pengaruh pembelajaran berorientasi retensi terhadap kemampuan

PENGARUH PEMBELAJARAN BERORIENTASI
RETENSI TERHADAP KEMAMPUAN KONEKSI
MATEMATIKA SISWA
(Penelitian dilaksanakan di SMA Muhammadiyah 25 Tangerang Selatan)
Disusun Oleh :
Yuli Dwi Purnamawati
106017000556
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN
UIN SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
2011
ABSTRAK
Yuli Dwi Purnamawati (106017000556) , “Pengaruh Pembelajaran Berorientasi
Retensi Terhadap Kemampuan Koneksi Matematika Siswa”. Skripsi Jurusan
Pendidikan Matematika, Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan, Universitas Islam
Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta. Juni 2011.
Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui pengaruh pembelajaran
berorientasi retensi terhadap kemampuan koneksi matematika siswa. Penelitian ini
dilakukan di SMA Muhammadiyah 25 Tangerang Selatan. Tahun ajaran 2010/
2011. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode Quasi
Eksperiment dengan desain penelitian tes diakhir perlakuan . Subjek penelitian ini
adalah 60 siswa yang terdiri dari 30 siswa untuk kelompok eksperimen dan 30
siswa untuk kelompok kontrol yang diperoleh dengan teknik cluster sampling
pada kelas XI IPS. Pengumpulan data dilakukan setelah kedua kelompok diberi
perlakuan, sehingga diperoleh nilai tes kemampuan koneksi matematika siswa
pada pokok bahasan Turunan. Tes yang diberikan terdiri dari 7 soal bentuk uraian.
Kesimpulan yang diperoleh dari penelitian ini, yaitu kemampuan koneksi
matematika siswa pada kelas yang diajarkan dengan pembelajaran berorientasi
retensi lebih baik daripada kemampuan koneksi matematika siswa yang diajarkan
dengan pembelajaran ekspositori. Hal tersebut dapat terlihat melalui nilai rata- rata
kemampuan koneksi matematika siswa pada kelas yang diajarkan dengan
pembelajaran berorientasi retensi lebih tinggi dari kemampuan koneksi
matematika siswa yang diajarkan dengan pembelajaran ekspositori.
Kata
kunci:
Matematika.
Pembelajaran
Berorientasi
Retensi,
Kemampuan
Koneksi
ABSTARCK
Yuli Dwi Purnamawati (106017000556), “The effect of Retention Orientation Learning
Towards The Students’ Mathematics Connecting Ability”. Final project of Mathematics
Education Major, the Faculty of Tarbiyah and Teaching, State Islamic University Syarif
Hidayatullah Jakarta, June 2011.
The purpose of this research is to find out the effect of the retention orientation Learning
towards the students’ mathematics connecting ability. The research is conducted at SMA
Muhammadiyah 25 Tangerang Selatan. The school year of 2010/2011. The method used
in the research is quasi experiments with the research design of randomize subjects post
test only control group design. The subject of the research is sixty students wich
comprises of thirty students for experimental group and thirty students for control group.
These students are taken using the cluster sampling technique for year XI Social. The
data is taken after the second group is given the action, so the test score of the students
mathematics connecting ability for the learning focus of differential is gained. The test
given consists of 7 questions essays.
The result of the research shows that after the retention orientation learning is
implemented the students mathematics connecting ability is higher than the students
who are using the expository learning. The average ability of mathematics connecting
ability of the students that uses the expository learning.
Key word: Retention Orientation Learning, mathematics Connecting Ability.
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, segala puji bagi Allah SWT, karena atas rahmat, hidayah serta
kekuasan-Nya setiap saat hingga peneliti mampu menyelesaikan skripsi yang
berjudul “Pengaruh Penggunaan Metode Retensi terhadap Kemampuan Koneksi
Matematik Siswa”.Penulisan skripsi ini merupakakn salah satu syarat memperoleh
gelar Sarjana Pendidikan Matematika pada Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan,
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.
Sholawat serta salam tercurah kepada akhirul anbiya baginda Rasulullah
Muhammad SAW, keluarga, para sahabat, dan kita selaku umatnya yang mudahmudahan tetap istiqomah hingga hari akhir nanti.
Selama penulisan skripsi ini, penulis menyadari sepenuhnya bahwa tidak sedikit
kesulitan dan hambatan yang dialami. Peneliti hanya tidak akan mampu
menyelesaikan penelitian ini tanpa dukungan dari tangan-tangan yang Allah
kirimkan kepada pihak-pihak yang senantiasa memberikan dorongan rasa optimis,
semangat, dan kemudahan-kemudahan yang dibentangkan sehingga peneliti
mampu melewatinya. Dalam penyusunan skripsi ini, peneliti merasakan banyak
bantuan dan bimbingan yang telah diberikan oleh orang-orang terdekat penulis.
Oleh karena itu, pada ruang terbatas ini, dengan segala kerendahan hati penulis
menyampaikan rasa terimakasih kepada:
1. Prof. Dr. H. Dede Rosyada, M. A. Dekan Fakultas Ilmu Tarbiyah dan
Keguruan.
2. Maifalinda Fatra, M. Pd. Ketua Jurusan Pendidikan Matematika, yang
telah memberikan izin atas penyusunan skripsi sehingga skripsi ini dapat
diselesaikan.
3. Tita Khalis Maryati.S. Si.M.,Kom. Dosen Pembimbing I, yang tulus ikhlas
penuh kesabaran dan perhatian membimbing serta mengarahkan peneliti
untuk menyelesaikan skripsi ini.
4. Gelar Dwi Rahayu, M. Pd. Dosen Pembimbing II, yang telah memberikan
bantuan, saran, dan arahan sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.
5. Seluruh Dosen dan Staff Jurusan Pendidikan Matematika FITK UIN
Syarif Hidayatullah Jakarta, yang telah membagi ilmunya selama ini.
6. Isni Kusumawati, S. Pd. Guru matematika kelas XI di SMA
Muhammadiyah 25 Tangerang Selatan, yang sabar membimbing penulis
terutama selama melaksanakan penelitian di sekolah.
7. Seluruh Guru SMA Muhammadiyah 25 Tangerang Selatan yang selalu
memberikan nasehat dan motivasi selama masa penelitian.
8. Teristimewa untuk kedua orang tuaku Bp. Agus Tri Purnomo dan Ibu Puji
Astutik (Alm), serta kakakku Aditya Eko Purnomoputro yang selalu
penulis banggakan dan sayangi. Mereka tak henti-hentinya mendoakan,
melimpahkan kasih saying dan memberikan dukungan moril dan materil
kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
9. Sahabat-sahabatku: Ahmadi, Ayu, Besta, Eyki, Reni, Shinta, Christin,
Vina, Lilis dan Isma, serta teman-teman seperjuangan Jurusan Pendidikan
Matematika angkatan 2006, terutama kelas B yang tidak dapat disebutkan
satu persatu. Semoga kebersamaan kita menjadi kenangan indah untuk
mencapai kesuksesan di masa mendatang.
10. Semua pihak yang telah banyak memberikan bantuan, dorongan, dan
informasi serta pendapat yang sangat bermanfaat bagi penulis dalam
menyelesaikan skripsi ini.
Semoga Allah SWT membalas kebaikan seluruh pihak yang terlibat dalam
penyusunan skripsi ini dengan limpahan rahmat dan kasih-Nya. Peneliti
menyadari bahwa banyak terdapat kekurangan dalam karya ini, untuk itu peneliti
mohon maaf atas segala kekurangan dalam karya ini dan senantiasa berharap
karya ini dapat memberikan manfaat dan kontribusi bagi peningkatan kualitan
pendidikan.
DAFTAR ISI
ABSTRAK…………...…………………………………………………………….i
ABSTRACK……………………..……………………..………………………….ii
KATA PENGANTAR……………………………………………………………iii
DAFTAR ISI……………………………………………………………………...v
DAFTAR TABEL………………………...………………………………………vi
DAFTAR GAMBAR…………………………………………………………….vii
DAFTAR LAMPIRAN………………………………………………………….viii
BAB I PENDAHULUAN
A Latar Belakang Permasalahan……….……………….……………...1
B Identifikasi Masalah……………………….………………………...5
C Batasan Masalah…………………………………………………….5
D Rumusan Masalah…………………………………………………...6
E Tujuan dan Manfaat Penelitian……………………………………...6
BAB II DESKRIPSI TEORITIS, KERANGKA BERPIKIR DAN PENGAJUAN
HIPOTESIS
A Pembelajaran Berorientasi Retensi………………………………….8
A.1. Pembelajaran Berorientasi……….….……….……….………..8
A.2. Retensi……………………………..……….………….….......11
B Koneksi Matematika………………..…………………….…..........23
B.1. Hakekat Matematika……………………………….……...….23
B.2. Koneksi Matematika………………………………..………...24
C Hubungan Pembelajaran berorientasi retensi dengan Matematika..34
D Kerangka Berpikir……………………………………..…………..35
E Pengajuan Hipotesis……………………………………………….37
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
A. Tempat dan Waktu Penelitian……………………………………...38
B. Populasi dan Sampel……………………………………………….38
C. Desain Penelitian…………...………………………………….…..39
D. Instrumen Penelitian dan Teknik Pengumpulan Data…….………..40
E. Teknik Analisis Data……………………………………….………45
F. Uji Hipotesis Statistik……………………………………………...45
G. Hipoteseis Statistik…………………………………………………50
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
A. Deskripsi Data………………………………………...…..……….51
B. Hasil Pengujian Prasyarat Analisis…………………….….……….58
C. Hasil Pengujian Hipotesis dan Pembahasan………….…….……...59
D. Keterbatasan Penelitian…………………………………….……...62
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan…………………..……………………………….……64
B. Saran………………………….…………………………….….…..64
DAFTAR PUSTAKA…………………………………………………..……..…66
LAMPIRAN – LAMPIRAN…………………………………………….…...….69
DAFTAR TABEL
Tabel 1 Perbedaan Ingatan Jangka Pendek dan Jangka Panjang……………….16
Tabel 2 Pengulangan Belajar…………………………………………….……...20
Tabel 3 Kriteria Reliabilitas…………………………………………….…….....43
Tabel 4 Indeks Kesukaran……………………………………………………….44
Tabel 5 Klasifikasi Daya Pembeda……………………………………..….……45
Tabel 6 Distribusi Frekuensi Kemampuan Koneksi Matematika Siswa
Kelompok Eksperimen…………………………………………..….….52
Tabel 7 Distribusi Frekuensi Kemampuan Koneksi Matematika Siswa
Kelompok Kontrol……………………………………………...……....54
Tabel 8 Statistik Hasil Penelitian………………………………...……………...56
Tabel 9 Hasil Uji Normalitas…………………………………...………………58
Tabel 10 Hasil Uji Homogenitas………………………………………………....59
Tabel 11 Hasil Perhitungan Uji-t……………………………...…………………60
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1
Piramida Pembelajaran…………………………….……………..…14
Gambar 2
Grafik Ingatan Setelah Belajar………………………….…..………18
Gambar 3
Grafik Ingatan Saat dan Setelah Belajar……………………………19
Gambar 4
Penyelesaian Contoh Soal…………………………………..…..…..30
Gambar 5
Deret Persegi……………………………………………..……..…..32
Gambar 6
Desain Penelitian Tes Diakhir Perlakuan………………..……..…...40
Gambar 7
Histogram dan Poligon Kemampuan Koneksi Matematika
Siswa Kelompok Eksperimen……………………………..……....53
Gambar 8
Histogram dan Poligon Kemampuan Koneksi Matematika
Siswa Kelompok Kontrol……………………………………….…..55
DAFTAR LAMPIRAN
1. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) kelas Eksperimen………..…….69
2. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) kelas Kontrol………….…….…93
3. Lembar Kerja Siswa………………………………………………….….....110
4. Kisi – Kisi Uji Coba Instrumen Tes………………………………….…….129
5. Uji Coba Instrumen Tes………………………………………………....…131
6. Kisi- Kisi Instrumen Tes………………………………………….….….....133
7. Instrumen Tes…………………………………………….………………...134
8. Kunci Jawaban Instrumen Tes………………………………….…...……..135
9. Uji Validitas……………………………………………….…………..…...140
10. Uji Reliabilitas………………………………………….………………….141
11. Uji Taraf Kesukaran………………………………………………………..142
12. Uji Daya Pembeda Butir Soal……………………………………………...143
13. Hasil Post Test Kelas Eksperimen dan Kelas Kontrol………………….….144
14. Distribusi Frekuensi, Mean, Median, Modus, Simpangan Baku,
Varians, Kemiringan dan Kurtosis pada Kelompok Eksperimen………….145
15. Distribusi Frekuensi, Mean, Median, Modus, Simpangan Baku,
Varians, Kemiringan dan Kurtosis pada Kelompok Kontrol.……….……..149
16. Tabel Uji Normalitas Kelompok Eksperimen……………………….……..153
17. Tabel Uji Normalitas Kelompok Kontrol………………………………….155
18. Tabel Uji Homogenitas…………………………………………………….157
19. Tabel Uji Hipotesis Statistik……………………………………………….158
20. Hsil Wawancara Pra Penelitian…………………………………………….159
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Permasalahan
Matematika merupakan salah satu bidang yang mempunyai aplikasi yang
banyak dalam kehidupan sehari-hari. Banyak masalah dalam kehidupan seharihari yang dapat diselesaikan dengan matematika. Matematika bukanlah
pengetahuan yang berdiri sendiri dan dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi
adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan
menguasai permasalahan sosial, ekonomi, dan alam. Oleh karena itu, matematika
diajarkan dari jenjang pendidikan dasar sampai pendidikan menengah atas bahkan
sampai perguruan tinggi.
Seperti yang telah diungkapkan sebelumnya, bahwa matematika
merupakan salah satu disiplin ilmu yang dipelajari pada seluruh jenjang
pendidikan. Matematika sebagai salah satu mata pelajaran yang sangat penting
untuk dipelajari karena berkaitan dengan kehidupan sehari-hari dan dapat
mengembangkan kemampuan serta kepribadian peserta didik sehinggga mampu
menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari. Pelajaran
matematika diharapkan dapat menumbuhkembangkan kemampuan-kemampuan
yang lebih bermanfaat untuk mengatasi masalah-masalah yang diperkirakan akan
dihadapi peserta didik dimasa depan.
Namun, proses pembelajaran matematika yang dikembangkan oleh
pendidik dewasa ini masih dianggap lemah. Seharusnya pembelajaran matematika
di sekolah dapat menjadikan siswa memiliki keterampilan matematika dan dapat
digunakan dalam mengahadapi masalah dunia nyata. Kemampuan untuk
mengaitkan konsep matematika yang satu dengan yang lain. Koneksi tidak dapat
dihindari kehadirannya di saat seseorang mempelajari matematika, dikarenakan
karakteristik matematika itu terbentuk dari konsep-konsep yang saling terkait dan
saling menunjang. Melalui peningkatan kemampuan koneksi matematika,
kemampuan berpikir dan wawasan siswa terhadap matematika dapat pula
meningkatkan kognitif siswa, seperti mengingat kembali, memahami, penerapan
suatu konsep, dan sebagainya.
Bruner menyatakan dalam matematika setiap konsep berkaitan dengan
konsep yang lain. Begitu pula dengan yang lainnya, misalnya antara dalil dengan
dalil, antara teori dengan teori, antara topik dengan topik, ataupun antara cabang
dengan cabang matematika lain. Oleh karena itu, agar siswa lebih berhasil dalam
belajar matematika, maka harus banyak diberikan kesempatan untuk melihat
keterkaitan-keterkaitan itu1.
Sesuai dengan pernyataan yang diungkapkan oleh Bruner, maka dalam
mengarahkan siswa untuk dapat lebih melihat keterkaitan atau hubungan antara
konsep matematika, guru perlu memberikan contoh soal yang tersebut. Namun hal
tersebut akan menjadi sulit apabila siswa sama sekali tidak hafal terhadap rumus
pada materi yang dipelajarinya, terlebih lagi jika siswa lupa akan materi-materi
yang pernah dipelajari sebelumnya. Karena bagaimanapun tak dapat dipungkiri
jika pelajaran matematika selalu identik dengan rumus, dan ada beberapa materi
yang memang mengharuskan siswa untuk dapat menghafal rumusnya. Namun,
siswa sepertinya merasa kesulitan untuk menghafal rumus matematika. Keluhankeluhan seperti di bawah ini sering kita dengar dari para siswa, misalnya2:
1. Mudah lupa
2. Sulit mengingat
3. Lama mengingatnya
4. Cape mengingat karena banyak materinya
1
2
Dahar, Ratna Wilis. Teori-Teori Belajar. Jakarta: Erlangga. 1996. Hal 100
Windura, Sutanto. Memory Champion at School. 2010. Jakarta: PT. Elex Media Komputindo.
Hal: 35
5. Otak merasa penuh
6. Informasi yang mau diingat ditukar dengan yang lain
Siswa umumnya datang bukan dengan “lembaran kosong” tetapi
dengan bank pengalaman otak yang sangat disesuaikan. Ketika
pembelajaran sebelumnya diaktifkan, otak cenderung akan membuat
koneksi dengan materi baru, sehingga dengan demikian hal ini dapat
meningkatkan pemahaman dan kemaknaan.3
Berdasarkan hasil diskusi dengan guru matematika SMA Muhammadiyah
25 Tangerang Selatan, mengatakan bahwa kemampuan koneksi matematika di
sekolah tersebut masih lemah, hal ini terlihat di lapangan bahwa:
1. Pada saat pembelajaran berlangsung, terlihat sebagian besar siswa masih
mengalami kesulitan dalam memahami materi yang diajarkan guru.
2. Pada saat mengerjakan latihan soal cerita, sebagian besar siswa mengalami
kesulitan dalam menjawab soal terutama dalam hal mengkaitkan materi yang
sesuai dengan soal tersebut.
Misalnya, siswa diberikan soal Empat pasang suami istri membeli karcis
untuk 8 kursi sebaris pada suatu pertunjukkan. Dua orang akan duduk
bersebelahan hanya kalau keduanya pasangan suami – istri atau berjenis
kelamin sama. Berapa banyakkah cara menempatkan keempat pasang suami
isteri ke 8 kursi tersebut ? (Siswa bingung bagaimana cara mengerjakannya,
hal ini dikarenakan siswa tidak hafal rumus, dan tidak terbiasa mengerjakan
latihan-latihan di rumah)
3
Eric Jensen. Brain Based Learning. (Yogyakarta: Penerbit Pustaka Pelajar). 2008.Hal 135
3. Pada akhir pembelajaran sebagian besar siswa kurang merespon umpan balik
dari guru.
4. Pada evaluasi hasil belajar terlihat rendahnya hasil belajar siswa.
Berdasarkan hasil di lapangan tersebut, dapat disimpulkan bahwa
kemampuan koneksi matematika masih sangat kurang. Oleh karena itu,
kemampuan koneksi matematika perlu ditingkatkan. Salah satu upaya
meningkatkan kemampuan koneksi matematika siswa dalam mata pelajaran
matematika adalah dengan pemilihan pembelajaran yang lebih menekankan pada
aktifitas mengingat dan mengulang pelajaran oleh siswa daripada aktifitas
mengajar siswa. Karena bagaimanapun matematika tak lepas dari rumus yang
harus dihafal dan dipahami. Guru perlu menerapkan pada aspek kemampuan
koneksi sehingga pembelajaran menjadi bermakna.
Pembelajaran Berorientasi Retensi adalah salah satu pembelajaran yang
dapat digunakan oleh guru untuk meningkatkan kemampuan siswa tentang
matematika, salah satu kemampuan yang dimaksud adalah kemampuan koneksi
matematika siswa. Karena pembelajaran yang melibatkan panca indra dalam
proses berpikir dapat memungkinkan pembelajaran menjadi lebih bermakna,
sehingga memungkinkan kuatnya retensi siswa terhadap konsep-konsep yang
diajarkan. Untuk memenuhi hal tersebut guru sedapat mungkin melibatkan siswa
sehingga siswa dapat mengaitkan materi-materi yang telah dipelajarinya.
Jadi, untuk memperbaiki kemampuan koneksi matematika, sebelumnya
siswa harus terlebih dahulu hafal rumus-rumus yang akan digunakan. Dan untuk
dapat menghafal rumus, siswa harus melakukannya secara berulang-ulang atau
disebut juga retensi. Sehingga diharapkan setelah siswa hafal rumusnya, siswa
dapat menyelesaikan soal yang berhubungan dengan kemampuan koneksi
matematika. Retensi dalam belajar merupakan proses belajar mengingat sejumlah
materi yang masih diingat setelah selang waktu tertentu. Dengan retensi siswa
diberi kesempatan untuk dapat menghafal rumus dasar pada materi matematika
yang akan dipelajari dan bermanfaat untuk diingat kembali pada saat mengerjakan
soal. Siswa terus ditempa untuk selalu mengingat dan mengulang kembali
pelajaran yang telah dipelari pada pertemuan sebelum-sebelumnya. Hal ini juga
dimaksudkan untuk mengubah pendapat para siswa, jika “Menghafal adalah
menyebalkan!”
Sehingga dari aktifitas yang digunakan pada pembelajaran berorientasi
retensi diharapkan dapat meningkatkan kemampuan koneksi matematika siswa
SMA Muhammadiyah 25 Tangerang Selatan. Selain itu, dengan retensi siswa
tidak hanya belajar matematika mereka juga mendapatkan pengertian yang lebih
bermakna tentang penggunaan matematika diberbagai bidang sehingga dapat
meningkatkan koneksi di luar topik matematika SMA Muhammadiyah 25
Tangerang Selatan.
Dalam penelitian ini, akan dikaji satu kegiatan yang diduga dapat
memperbaiki
permasalahan-permasalahan
yang
sering
terjadi
di
SMA
