
5
1
c. 20 π
0
2
x
2
2
d. 20 π
3
e. 24 π
4.
Volume benda putar yang terjadi jika y = x – 3, sumbu y dan x = 3 diputar mengelilingi
sumbu x seperti gambar di samping adalah ... satuan volum.
a. 9π
y
b. 18π
c. 21π
y=x –3
d. 24π
x
e. 30π
0
3
5.
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x, x = 0, x = 2, dan sumbu x jika
diputar 360 o mengelilingi sumbu x adalah … satuan volum.
1
2
1
2
2
a. 3 π
b. 4 π
c. 5 π
d. 6 π
e. 10 π
3
3
3
3
3
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 3, x = 0, x = 3, dan sumbu x jika
diputar 360 o mengelilingi sumbu x adalah … satuan volum.
a. 27π
b. 45π
c. 54π
d. 63π
e. 76π
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 2, sumbu x, x = 0, dan x = 2
diputar 360 o mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volum.
2
3
1
a. 18 π
b. 19 π
c. 21π
d. 21 π
e. 24π
3
5
3
6.
7.
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
69
8.
9.
10.
B.
1.
2.
3.
4.
5.
Volume benda putar dari kurva y = x + 1, x = 1 dan x = 4 dan diputar mengelilingi
sumbu x adalah … satuan volum.
a. 21 π
b. 27 π
c. 39 π
d. 42 π
e. 45 π
2
Volume benda putar dari kurva y = x , y = 0, y = 4 dan diputar mengelilingi sumbu y
360o seperti terlihat pada gambar di bawah adalah … satuan volum.
a. 2 π
y
b. 4 π
c. 6 π
d. 8 π
e. 16 π
0
x
Volume benda putar dari kurva y = 3x, x = 0, x = 3 dan diputar mengelilingi sumbu x
seperti terlihat pada gambar adalah ….
y = 3x
a. 27 π
satuan volum
y
1
b. 36 π satuan volum
3
2
c. 52 π satuan volum
0
3
x
3
d. 81 π
satuan volum
e. 96 π
satuan volum
Jawablah pertanyaan dibawah ini !
Hitung volume benda putar dari kurva y = x, x = 1, x = 4 dan diputar 360 o mengelilingi
sumbu x !
Jawab :
.............................................................................................................................................
Hitunglah volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x – x2, x = 0, x = 2 dan
diputar 360 o mengelilingi sumbu x.
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Tentukan volume benda putar dari kurva y = x2 , y = 0, y = 4, dan diputar 360o
mengelilingi sumbu y.
Jawab :
.............................................................................................................................................
Tentukan volume benda putar dari kurva y = x + 2, y = 2, y = 4, dan diputar 360o
mengelilingi sumbu y.
Jawab :
.............................................................................................................................................
Tentukan volume benda putar dari kurva y = 3 – x, x = 0, x = 3, dan diputar 360o
mengelilingi sumbu x.
Jawab :
.............................................................................................................................................
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
70
ULANGAN HARIAN 3
A.
Pilihlah jawaban yang paling benar !
1.
Nilai dari
2.
∫ (2x + 3) dx = ….
a. 5
c.
1 2
x + 3x + C
2
b. 2 x 2 + 3
d.
x 2 + 3x + C
1 3
x +x+C
3
1 3
b.
x -x+C
3
1 3
x -2
3
1 3
d.
x - 2x + C
3
∫ (x − 1)
2
c.
1 3
x – 2x2 – x + C
3
1 3
b.
x – x2 – x + C
3
∫ 5x x dx = ….
x +C
a. 2x 2
1
b. 2 x 2
2
5.
c.
d.
c.
x +C
1 3
x +C
3
1 3
x – x2 + x + C
3
1 3
x – x2 + 1 + C
3
e. x2 – 2x + 1 + C
5 x +C
e.
10 3
x x +C
7
d. 10 x +C
∫ (cos x - 3 sin x) dx = ....
a. sin x + 3 cos x + C
b. -cos x – 3 sin x + C
c. -sin x – 3 cos x + C
6.
e.
dx = ….
a.
4.
x 2 - 3x + C
∫ (x + 1) . (x - 1) dx = ....
a.