Muhammadiyah 25 Tangerang Selatan. Maka salah satunya adalah rendahnya
kemampuan koneksi matematika siswa melalui pembelajaran berorientasi retensi.
Berdasarkan hal tersebut, maka timbul keinginan untuk melakukan penelitian
tentang Pengaruh Pembelajaran Berorientasi Retensi Terhadap Kemampuan
Koneksi Matematika Siswa.
B. Identifikasi Masalah
1. Siswa sering lupa terhadap apa yang telah dipelajari karena siswa tidak
terbiasa menghafal suatu rumus matematika.
2. Siswa sering lupa terhadap materi yang baru dipelajari sebelumnya,
padahal materi yang akan dihadapi berkaitan dengan materi pada bab
sebelumnya.
3. Proses pembelajaran kurang mendorong siswa untuk mengembangkan
kemampuan berpikir.
4. Kemampuan koneksi matematika siswa masih lemah, misalnya mereka
sering
merasa
kesulitan
ketika
harus
mengerjakan
soal
yang
menghubungkan materi pada matematika dengan kehidupan sehahri-hari,
atau ketika harus mengaitkan materi sebelumnya dengan materi yang akan
dipelajari.
C. Batasan Masalah
Untuk memfokuskan masalah yang akan ditekiti, maka peneliti membatasi
masalah pada:
1. Pembelajaran yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah
pembelajaran berorientasi retensi. Pembelajaran berorientasi retensi
merupakan proses belajar mengingat sejumlah materi yang masih diingat
setelah selang waktu tertentu. Dengan retensi siswa ditekankan untuk
dapat menghafal rumus dasar pada materi matematika yang akan dipelajari
dan bermanfaat untuk diingat kembali pada saat mengerjakan soal.
2. Kemampuan yang akan diukur adalah kemampuan koneksi matematika
siswa, yang terbagi menjadi 3 jenis yaitu kemampuan menghubungkan
antara topik matematika yang satu dengan topik matematika yang lain,
menghubungkan antara topik matematika dengan bidang studi lain, dan
menghubungkan matematika dengan masalah sehari-hari.
D. Rumusan Masalah
1. Apakah pembelajaran berorientasi retensi dalam proses pembelajaran
matematika dapat memperbaiki kemampuan koneksi matematika siswa?
2. Bagaimana pengaruhnya terhadap kemampuan koneksi matematika siswa?
E. Tujuan dan Manfaat Penelitian
1. Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
a. Untuk
mendapatkan
informasi
mengenai
pengaruh
pembelajaran
berorientasi retensi terhadap kemampuan koneksi matematika siswa.
b. Untuk mengetahui ada atau tidak adanya perbedaan penggunaan
pembelajaran
berorientasi
retensi
terhadap
kemampuan
koneksi
matematika siswa.
c. Untuk mendapatkan informasi mengenai keunggulan dan kelemahan
pembelajaran
berorientasi
retensi
terhadap
kemampuan
koneksi
matematika siswa.
2. Manfaat Penelitian
1) Bagi Siswa
a. Meningkatkan kemampuan menghafal
b.
Agar siswa memperoleh informasi bahwa ada alternatif cara belajar
guna meningkatkan kemampuan koneksi matematika
c.
Meningkatkan kemampuan koneksi matematika siswa
d. Pembelajaran berorientasi retensi diharapkan akan lebih menarik dan
dapat membangkitkan motivasi serta minat siswa dalam menghafal
rumus-rumus pada bidang studi matematika.
2) Bagi Guru
a. Guru dapat mengetahui pengaruh pembelajaran berorientasi retensi
dalam proses belajar mengajar
b. Sebagai alternatif pembelajaran, khususnya pada pelajaran matematika
sehingga dapat dimanfaatkan sebagai masukan dalam memperbaiki
proses belajar mengajar selanjutnya serta sebagai usaha dalam
meningkatkan kemampuan koneksi matematika khususnya pada pokok
bahasan turunan.
c. Dapat menerapkan cara yang sama untuk proses pembelajaran
selanjutnya.
d. Dapat memberikan wawasan dan pengalaman dalam melakukan
penelitian sebagai upaya solusi terhadap permasalahan yang dihadapi
siswa dan guru dalam mencapai tujuan pembelajaran.
3) Bagi Sekolah
Penelitian ini diharapkan menjadi masukan data sekolah yang dapat
dijadikan bahan pertimbangan dalam memperbaiki proses belajar mengajar.
BAB I
PENDAHULUAN
B. Latar Belakang Permasalahan
Matematika merupakan salah satu bidang yang mempunyai aplikasi yang
banyak dalam kehidupan sehari-hari. Banyak masalah dalam kehidupan seharihari yang dapat diselesaikan dengan matematika. Matematika bukanlah
pengetahuan yang berdiri sendiri dan dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi
adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan
menguasai permasalahan sosial, ekonomi, dan alam. Oleh karena itu, matematika
diajarkan dari jenjang pendidikan dasar sampai pendidikan menengah atas bahkan
sampai perguruan tinggi.
Seperti yang telah diungkapkan sebelumnya, bahwa matematika
merupakan salah satu disiplin ilmu yang dipelajari pada seluruh jenjang
pendidikan. Matematika sebagai salah satu mata pelajaran yang sangat penting
untuk dipelajari karena berkaitan dengan kehidupan sehari-hari dan dapat
mengembangkan kemampuan serta kepribadian peserta didik sehinggga mampu
menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari. Pelajaran
matematika diharapkan dapat menumbuhkembangkan kemampuan-kemampuan
yang lebih bermanfaat untuk mengatasi masalah-masalah yang diperkirakan akan
dihadapi peserta didik dimasa depan.
Namun, proses pembelajaran matematika yang dikembangkan oleh
pendidik dewasa ini masih dianggap lemah. Seharusnya pembelajaran matematika
di sekolah dapat menjadikan siswa memiliki keterampilan matematika dan dapat
digunakan dalam mengahadapi masalah dunia nyata. Kemampuan untuk
mengaitkan konsep matematika yang satu dengan yang lain. Koneksi tidak dapat
dihindari kehadirannya di saat seseorang mempelajari matematika, dikarenakan
karakteristik matematika itu terbentuk dari konsep-konsep yang saling terkait dan
saling menunjang. Melalui peningkatan kemampuan koneksi matematika,
1
kemampuan berpikir dan wawasan siswa terhadap matematika dapat pula
meningkatkan kognitif siswa, seperti mengingat kembali, memahami, penerapan
suatu konsep, dan sebagainya.
Bruner menyatakan dalam matematika setiap konsep berkaitan dengan
konsep yang lain. Begitu pula dengan yang lainnya, misalnya antara dalil dengan
dalil, antara teori dengan teori, antara topik dengan topik, ataupun antara cabang
dengan cabang matematika lain. Oleh karena itu, agar siswa lebih berhasil dalam
belajar matematika, maka harus banyak diberikan kesempatan untuk melihat
keterkaitan-keterkaitan itu4.
Sesuai dengan pernyataan yang diungkapkan oleh Bruner, maka dalam
mengarahkan siswa untuk dapat lebih melihat keterkaitan atau hubungan antara
konsep matematika, guru perlu memberikan contoh soal yang tersebut. Namun hal
tersebut akan menjadi sulit apabila siswa sama sekali tidak hafal terhadap rumus
pada materi yang dipelajarinya, terlebih lagi jika siswa lupa akan materi-materi
yang pernah dipelajari sebelumnya. Karena bagaimanapun tak dapat dipungkiri
jika pelajaran matematika selalu identik dengan rumus, dan ada beberapa materi
yang memang mengharuskan siswa untuk dapat menghafal rumusnya. Namun,
siswa sepertinya merasa kesulitan untuk menghafal rumus matematika. Keluhankeluhan seperti di bawah ini sering kita dengar dari para siswa, misalnya5:
7. Mudah lupa
1. Sulit mengingat
2. Lama mengingatnya
3. Cape mengingat karena banyak materinya
4. Otak merasa penuh
5. Informasi yang mau diingat ditukar dengan yang lai
4
5
Dahar, Ratna Wilis. Teori-Teori Belajar. Jakarta: Erlangga. 1996. Hal 100
Windura, Sutanto. Memory Champion at School. 2010. Jakarta: PT. Elex Media Komputindo.
Hal: 35
Siswa umumnya datang bukan dengan “lembaran kosong” tetapi
dengan bank pengalaman otak yang sangat disesuaikan. Ketika
pembelajaran sebelumnya diaktifkan, otak cenderung akan membuat
koneksi dengan materi baru, sehingga dengan demikian hal ini dapat
meningkatkan pemahaman dan kemaknaan.6
Berdasarkan hasil diskusi dengan guru matematika SMA Muhammadiyah
25 Tangerang Selatan, mengatakan bahwa kemampuan koneksi matematika di
sekolah tersebut masih lemah, hal ini terlihat di lapangan bahwa:
5. Pada saat pembelajaran berlangsung, terlihat sebagian besar siswa masih
mengalami kesulitan dalam memahami materi yang diajarkan guru.
6. Pada saat mengerjakan latihan soal cerita, sebagian besar siswa mengalami
kesulitan dalam menjawab soal terutama dalam hal mengkaitkan materi yang
sesuai dengan soal tersebut.
Misalnya, siswa diberikan soal Empat pasang suami istri membeli karcis
untuk 8 kursi sebaris pada suatu pertunjukkan. Dua orang akan duduk
bersebelahan hanya kalau keduanya pasangan suami – istri atau berjenis
kelamin sama. Berapa banyakkah cara menempatkan keempat pasang suami
isteri ke 8 kursi tersebut ? (Siswa bingung bagaimana cara mengerjakannya,
hal ini dikarenakan siswa tidak hafal rumus, dan tidak terbiasa mengerjakan
latihan-latihan di rumah)
7. Pada akhir pembelajaran sebagian besar siswa kurang merespon umpan balik
dari guru.
8. Pada evaluasi hasil belajar terlihat rendahnya hasil belajar siswa.
Berdasarkan hasil di lapangan tersebut, dapat disimpulkan bahwa
kemampuan koneksi matematika masih sangat kurang. Oleh karena itu,
kemampuan koneksi matematika perlu ditingkatkan. Salah satu upaya
meningkatkan kemampuan koneksi matematika siswa dalam mata pelajaran
6
Eric Jensen. Brain Based Learning. (Yogyakarta: Penerbit Pustaka Pelajar). 2008.Hal 135
matematika adalah dengan pemilihan pembelajaran yang lebih menekankan pada
aktifitas mengingat dan mengulang pelajaran oleh siswa daripada aktifitas
mengajar siswa. Karena bagaimanapun matematika tak lepas dari rumus yang
harus dihafal dan dipahami. Guru perlu menerapkan pada aspek kemampuan
koneksi sehingga pembelajaran menjadi bermakna.
Pembelajaran Berorientasi Retensi adalah salah satu pembelajaran yang
dapat digunakan oleh guru untuk meningkatkan kemampuan siswa tentang
matematika, salah satu kemampuan yang dimaksud adalah kemampuan koneksi
matematika siswa. Karena pembelajaran yang melibatkan panca indra dalam
proses berpikir dapat memungkinkan pembelajaran menjadi lebih bermakna,
sehingga memungkinkan kuatnya retensi siswa terhadap konsep-konsep yang
diajarkan. Untuk memenuhi hal tersebut guru sedapat mungkin melibatkan siswa
sehingga siswa dapat mengaitkan materi-materi yang telah dipelajarinya.
Jadi, untuk memperbaiki kemampuan koneksi matematika, sebelumnya
siswa harus terlebih dahulu hafal rumus-rumus yang akan digunakan. Dan untuk
dapat menghafal rumus, siswa harus melakukannya secara berulang-ulang atau
disebut juga retensi. Sehingga diharapkan setelah siswa hafal rumusnya, siswa
dapat menyelesaikan soal yang berhubungan dengan kemampuan koneksi
matematika. Retensi dalam belajar merupakan proses belajar mengingat sejumlah
materi yang masih diingat setelah selang waktu tertentu. Dengan retensi siswa
diberi kesempatan untuk dapat menghafal rumus dasar pada materi matematika
yang akan dipelajari dan bermanfaat untuk diingat kembali pada saat mengerjakan
soal. Siswa terus ditempa untuk selalu mengingat dan mengulang kembali
pelajaran yang telah dipelari pada pertemuan sebelum-sebelumnya. Hal ini juga
dimaksudkan untuk mengubah pendapat para siswa, jika “Menghafal adalah
menyebalkan!”
Sehingga dari aktifitas yang digunakan pada pembelajaran berorientasi
retensi diharapkan dapat meningkatkan kemampuan koneksi matematika siswa
SMA Muhammadiyah 25 Tangerang Selatan. Selain itu, dengan retensi siswa
tidak hanya belajar matematika mereka juga mendapatkan pengertian yang lebih
bermakna tentang penggunaan matematika diberbagai bidang sehingga dapat
meningkatkan koneksi di luar topik matematika SMA Muhammadiyah 25
Tangerang Selatan.
Dalam penelitian ini, akan dikaji satu kegiatan yang diduga dapat
memperbaiki
permasalahan-permasalahan
yang
sering
terjadi
di
SMA
Muhammadiyah 25 Tangerang Selatan. Maka salah satunya adalah rendahnya
kemampuan koneksi matematika siswa melalui pembelajaran berorientasi retensi.
Berdasarkan hal tersebut, maka timbul keinginan untuk melakukan penelitian
tentang Pengaruh Pembelajaran Berorientasi Retensi Terhadap Kemampuan
Koneksi Matematika Siswa.
B. Identifikasi Masalah
5. Siswa sering lupa terhadap apa yang telah dipelajari karena siswa tidak
terbiasa menghafal suatu rumus matematika.
6. Siswa sering lupa terhadap materi yang baru dipelajari sebelumnya,
padahal materi yang akan dihadapi berkaitan dengan materi pada bab
sebelumnya.
7. Proses pembelajaran kurang mendorong siswa untuk mengembangkan
kemampuan berpikir.
8. Kemampuan koneksi matematika siswa masih lemah, misalnya mereka
sering
merasa
kesulitan
ketika
harus
mengerjakan
soal
yang
menghubungkan materi pada matematika dengan kehidupan sehahri-hari,
atau ketika harus mengaitkan materi sebelumnya dengan materi yang akan
dipelajari.
C. Batasan Masalah
Untuk memfokuskan masalah yang akan ditekiti, maka peneliti membatasi
masalah pada:
3. Pembelajaran yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah
pembelajaran berorientasi retensi. Pembelajaran berorientasi retensi
merupakan proses belajar mengingat sejumlah materi yang masih diingat
setelah selang waktu tertentu. Dengan retensi siswa ditekankan untuk
dapat menghafal rumus dasar pada materi matematika yang akan dipelajari
dan bermanfaat untuk diingat kembali pada saat mengerjakan soal.
4. Kemampuan yang akan diukur adalah kemampuan koneksi matematika
siswa, yang terbagi menjadi 3 jenis yaitu kemampuan menghubungkan
antara topik matematika yang satu dengan topik matematika yang lain,
menghubungkan antara topik matematika dengan bidang studi lain, dan
menghubungkan matematika dengan masalah sehari-hari.
E. Rumusan Masalah
3. Apakah pembelajaran berorientasi retensi dalam proses pembelajaran
matematika dapat memperbaiki kemampuan koneksi matematika siswa?
4. Bagaimana pengaruhnya terhadap kemampuan koneksi matematika siswa?
E. Tujuan dan Manfaat Penelitian
1. Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
d. Untuk
mendapatkan
informasi
mengenai
pengaruh
pembelajaran
berorientasi retensi terhadap kemampuan koneksi matematika siswa.
e. Untuk mengetahui ada atau tidak adanya perbedaan penggunaan
pembelajaran
berorientasi
matematika siswa.
retensi
terhadap
kemampuan
koneksi
f. Untuk mendapatkan informasi mengenai keunggulan dan kelemahan
pembelajaran
berorientasi
retensi
terhadap
kemampuan
koneksi
matematika siswa.
2. Manfaat Penelitian
1) Bagi Siswa
e. Meningkatkan kemampuan menghafal
f.
Agar siswa memperoleh informasi bahwa ada alternatif cara belajar
guna meningkatkan kemampuan koneksi matematika
g.
Meningkatkan kemampuan koneksi matematika siswa
h. Pembelajaran berorientasi retensi diharapkan akan lebih menarik dan
dapat membangkitkan motivasi serta minat siswa dalam menghafal
rumus-rumus pada bidang studi matematika.
2) Bagi Guru
e. Guru dapat mengetahui pengaruh pembelajaran berorientasi retensi
dalam proses belajar mengajar
f. Sebagai alternatif pembelajaran, khususnya pada pelajaran matematika
sehingga dapat dimanfaatkan sebagai masukan dalam memperbaiki
proses belajar mengajar selanjutnya serta sebagai usaha dalam
meningkatkan kemampuan koneksi matematika khususnya pada pokok
bahasan turunan.
g. Dapat menerapkan cara yang sama untuk proses pembelajaran
selanjutnya.
h. Dapat memberikan wawasan dan pengalaman dalam melakukan
penelitian sebagai upaya solusi terhadap permasalahan yang dihadapi
siswa dan guru dalam mencapai tujuan pembelajaran.
3) Bagi Sekolah
Penelitian ini diharapkan menjadi masukan data sekolah yang dapat
dijadikan bahan pertimbangan dalam memperbaiki proses belajar mengajar.
BAB II
PENYUSUNAN KERANGKA TEORITIK
DAN PENGAJUAN HIPOTESIS
A. Pembelajaran Berorientasi Retensi
A.1. Pembelajaran Berorientasi
Kata pembelajaran adalah bentukan dari kata belajar, dan menurut Kamus
Besar Bahasa Indonesia, pembelajaran berarti proses atau cara menjadikan orang
belajar. Belajar adalah suatu proses yang harus dialami seseorang atau
sekelompok orang untuk memperoleh penguasaan suatu kemampuan tertentu,
yang sudah ditetapkan terlebih dahulu7. Secara umum belajar dapat diartikan
perubahan perilaku yang merupakan refleksi.
Belajar dianggap sebagai proses perubahan perilaku sebagai akibat dari
pengalaman dan latihan. Hilgard mengungkapkan:
“Learning is the process by wich an activity originates or changed through
training procedurs (wether in the laboratory or in the naural environment)
as distinguished from changes by factors not attributable to training”8.
“Bagi Hilgard, belajar itu adalah proses perubahan melalui kegiatan atau
prosedur latihan di dalam laboratorium maupun dalam lingkungan
alamiah.”
7
Tim Penulis PKERTI Bidang MIPA. Hakikat Pembelajarn MIPA dan Kiat Pembelajaran
Matematika Perguruan Tinggi. Pusat Antar Universitas. Universitas Terbuka. Jakarta. Juli 2011.
Hal 10
8
Sanjaya, Wina. Strategi Pembelajaran Berorientasi Standar Proses Pendidikan. Jakarta:
Kencana. 2008. Hal 112
Kata “Pembelajaran” adalah terjemahan dari “instruction”, yang banyak
dipakai dalam dunia pendidikan di Amerika Serikat. Istilah ini dipengaruhi oleh
perkembangan teknologi yang diasumsikan mempermudah siswa mempelajari
segala sesuatu melalui berbagai macam media dan menempatkan siswa sebagai
sumber dari kegiatan dan mendorong terjadinya perubahan peranan guru dalam
mengelola proses belajar mengajar, dari guru sebagai sumber belajar menjadi guru
sebagai fasilitator dalam belajar mengajar. Senada dengan yang diungkapkan
Gagne, yang menyatakan bahwa, “Instruction is a set of event that effect learners
in such a way that learning is facilitated.”9 Oleh karena itu menurut Gagne,
mengajar merupakan bagian dari pembelajaran, dimana peran guru lebih
ditekankan kepada bagaimana merancang atau mengaransemen berbagai sumber
dan fasilitas yang tersedia untuk digunakan
dan dimanfaatkan siswa dalam
8
mempelajari sesuatu.
Gagne mengemukakan kejadian pembelajaran dalam Sembilan kategori,
yaitu10:
1. Mengaktifkan motivasi
2. Menjelaskan peserta didik tentang tujuan
3. Mengarahkan perhatian
4. Menstimulasi ingatan
5. Menyediakan bimbingan pembelajaran
6. Meningkatkan ingatan
7. Meningkatkan transfer
8. Menimbulkan kinerja
9. Menyediakan balikan
9
Sanjaya, Wina. Strategi Pembelajaran Berorientasi Standar Proses Pendidikan. Jakarta:
Kencana. 2008. Hal 102
10
Yulaelawati, Ella. Kurikulum dan Pembelajaran. Jakarta: Pakar Karya. 2009. Hal. 93
Kejadian pembelajaran ini berfungsi khusus mengkomunikasikan perilaku
yang disebut komponen instruksi. Kelima kategori pertama menunjukkan
pengkomunikasian perilaku yang terjadi sebelum seseorang menguasai sesuatu.
Keempat kategori berikutnya terjadi setelah seseorang mengembangkan
penguasaan terhadap sesuatu.
Menurut Kim seperti yang dikutip oleh Munir pembelajaran (Learning)
merupakan proses mendapatkan pengetahuan atau ketrampilan. Definisi tersebut
meliputi dua hal11:
a. Proses mendapatkan ketrampilan atau know-how (mengetahui bagaimana
caranya) yang mengahsilkan kemampuan fisik untuk memproduksi suatu
tindakan, dan
b. Proses mendapatkan know-why (mengetahui mengapa demikian) yang
menghasilkan
kemampuan
untuk
mengartikulasikan
pemahaman
konseptual dari suatu pengalaman.
Sedangkan menurut Piaget, pembelajaran terdiri dari empat langkah,
yaitu12:
1. Menemukan topik yang dapat dipelajari oleh anak sendiri.
2. Memilih atau mengembangkan aktifitas kelas dengan topik tersebut.
3. Mengetahui adanya kesempatan bagi guru untuk mengemukakan pertanyaan
yang menunjang proses pemecahan masalah.
4. Menilai pelaksanaan
tiap kegiatan, memperhatikan keberhasilan, dan
melakukan revisi.
Adapun tujuan pembelajaran bukanlah penguasaan materi pelajaran , akan
tetapi proses untuk mengubah tingkah laku siswa sesuai dengan tujuan yang akan
11
12
Montasser, Deon. Orienatsi Pembelajaran Organisasi. FISIP UI., 2007
Dimyati & Mudjiono. Belajar dan Pembelajaran. Jakarta: Rineka Cipta. 2006. hal 87
dicapai. Oleh karena itu, penguasaan materi pelajaran bukanlah akhir dari proses
pelajaran, akan tetapi hanya sebagai tujuan pembentukan tingkah laku yang lebih
luas. Artinya, sejauh mana materi pelajaran yang dikuasai siswa dapat membentuk
pola perilaku siswa itu sendiri. Untuk itulah pembelajaran yang digunakan guru
tidak hanya sekedar pembelajaran ekspositori, tetapi berbagai pembelajaran.
Dalam proses pembelajaran guru diharapkan mampu memiliki kemampuan dalam
memberikan motivasi kepada siswa dan memberikan latihan yang berkualitas
dalam
upaya
mengembangkan
kemampuan
siswa.
Dengan
demikian,
pembelajaran matematika adalah proses membuat orang belajar matematika.
Menurut Gagne hakekat pembelajaran dan rancangan pembelajaran,
adalah semua hal yang bisa berpengaruh secara langsung pada belajar orang.13
Pembelajaran bisa disampaikan dengan bantuan gambar, komputer dan media
lain. Gagne mendifinisikan pembelajaran sebagai seperangkat acara peristiwa
eksternal yang dirancang untuk mendukung terjadinya beberapa proses belajar,
yang sifatnya internal. Oleh karena itu diperlukan komponen yang esensial dalam
pembelajaran. Komponen pembelajaran esensial adalah merumuskan tujuan
pembelajaran dan mengenali cara pembelajaran yang cocok bagi tujuan-tujuan
pembelajaran tertentu14. Sebagaimana fungsi dari pembelajaran yaitu menunjang
proses internal yang terjadi di dalam diri pelajar, yang disebut belajar.
Pengertian Orientasi, menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia adalah
melihat-lihat atau meninjau (supaya kenal lebih jauh atau lebih tau), mempunyai
kecenderungan
pandangan
atau
menitikberatkan
pandangan.
Sedangkan
pengertian dari orientasi dalam pembelajaran menurut Argryis dan Schin adalah
“the degree to which firm’s proactively question wheather their existing beliefs
and practices actually maximize organizational performance”. Pengertian ini
memberikan makna bahwa orientasi dalam pembelajaran menghadirkan nilai-nilai
13
Margaret E. Bell-Gredler, Belajar dan Membelajarkan . Jakarta: PT. Raja Grafindo
Pustaka. 1994. Hal 205
14
Margaret E. Bell-Gredler, Belajar dan Membelajarkan. Jakarta :PT. Raja Grafindo
Pustaka. 1994. Hal 207
yang berpengaruh kepada kecenderungan usaha untuk bekerja sama dalam
menggali pengetahuan dan tantangan perubahan.
Selain itu pengertian orientasi dalam pembelajaran menurut Calantone et
al. adalah “the organization wide activity of creating and using knowledge to
enhance advantage”. Senada dengan pengertian sebelumnya orientasi dalam
pembelajaran yang dikemukakan oleh Calantone et al. lebih menekankan kepada
aktivitas-aktivitas usaha dalam meningkatkan pengetahuan untuk meningkatkan
daya saing. Dengan demikian orientasi dalam pembelajaran merupakan aktiviatas
dalam mendapatkan pengetahuan sebagai bagian dalam pembelajaran di sekolah.
Artinya siswa belajar secara terus menerus mentransformasikan dirinya lebih baik
untuk dapat mengatur pengetahuan yang telah diperolehnya.
Jadi, pembelajaran berorientasi adalah suatu proses pembelajaran yang
direncanakan oleh guru sebelum memulai kegiatan belajar mengajar sehingga yag
lebih menekankan suatu aktivitas pada saat proses pembelajaran sehingga siswa
memperoleh penguasaan suatu kemampuan tertentu, yang sudah ditetapkan
terlebih dahulu.
A.2. Retensi
Retensi mengacu pada tingkat dimana materi yang telah dipelajari masih
melekat dalam ingatan, sedangkan lupa mengacu pada porsi ingatan yang hilang.
Sehingga dapat dikatakan bahwa jumlah yang sama dengan jumlah yang telah
dipelajari dikurangi dengan ingatan yang masih tersimpan. Ilmuwan yang pertama
kali meneliti tentang retensi adalah Ebbinghaus. Kesimpulan yang diperoleh
dalam penenlitian yang dilakukan oleh Ebbinghaus yaitu kurva retensi yang
menunjukkan bahwa retensi dapat berkurang dengan cepat setelah interval waktu
tertentu dan lupa atau berkurangnya retensi ini dapat terjadi dalam beberapa jam
setelah proses belajar mengajar berlangsung.15
15
Taufik Rahman, http://educare.e-fkipinla.net/index2.php?option=com content&do
pdf=1&id=44. 12 Februari 2011. Pukul 13.00 WIB
Para ahli mencoba untuk mendefinisikan retensi itu sendiri. Berikut ini
definisi Retensi menurut beberapa ahli, antara lain16:
1) Menurut Zaidi, Retensi belajar merupakan sejumlah materi yang masih
diingat setelah selang waktu tertentu
2) Menurut Oxendine, Retensi mengarah pada ketekunan pada pengetahuan
atau keterampilan belajar.
3) Menurut Pranata dan Rose, Retensi adalah banyaknya pengetahuan yang
dipelajari oleh siswa yang dapat disimpan dalam memori jangka panjang
dan dapat diungkapkan kembali selang waktu tertentu.
4) Menurut Sandtrock, Memori atau ingatan merupakan suatu retensi
informasi dari waktu ke waktu yang melibatkan penyimpanan, pengkodean
dan pemanggilan kembali informasi
Retensi merupakan salah satu fase dalam proses pembelajaran. Dalam
tahap retensi merupakan proses penyimpanan pemahaman dan perilaku baru yang
diperoleh setelah mengalami proses akuisi (fase menerima informasi). Dalam
tahap belajar terjadi proses internal dalam pikiran siswa. Winkel menggambarkan
tahapan proses tersebut terjadi dengan urutan sebagai berikut:17
1. Siswa menerima rangsang dari guru
2. Rangsang yang masuk ditampung dalam sensori register dan diseleksi,
sehingga membentuk suatu kebulatan perseptual
3. Pola perseptual tersebut masuk kedalam ingatan jangka pendek dan tinggal
disana selama 20 detik, kecuali bila informasi tersebut ditahan lebih lama
melalui proses penyimpanan
4. Penampungan hasil pengolahan informasi yang berada dalam memori jangka
pendek dan menyimpannya dalam memori jangka panjang sebagai informasi
yang siap dipakai sewaktu-waktu pada saat diperlukan
16
http://www.cast.org/ncac/Anchoredlnstuction 1663.cfm)
Taufik Rahman, http://educare.e-fkipinla.net/index2.php?option=com content&do
pdf=1&id=44
17
5. Pada saat diperlukan siswa menggali informasi yang telah dimasukkan dalam
memori jangka panjang untuk dimasukkan kembali kedalam memori jangka
pendek. Dengan melihat proses internal yang terjadi pada siswa, maka fase 3
dan 4 dimana ingatan dimasukkan dan ditahan dalam memori jangka pendek
dan kemudian dimasukkan kedalam memori jangka panjang merupakan proses
yang amat penting bagi retensi.
Jadi, diperoleh kesimpulan bahwa retensi adalah kegiatan belajar yang
berhubungan antara kemampuan dengan keterampilan daya ingat siswa. Retensi
juga memiliki hubungan erat dengan memori jangka pendek (short term memory)
dan memori jangka panjang (long term memory). Pada fase retensi, informasi baru
yang diperoleh harus dipindahkan dari memori jangka pendek ke memori jangka
panjang. Ini dapat terjadi melalui pengulangan kembali (rehearsal), praktik
(practice), elaborasi (elaboration) atau lain-lainnya.
Metode
Penyimpanan
Kelas
5%
Membaca
10% (pasif belajar)
Audio Visual
20%
Demonstrasi
30%
Gambar.1.
Piramida Pembelajaran18
18
Taufik Rahman, http://educare.e-fkipinla.net/index2.php?option=com content&do
pdf=1&id=44. Dinuduh pada tanggal 7 Februari. Pukul 09.25
Pembelajaran berorientasi retensi juga berhubungan erat dengan perhatian
(attention). Perhatian (attention) penting, karena jika siswa tidak memberikan
perhatian (attention) terhadap sesuatu, maka dapat disimpulkan untuk sementara
bahwa siswa tidak suka mengingat pelajaran yang telah dipelajarinya tersebut. Di
dalam kenyataannya, memang banyak materi pelajaran yang telah dipelajari oleh
siswa, tetapi sukar sekali untuk siswa mengingatnya kembali. Ada materi
pelajaran yang begitu cepat dilupakan oleh siswa. Adapula materi pelajaran baru,
setelah beberapa lama muncul lagi dalam daya ingat siswa. Berdasarkan hasil
penelitian yang dilakukan oileh Whiterington, menunjukkan bahwa materi yang
bersifat hafalan (substansial-material) mudah sekali dilupakan oleh siswa,
dibandingkan materi-materi yang bersifat mental (fungsional struktural) yang
lebih tinggi, atau hasil-hasil pengalaman praktik yang berarti (meaningful).
Retensi dalam proses pembelajaran erat kaitannya dengan memori, adapun
memori tersebut diantaranya adalah memori jangka pendek, memori kerja, dan
memori jangka panjang. Yang pertama, yaitu memori jangka pendek. Memori
jangka pendek secara kasar dapat disamakan dengan kesadaran. Artinya, apa yang
siswa sadari pada suatu waktu, dikatakan terdapat pada memori jangka pendek
siswa. Memori ini disebut “jangka pendek”, sebab informasi keluar dari memori
jangka pendek ini dalam waktu kira-kira 10 detik, setelah materi baru dipelajari
oleh siswa, kecuali jika materi tersebut diulang-ulang. Sebagai contoh dalam
kehidupan nyata, bila seorang siswa diminta untuk mencari nomor telpon
misalnya, nomor itu akan sampai ke memori jangka pendek. Bila siswa tidak
mengulang-ulang nomor tersebut sewaktu ia berjalan dari buku telpon ke pesawat
telpon, kemungkinan siswa tersebut lupa akan nomor tersebut menjadi lebih besar.
Bukan hanya usia memori jangka pendek yang pendek, tetapi
kapasitasnya pun terbatas. Oleh karena itu memori jangka pendek kerap kali
disebut bottlekneck dari system pemrosesan informasi. Kapasitas memori jangka
pendek yang kecil ini implikasinya penting sekali bagi pengajaran atau instruksi
pada umumnya. Makin lama makin banyak digunakan istilah memori jangka
pendek. Jadi memori jangka pendek (short term memory) dalam proses
pembelajaran menekankan lama bertahannya informasi yang diterima oleh siswa
setelah menerima materi pelajaran baru.
Yang kedua, memori kerja. Memori kerja merupakan “tempat”
dilakukannya kegiatan mental secara sadar oleh siswa. Sebagai contoh, jika siswa
diminta untuk memecahkan soal 14 x 32 dalam pelajaran matematika, maka siswa
akan menyimpan hasil-hasil sementara 28 dan 42 kemudian menjumlahkannya di
memori kerja mereka. Informasi dalam memori kerja siswa dapat dikode,
kemudian disimpan dalam memori jangka panjang siswa. Pengkodean (coding)
merupakan suatu proses transformasi, dimana informasi baru yang diperoleh
siswa diintegrasikan pada informasi lama dengan berbagai cara.
Yang ketiga adalah memori jangka panjang (long term memory). Memori
jangka panjang yang dimaksud dalam proses pmbelajaran adalah bagaimana siswa
menyimpan informasi pelajaran yang telah diperoleh untuk digunakan di
kemudian hari. Berlawanan dengan memori kerja, memori jangka panjang
bertahan lama sekali. Sebagai suatu contoh kasus pemrosesan yang terjadi pada
proses pembelajaran matematika, yaitu seorang Guru di SMP bertanya kepada
seorang siswa yang bernama A, “Bagaimana rumus luas segitiga?”, A menjawab,
“Tidak tahu, bu.” Pada waktu yang sama A sudah mempunyai harapan bahwa ia
akan mempelajari rumus luas segitiga. Guru itu kemudian berkata, “Rumus luas
segitiga adalah alas x tinggi dibagi dua.” Pola bahwa rumus luas segitiga adalah
alas x tinggi dibagi dua menjadi informasi penting yang menurutnya perlu diingat.
A kemudian selalu mengingat bahwa rumus luas segitiga adalah alas x tinggi
dibagi dua, dengan cara mengkoneksikan rumus ini dengan informasi lain yang
telah diketahuinya tentang luas segitiga. Bentuk koneksi yang dilakukan oleh A
yaitu mengkoneksikan materi yang telah dipelajarinya mengenai segitiga
(misalnya ketika mengerjakan soal luas segitiga, jika yang diketahui hanya
panjang sisinya, maka si A dengan informasi baru yang diperolehnya mengenai
luas segitiga adalah alas x tinggi dibagi 2, berarti si A tahu bahwa yang harus
dilakukannya untuk mencari luas segitga dengan mencari ingginya terlebih
dahulu, yaitu mengkoneksikannya dengan materi phytagoras). Dalam pelajaran
berikutnya, ketika guru bertanya pada A, “Bagaimana rumus luas segitiga, A?”. A
dapat menjawabnya dengan benar. Dalam hal ini berarti A telah menyimpan
informasi yang diberikan oleh guru mengenai rumus luas segitiga kedalam
memori jangka panjangnya.
Tabel. 1.
Perbedaan Ingatan Jangka Pendek dan Jangka Panjang19
Karakteristik
Ingatan Jangka Pendek
Ingatan Jangka Panjang
Input
Sangat Cepat
Lambat
Kapasitas
Terbatas
Hampir Tak Terbatas
Durasi
20 – 30 detik
Hampir Tak Terbatas
Kata-kata, gagasan/ ide,
Isi
kalimat pendek
Penarikan/
Pengeluaran
Segera
Skema, gambar
Pengelolaan dan gambaran
(representasi)
Informasi Kembali
Peristiwa penyimpanan memori yang dilakukan oleh siswa dalam jangka
pendek dan jangka panjang merupakan peristiwa mengingat atau menghafal.
Tidak dapat dipungkiri bahwa siswa selalu menggunakan daya ingat dalam proses
pembelajaran, apapun mata pelajarannya. Menurut Suryabrata dan Wasty, ingatan
didefinisikan
sebagai
kecakapan
untuk
menerima,
menyimpan,
dan
mereproduksikan kesan-kesan. Ingatan baik mempunyai sifat-sifat cepat atau
mudah mencamkan, setia, teguh, luas dalam menyimpan, dan siap atau sedia
dalam mereproduksikan kesan-kesan. Ingatan cepat artinya mudah dalam
mencamkan sesuatu hal tanpa menjumpai kesukaran. Ingatan setia artinya apa
19
Yulaewati, Ella. Kurikulum dan Pembelajaran. Jakarta: Pakar Raya. 2009
yang telah diterima (dicamkan) itu akan disimpan sebaik-baiknya dan tidak akan
berubah-ubah, jadi tetap cocok dengan keadaan waktu menerimanya.
Ingatan teguh artinya dapat menyimpan kesan dalam waktu yang lama,
tidak mudah lupa. Ingatan luas artinya dapat menyimpan banyak kesan-kesan.
Ingatan siap artinya mudah dapat mereproduksikan kesan yang telah disimpannya.
Soal mengingat dan lupa biasanya juga ditunjukkan dengan satu pengertian saja,
yaitu retensi, karena memang sebenarnya kedua hal tersebut hanyalah memandang
hal yang satu dan sama dari segi yang berlainan.
Lalu bagaimana seorang siswa dapat mengingat dengan baik. Pada
dasarnya otak siswa cenderung mengingat informasi paling banyak pada awal
permulaan dan akhir sesi belajar. Sesaat setelah sesi belajar dimulai, maka akan
terjadi penurunan daya serap informasi yang dapat diingat, yaitu kurang lebih di
tengah – tengah sesi belajarnya, kecuali:
1. Informasi itu ‘diulang-ulang’ mengingatnya
2. Informasi itu ‘unik’
3. Informasi itu ‘menarik perhatian’ anak anda
4. Informasi itu ‘terasosiasi’ dengan informasi lainnya
Setelah sebuah sesi belajar selesai, maka selanjutnya ingatan siswa akan
mengalami fenomena yang disebut dengan ingatan setelah belajar atau memory
after learning, seperti pada grafik ini20:
20
Sutanto Windura. Memory Champion at School. 2010. Jakarta: PT. Elex Media
Komputindo. Hal 179
Informasi yang terserap
Akhir
sesi belajar
t’
Gambar.2.
Grafik Ingatan Setelah Belajar
Berdasarkan grafik di atas, terlihat bahwa puncak daya ingat siswa justru
tidak terjadi begitu sesi belajar selesai, namun setelah itu (t’). Artinya siswa dapat
mengingat dengan baik informasi yang diterima hanya pada beberapa saat setelah
proses pembelajaran. Setelah itu siswa perlahan-lahan akan melupakannya.
Karena pada grafik ingatan setelah belajar di atas siswa belum melakukan
pengulangan atau retensi pada materi yang baru diterimanya.
Ingatan saat dan setelah belajar dapat ditunjukkan melalui grafik berikut21:
Informasi yang terserap
t
Lama belajar
t’
Ket: t = waktu akhir belajar
t’ = waktu dimana pemahaman dan ingatan optimum terjadi
Gambar.3.
Grafik ingatan saat dan setelah belajar
21
Sutanto Windura. Memory Champion at School. Jakarta: PT. Elex Media Komputindo.
2010. Hal 179
Grafik diatas menunjukkan terjadinya penurunan daya ingat siswa seiring
dengan berjalannya waktu. Itulah sebabnya banyak siswa yang mengeluh dalam
pelajaran yang harus dipelajarinnya menjelang ujian menumpuk. Itu tidak lain
karena apa yang sudah dipelajari sebelumnya sudah banyak yang lupa, alias luntur
sehingga harus dipelajari ulang saat menjelang ujian. Agar apa yang sudah
dipelajari oleh siswa tidak sia-sia, maka tidak ada cara lain yang lebih mudah dari
pada melakukan suatu pengulangan belajar. Dengan melakukan pengulangan
belajar (retensi) diharapkan siswa akan selalu mengingat materi yang sudah
dipelajarinya dalam jangka waktu yang lebih lama.
Pengulangan belajar yang paling efektif adalah sebagai berikut22:
Tabel .2.
Pengulangan Belajar
Kaji ulang
Interval waktu
Daya tahan ingatan
1
10 menit – 1 jam
1 hari
2
1 hari
1 minggu
3
1 minggu
½ - 1 tahun
4
½ - 1 tahun
2-3 tahun / selamanya
ke-
Hal diatas mudah untuk dilakukan dan hanya membutuhkan sedikit waktu,
namun perlu kedisiplinan yang luar biasa. Lebih baik siswa melakukan
pengulangan belajar beberapa kali secara singkat dari pada tidak sama sekali yang
nantinya berujung pada lupa semuanya. Hal yang diingat adalah hal yang tidak
22
Sutanto Windura. Memory Champion at School. Jakarta: PT. Elex Media Komputindo.
2010.Hal181
dilupakan, dan hal yang dilupakan adalah hal yang tidak diingat (tak dapat diingat
kembali).
Menurut Suryabrata setiap siswa berbeda-beda dalam kemampuannya
mengingat, tetapi setiap siswa dapat meningkatkan kemampuan mengingatnya
dengan pengaturan kondisi yang lebih baik dan penggunaan metode yang lebih
tepat. Pada dasarnya ketika otak siswa menerima informasi yang diulang dalam
beberapa cara, ada sebuah proses penyiagaan untuk mengkode informasi tersebut
menjadi lebih efisen. Itulah mengapa menulis kosakata dalam sebuah kalimat,
mendengar teman sekelas membacakan kalimat mereka, kemudian mengikuti
arahan untuk menggunakan kata tersebut dalam percakapan pada hari itu akan
menyebabkan terjadinya penyimpanan memori jangka panjang dan pemanggilan
kembali yang lebih baik daripada hanya sekedar memori definisi kata.
Pengulangan informasi dengan cara yang bervariasi akan berakibat pada
hubungan informasi. Hubungan informasi melibatkan metode-metode yang paling
efektif untuk pertama-tama mendapatkan informasi lalu mempraktikkan dan
melatihnya. Informasi yang dapat diingat dengan paling baik dipelajari melalui
beberapa macam pemaparan yang bervariasi yang diikuti dengan memproses
informasi baru yang bisa dicapai melalui pertanyaan-pertanyaan terpusat kepada
siswa atau terbuka, pemecahan masalah secara aktif, atau mengkoneksikan
informasi dengan situasi dunia nyata.
Semua langkah ini dalam perjalanannya akan mengubah data indrawi
yang dibombardir kepada siswa menjadi pengetahuan yang dimiliki. Pemaparan
yang lebih dari satu bervariasi seperti ini, serta pemrosesan kognitif yang lebih
tinggi akan menyebabkan terbentuknya lebih banyak jalur yang menuntun kepada
informasi baru yang tersimpan. Yang berarti akan ada lebih banyak cara untuk
mengakses informasi nantinya untuk pemanggilan kembali setelah ia disimpan
dalam pusat memori jangka panjang.
Strategi untuk menghubungkan materi yang telah dipelajari ke dalam
memori jangka panjang23:
1) Memperkenalkan informasi ketika siswa sedang dilibatkan, dengan
perhatian (attention) yang terfokus.
2) Mengikutsertakan siswa dalam praktik dengan teknik observasi yang
akurat dan tepat dimana siswa mempelajari informasi dalam konteks yang
bermakna. Dan mendorong siswa untuk mengulang informasi yang ingin
mereka ingat terus-menerus, bahkan dalam percakapan.
3) Menggunakan jalan masuk multi-indera untuk pemaparan kepada
informasi yang berakibat pada koneksi berganda dan hubungan-hubungan
memori relasional dengan jalur memori siswa untuk meningkatkan ingatan
dan penyimpanan memori.
4) Menciptakan motivasi pribadi yang terpusat untuk pembelajaran.
5) Menggunakan teknik-teknik observasi yang dikuasai dan dipraktikan,
untuk membuat koneksi personal dan penemuan tentang materi yang akan
dipelajari.
6) Mengarahkan agar siswa menggunakan informasi tersebut untuk
menjawab pertanyaan-pertanyaan berpikir kritis yang relevan secara
personal atau buatlah dan dukunglah penilaian dengan menggunakan
pengetahuan baru tersebut.