3.
e.
d. -sin x + 3 cos x + C
e. 3 sin x + cos x + C
∫ cos (4x + 5) dx = ....
a. - ¼ sin (4x + 5) + C
b. ¼ sin (4x + 5) + C
c. - 4 sin (4x + 5) + C
d. 4 sin (4x + 5) + C
e. sin (4x + 5) + C
2
7.
Hasil dari
∫ (4x
3
+ 2 x + 4) dx adalah …
−1
a. 24
2
8.
2
∫(x
3
1
−
b. 26
1
1
b.
4
2
4
1- x
∫0 ( x 2 ) dx = ....
a.
1
4
d. 30
e. 32
1
) dx = ....
x2
a.
9.
c. 28
b.
c.
3
4
2
3
c. 1
3
4
e. 1
d. 2
e. 4
d.
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
71
1
π
2
10.
Nilai dari
∫ (cos 2x - 3 sin x) dx adalah ….
0
a. 3
b. 2
c. 1
d. -1
e. -3
a. 2
b. 1
c. 0
d. -1
Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah ….
a. 8 satuan luas
y
b. 12 satuan luas
c. 22 satuan luas
d. 24 satuan luas
e. 36 satuan luas
e. -2
π
11.
Nilai dari
∫ 2 cos x dx
= ….
1
π
2
12.
13.
14.
15.
y=x+2
0
2
6
x
Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 6x + 9 dan garis y = x –1 adalah …
satuan luas.
1
1
a. 4
b. 4
c. 16
d. 20
e. 31
2
2
Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut
y
adalah ….
a. 24 satuan luas
b. 21 satuan luas
y = 9 – x2
c. 18 satuan luas
d. 12 satuan luas
e. 6 satuan luas
x
0
3
Sebuah kerucut terpancung yang dibentuk oleh garis y = x + 2, sumbu x ; x = 0, x = 2.
Diputar 360o mengelilingi sumbu x seperti gambar di samping.
Volume kerucut itu adalah …
y
y =x+2
2
a. 18 π satuan volume
3
3
b. 19 π satuan volume
5
1
c. 20 π satuan volume
0
2
x
2
2
d. 20 π satuan volume
3
e. 24 π satuan volume
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
72
B.
Jawablah dengan benar soal-soal dibawah ini !
1.
∫ (3x
2
− 8x + 6) dx = ....
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
2.
∫ cos (3x + 4) dx = ....
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
3
3.
∫ (x
2
- 4x + 3) dx = ....
1
4.
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
y
y = x2 – 7x + 6
Tentukan luas daerah yang diarsir !
1
5.
6
x
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Tentukan volume benda putar dari kurva y = 2x yang diputar 3600 terhadap sumbu x
untuk x = 0 dan x = 4
Jawab :
…………………………………………………………………………………………….
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
73
LATIHAN ULANGAN UMUM SEMESTER
Pilihlah jawaban yang paling benar !
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
x 2 + 3x + 2
= ….
x→2
x −1
a. 0
b. 4
c. 6
2
x − 6x + 5
Nilai dari lim
adalah …
x →1
x 2 −1
a. 4
b. 2
c. 0
x 2 + 2x − 15
lim
= ….
x→3
2x − 6
a. 4
b. 3
c. 2
Nilai dar i lim
lim
d. –2
e. –4
d. 1
e. 0
= ….
5x − 1 − 3
1
4
2
a. 5
b. 4
c. 2
5
5
5
2
x + 3x − 10
Nilai dari lim
adalah ….
x → 0 3x 3 + 2x 2 − 4x
1
3
a. 0
b.
c.
3
2
3
2
6x + 4x − 8x + 2
lim
= ….
x→∞
2x 3 + 4x 2 − 6x
4
a. 0
b. 1
c.
3
2
4x sin 6x
= ….
lim
x → 0 3x tg 2 4x
x→2
b. 6
c. 4
cos 3x . tg 2 3x
adalah ….
x→0
5x sin 3x
4
1
b.
c. 1
5
5
d. 1
1
5
e.
4
5
5
2
e. ∞
d. 3
e. ∞
d. 2
e.
d.
1
2
Nilai dari lim
3
5
sin 2 x
limπ
= ….
x→ 4 cos x
a.