7) Menggunakan masalah-masalah dunia nyata yang bersifat praktis untuk
diselesaikan siswa dengan menggunakan pengetahuan baru.
8) Menanyakan pada siswa bagaimana mereka akan menggunakan informasi
tersebut di luar sekolah.
Untuk menunjang penyimpanan memori jangka panjang dan pemanggilan
kembali memori dengan sukses, materi-materi baru perlu dikuatkan melalui
pengingat koneksi personal pada akhir pelajaran, siswa diberi pertanyaan yang
23
Willis, Judi. Strategi Pembelajaran Efektif Berbasis Riset Otak. Yogyakarta: Mitra
Media. 2010.Hal 42
terbuka tentang apa yang menarik untuk mereka, apa yang telah mereka ingat, dan
apa yang masih mereka ingin ketahui. Menurut Sills, retensi hasil belajar mengacu
kepada sejumlah pengetahuan dan pengalaman belajar yang masih diingat oleh
murid dalam rentang waktu tertentu. Retensi belajar adalah sejumlah memori yang
masih mampu ditampilkan siswa setelah selang periode waktu tertentu, atau
dengan menggunakan konsep memory theorists, jumlah informasi yang masih
mampu dingat atau diungkapkan kembali oleh murid setelah selang waktu
tertentu.
Berdasarkan pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa retensi
merupakan suatu kemampuan yang dimiliki siswa yang tersimpan dalam long
term memory yang mampu ditampilkan setelah selang waktu tertentu.
Implementasi retensi terlihat pada kemampuan metakognitif, keterampilan
metakognitif, kemampuan berpikir kritis, hasil belajar kognitif. Dengan demikian
pembelajaran
berorientasi
retensi
adalah
proses
pembelajaran
yang
direncanakan oleh guru sebelum memulai kegiatan belajar mengajar, yang lebih
menekankan pada aktivitas menghafal dan mengulang. yaitu bagaimana siswa
dapat menghafal dan mengulang kembali materi pelajaran yang telah dan sedang
dipelajarinya kedalam memori jangka panjang, sehingga siswa memperoleh
penguasaan suatu kemampuan tertentu, yang sudah ditetapkan terlebih dahulu.
B. Koneksi Matematika
B.1. Hakekat Matematika
Matematika berasal dari bahasa Yunani, yaitu manthein atau manthenein
yang artinya studi besaran, struktur, ruang dan perubahan. Matematika dikenal
sebagai suatu ilmu pengetahuan yang abstrak, yang dapat dipandang sebagai
menstrukturkan pola berpikir yang sistematis, kritis, logis, cermat, dan konsisten.
Banyak pakar pendidikan yang mengartikan matematika. Pendapat para
pakar tersebut akan diuraikan pada pembahasan berikut ini, James dan james
mengatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk,
susunan, besaran dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan yang lainnya
dengan jumlah yang banyak yang terbagi kedalam tiga bidang, yaitu aljabar,
analisis, dan geometri. Kemudian Klien mengatakan juga,bahwa matematika itu
bukanlah pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri,
tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam
memahami dan memguasai permasalahan sosial, ekonomi, dan alam.
Bourne memahami matematika sebagai konstruktivisme sosial dengan
penekanan pada knowing how, yaitu pelajar dipandang sebagai mahluk yang aktif
dalam mengonstruksikan ilmu pengetahuan dengan cara berinteraksi dengan
lingkungannya. Sedangkan dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI),
matematika didefinisikan sebagai ilmu tentang bilangan, hubungan antara
bilangan dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah
mengenai bilangan.24
Pengertian tentang matematika
menurut A.Saepul Hamdani,dkk,
matematika adalah cabang ilmu pengetahuan yang eksak dan terorganisasi secara
sistematik, pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasinya, pengetahuan tentang
penalaran logis dan berhubungan dengan bilangan, pengetahuan tentang faktafakta kuantitatif dan masalah tentang ruang dan bentuk, pengetahuan tentang
struktur-struktur yang logis, dan pengetahuan tentang aturan-aturan yang ketat. 25
Dari beberapa pengertian diatas dapat disimpulkan bahwa matematika
selalu berkaitan dengan bilangan, angka, simbol-simbol, atau perhitungan.
Dengan mempelajari matematika siswa memiliki kemampuan berhitung,
pengukuran, mengamati dan memecahkan permasalahan yang dapat disajikan dari
kehidupan nyata diubah ke variabel-variabel dalam bentuk eksak, Oleh karena itu
matematika menjadi mata pelajaran yang harus dikuasai oleh siswa dari jenjang
Sekolah Dasar (SD) sampai Sekolah Menengah Atas (SMA) bahkan kejenjang
Perguruan Tinggi.
24
Abdul Halim Fathani, Matematika Hakikat & Logika, (Jogjakarta:Ar-Ruzz Media Group,
2009), hal. 22
25
A. Saepul hamdani, Kusaeri, Irzani, mulin Nu’man, Matematika 1 edisi perama, ( Surabaya:
LAPIS-PGMI, 2008), hal. 1.7-1.8.
Pembelajaran matematika diharapkan berakhir dengan sebuah pemahaman
siswa yang komprehensif dan holistik tentang materi yang telah disajikan.
Pemahaman siswa yang dimaksud tidak sekedar memenuhi tuntutan tujuan
pembelajaran matematika secara subsiantif saja tetapi diharapkan siswa lebih
memahami keterkaitan antara satu topik matematika dengan topik matematika
yang lainnya dan lebih memahami peranan matematika dalam kehidupan seharihari.26
Ada lima tujuan yang mendasar dalam belajar matematika seperti
dirumuskan oleh NCTM;2000 adalah27
1) That they learn to value mathematics, artinya matematika sebagai ilmu hitung,
karena pada hakekatnya matematika berkaitan dengan masalah hitungmenghitung. Pengerjaan operasi hitung untuk mencari hasil dilakukan dalam
pembelajaran matematika mulai tingkat dasar sampai perguruan tinggi. Dalam
pengerjaan operasi hitung siswa dituntut untuk bersikap teliti, cermat, hemat,
cepat, dan tepat. Saat mengerjakan masalah matematika, siswa harus
mengerjakan dengan teliti dan cermat. Langkah-langkah pengerjaan diteliti dan
dicermati. Setelah diperoleh hasilnya, hasilnya dicek lagi apakah sudah
menjawab permasalahan atau tidak. Sikap hemat dalam matematika dapat
dilihat dengan mengerjakan matematika dengan kalimat ringkas dan mudah
dipahami.
2) That they become confident in their ability to do mathematics, artinya bahwa
matematika sebenarnyajuga mengajarkan untuk bersikap pantang menyerah
dan percaya diri. Saat mengerjakan atau menyelesaikan masalah matematika,
tidak dibolehkan pantang menyerah. Saat gagal atau tidak dapat menjawab,
siswa dituntut untuk mencari cara lain untuk menjawab. Siswa dituntut untuk
mencoba terus, sampai pada akhirnya akan dapat menjawabnya. Ketika siswa
gagal mencari jawaban yang harus ditanamkan dalam diri siswa adalah
kegagalan awal dari keberhasilan. Saat keberhasilan tercapai, rasa puas dan
26
Erman Suherman, DKK. Strategi Pembelajaran Matematika
(Bandung:common textbook UPI, 2003), hal. 298-299.
27
Mohammad Asikin, Daspros Pembelajaran Matematika I, hal. 8
Kontemporer,
bangga akan tumbuh. Matematika mengajarkan pentingnya sikap percaya diri.
Inilah mutiara yang berguna dalam kehidupan sehari-hari.
3) That they become mathematical problem-solvers, artinya bahwa siswa menjadi
mampu untuk memecahkan masalah. Pembelajaran matematika di kelas
dimaksudkan tidak hanya mentranfer pengetahuan guru kepada siswa, tetapi
siswa dapat mengerti materi yang mereka pelajari. Siswa dapat mengerjakan
soal yang berbeda dengan yang dicontohkan guru, maka siswa dilatih untuk
mengaplikasikan materi yang dipelajari dengan soal yang mereka kerjakan
untuk memecahkan masalah.
4) That they learn to communicate mathematically, artinya bahwa siswa belajar
untuk berkomunikasi secara matematika. Penggunaan simbol sebagai alat
komunikasi dalam matematika, untuk menyatakan “unsur x merupakan anggota
himpunan A” digunakan dengan simbol “‫”ܣ א ݔ‬. Menyatakan bahwa simbol
bermanfaat
untuk
penghematan
intelektual,
karena
simbol
dapat
mengkomunikasikan ide secara efektif dan efisien.
5) That they learn to reason mathematically, artinya bahwa siswa belajar untuk
memperoleh alasan-alasan atau berpikir secara matematis, maka matematika
pada umumnya berkaitan dengan usaha mencari penyelesaian suatu
permasalahan matematika. Tetapi, bukan penyelesaian yang menjadi fokus.
Justru bagaimana metode mencari penyelesaian yang diutamakan. Sebagai
contoh, ada soal berikut: “Tentukanlah hasil dari 134 x 85”.
Beberapa siswa mungkin akan menjawabnya dengan perkalian bersusun
berikut:
125
75
625 ‫ݔ‬
875
+
9375
Tetapi, siswa lain mungkin akan menjawabnya sebagai berikut.
125 x 75 = 10000 – 625 = 9375.
Cara kedua ini adalah cara tercepat dan tepat. Inilah menghitung dengan
cara yang hemat. Cara kedua menggunakan rumus:
(ܽ ൅ ܾ)(ܽ െ ܾ) ൌ ܽଶ െ ܾଶ
Cara kedua ini dilakukan karena mengetahui bahwa:
25 = 100 + 25
75 = 100 – 25
Jadi, 125 x 75 = (100 + 25) x (100 - 25) = 102 – 252 = 10000 – 625 = 9375.
Dalam matematika terdapat topik atau konsep prasyarat sebagai dasar untuk
memahami topik atau konsep selanjutnya. Pembelajaran matematika tidak bisa
disampaikan secara acak harus berurutan secara tahap demi tahap, penjelasan
dimulai dari pemahaman ide dan konsep dasar selanjutnya sampai jenjang yang
lebih kompleks.
Sekalipun abstrak, berbagai konsep atatu teori matematika timbul atau
disusun berdasarkan berbagai fenomena nyata, atau dipicu oleh kebutuhan dalam
memecahkan permasalahan situasi nyata. Ini mendasari mengapa matematika
seringkali berperan besar dalam pengembangan berbagai bidang ilmu lain,
ataupun secara langsung menyelesaikan permasalahan nyata. Dalam pembelajaran
matematika terdapat dua aspek yang berkaitan erat, yaitu: aspek teori dan aspek
terapan28.
Aspek teori, didasarkan pada karakteristik utama matematika, yaitu
disiplin atau pola berpikir. Pola berpikir yang konsisten inilah yang diterapkan
secara konsisten dan menyebabkan matematika mempunyai struktur ilmu yang
kokoh. Dalam matematika tidak akan pernah ada konsep-konsep yang
bertentangan (kontradiksi). Dalam struktur matematika yang dibangun dengan
pola berpikir ini, dalam setiap teori matematika terdapat rantai-rantai hierarki
konsep yang tidak dapat dihilangkan salah satu matarantainya begitu saja. Dengan
kata lain perlu terdapat kesinambungan tertentu dalam pengajaran setiap mata
kuliah.
28
Tim Penulis PKERTI Bidang MIPA. Hakikat Pembelajarn MIPA dan Kiat Pembelajaran
Matematika Perguruan Tinggi. Pusat Antar Universitas. Universitas Terbuka. Jakarta. Juli 2011.
Hal 5
Aspek terapan didasari oleh berbagai konsep matematika, terutama
konsep-konsep awal yang mencakup juga berbagai aksioma, ada yang berasal dari
pengamatan dalam situasi atau peristiwa sehari-hari, dan adapula yang dirangsang
tumbuhnya oleh situasi tersebut. Sebagai contoh, misalnya teori matriks yang
pada saat ini digunakan oleh hampir semua bidang ilmu, termasuk berbagai ilmuilmu sosial. Hal ini menunjukkan bahwa terdapat kaitan yang erat sekali antara
berbagai konsep matematika dengan permasalahan dunia nyata, yang memberikan
aspek penerapan matematika, yaitu kemampuan matematika untuk membantu
menyelesaikan permasalahan sehari-hari, maupun dalam pengembangan berbagai
bidang ilmu lainnya.
B.2. Koneksi Matematika
Dalam matematika terdapat beberapa kemampuan yang diharapkan dapat
dikuasai oleh siswa atau yang sering disebut “daya matematika” meliputi29:
1. Kemampuan pemecahan masalah (problem solving)
2. Kemampuan berargumentasi (reasonning)
3. Kemampuan berkomunikasi (communication)
4. Kemampuan membuat koneksi (connection)
5. Kemampuan representasi (representation)
Salah satu diantara kelima daya matematika ialah kemampuan membuat
koneksi matematika. Koneksi matematika mengacu pada pemahaman yang
mengharuskan siswa dapat memperlihatkan hubungan internal dan kesternal
matematika. Hubungan internal matematika meliputi hubungan antar topik
matematika, sedangkan hubungan eksternal matematika meliputi hubungan
matematika dengan disiplin ilmu lain dalam kehidupan sehari-hari. Dapat
diketahui betapa pentingnya koneksi matematika sebagaimana diungkapkan
29
Tim Penulis PKERTI Bidang MIPA. Hakikat Pembelajarn MIPA dan Kiat Pembelajaran
Matematika Perguruan Tinggi. Pusat Antar Universitas. Universitas Terbuka. Jakarta. Juli 2011.
Hal 11
NCTM “ketika siswa dapat mengetahui antara konten matematika yang berbeda.
Mereka
mengembangkan
pandangan
matematika
sebagai
sesuatu
yang
menyeluruh. Sejak mereka lebih memahami hubungan antar topik matematika.
Russeffendi menyatakan bahwa dalam matematika setiap konsep itu
berkaitan satu sama lain seperti dalil dengan dalil, antara teori dengan teori, antara
topik dengan topik, antara cabang matematika30. Oleh karena itu agar siswa
berhasil dalam belajar matematika, siswa harus lebih banyak diberi kesempatan
untuk melihat kaitan-kaitan itu. Koneksi erat kaitannya dengan masalah
pengertian (understanding, comprehension). Menurut Fisher, membuat koneksi
adalah cara kita menciptakan pengertian31. Untuk bisa melakukan koneksi terlebih
dahulu siswa harus mengerti permasalahannya, sebaliknya untuk bisa mengerti
permasalahan siswa harus mampu membuat koneksi dengan topik-topik yang
terkait.
Dalam melakukan koneksi, siswa harus mengerti informasi yang baru
diperoleh untuk diarahkan ke informasi yang diterima terdahulu. Dengan
pengertian itu, siswa akan menangkap arah penyelesaian, langkah apa yang
seharusnya dilakukan. Ada dua hal pokok yang berkaitan dengan mengerti dan
koneksi32:
1. Mengerti penting artinya agar prinsip dan fakta bisa dihubungkan
(dikoneksikan) dengan yang lain secara keseluruhan dari materi
matematika yang telah dipelajari.
2. Adanya koneksi antara matematika dengan cabang ilmu pengetahuan yang
lain seperti yang dipelajari di sekolah.
Diketahui bahwa koneksi matematika tidak hanya mencangkup masalahmasalah yang berhubungan dengan matematika saja, namun juga dengan mata
30
Ruspiani. Kemampuan siswa dalam melakukan koneksi matematika.Tesis Program
Pascasarjana UPI Bandung. 2000. Hal 19
31
Ruspiani. Kemampuan siswa dalam melakukan koneksi matematika.Tesis Program
Pascasarjana UPI Bandung. 2000. Hal 21
32
Ruspiani. Kemampuan siswa dalam melakukan koneksi matematika.Tesis Program
Pascasarjana UPI Bandung. 2000. Hal 24
pelajaran lain serta kehidupan sehari-hari. Koneksi matematika memberi
gambaran tentang bagaimana sifat materi matematika yang diberikan dalam
kegiatan pembelajaran. Pertanyaan ini muncul karena topik-topik dalam
matematika banyak memiliki keterkaitan dan juga banyak memiliki relevansi yang
bermanfaat dengan bidang lain, baik di dalam sekolah (dengan mata pelajaran
lain) maupun di luar sekolah (dalam kehidupan dunia nyata).
Sehubungan dengan hal tersebut, maka dalam pembelajaran matematika
perlu adanya penekanan kepada materi yang mengarah kepada adanya keterkaitan
baik dengan matematika sendiri maupun dengan bidang lain. Matematika terdiri
atas beberapa cabang dan setiap cabang tidak bersifat tertutup yang masingmasing berdiri sendiri namun merupakan kesatuan padu yang menyeluruh.
Melalui koneksi matematika diupayakan agar bagian-bagian itu saling
berhubungan sehingga siswa tidak memandang sempit terhadap matematika.
Indikator Koneksi Matematika33:
a.
Mencari hubungan berbagai representasi konsep dan prosedur.
b.
Memahami hubungan antar topik matematika
c.
Menggunakan matematika dalam bidang studi lain atau kehidupan seharihari.
d.
Memahami representasi ekuivalen konsep yang sama.
e.
Mencari koneksi suatu prosedur ke prosedur lain dalam repreentasi yang
ekuivalen.
f.
Menggunakan koneksi antara topik matematika dengan topik matematika
lainnya dan antara topik matematika dengan topik bidang ilmu lain.
Dan standar proses yang harus dicapai dalam mengkoneksikan matematika
adalah:
1. Memperdalam dan memperkokoh pemahaman siswa
33
Hal 56
Jihap, Asep. Pengembangan Kurikulum Matematika. Yogyakarta: Multi Pressindo. 2008.
2. Menggunakan matematika di luar konteks bidang matematika, dalam hal ini
dibagi 2 yaitu:
a)
Memberikan kesempatan untuk mengalami konteks matematika.
b) Menganalisis data statistik yang digunakan siswa untuk mengklasifikasi
isu yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari.
3. Mengerti bagaimana menghubungkan ide-ide matematika dan membangun
hasil yang koheren satu sama lain. Hal ini juga bercabang menjadi 2 macam,
yaitu:
a) Mengintegrasikan langkah-langkah dan dapat memfokuskan konsepkonsep matematika sekolah.
b) Dapat meningkatkan kemampuan untuk melihat struktur yang sama
dengan pengaturan yang terlihat berbeda.
4. Mengakui dan menggunakan keterkaitan antara ide-ide dalam matematika, hal
ini dapat bercabang menjadi 3, yaitu:
a) Mempercayai bahwa materi dalam matematika sekolah semua level
memiliki keterkaitan.
b) Membangun kepercayaan bahwa keterkaitan matematika dapat digunakan
untuk menyelesaikan masalah.
c) Memperluas dengan menemukan ide baru dari materi yang sudah
dipelajari dari dahulu.
Adapun tujuan
kehadiran koneksi matematika di sekolah
yang
dikemukakan oleh Nationnal Council of Teachers Mathematics (NCTM), yaitu34:
1. Memperluas wawasan pengetahuan siswa,
2. Memandang matematika sebagai suatu keseluruhan yang padu, bukan sebagai
materi yang berdiri sendiri,
3. Menyatakan relevansi dan manfaat matematika baik di sekolah maupun di
luar sekolah
34
Ruspiani. Kemampuan siswa dalam melakukan koneksi matematika.Tesis Program
Pascasarjana UPI Bandung. 2000. Hal 26
Kemampuan Koneksi Matematika adalah kemampuan seseorang dalam
memperlihatkan hubungan internal dan eksternal matematika. Ada dua tipe umum
koneksi matematika menurut NCTM,
yaitu modeling connections dan
mathematical connections. Modeling connections merupakan hubungan antara
situasi masalah yang muncul di dalam dunia nyata atau di dalam disiplin ilmu
lain dengan representasi matematiknya, sedangkan mathematical connections
adalah hubungan antara dua representasi yang ekuivalen, dan antara proses
penyelesaian masing-masing representasi35. Keterangan NCTM mengenai dua tipe
umum koneksi matematika mengindikasikan bahwa koneksi matematika terbagi
kedalam tiga aspek, yaitu36:
1)
Koneksi antar topik matematika,
Banyak diantara topik-topik dalam berbagai bidang dalam matematika
yang sebenarnya memiliki koneksi satu sama lain. Adanya koneksi antar topik
matematika bermaksud untuk membantu siswa dapat menghubungkan berbagai
topik tersebut. Sebagai contoh dalam phytagoras. Topik ini memiliki koneksi
dengan trigonometri dan garis singgung lingkaran.
Menurut Ruspiani, koneksi antar topik matematika terbagi atas 3 jenis,
yaitu37:
1.
Koneksi matematika seperti yang digambarkan NCTM, yaitu satu
permasalahan yang diselesaikan dengan dua cara berbeda.
Contoh :
Selesaikan persamaan berikut: 2x + y = 3
x – 3y = 5
35
http://herdy.wordpress.com/2010/05/27/kemampuan-koneksi-matematik-siswa/
Gusni Satriawati dan Lia Kurniawati. ALGORITMA Jurnal Matematika dan Pendidikan
Matematika (Menggunakan Fungsi-fungsi Untuk Membuat Koneksi-Koneksi Matematika).
Jakarta: CEMED, 2008.
37
Ruspiani. Kemampuan siswa dalam melakukan koneksi matematika.Tesis Program
Pascasarjana UPI Bandung. 2000. Hal 13
36
Penyelesaian:
a) Penyelesaian dengan cara eliminasi
2x + y = 3
6x + 3y = 9
x – 3y = 5
x – 3y = 5
+
7x = 14
x=2
2x + y = 3
x – 3y = 5
2x + y = 3
2x - 6y = 10
+
7y = -7
y = -1,
►sehingga penyelesaiannya : x = 2, y = -1
b) Penyelesaian dengan cara grafik
2x +y = 3
x = 0, y = 3
y = 0, x = 3/2
x – 3y = 5
x = 0, y = -5/3
y = 0, x = 5
Titik potong kedua garis pada (2, -1). Sehingga penyelesaiannya x = 2 dan
y = -1
2x + y = 3
3
3/2
-5/3
2, -1
x - 3y = 5
Gambar .4.
Penyelesaian dari persamaan 2x + y = 3 dan x – 3y = 5
2. Koneksi bebas, topik-topik yang berhubungan dengan persoalan tidak ada
hubungannya satu sama lain, namun topik-topik itu menyatu dalam satu
persoalan.
Contoh:
Jika
a  lim y  {(2 y  1)  4 y 2  4 y  3} maka
untuk
0 x

deret
2
1  a log sin x  a log 2 sin x  a log3 sin x  .... konvergen hanya pada selang:
a )
b )
c )
d )
e )

 x 
6

 x 
6

 x 
4

 x 
4

 x 
3

2

4

3

2

2
Topik-topik yang terikat dalam soal di atas adalah :

Konsep limit mendekati tak hingga

Trigonometri

Logaritma

Deret geometri tak hingga

Harga mutlak
Pada soal di atas topik utamanya adalah deret geometri tak
berhingga. Masing-masing topik lepas satu sama lain dalam arti topik yang
satu tidak bergantung kepada topik yang lain terkecuali antara deret geometri
tak
hingga
dengan
s 
1
1  log sin x .
harga
mutlak.
Dalam
penyelesaian
terdapat
2
3. Koneksi terikat, antara topik-topik yang terlibat koneksi saling
bergantungan satu sama lain.
A1B1C1D1 adalah suatu persegi dengan panjang sisi 10 cm. Titik A2, B2, C2, dan D2
adalah titik-titik tengah A1B1, B1C1, C1D1, dan D1A1 sehingga A2B2C2D2 membentuk
persegi. Titik A3, B3, C3, dan D3adalah titik-titik tengah A2B2, B2C2, C2D2, dan D2A2
sehingga A3B3C3D3 membentuk persegi, …; demikian seterusnya. Hitunglah limit
jumlah luas persegi itu!
C2
D1
C3
D2
B4
C4
C2
B3
A4
D3
D4
A1
B2
A3
B1
A2
Gambar.5.
Deret Persegi
Topik-topik yang terlibat dalam soal di atas adalah:

Sifat-sifat dalam persegi

Teorema phytagoras atau sifat segitiga siku-siku sama kaki

Deret geometri tak hingga
Dari soal di atas sifat persegi menentukan penggunaan teorema
phytagoras. Teorema phytagoras menentukan luas persegi berikutnya sehingga
akan membentuk konsep deret geometri tak hingga. Pokok persoalan adalah deret
geometri tak hingga. Elemen-elemen seperti rasio, suku awal tidak nampak secara
eksplisit. Jadi, untuk mendapatkannya siswa harus mampu membuat koneksi
tentang sifat persegi dan teorema phytagoras. Bila ditelaah lebih lanjut, soal ini
tidaklah terlalu sukar karena yang akan dicari adalah jumlah deret tak hingga.
Unsur-unsur yang diperlukan hanyalah suku awal dan rasionya saja. Namun,
untuk dapat menentukan nilai rasio dan suku awal memerlukan aktivitas
intelektual yang tinggi meliputi pemahaman konsep, wawasan pemikiran,
kebebasan berfikir dan percaya diri.
2) Koneksi dengan disiplin ilmu yang lain,
Matematika sebagai suatu disiplin ilmu dapat bermanfaat baik bagi
pengembangan disiplin ilmu lain, maupun dalam memecahkan permasalahan
dalam kehidupan sehari-hari, seperti yang dikatakan oleh Johanes bahwa
matematika berperan sebagai ilmu pengetahuan pembantu yang ampuh bagi ilmu
pengetahuan lain terutama ilmu pengetahuan eksak.
Sementara itu Hartanto juga mengatakan bahwa matematika merupakan
dasar semua ilmu pengetahuan. Dari kedua pendapat di atas nampak bahwa
matematika merupakan dasar bagi pengembangan berbagai ilmu pengetahuan lain.
3) Koneksi dengan kehidupan sehari-hari.
Penerapan ilmu matematika dalam disiplin ilmu lain baik di sekolah
maupun di luar sekolah. Selkirk berpendapat bahwa matematika bukan hanya
bermanfaat di luar sekolah namun juga bermanfaat di dalam sekolah karena
keterkaitannya dengan mata pelajaran lain. Ibarat sebuah pohon, matematika
sebagai akar tunggang dari pohon tersebut.
Menurut Sumarno, kemampuan koneksi matematika siswa dapat dilihat
dari indikator-indikator berikut38:
1) Mengenali representasi ekuivalen dari konsep yang sama.
2) Mengenali hubungan prosedur matematika suatu representasi ke prosedur
representasi yang ekuivalen.
3) Menggunakan dan menilai keterkaitan antar topik matematika dengan
keterkaitan di luar matematika.
4) Menggunakan matematika dalam kehidupan sehari-hari.
Di tingkat-tingkat kelas 10-12 kurikulum matematika hendaknya meliputi
investigasi koneksi-koneksi matematis siswa sehingga siswa mampu39:
38
39
http://herdy.wordpress.com/2010/05/27/kemampuan-koneksi-matematik-siswa/
Wahyudin. Pembelajaran Dan Model-Model Pembelajaran. CV IPA ABONG. 2008
a. Memandang matematika sebagai keutuhan yang terintegrasi.
b. Mengeksplorasi permasalahan dan mendeskripsikan hasil-hasil dengan
menggunkan model atatu represenatsi matematika yang bersifat grafik,
numerik, aljabar, atau verbal.
c. Menggunakan suatu idea matematis untuk memecahkan masalah yang
muncul dalam bidang-bbidang keilmuan lain, misalnya seni, psikologi,
sains, dan bisnis.
d. Menghargai peran matematika dalam kebudayaan dan masyarakat.
Dari pernyataan di atas dapat disimpulkan, terdapat tiga tujuan koneksi
matematika,
yaitu
memperdalam
pamahaman
siswa,
melihat
hubungan
matematika pada interaksi yang kaya dan dapat menghubungkan antar topik,
pelajaran lain dan kehidupan sehari-hari. Melalui instruksi yang menekankan
keterkaitan ide-ide matematika, siswa tidak hanya belajar matematika, mereka
juga belajar tentang kegunaan matematika. Sehingga dalam penelitian ini
kemampuan koneksi yang akan diukur meliputi kemampuan koneksi diantara
topik matematika, kemampuan koneksi antara topik matematika dengan bidang
studi ilmu lain, kemampuan koneksi matematika dengan permasalahan kehidupan
sehari-hari.
C. Kerangka Berpikir
Sebagaimana yang telah diungkapkan sebelumnya bahwa pembelajaran
berorientasi retensi adalah suatu cara atau proses pembelajaran yang lebih
menekankan pada proses mengahafal dan mengulang kembali materi yang telah
dan sedang dipelajari, sehingga siswa memiliki keterampilan dalam menghafal
rumus. Sedangkan koneksi matematika adalah kemampuan siswa untuk mampu
menghubungkan antara topik matematika dengan topik matematika lainnya,
menghubungkan materi pada matematika dengan permasalahan kehidupan seharihari, serta menghubungkan materi pada matematika dengan bidang ilmu lain.
Berdasarkan penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa sesungguhnya
ada keterkaitan antara pembelajaran berorientasi retensi dengan koneksi
matematika. Dimana jika siswa ingin dapat menghubungkan antara topik
matematika dengan topik matematika lainnya siswa harus mengingat kembali
materi yang dipelajari sebelumnya, jika siswa ingin menghubungkan materi pada
matematika dengan permasalahan kehidupan sehari-hari siswa harus mampu
memahami dan mengingat rumus yang sesuai untuk menyelesaikan permasalahan
tersebut, serta jika siswa ingin menghubungkan materi pada matematika dengan
bidang ilmu lain, siswa juga harus mampu mengingat dan memahami materi yang
dipelajari sebelumnya. Dengan demikian siswa diarahkan untuk mampu
menggunakan retensi dalam gaya
belajar matematika guna memperbaiki
kemampuan koneksi matematika.
Salah satu indikator dalam pembelajaran matematika adalah mathematical
connection (koneksi matematika). Kemampuan koneksi dalam matematika dapat
mempermudah siswa untuk mempelajari pelajaran selanjutnya. Hal ini disebabkan
karena antara dalil, konsep, dan materi dalam matematika berhubungan satu
dengan yang lain. Namun pada kenyataannya kemampuan koneksi dalam
pembelajaran matematika belum sepenuhnya tercapai. Siswa belum sepenuhnya
mampu mengaitkan antar topik matematika yang satu dengan topik matematika
yang lain, antar topik matematika dengan bidang ilmu lain, maupun antara topik
matematika dengan permasalahan sehari-hari. Hal ini menunjukkan bahwa
kemampuan koneksi matematika siswa belum maksimal.
Belum maksimalnya kemampuan koneksi matematika siswa saat ini
disebabkan oleh beberapa faktor, baik yang berasal dari guru maupun yang
berasal dari siswa. Faktor guru diantaranya adalah karena guru tidak menguasai
metode atau strategi yang digunakan dalam pembelajaran matematika. Sedangkan
faktor yang berasal dari siswa salah satunya adalah siswa kurang tertarik dalam
mempelajari matematika. Penyebab lainnya adalah karena siswa malas
mengahafal rumus matematika, padahal dalam matematika siswa mau tidak mau
setidaknya harus menghafal beberapa rumus matematika.
Dengan demikian terlihat ada keterkaitan antara pembelajaran berorientasi
retensi dengan kemampuan koneksi matematika siswa, sehingga dapat diduga
bahwa pembelajaran berorientasi retensi dapat mempengaruhi kemampuan
koneksi matematika siswa. Dalam hal ini kemampuan koneksi antar topik
matematika, kemampuan koneksi matematika dengan bidang studi lain, dan
kemampuan koneksi matematika dengan masalah kehidupan sehari-hari.
D. Pengajuan Hipotesis
Berdasarkan kerangka berpikir yang telah diuraikan di atas, maka hipotesis
akan dirumuskan sebagai berikut:
Dengan menggunakan pembelajaran berorientasi retensi dapat memperbaiki
kemampuan koneksi matematika siswa.
BAB 3
METODOLOGI PENELITIAN
A. Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilaksanakan di SMA Muhammadiyah 25, yang berada di
Jalan Surya Kencana No.29 Pamulang Barat Tangerang Selatan Banten 15417.
Penelitian pada kelas XI, tanggal 5 April 2011 sampai dengan 4 Mei 2011.
Adapun lamanya masa penelitian adalah sebanyak 7 kali pertemuan pada pokok
bahasan turunan.
B. Populasi dan Sampel
Populasi adalah keseluruhan objek penelitian yang berfungsi sebagai
sumber data40. Objek penelitian dapat berupa manusia, benda-benda, hewan,
tumbuh-tumbuhan, gejala-gejala, atau peristiwa-peristiwa. Dalam melakukan
penelitian, adakalanya peneliti menjadikan keseluruhan objek untuk diteliti dan
adakalanya hanya mengambil sebagian saja. Meskipun demikian, kesimpulan
yang ditarik dari penelitian terhadap sebagian objek tersebut dapat diberlakukan
kepada seluruh objek.
Keseluruhan objek penelitian sebagaimana dijelaskan di atas disebut
“populasi penelitian”, sedangkan sebagian dari populasi yang dipilih untuk diteliti
disebut dengan “sampel penelitian”. Sampel ditentukan oleh peneliti berdasarkan
pertimbangan masalah, tujuan, hipotesis, metode dan instrumen penelitian, di
samping pertimbangan waktu, tenaga dan biaya. Berdasarkan pertimbangan
40
Hadeli. Metodologi Penelitian Pendidikan. Jakarta: Bumi Aksara. 2009. Hal. 68
tersebut, maka peneliti memutuskan populasi dan sampel dalam penelitian ini
sebaga berikut:
1. Populasi
: Seluruh siswa SMA Muhammadiyah 25 Tang-Sel
2. Sampel
: Siswa kelas XI IPS yang terpilih secara acak
Sampel dipilih berdasarkan pertimbangan dan diskusi dengan guru
matematika pada SMA Muhammadiyah 25 terdapat 2 kelas IPS dan 1 kelas IPA,
sehingga peneliti mengambila sampel kedua-duanya kelas XI IPS. Namun, untuk
41
memilih kelas eksperimen dan kelas kontrol pneliti melakukan secara cak, karena
kemampuan kedua kelas sama. Setelah pemilihan secara acak diperoleh kelas XI
IPS 2 sebagai kelas kontrol dan kelas XI IPS I sebagai kelas eksperimen, masingmasing kelas memiliki 30 siswa. Dengan demikian teknik yang digunakan pada
penelitian ini adalah teknik cluster sampling41 (sampel dalam bentuk kelompok
bukan individu). Dalam cluster sampling, nilai sampel adalah rata-rata
kelompoknya, bukan nilai individu unsur sampel.
C. Desain Penelitian
Penelitian
ini
dilakukan
dengan
menggunakan
metode
Quasi
Eksperimen, yaitu metode yang tidak memungkinkan peneliti melakukan
pengontrolan penuh terhadap variabel kondisi eksperimen. Dalam metode
penelitian ini, peneliti ikut serta dalam penelitian yaitu dengan mengajar
matematika di sekolah tersebut dengan menggunakan pembelajaran berorientasi
retensi. Penelitian ini dilakukan terhadap kelompok-kelompok yang homogen,
dengan membagi kelompok yang diteliti menjadi dua kelompok pengamatan,
yaitu kelompok yang diberi perlakuan dengan pembelajaran berorientasi retensi
dan kelompok yang diberi perlakuan dengan pembelajaran ekspositori. Perlakuan
ini diberikan selama kegiatan belajar mengajar berlangsung yaitu pada pokok
bahasan turunan. Setelah penguasaan materi pelajaran, kedua kelompok diberi tes
yang sama. Hasil tes kemudian diolah sehingga dapat diketahui apakah
41
Hadeli. Metode Penelitian Kependidikan. Jakarta: Quantum Teaching. 2006.
kemampuan koneksi matematika kelompok eksperimen lebih tinggi daripada
kelompok kontrol.
Sampel penelitian ini dibagi menjadi dua kelompok, yaitu 1 kelas
kelompok eksperimen dan 1 kelas kelompok kontrol. Kelompok eksperimen,
yaitu kelas XI IPS 1 diberikan pengajaran matematika dengan pembelajaran
berorientasi retensi, sedangkan pada kelompok kontrol, yaitu kelas XI IPS 2
diberikan pengajaran matematika dengan menggunakan pembelajaran ekspositori.
Disain penelitian yang digunakan adalah the post test only42, yaitu setelah dua
kelompok diberikan perlakuan kemudian diberikan tes akhir pada kedua
kelompok tersebut. Setelah itu peneliti membandingkan hasil tes kedua kelompok
tersebut.
O1
E
R
perlakuan
K
O2
Gambar.6.
Desain penelitian tes diakhir perlakuan43
Keterangan:
R : Random
E : Siswa Kelompok Eksperimen
K : Siswa Kelompok Kontrol
O1 : Hasil post test siswa kelompok eksperimen
O2 : Hasil post test siswa kelompok control
42
43
Subana & Sudrajat. Dasar-Dasar Penelitian Ilmiah. Bandung: Pustaka Setia. 2009. Hal 100
Hadeli. Metodologi Penelitian Pendidikan. Jakarta: Bumi Aksara. 2009. Hal. 70
Instumen yang digunakan dalam penelitian ini berupa tes hasil belajar
matematika untuk mengukur kemampuan koneksi matematika siswa. Tes yang
digunakan merupakan tes tulis yang berbentuk tes uraian. Selain instrumen
tertulis, peneliti juga menggunakan instrumen berupa wawancara untuk
mengetahui respon siswa terhadap pembelajaran matematika dengan pembelajaran
berorientasi retensi.
D. Instrumen Penelitian dan Teknik Pengumpulan Data
Instrumen yang digunakan dalam penelitian ini berupa tes koneksi
matematika. Soal tes untuk mengukur koneksi matematika disusun dalam bentuk
uraian. Soal yang diberikan disusun berdasarkan tiga jenis koneksi matematika,
yaitu koneksi antar topik matematika, koneksi dengan bidang ilmu lain, dan
koneksi dengan permasalahan kehidupan sehari-hari. Sebelum instumen diujikan
kepada kedua sampel, instrumen tersebut terlebih dahulu diuji cobakan. Uji coba
ini dimaksudkan untuk membuktikan apakah instrumen tes ini layak digunakan
untuk diujikan, maka harus memenuhi dua persyaratan penting, yaitu valid dan
reliabel.
c) Uji Validitas
Tes yang digunakan dalam penelitian perlu dilakukan uji validitas agar
ketepatan alat penilaian terhadap konsep yang dinilai sesuai, sehingga betul-betul
menilai apa yang seharusnya dinilai. Uji validitas yang digunakan yaitu validitas
tes secara rasional yang terdiri dari validitas konstruksi dan validitas isi. Validitas
konstruksi adalah validitas dengan meminta pendapat para ahli tentang
instrument yang telah disusun, mungkin para ahli akan memberi keputusan:
instrument dapat digunakan tanpa perbaikan, ada perbaikan, dan mungkin
dirombak total. Validitas isi dilakukan dengan cara menyusun tes bersumber dari
kurikulum (kompetensi dasar pokok bahasan). Secara teknis pengujian validitas
isi dapat dibantu dengan menggunakan kisi-kisi instrumen. Dalam kisi-kisi
terdapat variabel yang diteliti, indikator sebagai tolak ukur dan nomor butir
(item) pertanyaan atau pernyataan yang telah dijabarkan dari indikator. Dengan
kisi-kisi instrumen, maka pengujian validitas dapat dilakukan dengan mudah dan
sistematis.
Pengujian validitas ini menggunakan rumus Product Moment Person
memakai angka kasar sebagai berikut:44
ri 
n  XY   X  Y
{n  X
2
i
 (  X i ) 2 }{ n  Y
2
 ( Y ) 2 }
Keterangan:
Xi = skor-skor item ke I
Y = skor total item
n = banyaknya siswa
ri = koefesian relasi antara variabel X dan Y
Setelah diperoleh harga ri, dilakukan pengujian validitas dengan
membandingkan harga ri dan rtabel product moment, dengan terlebih dahulu
menetapkan degrees of freedom nya atau derajat kebebasannya dengan rumus df =
n – 2. Dengan diperolehnya df atau db, maka dapat dicari harga rtabel product
moment pada taraf signifikansi 5%. Kriteria pengujiannya adalah jika ri ≥ rtabel,
maka soal tersebut tidak valid.
44
M. Subana dan Sudrajat, Dasar-Dasar Penelitian Ilmiah, (Bandung: CV Pustaka Setia, 2001),
cet. Ke-1,.h.130
d) Uji Reliabilitas
Reliabilitas adalah ketetapan atau ketelitian suatu alat evaluasi. Reliabilitas
berhubungan dengan masalah ketetapan hasil tes. Reliabilitas yang digunakan
untuk mengukur tes hasil belajar berbentuk uraian menggunakan rumus
Cronbach’s alpha, yaitu45:
2
n    i 
 = 
 1 
,
2
 i 
 n 1 
(X ) 2
X 
dengan varians  2 
N
N
2
Keterangan:

= cronbach alfa
n
= banyaknya pertanyaan
 i
i
2
2
= jumlah varians skor dari tiap-tiap pertanyaan
= varians total
X
= skor tiap butir soal
N
= banyaknya siswa
45
Suharsimi Arikunto, Dasar-Dasar Evaluasi Pendidikan, (Jakarta : Bumi Aksara, 1993). H. 109
Berdasarkan korelasi menurut Guilford, yaitu:46
Tabel. 3.
Kriteria Reliabilitas
Indeks Reliabilitas
Keterangan
Kurang dari 0,20
Tidak ada korelasi
0,20 – 0,40
Korelasi rendah
0,40 – 0,70
Korelasi sedang
0,70 – 0,90
Korelasi tinggi
1,00
Korelasi sempurna
c. Taraf Kesukaran
Analisis tingkat kesukaran dilakukan dengan tujuan mengidentifikasi soalsoal yang sulit, sedang ataupun yang mudah. Dengan analisis soal ini diharapkan
dapat dilakukan perbaikan terhadap soal-soal yang dianggap kurang baik.
Langkah pertama yang dilakukan dalam analisis ini adalah analisis tingkat
kesukaran. Soal yang baik adalah soal yang tidak terlalu mudah, juga tidak terlalu
sulit.
Uji taraf kesukaran soal dengan menghitung indeks besarnya. Hal ini
bertujuan untuk mengetahui soal-soal tersebut mudah, sedang, dan sukar, untuk
itu digunakan rumus47:
P=
46
47
B
Js
Subana, Dasar-dasar Penelitian Ilmiah, (Bandung: Pustaka Setia 2005), cet. Ke-2, hal. 132-134
Suharsimi Arikunto. Dasar-dasar evaluasi pendidikan. (Jakarta : Bumi Aksara, 1993). H. 208
Keterangan: P =Indeks kesukaran
B = Jumlah siswa yang menjawab soal dengan benar
Js = Jumlah seluruh siswa peserta tes
Indeks kesukaran menunjukkan mudah atau sukarnya suatu soal. Besarnya
indeks kesukaran antara 0,0 -1,00. Menurut ketentuan yang sering diikuti, indeks
kesukaran sering diklasifiksikan sebagai berikut48:
Tabel. 4.
Indeks Kesukaran
Indeks kesukaran
Keterangan
0,00 – 0, 29
Sukar
0,30 – 0,69
Sedang
0,70 – 1,00
Mudah
d) Daya Pembeda
Daya pembeda soal adalah kemampuan suatu soal untuk membedakan
antara siswa yang berkemampuan tinggi dengan siswa yang berkemampuan
rendah. Angka yang menunjukkan besarnya daya pembeda disebut indeks
diskriminasi, disingkat D. Seperti halnya indeks kesukaran, indeks diskriminasi
(daya pembeda) ini berkisar antara 0,00 – 1,00.
Rumus untuk menentukan indeks diskriminasi adalah49:
B A BB
D = J  J  PA  PB
A
B
48
Suharsimi Arikunto, dasar-Dasar Evaluasi Pendidikan, (Jakarta : Bumi Aksara, 1993). H. 210
Suharsimi Arikunto, dasar-Dasar Evaluasi Pendidikan, (Jakarta : Bumi Aksara, 1993). H.
210
49
Keterangan:
D
: daya pembeda
JA
: banyaknya peserta kelompok atas
JB
: banyaknya peserta kelompok bawah
BA
: banyaknya
BB
:
PA
: Proporsi peserta kelompok atas yang menjawab soal dengan benar
PB
: Proporsi peserta kelompok bawah yang menjawab soal dengan benar
peserta kelompok atas yang menjawab soal dengan benar
banyaknya peserta kelompok bawah yang menjawab soal dengan benar
Tabel. 5.
Klasifikasi Daya Pembeda50:
Daya Pembeda
Keterangan
0,00 – 0,19
Jelek
0,20 – 0,39
Cukup
0,40 – 0,69
Baik
0,70 – 100
Baik sekali
E. Teknik analisis data
Analisis terhadap data penelitian dilakukan dengan tujuan untuk menguji
kebenaran hipotesis yang diajukan dalam penelitian. Hipotesis yang telah
dirumuskan akan dianalisis dengan menggunakan uji-t. Akan tetapi, sebelum
50
218
Suharsimi Arikunto, dasar-Dasar Evaluasi Pendidikan, (Jakarta : Bumi Aksara, 1993). H.
dilakukan pengujian hipotesis penelitian maka terlebih dahulu akan dilakukan uji
prasyarat analisis data dengan menggunakan uji normalitas dan homogenitas data.
a. Uji Normalitas
Uji normalitas data ini dilakukan untuk mengetahui apakah sampel yang
diteliti berdistribusi normal atau tidak. Uji kenormalan yang digunakan yaitu uji
Chi-kuadrat (chi square). Adapun langkah-langkah pengujiannya adalah sebagai
berikut51:
1. Perumusan hipotesis
H0 : Data sampel berasal dari kelas berdistribusi normal
H1 : Data sampel berasal dari kelas berdistribusi tidak normal
2. Data dikelompokkan ke dalam distribusi frekuensi
2
3. Menghitung nilai 
hitung melalui
k
2
Rumus uji chi-kuadrat :   
52
i 1
rumus sbb:
(o i  E i ) 2
Ei
2
4. Menentukan  tabel pada derajat bebas (dk)= k – 3, dimana k adalah
banyaknya sampel dalam 1 kelompok.
5. Kriteria pengujian
2
2
Jika  hitung ≤  tabel, maka Ho diterima
2
2
Jika  hitung >  tabel, maka Ho ditolak
6. Kesimpulan
 2 hitung ≤  2 tabel: Sampel berasal dari kelas berdistribusi normal
 2 hitung >  2 table: Sampel berasal dari kelas berdistribusi tidak normal
51
Dr. Kadir, M. Pd. Statistika Untuk Penelitian Ilmu-Ilmu Sosial. Rosemata Sampurna.
Jakarta. 2010. Hal 111
52
Sudjana. Metoda Statistika. (Bandung: TARSITO, 1992) hal. 193. Edisi 5
b. Uji Homogenitas
Setelah uji normalitas, peneliti melakukan pengujian terhadap kesamaan
(homogenitas) beberapa bagian sampel, yakni seragam atau tidaknya varians
sampel-sampel
yang
diambil
dari
populasi
yang
sama.
Pengujiannya
menggunakan uji Fisher pada taraf signifikansi = 0,05.53
Hipotesis statistik:
Ho : varians kedua kelompok homogen
Ha : varians dari kelompok tidak homogeny
Rumus uji : Fhitung =
Var .terbesar
Var .terkecil
Kriteria pengujian :
Jika Fhitung ≤ Ftabel maka kedua sampel dikatakan homogen, dan
Jika Fhitung > Ftabel maka kedua sampel dikatakan tidak homogeny
F. Uji Hipotesis Statistik
Pengujian hipotesis digunakan untuk mengetahui ada atau tidak adanya
pengaruh metode pembelajaran retensi terhadap kemampuan koneksi matematika
siswa dengan melihat ada atau tidak adanya perbedaan rata-rata kemampuan
koneksi matematika antara siswa yang diajarkan menggunakan pembelajaran
berorientasi retensi dengan siswa yang diajarkan menggunakan pembelajaran
ekspositori. Untuk uji hipotesis, peneliti menggunakan rumus uji-t. Rumus yang
digunakan, yaitu:
53
Sudjana, Metoda Statistika, (Bandung : Tarsito, 2005), cet. III, hal. 250
a. Untuk sampel yang homogen54
t
X1  X 2
s gab
dengan X 1 
1
1

n1 n2
 X1
 X2
dan X 2 
n1
n2
Sedangkan s gab 
n1  1s1 2  n2  1s 2 2
n1  n2  2
Keterangan:
t
: harga t hitung
X1
: nilai rata-rata hitung data kelompok eksperimen
X
: nilai rata-rata hitung data kelompok kontrol
2
s1 2
: varians datakelompok eksperimen
s2 2
: varians data kelompok kontrol
sgab : simpangan baku kedua kelompok
n1
: jumlah siswa pada kelompok eksperimen
n2
: jumlah siswa pada kelompok kontrol
Setelah harga t hitung diperoleh, kita lakukan pengujian kebenaran
kedua hipotesis dengan membandingkan besarnya thitung dan ttabel, dengan
terlebih dahulu menetapkan degrees of freedomnya atau derajat
kebebasannya, dengan rumus:
df = (n1 + n2) – 2
54
Ibid.,h. 239.
Dengan diperolehnya df, maka dapat dicari harga ttabelpada taraf
kepercayaan 95 % atau taraf signifikansi (α) 5%. Kriteria pengujiannya
adalah sebagai berikut:55
Jika thitung < ttabel maka H0 diterima dan H1 ditolak.
Jika thitung ≥ ttabel maka H0 ditolak dan H1 diterima.
b. Untuk sampel yang tak homogen (heterogen)56
1) Mencari nilai t dengan rumus: t 
X1  X 2
2
2
s1
s
 2
n1
n2
2) Menentukan derajat kebebasan dengan rumus:
df 
 s1 2 s 2 2 