9.
e. 12
x2 − 4
a. ∞
8.
d. 8
d. 1
4
5
e. 4
1
5
2
1
1
c.
d. 2
e. ∞
4
2
Turunan pertama dari fungsi f (x) = 2x3 + 4x2 – 6x adalah f' (x) = ….
a. 2x2 + 8x – 6
c. 6x3 + 8x 2 – 6x
e. 6x4 + 8x3 – 6x2
2
4
3
2
b. 6x + 8x – 6
d. 2x + 2x – 3x
Turunan pertama dari fungsi f (x) = 3x (x2 – 4x) adalah f' (x) = ….
a. 3x3 – 12x 2
c. 3x2 – 8x
e. 3x (3x – 8)
2
b. 3x – 12x
d. 6x (x – 2)
a. 0
10.
11.
b.
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
74
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Tur unan pertama dari fungsi f (x) = (x + 5) 2 adalah f' (x). Nilai f' (–2) = ….
a. 6
b. 4
c. 2
d. –2
e. –4
Turunan pertama dari fungsi f (x) = 8x – 4 x adalah f' (x) = ….
2
2
a. 8 –
b. 8 +
c. 8 – 2 x
d. 8 + 2 x
e. 8 – 2x x
x
x
Turunan pertama dari f (x) = 2 cos (3x + 2) adalah f' (x) = ….
2
a. –6 sin (3x + 2)
c.
sin (3x + 2)
e. 6 sin (3x + 2)
3
2
3
b. – sin (3x + 2)
d.
sin (3x + 2)
3
2
Persamaan garis yang menyinggung kurva y = 3x2 – 5x – 2 di titik (1, –4) adalah ….
a. y = x – 5
c. y = 3x – 3
e. y = 6x – 5
b. y = x + 5
d. y = 3x + 3
Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 – 2x – 8 di titik (2, –8) adalah ….
a. y = 2x + 12
c. y = 2x – 8
e. y = 2x – 12
b. y = –2x – 12
d. y = –2x + 8
Peluru ditembakan tegak lurus ke atas dengan persamaan h (t) = 160t – 5t2 (dalam
satuan m). Ketinggia n maksimum yang dicapai oleh peluru adalah ….
a. 640 m
b. 720 m
c. 1.080 m
d. 1.280 m
e. 2.560 m
Grafik fungsi f (x) = 2x3 + 3x2 – 12x turun pada interval ….
a. –1 < x < 2
c. x < –1 atau x > 2
e. x < 1 atau x > 2
b. –2 < x < 1
d. x < –2 atau x > 1
Himpunan penyelesaian dari fungsi f (x) = x3 – 3x + 3, jika fungsinya naik adalah ….
a. –1 < x < 1
c. x < –1 atau x > 1
e. x < –3 atau x > 1
b. –3 < x < 1
d. x < 1 atau x > 3
Nilai x yang memenuhi fungsi f (x) = 4x3 + 9x2 – 12x + 3, jika fungsinya diam
(stationer) adalah ….
1
1
1
1
a. { , 2}
b. {– , 2}
c. {– , –2} d. {–2, }
e. {–2, 1}
2
2
2
2
∫ (3x + 5) (x − 1) dx = ….
a. 3x3 + 2x2 – 5x + c
b. 3x3 + x 2 – 5x + c
∫ 3 x dx = ….
c. x3 + 2x2 – 5x + c
d. x3 + x 2 – 5x + c
e. 3x + 2 + c
a. 2x x + c b. 3x x + c
∫ 2 cos 2x dx = ….
c. 4x x + c
e. 9x x + c
a. –sin 2x + c
1
b. – sin 2x + c
4
∫ sin (3x + 5) dx = ….
c. sin 2x + c
a. –3cos (3x + 5) + c
c.
1
b. – cos (3x + 5) + c
3
d. 3cos (3x + 5) + c
d. 6x x + c
e. 4 sin 2x + c
d. 2 sin 2x + c
1
cos (3x + 5) + c
3
e. cos (3x + 5) + c
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
75
4
25.
Nilai dari :
∫ (6x + 2) dx = ….
1
a. 20
b. 36
c. 45
d. 49
e. 51
c. 76
d. 30
e. 6
9
26.