n
n
1
2


2
2
2
 s1 2 
 s2 2 




n 
n 
 1 
 2 

n1  1
n2  1
3) Mencari ttabeldengan taraf signifikansi (α) 5%.
4) Kriteria pengujian hipotesisnya:
Jika thitung<ttabelmaka H0 diterima dan H1 ditolak
Jika thitungttabelmaka H0 ditolak dan H1 diterima
Sedangkan jika pada uji normalitas diperoleh bahwa kelompok
eksperimen atau kelompok kontrol tidak berasal dari populasi yang
berdistribusi normal, maka untuk menguji hipotesis digunakan uji non
parametrik. Adapun jenis uji non parametrik yang digunakan pada
55
Anas Sudijono,pengantar Statistik Pendidikan, (Jakarta: Raja Grafindo Persada, 2007),
Cet.XVII, h.316.
56
M. Subana dan Sudrajat, op.cit., h.165-166.
penelitian ini adalah Uji Mann-Whitney (Uji “U”) untuk sampel besar
dengan taraf signifikasi  =0,05. Rumus Uji Mann-Whitney (Uji “U”)
yang digunakan yaitu:
U = n1n2+
n1(n1  1)
-R1
2
dimana
U
: Statistik Uji Mann Whitney
n1,n2
: Ukuran sampel pada kelompok 1 dan 2
R1
: Jumlah
ranking pada sampel dengan ukuran n1 (n terkecil)
Untuk sampel berukuran besar (n > 20), dapat digunakan
pendekatan ke distribusi normal dengan bentuk statistik sebagai berikut:
n1n 2
2
n1n 2(n1  n 2  1)
12
U
z=
z=
U  u
u
dimana, z : statistik uji z yang berdistribusi normal.
Dengan hipotesis statistik
H0 : z = z0
H1 : z > z1
Dan kriteria pengujian
Jika p   , maka tolak H0
Jika p >  , maka terima H0
G. Hipotesis Statistik
Hipotesis statistik yang digunakan adalah:
Ho : µ1 ≤ µ2
Ha : µ1 ≥ µ2
Keterangan:
µ1 = rata-rata kemampuan koneksi matematika siswa yang diajarkan dengan
menggunakan pembelajaran berorientasi retensi
µ2= rata-rata kemampuan koneksi matematika siswa yang diajarkan dengan
menggunakan pembelajaran ekspositori
BAB IV
ANALISIS DATA
E. Deskripsi Data
Penelitian tentang kemampuan koneksi di SMA Muhammadiyah 25
Tangerang Selatan ini dilakukan terhadap dua kelompok siswa. Kelompok
Eksperimen terdiri dari 30 orang siswa pada kelas XI IPS 1 yang diajarkan dengan
menggunakan pembelajaran berorientasi retensi, sedangkan kelompok kontrol
terdiri dari 30 orang siswa pada kelas XI IPS 2 yang diajarkan dengan
menggunakan pembelajaran ekspositori.
Pokok bahasan yang diajarkan pada penelitian ini adalah turunan,
sebanyak 7 pertemuan. Setelah masing-masing kelompok diberikan perlakuan
yang berbeda, maka untuk mengukur kemampuan koneksi matematika kedua
kelompok tersebut, pada akhir penelitian penguji memberikan tes kepada kedua
kelompok, tes yang diberikan berbentuk soal uraian. Tes yang diberikan kepada
kedua kelompok sama, karena pada akhir penelitian ingin diketahui ada atau tidak
adanya perbedaan koneksi matematika antara siswa yang diajarkan dengan
pembelajaran berorientasi retensi dan siswa yang diajarkan dengan pembelajaran
ekspositori.
Namun sebelum soal diberikan kepada kedua sampel, maka terlebih
dahulu dilakukan uji coba untuk soal-soal yang akan digunakan sebagai alat tes.
Soal diuji cobakan sebanyak 10 soal, uji coba dilakukan pada kelas XII sebanyak
1 kelas terdiri dari 38 siswa. Setelah dilakukan uji validitas semua soal memenuhi
syarat validitas. Berdasarkan tes taraf kesukaran diperoleh 30% dari 10 soal
termasuk kriteria mudah, 60% sedang, dan 10% sukar. Dan berdasarkan tes daya
pembeda diperoleh 1% dari 10 soal yang memiliki daya pembeda jelek, 60%
sedang, dan 30%baik. Untuk analisis data 1 soal yang memiliki daya pembeda
jelek juga tidak digunakan. Dan 2 soal yang memiliki daya beda sedang tidak
digunakan juga, dikarenakan alasan waktu. Jadi jumlah soal yang digunakan
untuk analisis data sebanyak 7 soal. Perhitungan selengkapnya dapat dilihat pada
lampiran.
54
Berikut ini akan disajikan data hasil penelitian berupa hasil perhitungan
akhir. Data pada penelitian ini ialah data yang terkumpul dari tes yang telah
diberikan kepada siswa SMA Muhammadiyah 25 Tangerang Selatan, berupa data
hasil tes kemampuan koneksi matematika siswa yang dialaksanakan sesudah
pembelajaran.
I. Kemampuan Koneksi Matematika Siswa Kelompok Eksperimen pada
Pokok
Bahasan
Turunan
dengan
Menggunakan
Pembelajaran
Berorientasi Retensi
Dari hasil tes yang diberikan kepada kelompok eksperimen dengan
menggunakan pembelajaran berorientasi retensi diperoleh nilai terendah 65 dan
nilai tertinggi 100. Untuk lebih jelasnya, deskripsi data hasil tes kemampuan
koneksi matematika siswa kelas eksperimen dapat dilihat pada tabel berikut :
Tabel .6.
Distribusi Frekuensi Kemampuan Koneksi Matematika
Siswa Kelompok Eksperimen
No
1
2
3
4
5
6
Interval
45 - 54
55 - 64
65 - 74
75 - 84
85 - 94
95 - 104
Bb
Ba
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
94,5
54,5
64,5
74,5
84,5
94,5
104,5
∑
Mean
Median
frekuensi
fi
fk(%)
4
7
6
8
2
3
13,33
23,33
20
26,67
6,667
10
30
100
‫ݔ‬௜
49,5
59,5
69,5
79,5
89,5
99,5
‫ݔ‬௜ଶ
2450,25
3540,25
4830,25
6320,25
8010,25
9900,25
݂௜‫ݔ‬௜
݂௜‫ݔ‬௜ଶ
198
416,5
417
636
179
298,5
9801
24781,8
28981,5
50562
16020,5
29700.8
2145
159848
71,5
71,2
Modus
77
Varians
223,45
Simpangan baku
14,95
Dari tabel distribusi frekuensi di atas dapat dilihat banyak kelas interval
adalah 6 kelas dengan nilai rata-rata (‫ݔ‬ҧ
ሻ 71,5, median (Me) 71,2, Modus (Mo) 77,
varians (s2) 223,45,simpangan baku (s) 14,95, tingkat kemiringan (sk) -0,368, dan
ketajaman atau kurtosis (ߙ4) 2,115.
Distribusi frekuensi hasil tes kelompok eksperimen tersebut ditunjukkan
pada grafik histogram berikut:
f
8
7
6
4
3
2
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
94,5
Batas
kelas
Gambar.7.
Histogram dan Poligon Kemampuan Koneksi Matematika
Siswa Kelompok Eksperimen
Berdasarkan histogram distribusi frekuensi hasil tes kelas eksperimen di
atas diketahui bahwa terdapat 3 siswa yang memiliki kemampuan koneksi tinggi
dengan interval 95 - 104, dan 4 siswa yang memiliki kemampuan koneksi rendah
dengan interval 45 - 54. Histogram di atas memiliki kemiringan sebesar -0,368
artinya histogram pada kelas eksperimen memiliki kurva model negatif atau kurva
melenceng ke kiri. Ketajaman atau kurtosis
kurtosis sebesar 2.115 (distribusi platikurtik
atau bentuk
entuk kurva datar). Histogram tersebut juga menunjukkan kelas eksperimen
mayoritas atau kebanyakan siswa memiliki koneksi yang tinggi.
II. Kemampuan Koneksi Matematika Siswa Kelompok Kontrol pada Pokok
Bahasan Turunan dengan Menggunakan Pembelajaran Ekspositori
Dari hasil tes yang diberikan kepada kelompok kontrol dengan
menggunakan pembelajaran ekspositori diperoleh nilai terendah 30 dan ni
nilai
tertinggi 95. Untuk lebih jelasnya, deskripsi data hasil tes kemampuan koneksi
matematika siswa kelas eksperimen dapat dilihat pada tabel berikut :
Tabel .7.
Distribusi Frekuansi Kemampuan Koneksi Matematika
Siswa Kelompok Kontrol
No
Interval
Bb
Ba
Frekuensi
1
30 - 38
29,5
38,5
fi
2
fk (%)
6,667
2
39 - 47
38,5
47,5
6
3
48 - 56
47,5
56,5
4
57 - 65
56,5
5
66 - 74
6
75 - 83
Titik
tengah
34
1225
68
2450
20
43
2116
258
12696
9
30
52
3249
468
29241
65,5
6
20
61
4624
366
27744
65,5
74,5
2
6,667
70
7744
140
15488
74,5
83,5
5
16,67
79
9801
395
49005
1695
136624
Jumlah
30
100
Mean
Median
56,50
45,5
Modus
43
Varians
1408,84
Simpangan Baku
37,53
Dari tabel distribusi frekuensi di atas dapat dilihat banyak kelas interval
adalah 6 kelas dengan nilai rata-rata (‫ݔ‬ҧ
ሻ 56,50, median (Me)45,5, Modus (Mo)
43, varians (s2) 1408,84, simpangan baku (s) 37,53, tingkat kemiringan (sk)
0,360 dan ketajaman atau kurtosis (ߙ4) 0,032.
Distribusi frekuensi hasil tes kelompok kontrol tersebut ditunjukkan pada
grafik histogram berikut:
f
9
6
5
2
29,5
38,5
47,5
56,5
65,5
74,5
Batas
83,5 kelas
Gambar.8.
Histogram dan Poligon Kemampuan Koneksi Matematika
Siswa Kelompok Kontrol
Berdasarkan histogram distribusi frekuensi hasil tes kelas kontrol di atas
diketahui bahwa terdapat 2 siswa yang memiliki kemampuan koneksi rendah
dengan interval 30 – 38, dan 5 siswa yang memiliki kemampuan koneksi tinggi
dengan interval 75 - 83. Histogram pada kelas kontrol diatas di atas memiliki
kemiringan sebesar 0,360 artinya histogram pada kelas kontrol memiliki kurva
model positif atau kurva melenceng ke kanan. Ketajaman atau kurtosis sebesar
0,032 (distribusi platikurtik atau bentuk kurva datar). Histogram tersebut juga
menunjukkan kelas kontrol mayoritas atau kebanyakan siswa memiliki koneksi
yang rendah.
III. Perbandingan Hasil Tes Kemampuan Koneksi
Data statistik hasil tes pada materi turunan dengan metode pembelajaran
retensi dan metode pembelajaran ekspositori disajikan dalam bentuk table berikut:
Tabel. 8.
Statistik Hasil Penelitian
Statistik
Eksperimen
Kontrol
Nilai terendah
48
30
Nilai tertinggi
100
83
Jumlah Sampel
30
30
Mean
71,50
56,50
Median
71,2
45,5
Modus
77
Varians
223,45
43
1408,84
Simpangan baku
14,95
37,53
Kemiringan
-0,368
0,362
Ketajaman/ Kurtosis
2,115
0,032
Berdasarkan tabel di atas diperoleh informasi bahwa jumlah kedua sampel
yang diteliti adalah sama, yaitu 30 untuk kelas eksperimen dan 30 untuk kelas
kontrol. Untuk nilai masing-masing kelompok diperoleh nilai terendah pada kelas
eksperimen adalah 48. Mayoritas siswa salah di nomor soal 3 dan 6 (dapat dilihat
pada lampiran 7), karena siswa kurang teliti dalam membaca soal, sehingga ketika
menulis diketahui siswa kurang tepat merubah kalimat soal kedalam kalimat
matematika. Yang menyebabkan pengerjaan selanjutnya menjadi salah. Hal ini
disebabkan pula karena pada saat pembelajaran siswa terlalu menganggap soal
seperti ini mudah, karena kalimatnya yang sederhana dan pendek, tanpa disadari
sebenarnya ada bagian yang mengecoh pada soal no. 3 dan 6 (dapat dilihat pada
lampiran 7). Dan nilai tertinggi pada kelas eksperimen adalah 100. Mayoritas
siswa pada kelas eksperimen benar pada saat mengerjakan soal pada nomor 1 dan
2 (dapat dilihat pada lampiran 7). Hal ini disebabkan karena pada saat proses
pembelajaran berlangsung memang pada kelas eksperimen ditekankan untuk
dapat menghafal rumus dengan fasih, bahkan mereka pernah membuat rumus
tersebut kedalam mading, yang menyebabkan mereka masih mengingat apa yang
pernah diperoleh pada pembelajaran sebelumnya, sehingga ketika diberikan soal
seperti pada nomor 1 (dapat dilihat pad lampiran 7) mereka akan dengan mudah
mengerjakannya, karena mereka hanya tinggal menulis rumus dan memasukkan
angka-angka yang dimaksud dalam soal. Dan pada soal nomor dua selain mereka
hafal dengan urutan rumus yang harus digunakan untuk soal tersebut mereka juga
telah mampu mengkoneksikan bahwa pada soal nomor dua berhubungan dengan
materi persamaan garis singgung yang telah dipelajarinya pada saat SMP sehingga
mereka dapat kembali mengingatnya.
Sedangkan pada siswa kelompok eksperimen nilai terendah adalah 30.
Mayoritas siswa salah di nomor soal 1, 3, dan 6 (dapat dilihat pada lampiran 7).
Sama dengan hal nya yang terjadi pada kelas eksperimen, siswa kurang teliti
dalam membaca soal pada nomor 3 dan 6 yang mengakibatkan siswa salah ketika
merubah kalimat soal menjadi kalimat matematika. Sedangkan perbedaan terjadi
pada kelas kontrol dan kelas eksperimen yang signifikan yaitu jika pada kelas
eksperimen mayoritas siswa dapat mengerjakan soal pada nomor 1, maka
sebaliknya siswa pada kelas kontrol meyoritas salah ketika mengerjakan soal pada
nomor 1. Hal ini disebabkan karena pada proses pembelajaran berlangsung pada
kelas kontrol tidak ditekankan menghafal rumus secara mendalam, dan siswa
tidak dibiasakan untuk mengulang kembali pelajaran yang telah dipelajarinya
sehingga siswa menjadi kesulitan ketika mengerjakan soal yang berhubungan
dengan hafalan rumus. Padahal soal nomor satu telah mereka pelajari sebelumnya
pada materi limit. Tetapi karena siswa tidak mengulang kembali pelajaran yang
telah dipelajari sebelumnya sehingga siswa sendiri masih bingung ketika harus
menghubungkan materi turunan dengan materi limit.
F. Hasil Pengujian Prasyarat Analisis
Berdasarkan persyaratan analisis, untuk uji coba perbedaan dua rata-rata
populasi independen perlu dilakukan pemeriksaan terlebih dahulu terhadap
pemenuhan asumsi. Uji persyaratan analisis yang perlu dipenuhi untuk uji
hipotesis tersebut adalah:
1. Uji Normalitas Tes Kemampuan Koneksi Matematik Siswa
a. Uji Normalitas Kelompok Eksperimen
Uji normalitas yang digunakan adalah uji chi kuadrat. Dari hasil
pengujian untuk kelompok eksperimen diperoleh nilai ߯2hitung = 6,54 dan dari
tabel nilai kritis uji chi kuadrat diperoleh nilai ߯2tabel untuk n = 30 pada taraf
signijfikansi ߙ ൌ ͲǡͲͷ adalah 7,81. Karena ߯2hitung < ߯2tabel (6,54 < 7,81) maka
Ho diterima, artinya data yang terdapat pada kelompok eksperimen berasal
dari sampel yang berdistribusi normal.
b. Uji Normalitas Kelompok Kontrol
Uji normalitas yang digunakan adalah uji chi kuadrat. Dari hasil
pengujian untuk kelompok eksperimen diperoleh nilai ߯2hitung = 6,53 dan dari
tabel nilai kritis uji chi kuadrat diperoleh nilai ߯2tabel untuk n = 30 pada taraf
signijfikansi ߙ ൌ ͲǡͲͷ adalah 7,81 Karena ߯2hitung < ߯2tabel (6,53 < 7,81) maka
Ho diterima, artinya data yang terdapat pada kelompok kontrol berasal dari
sampel yang berdistribusi normal.
Untuk lebih jelasnya, hasil dari uji normalitas antara kelompok
eksperimen dan kelompok kontrol dapat dilihat pada tabel berikut:
Tabel. 9.
Hasil Uji Normalitas
Kelompok
Jumlah
߯2hitung
Eksperimen
30
ߙ = 0,05
Kontrol
30
6,53
Sampel
6,54
߯2tabel
ߙ = 0,05
7,81
Kesimpulan
berdistribusi
normal
Karena ߯2hitung pada kedua kelompok kurang dari ߯2tabel maka dapat
disimpulkan bahwa data kedua kelompok berdistribusi normal.
2. Uji Homogenitas Tes Kemampuan Koneksi Matematika Siswa
Setelah kedua kelompok sampel pada penelitian ini dinyatakan
berdistribusi normal, maka selanjutnya kita uji kehomogenannya dengan
menggunakan uji Fisher. Uji homogenitas ini dilakukan untuk mengetahui apakah
kedua kelompok sampel homogen atau tidak. Dari hasi perhitungan diperoleh nilai
Fhitung = 63,03 dan Ftabel = 9,28 pada taraf signifikansi ߙ ൌ ͲǡͲͷ, dengan derajat
kebebasan pembilang 27 dan derajat kebebasan penyebut 27. Untuk lebih jelasnya
hasil dari uji homogenitas dapat dilihat pada tabel berikut:
Tabel. 10.
Hasil Uji Homogenitas
Kelompok
Jumlah
Varians
Sampel
2
(s )
Eksperimen
30
223,45
Kontrol
30
1408,84
F (ߙ = 0,05)
Hitung
Tabel
6,303
9,28
Kesimpulan
homogen
Karena Fhitung kurang dari Ftabel (63,03 < 9,28) maka Ho diterima, artinya
kedua kelompok sampel homogen.
G. Hasil Pengujian Hipotesis dan Pembahasan
1. Pengujian Hipotesis
Setelah uji prasyarat di atas, asumsi normalitas dan homogenitas telah
dipenuhi sehingga untuk menguji kesamaan dua rata-rata populasi dapat
menggunakan uji-t. Langkah-langkah uji-t tersebut sebagai berikut:
1) Menentukan hipotesis statistik
Ho : ߤ௫ ൌ ߤ௬
Ha : ߤ௫ ൐ ߤ௬
ߤ௫: rata-rata hasil tes koneksi dengan pembelajaran berorientasi retensi
ߤ௬ : rata-rata hasil tes koneksi dengan pembelajaran ekspositori
2) Menentukan ttabel dan kriteria pengujian
Untuk mencari ttabel, karena hipotesisnya satu pihak maka untuk
menentukan ttabel = t(1-α)(db). Dengan db = (n1+n2-2) = (30 + 30) – 2=58
Pada taraf signifikansi ߙ = 0,05 diperoleh pada ttabel = 2,35
Kriteria pengujian untuk normalitas sebagai berikut:
Jika thitung < ttabel, maka Ho diterima
Jika thitung > ttabel, maka Ha diterima, Ho ditolak
3) Menentukan thitung
Hasil pengujian untuk kelas eksperimen dengan uji-t diperoleh nilai
thitung = 10,96
4) Membandingkan ttabel dan thitung
Dari hasil pengujian hipotesis berikut:
Tabel. 11.
Hasil Perhitungan Uji-t
Taraf Sinifikansi
thitung
ttabel
Kesimpulan
0,05
10,96
2,35
Ho ditolak,
Ha diterima
5) Penarikan kesimpulan
Dari data tersebut diketahui thitung > ttabel, ini berarti thitung tidak berada
pada daerah penerimaan Ho. Sehingga dapat disimpulkan bahwa Ho ditolak
dan Ha diterima. Dengan demikian dapat dilihat pada taraf signifikansi 5%
bahwa rata-rata skor tes koneksi matematika siswa dengan menggunakan
pembelajaran berorientasi retensi lebih besar dibandingkan dengan
kemampuan koneksi matematika siswa yang diajar dengan pembelajaran
ekspositori. Sehingga dengan menggunakan pembelajaran berorientasi
retensi dapat memperbaiki kemampuan koneksi matematika siswa.
2. Pembahasan
Hasil pengujian hipotesis di atas menyatakan terdapat perbedaan
kemampuan koneksi matematika antara siswa kelompok eksperimen yang
menerapkan pembelajaran berorientasi retensi dengan siswa kelompok kontrol
yang menggunakan pembelajaran ekspositori. Terdapatnya perbedaan kemampuan
koneksi matematika siswa antara kedua kelas tersebut ditunjukkan dengan ratarata nilai kelompok eksperimen lebih tinggi daripada rata-rata nilai kelompok
kontrol. Sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat pengaruh yang signifikan
penerapan pembelajaran berorientasi retensi terhadap kemampuan koneksi
matematika siswa.
Perbedaan rata-rata kemampuan koneksi matematika antara kedua
kelompok tersebut menunjukkan bahwa dengan menggunakan pembelajaran
berorientasi retensi lebih baik daripada menggunakan pembelajaran ekspositori.
Hal
tersebut
didukung
oleh
hasil
pengamatan
selama
berlangsungnya
pembelajaran. Dalam dua tahap pembelajaran berorientasi retensi, siswa diberikan
kesempatan untuk lebih meningkatkan kemampuan koneksi matematika mereka.
Jika kita perhatikan kemampuan koneksi matematika kedua kelompok
maka di kelompok eksperimen yang menggunakan pembelajaran berorientasi
retensi hanya terdapat 11 siswa (36,67%) yang memiliki kemampuan koneksi
matematika rendah, sedangkan 19 siswa (63,33%) memiliki kemampuan koneksi
tinggi. Untuk siswa kelompok kontrol yang diajarkan menggunakan pembelajaran
ekspositori, terdapat 23 siswa (76,67%) yang memiliki kemampuan koneksi
matematika rendah, sedangkan 7 siswa (23,33%) memiliki kemampuan koneksi
tinggi.
Jika kita lihat dari segi persentase, maka siswa yang memiliki
kemampuan koneksi matematika tinggi di kelompok eksperimen jumlahnya lebih
banyak daripada kelompok kontrol. Hal ini juga terlihat dari perolehan nilai ratarata kedua kelompok, yaitu 71,50 untuk kelompok eksperimen dan 56,50 untuk
kelompok kontrol. Artinya nilai rata-rata kelompok eksperimen lebih tinggi
daripada kelompok kontrol.
Perbedaan hasil tes kemampuan koneksi matematika pada kelas XI SMA
Muhammmadiyah 25 Tangerang Selatan disebabkan karena adanya perbedaan
cara yang digunakan pada saat pembelajaran, khususnya pada materi turunan.
Pada kelompok kontrol siswa diajarkan dengan pembelajaran ekspositori.
Pembelajaran ekspositori yang diajarkan pada kelompok kontrol, yakni pada
setiap pertemuan guru memberi penjelasan mengenai materi yang diajarkan.
Setelah itu guru memberi contoh soal dan kemudian siswa diminta untuk
mengerjakan latihan latihan dan siswa diperbolehkan untuk melihat catatan.
Sedangkan proses pembelajaran pada kelas eksperimen yang diajarkan
dengan menggunakan pembelajaran berorientasi retensi. Setelah guru selesai
memberikan penjelasan, siswa digali kemampuanya untuk mengingat kembali apa
yang sudah dipelajari dan siswa selalu diminta untuk menghafal rumus yang telah
dipelajari. Setelah itu siswa baru diberikan contoh dan diminta untuk mengerjakan
latihan tanpa melihat kembali rumus yang telah dipelajari. Tetapi ketika jawaban
mereka salah guru baru memperbolehkan siswa untuk memperbaiki jawaban
dengan melihat catatan. Hal ini menyebabkan siswa ingat pada poin kesalahannya,
dan ingatan mengenai rumus menjadi lebih lama karena pertama siswa menghafal
rumus, kemudian mencoba mengerjakan soal, ketika salah mereka kembali
melihat rumus yang telah dicatat.
Dari uraian di atas, jelas terlihat bahwa pembelajaran berorientasi retensi
yang diterapkan pada mata pelajaran matematika mampu memperbaiki
kemampuan koneksi matematika siswa. Selain dapat memperbaiki kualitas
pembelajaran matematika yang meliputi peningkatan hasil belajar, peningkatan
motivasi, dan peningkatan prestasi belajar matematika seperti yang telah
dilakukan oleh: Roslani Supirah, Dwi Kurniati Zaenab, dan Dhini Kusumawati,
ternyata pembelajaran berorientasi retensi juga dapat digunakan untuk
memperbaiki kemampuan koneksi matematika siswa.
H. Keunggulan dan Kelemahan Pembelajaran Berorientasi Retensi
Adapun penggunaan pembelajaran berorintasi retensi pada siswa kelas XI
IPS SMA 25 Muhammadyah Tangerang Selatan memiliki keunggulan dan
kelemahan diantaranya:
a. Keunggulannya, yaitu setelah siswa ditekankan untuk menghafal rumus,
kemudian mencoba mengerjakan soal, dan mengulanginya kembali. Nilai
siswa dalam kemampuan koneksi matematika cenderung lebih baik dari
sebelumnya.
b. Kelemahannya, pembelajaran menjadi sedikit membosankan bagi siswa,
karena mereka diharuskan menghafal rumus.
I. Keterrbatasan Penelitian
Penulis menyadari bahwa penelitian ini belum sempurna. Berbagai upaya
telah dilakukan untuk mendapatkan hasil yang optimal. Kendati demikian masih
ada beberapa faktor yang sulit untuk dikendalikan sehingga penelitian ini
memiliki keterbatasan, diantaranya:
1. Pokok bahasan yang diteliti hanya pada bab turunan sehingga belum bisa
digeneralisir pada pokok bahasan yang lain.
2. Kondisi siswa yang sering lupa dengan konsep-konsep matematika yang
telah lalu membuat peneliti harus mengulang beberapa konsep yang
mereka lupakan. Hal tersebut dilakukan untuk mengingatkan mereka
kembali sehingga proses pembelajaran dapat berjalan dengan baik.
3. Pada kemampuan koneksi matematika yang terdiri dari 3 aspek, yaitu
koneksi antara topik matematika yang satu dengan topik matematika yang
lain, koneksi antara topik matematika dengan bidang studi lain, dan
koneksi matematika dengan kehidupan sehari-hari. Siswa-siswa SMA
Muhammadiyah
25
Tangerang
Selatan
yang
diajarkan
dengan
pembelajaran berorientasi retensi memang sudah lebih baik hanya saja
mereka masih kesulitan d alam menyelesaikan soal yang berhubungan
dengan koneksi antara topik matematika dengan bidang studi lain.
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
C. Kesimpulan
Berdasarkan analisis data dan temuan penelitian yang diperoleh di
lapangan selama menerapkan pembelajaran berorientasi retensi, di SMA
Muhammadiyah 25 Tangerang Selatan, hasil tes kemampuan koneksi matematika
pada kedua kelompok dapat diperoleh hasil bahwa,
nilai rata-rata kelas
kemampuan koneksi matematika siswa kelompok eksperimen yang diajarkan
dengan menggunakan pembelajaran berorientasi retensi lebih tinggi secara
signifikan dibandingkan dengan nilai rata-rata kelas kemampuan koneksi
matematika kelompok kontrol yang diajarkan dengan menggunakan pembelajaran
ekspositori. Hal ini dapat dilihat dari perolehan nilai rata-rata kelas kedua
kelompok, yaitu 71,50 untuk kelompok eksperimen dan 56,50 untuk kelompok
kontrol. Sehingga diperoleh kesimpulan bahwa pembelajaran berorientasi retensi
pada proses pembelajaran matematika dapat memperbaiki kemampuan koneksi
matematika siswa.
D. Saran
Berdasarkan hasil penelitian, analisis, dan pembahasan pada bab IV serta
kesimpulan yang diperoleh, maka disarankan hal-hal sebagai berikut:
1. Guru
a. Penelitian ini membuktikan bahwa penerapan pembelajaran berorientasi
retensi dapat memperbaiki kemampuan koneksi matematika siswa
sehingga dapat dijadikan cara alternatif yang dapat diterapkan di kelas
b. Dalam
mengajarkan
topik-topik
tertentu
dengan
menggunakan
pembelajaran berorientasi retensi, guru perlu meluangkan waktu lebih
banyak agar kemampuan koneksi matematika siswa dapat ditingkatkan.
c. Perlunya motivasi eksternal yang berasal dari guru sehingga para siswa
menyadari betapa pentingnya memahami konsep-konsep yang telah
diajarkan sebelumnya sebagai modal pembelajaran selanjutnya. Hal ini
62
diharapkan mampu mempermudah siswa dalam memperbaiki kemampuan
koneksi matematik siswa.
2. Pengembangan kurikulum sekolah
Bagi para pengembang kurikulum sekolah sebaiknya memperhatikan
kembali cara yang tepat untuk pembelajaran matematika. Penelitian ini bisa
dijadikan acuan untuk pembelajaran matematika di kelas, karena dapat
meningkatkan kemampuan koneksi matematika siswa.
3. Mahasiswa pendidikan matematika
Berdasarkan analisa pada bab empat diketahui bahwa kemampuan koneksi
siswa pada aspek koneksi antara topik matematika dengan bidang studi lain masih
kesulitan, maka diharapkan pada penelitian selanjutnya peneliti dapat meneliti
pengaruh pembelajaran berorientasi retensi terhadap kemampuan koneksi
matematika khusunya pada aspek koneksi antara topik matematika dengan bidang
studi lain.
Lampiran 1
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/ Program
: XI/ IPS
Semester
I.
: Genap
Tahun Ajaran
: 2010/ 2011
Alokasi Waktu
: 2 x 45 menit
Pendekatan/ Metode
: Pembelajaran Berorientasi Retensi
Pertemuan ke-
: 1 (satu)
Standar Kompetensi
:
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah.
II.
Kompetensi Dasar
:
Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan
fungsi aljabar.
III.
Indikator
:
1) Menentukan turunan dengan aturan umum turunan,
2) Menentukan turunan dengan rumus umum aljabar,
3) Menyelesaikan soal yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari.
IV.
Materi Pokok
:
Pengertian turunan fungsi.
V.
Kegiatan Pembelajaran :
1) Pendahuluan
Guru
:
masuk
ke
kelas
dan
mengucapkan
salam,
kemudian
mempekenalkan diri. Seraya kesempatan berkenalan dengan siswa, maka guru
mengabsensi siswa. Lalu guru menanyakan kesiapan siswa menerima pelajaran
pada hari ini. Dan untuk menyegarkan siswa, dan agar siswa fokus dalam
menerima pelajaran guru meminta siswa berdiri dan mengituki sejenak gerakan
guru. Kemudian guru melakukan senam otak sebentar yang diikuti oleh seluruh
siswa di kelas tersebut. Setelah itu, guru mempersilahkan siswa untuk duduk
kembali, dan siap memulai pelajaran pada pertemuan kali ini. Materi yang akan
72
diajarkan adalah Pengertian Turunan Fungsi dan Rumus-Rumus Turunan Fungsi
Aljabar.
2) Kegiatan inti
:
Guru mengawali pelajaran dengan mengajukan beberapa pertanyaan
kepada siswa, diantaranya:

“Apakah tadi malam kalian sudah membaca atau mempelajari materi
turunan yang akan dipelajari pada hari ini?”