Nilai dari :
∫6
x dx = ….
4
a. 114
27.
b. 89
∫ (x − 3) dx = ...
2
1 3
x – 6x2 + 9x + c
c.
3
1 3
b.
x – 3x2 + 9x + c
d.
3
2
1
Nilai dari ∫ ( x 2 − 3x + 4) dx = ….
1 2
2
1
a.
b. 2
c.
3
3
a.
28.
1 3
x – 6x 2 + 6x + c
3
e. x2 – 6x + 6 + c
x2 – 6x + 9 + c
5
1
3
d. 6
1
3
e. 9
1
3
1
π
2
29.
Nilai dari
∫ (cos 2x - 3 sin x) dx adalah ….
0
a. 3
30.
b. 2
c. 1
e. –3
∫ cos (4x + 5) dx = ....
a. –¼ sin (4x + 5) + C
b. ¼ sin (4x + 5) + C
c. –4 sin (4x + 5) + C
d. 4 sin (4x + 5) + C
π
31.
d. –1
Nilai dari :
∫ 3 sin x dx
e. sin (4x + 5) + C
= ….
0
32.
33.
34.
35.
a. 6
b. 3
c. 0
d. –6
e. –12
2
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x – 4x – 5, x = 2 dan x = 5 seperti terlihat
pada gambar adalah … satuan luas.
a. 21
y
y = x2 – 4x – 5
b. 18
25
c.
-1 2
5 x
3
d. –18
-5
e. –21
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x – x2 , x = 0 dan x = 4 adalah … satuan luas.
2
1
1
1
2
a. 3
b. 4
c. 6
d. 10
e. 10
3
2
3
3
3
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = x + 2, sumbu x adalah ... satuan
luas.
1
2
1
1
a. 1
b. 2
c. 4
d. 5
e. 9
3
3
2
3
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 5x + 4 dan y = x – 4 adalah … satuan
luas.
1
2
2
1
a. 8
b. 4
c. 3
d. 1
e. 1
2
3
3
3
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
76
36.
37.
38.
39.
40.
Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah … satuan luas.
a. 8
y
y=x+2
b. 12
c. 22
d. 24
e. 36
0
2
6 x
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 3, x = 1, x = 4 dan diputar
mengelilingi sumbu x sejauh 360o adalah … satuan volum.
1
2
2
a. 198 π
b. 200 π
c. 201π
d. 211π
e. 231 π
3
3
3
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 3x – 1, x = 2, x = 3 dan diputar 360o
mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volum.
2
1
a. 21 π
b. 37 π
c. 43π
d. 64π
e. 81π
3
2
Sebuah kerucut terpancung yang dibentuk oleh garis y = x + 2, sumbu x ; x = 0, x = 2.
Diputar 360o mengelilingi sumbu x seperti gambar di bawah. Volume kerucut tersebut
adalah … satuan volum.
2
a. 18 π
y
y=x+2
3
3
b. 19 π
5
1
c. 20 π
0
2
x
2
2
d. 20 π
3
e. 24 π
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 3, x = 0, x = 3 dan diputar 360o
terhadap sumbu x seperti terlihat pada gambar adalah … satuan volum.
a. 27 π
y
y=x+3
b. 45 π
c. 54 π
x
d. 63 π
0
3
e. 76 π
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
77
DAFTAR PUSTAKA
LIST OF LIBRARIES
Wiyoto, Drs.2000. Matematika Teknik , Bandung: Angkasa.
Sartono Wirodikromo, Drs. 1996. Matematika SMU III, Jakarta: Erlangga.
Suwah Sembiring, 2003. Matematika untuk SMU Jilid III, YRAMA WIDYA. Bandung.
Asep Sudraja, dkk. 2003. Pintar Matematika. Untuk SMU Kelas 2. Bandung : Ganeca Exact.
M.K. Alamsyah, Drs. 1995. Matematika SMK, Bandung: Armico.
Susilo, Drs. 1988. Panduan matematika, Bandung: Ganesa Exact.
H. Heru Seno, 2004. Matematika Dasar, Primagama. Yogyakarta
Kumpulan naskah soal Ujian Nasional
Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5
78