“Adakah diantara kalian yang tahu apa yang dimaksud dengan turunan?”
Guru memberi kesempatan kepada siswa untuk memikirkan jawabannya
sejenak. Setelah mendengar jawaban beberapa siswa, guru kemudian memberikan
penjelasan kepada siswa, “bahwa mempelajari turunan sebenarnya tidaklah sulit.
Bahkan jika kalian mengetahui trik-trik khusus pada turunan suatu fungsi ini,
maka kalian mungkin akan lebih menyukai dan tertantang ketika menghadapi
permasalahan yang berhubungan dengan turunan fungsi. Faktor terpenting adalah
ketelitian dalam membaca soal dan menggunakan rumus-rumus yang ada dengan
tepat. Hal ini disebabkan pada turunan fungsi, rumus yang digunakan cukup
banyak, sehingga kalian harus memiliki cara yang kreatif untuk dapat mengingat
rumus tersebut lebih cepat”.
“Nah, sekarang mari kita bahas apa yang dimaksud dengan turunan
fungsi itu sendiri?”
Guru menjelaskan dan mencatat penjelasannya pada papan tulis.
Tahap mengulang dan mengingat:
Setelah menerangkan guru, membagikan potongan kertas karton warna-warni
yang berisi rumus-rumus yang telah dijelaskan kepada seluruh siswa, guru juga
memberikan sebuah kertas karton besar yang berisi sub judul dari materi yang telah
dijelaskan. Kemudian siswa diminta untuk menenmpelkan rumus yang sesuai dengan sub
judul tersebut, tanpa melihat catatan. Pada saat ini, guru bertugas untuk mengamati
kegiatan siswa dan menilai siswa mana yang masih mengingat penjelasan guru dan yang
tidak, serta mengamati jumlahnya.
3) Penutup
:
 Guru dan siswa melakukan refleksi
 Siswa diminta untuk mengerjakan di rumah, Latihan pada LKS yang telah
disiapkan.
 Guru meminta siswa untuk mempelajari materi pada pertemuan
selanjutnya.
Tangerang,
-
-2011
Guru Mata Pelajaran
Matematika
Matematika
SMA NSMA
9 Tang-Sel
Muhammadiyah 25
Observator
(Isni Kusumawati. S.Pd)
(Yuli Dwi Purnamawati)
Kepala Sekolah
SMA Muhammadiyah 25
(Hj. Zesmita Umar. SH)
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
(RPP)
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/ Program
: XI
Semester
I.
: Genap
Tahun Ajaran
: 2010/ 2011
Alokasi Waktu
: 2 x 45 menit
Pendekatan/ Metode
: Pembelajaran Berorientasi Retensi
Pertemuan ke-
: 2 (dua)
Standar Kompetensi :
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah.
II.
Kompetensi Dasar
:
Menggunakan konsep dan turunan dalam perhitungan turunan fungsi.
III.
Indikator
:
Menentukan turunan fungsi dengan menggunakan rumus-rumus turunan
fungsi.
IV.
Materi Pokok
:
Rumus-rumus turunan fungsi aljabar.
V.
Kegiatan Pembelajaran :
1) Pendahuluan
:
Guru masuk ke kelas dan mengucapkan salam, kemudian menanyakan
kabar siswa.
Tahap mengulang:
Setelah itu mereview pelajaran sebelumnya dengan cara santai tapi
serius, yaitu meminta siswa untuk menyanyikan sebuah lagu sambil memutar
sebuah cokelat, ketika guru bilang berhenti, maka siswa berhenti bernyanyi dan
dimana bola itu berhenti untuk pertama kali pertanyaan datang dari guru, siswa
yang harus menjawab adalah siswa yang memegang cokelat terakhir pada saat
lagu berhenti. Imbalan bagi siswa yang dapat menjawab adalah cokelat yang
72
dipegangnya akan diberikan untuknya. Begitu seterusnya sampai kurang lebih 5
pertanyaan.
Setelah itu, guru menanyakan PR yang telah diberikan kepada siswa pada
pertemuan sebelumnya. Dan membahasnya bersama-sama di depan kelas. Guru
meminta siswa untuk mengerjakannya didepan kelas. Pertema-tama guru
menyediakn bagi siswa yang ingin maju, tetapi jika tidak ada yang berani, maka
guru yang akan memilik siswa secara acak. Kedua kegiatan tersebut di atas
dilakukan dengan tujuan mengetahui sejauh mana siswa mengingat pelajaran yang
telah diajarkan pada pertemuan sebelumnya.
2) Kegiatan inti
:
Setelah guru melakukan review, guru melanjutkan dengan materi pada
pertemuan kali ini, yaitu: Rumus-rumus Turunan Fungsi Aljabar
Tahap mengingat:
Pada pertemuan kali ini guru mencoba menggali daya ingat siswa dengan
menggunakan kartu berbentuk kartu remi yang bagian depannya telah diganti
dengan rumus-rumus turunan fungsi aljabar. Kemudian guru meminta siswa untuk
menghafalkannya dalam waktu 10 menit. Dan siswa boleh menghafalkannya
dengan cara mereka masing-masing. Kemudian, guru meminta siswa untuk meju
satu per satu ke meja guru dan menghafalkannya dihadapan guru (Untuk seluruh
siswa membutuhkan waktu ±40 menit. Kali ini guru menilai daya ingat siswa
mengenai rumus turunan trigonometri.
Setelah semua siswa maju untuk mengahafal, guru meminta siswa untuk
mengerjakan latihan. Setelah kurang lebih 30 menit, guru menanyakan kepada
siswa, apakah sudah selesai atau belum. Kemudian menanyakan kesulitan siswa
dan membahasnya secara bersama-sama.
3) Penutup
:
 Guru dan siswa melakukan refleksi
 Siswa diminta untuk mengerjakan di rumah, Latihan pada LKS yang telah
disiapkan.
 Guru meminta siswa untuk menghafalkan rumus turunan fungsi
trigonometri.
 Siswa diminta untuk mempelajari materi selanjutnya, yaitu: Turunan
Fungsi Komposisi dengan Aturan Rantai
 Pada pertemuan selanjutnya siswa diminta untuk membawa kertas karton,
gunting, dan lem.
Tangerang,
-
-2011
Guru Mata Pelajaran
Matematika
Matematika
SMA NSMA
9 Tang-Sel
Muhammadiyah 25
Observator
(Isni Kusumawati. S.Pd)
(Yuli Dwi Purnamawati)
Kepala Sekolah
SMA Muhammadiyah 25
(Hj. Zesmita Umar. SH)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/ Program
: XI
Semester
I.
: Genap
Tahun Ajaran
: 2010/ 2011
Alokasi Waktu
: 2 x 45 menit
Pendekatan/ Metode
: Pembelajaran Berorientasi Retensi
Pertemuan ke-
: 3 (tiga)
Standar Kompetensi :
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah.
II.
Kompetensi Dasar
:
Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan
memecahkan masalah.
III.
Indikator
:
1) Menentukan gradien garis singgung dengan konsep turunan.
2) Menentukan persamaan garis singgung kurva dengan menggunakan
konsep turunan.
3) Menetukan titik potong kedua garis singgung dengan menggunakan
konsep turunan.
4) Menentukan fungsi naik dan fungsi turun.
IV.
Materi Pokok
:
Persamaan garis singgung pada kurva.
V.
Kegiatan Pembelajaran
1) Pendahuluan
:
:
Guru masuk ke kelas dan mengucapkan salam, kemudian menanyakan
kabar siswa. Setelah itu, seperti biasa sebelum memulai pelajaran pada pertemuan
kali ini, terlebih dahulu guru mereview pelajaran pada materi sebelumnya.
Tahap mengulang:
Kali ini dengan cara guru membuat semacam kuis. Siswa dibagi menjadi
8 kelompok. Lalu guru melemparkan pertanyaan seputar rumus-rumus dalam
fungsi turunan yang telah dipelajari selama 3 pertemuan sebelumnya. Kelompok
yang nilainya paling tinggi akan mendapat hadiah dari guru.
2) Kegiatan inti
:
Setelah guru melakukan review, guru melanjutkan dengan materi pada
pertemuan kali ini, yaitu: Persamaan Garis Singgung pada Kurva, Fungsi Naik
dan Fungsi Turun. Sebelum memulai penjelasannya, terlebih dahulu guru
menanyakan kepada siswa apakah mereka telah mempelajari materi ini
sebelumnya. Kemudian, jika siswa ada yang menjawab sudah, guru kembali
bertanya “Jadi apa yang akan kalian pahami tentang materi kita pada hari ini?”
Setelah mendengar jawaban beberapa siswa, guru baru memulai penjelasannya pada
pertemuan kali ini. Seperti biasa, guru meminta siswa untuk memperhatikan penjelasan
guru, dan tidak ada yang mencatat sebelum diberi kesempatan oleh guru untuk mencatat.
Tahap mengulang:
Seraya menjelaskan materi pada pertemuan kali ini, guru juga menjelaskan
bahwa materi ini berkaitan erat dengan materi yang telah dipelajari di SMP, yaitu
tentang persamaan garis yang menyinggung suatu titik atau garis lain, garis
tersebut harus dicari atau diketahui gardiennya untuk memperoleh persamaan
baru. Jadi, siswa diusahakan kembali mengingat materi pada saat SMP, dengan
cara mengulasnya sepintas. Baru kemudian dilanjutkan dengan materi
sesungguhnya. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA, FUNGSI NAIK
DAN FUNGSI TURUN
Tahap mengingat:
Setelah selesai menjelaskan, guru meminta siswa untuk menghafalka
rumus persamaan garis singgung kurva dan syarat dikatakan suatu fungsi naik dan
syarat dikatakan suatu fungsi turun. Kemudian siswa dites satu persatu.
3) Penutup :
 Guru dan siswa melakukan refleksi
 Siswa diminta untuk mengerjakan di rumah, Latihan pada Buku Paket
yang dainjurkan oleh sekolah.
 Guru meminta siswa mempelajari materi pada pertemuan selanjutnya,
yaitu: Titik Stationer Suatu Fungsi dan Jenis-Jenis Ekstrim.
 Untuk pertemuan selanjutnya guru membagi siswa menjadi 6 kelompok
dan guru memberi tugas kepada masing-masing kelompok untuk
membawa steroform, kertas manila, gunting, penggaris, dan doubletape
(atau lem).
Tangerang,
-
-2011
Guru Mata Pelajaran
Matematika
Matematika
SMA NSMA
9 Tang-Sel
Muhammadiyah 25
Observator
(Isni Kusumawati. S.Pd)
(Yuli Dwi Purnamawati)
Kepala Sekolah
SMA Muhammadiyah 25
(Hj. Zesmita Umar. SH)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/ Program
: XI
Semester
I.
: Genap
Tahun Ajaran
: 2010/ 2011
Alokasi Waktu
: 2 x 45 menit
Pendekatan/ Metode
: Pembelajaran Berorientasi Retensi
Pertemuan ke-
: 4 (empat)
Standar Kompetensi :
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah.
II.
Kompetensi Dasar
:
1) Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
ekstrim fungsi.
2) Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan
dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya.
III.
Indikator
:
1) Menentukan nilai stationer suatu fungsi.
2) Menentukan ekstrim atau tidaknya suatu fungsi.
IV.
Materi Pokok
:
Titik Stationer Suatu Fungsi dan Jenis-Jenis Ekstrim.
V.
Kegiatan Pembelajaran :
1) Pendahuluan
:
Guru masuk ke kelas dan mengucapkan salam, kemudian menanyakan
kabar siswa. Setelah itu, seperti biasa sebelum memulai pelajaran pada pertemuan
kali ini, terlebih dahulu guru mereview pelajaran pada materi sebelumnya.
Dengan cara, menanyakan kepada siswa “apakah PR yang diberikan pada
pertemuan sebelumnya sudah dikerjakan?”. Kemudian guru untuk meminta siswa
untuk maju satu persatu dan menuliskan jawaban mereka pada papan tulis.
2) Kegiatan inti
:
78
Setelah guru melakukan review, guru melanjutkan dengan materi pada
pertemuan kali ini, yaitu: Titik Stationer Suatu Fungsi dan Jenis-Jenis Ekstrim.
Guru menjelaskan bahwa kajian tentang titik stationer yang akan dipelajari
dibatasi pada fungsi-fungsi yang kontinu dan dapat diturunkan, yaitu fungsifungsi suku banyak atau fungsi-fungsi polinom. Berikut ini penjelasannya:
Setelah selesai menjelaskan, guru melanjutkan penjelasan dengan
memberi contoh seperti yang terdapat pada buku Sartono Wirodikromo,
Matematika Untuk SMA kelas XI, penerbit erlangga, halaman 281. Contoh
dikerjakan secara bersama-sama oleh siswa dipandu oleh guru.
Tahap mengulang dan mengingat:
Kemudian guru meminta siswa untuk duduk berdasarkan kelompoknya
masing-masing, dan mengeluarkan peralatan yang telah dibawa, yaitu: steroform,
kertas manila, gunting, penggaris, dan doubletape (atau lem). Guru kemudian
memberi istruksi kepada siswa untuk membuat rangkuman mengenai materi yang
telah dijelaskan dengan alat yang mereka miliki. Guru memberi kebebasan kepada
mereka untuk membuat bentuk sesuai dengan imajinasi mereka dan semenarik
mungkin. Setelah itu masing-masing kelompok menemplkan hasil karyanya pada
3 bagian dinding kelas. Masing-masing dinding hanya boleh ditempeli 2 karya.
Setelah itu guru meminta siswa untuk membaca apa yang telah mereka buat.
Kemudian guru bertanya apa saja yang mereka ingat dari karya yang mereka buat.
Setelah siswa dirasa hafal, Kemudian siswa diberi tugas untuk mengerjakan
latihan pada LKS. Pada latihan yang berjumlah dua soal ini terdapat satu soal
yang mengukur kemampuan koneksi matematik siswa, yaitu soal nomor 2.
3) Penutup :
 Guru dan siswa melakukan refleksi
 Siswa diminta untuk mengerjakan di rumah, Latihan pada Buku Paket
yang dianjurkan oleh sekolah.
 Guru meminta siswa mempelajari materi pada pertemuan selanjutnya,
yaitu: Kecekungan Fungsi dan Titik Belok Fungsi.
Tangerang,
Guru Mata Pelajaran
Matematika
Matematika
SMA NSMA
9 Tang-Sel
Muhammadiyah 25
-
-2011
Observator
(Yuli Dwi Purnamawati)
(Isni Kusumawati. S.Pd)
Kepala Sekolah
SMA Muhammadiyah 25
(Hj. Zesmita Umar. SH)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
I.
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/ Program
: XI
Semester
: Genap
Tahun Ajaran
: 2010/ 2011
Alokasi Waktu
: 2 x 45 menit
Pendekatan/ Metode
: Pembelajaran Berorientasi Retensi
Pertemuan ke-
: 5 (lima)
Standar Kompetensi :
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah.
II.
Kompetensi Dasar
:
Menggunakan turunan untuk menemukan karakteristik suatu fungsi dan
memecahkan masalah.
III.
Indikator
:
1) Menentukan jenis kecekungan suatu fungsi dengan menggunakan
konsep turunan.
2) Menentukan titik belok suatu fungsi.
IV.
Materi Pokok
:
Kecekungan Fungsi dan Titik Belok Fungsi
V.
Kegiatan Pembelajaan :
1) Pendahuluan
:
Tahap mengulang:
Guru masuk ke kelas dan mengucapkan salam, kemudian menanyakan
kabar siswa. Setelah itu, seperti biasa sebelum memulai pelajaran pada pertemuan
kali ini, terlebih dahulu guru mereview pelajaran pada materi sebelumnya. Kali ini
guru bertanya kepada siswa secara acak, dengan jenis pertanyaan pendek pada
seputar rumus-rumus yang telah dipelajari pada 5 materi sebelumnya.
2) Kegiatan inti
:
Setelah guru melakukan review, guru melanjutkan dengan materi pada
pertemuan kali ini, yaitu: Kecekungan fungsi dan Titik Belok Fungsi.
Tahap mengulang:
Guru menjelaskan bahwa materi ini telah kita kenal sebelumnya, yaitu
pada materi semester satu. Pada materi semester satu telah ditunjukkan bahwa
grafik fungsi kuadrat ‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻൌ ܽ‫ݔ‬2 ൅ ܾ‫ ݔ‬൅ ܿ berbentuk parabola. Ada dua
macam parabola, yaitu parabola terbuka ke atas (jika a > 0) dan parabola
terbuka ke bawah (jika a < 0). Kemudian guru menggambarkan dua buah
parabola, yaitu parabola terbuka ke atas dan parabola terbuka ke bawah. Kedua
parabola tersebut akan digunakan sebagai model untuk menelaah karakteristik
kecekungan fungsi, apakah cekung ke atas atau cekung ke bawah. Dengan
penjelasan ini diharapkan siswa mampu mengkoneksika materi yang akan
dipelajari dengan materi sebelumnya.
Tahap mengingat:
Setelah selesai menjelaskan, guru mempersilahkan kepada siswa untuk
mencatat dan bertanya apabila ada materi yang kurang jelas atau belum dipahami.
Kemudian guru meminta siswa untuk membaca kembali materi yang telah
dijelaskan, terutama syarat perlu bagi titik belok suatu fungsi. Kemudian siswa
dites satu persatu. Setelah siswa dirasa hafal, guru melanjutkan penjelasan dengan
memberi contoh seperti yang terdapat pada buku Sartono Wirodikromo,
Matematika Untuk SMA kelas XI, penerbit erlangga, halaman 288. Contoh
dikerjakan secara bersama-sama oleh siswa dipandu oleh guru. Kemudian siswa
diberi tugas untuk mengerjakan latihan pada LKS. Pada latihan kali ini terdapat
tiga soal yang berkaitan dengan kemampuan koneksi.
3) Penutup
:
 Guru dan siswa melakukan refleksi
 Siswa diminta untuk mengerjakan di rumah, Latihan pada Buku Paket
yang dianjurkan oleh sekolah.
 Guru meminta siswa mempelajari materi pada pertemuan selanjutnya,
yaitu: Menggambar Grafik Fungsi.
 Guru memberi tugas kepada siswa untuk membawa alat gambar (pensil,
penggaris, penghapus, dan spidol atau alat mewarnai) pada pertemuan
selanjutnya.
Tangerang,
Guru Mata Pelajaran
Matematika
Matematika
SMA NSMA
9 Tang-Sel
Muhammadiyah 25
-
-2011
Observator
(Yuli Dwi Purnamawati)
(Isni Kusumawati. S.Pd)
Kepala Sekolah
SMA Muhammadiyah 25
(Hj. Zesmita Umar. SH)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/ Program
: XI
Semester
I.
: Genap
Tahun Ajaran
: 2010/ 2011
Alokasi Waktu
: 2 x 45 menit
Pendekatan/ Metode
: Pembelajaran Berorientasi Retensi
Pertemuan ke-
: 6 (enam)
Standar Kompetensi :
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah.
II.
Kompetensi Dasar
:
Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
ekstrim fungsi dan penafsirannya.
III.
Indikator
:
Menggambar grafik dari suatu fungsi turunan.
IV.
Materi Pokok
:
Menggambar Grafik Fungsi.
V.
Kegiatan inti
1) Pendahuluan
:
:
Guru masuk ke kelas dan mengucapkan salam, kemudian menanyakan
kabar siswa. Setelah itu, seperti biasa sebelum memulai pelajaran pada pertemuan
kali ini, terlebih dahulu guru mereview pelajaran pada materi sebelumnya.
Dengan cara, menanyakan kepada siswa “apakah PR yang diberikan pada
pertemuan sebelumnya sudah dikerjakan?”. Kemudian guru untuk meminta siswa
untuk maju satu persatu dan menuliskan jawaban mereka pada papan tulis.
2) Kegiatan inti
:
Setelah guru melakukan review, guru melanjutkan dengan materi pada
pertemuan kali ini, yaitu: Menggambar Grafik Fungsi. Guru menjelaskan bahwa
kurva-kurva yang dinyatakan oleh persamaan sukubanyak disebut kurva
sukubanyak. Dalam menggambarkan kurva sukubanyak diperlukan langkahlangkah sebagai berikut:
MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI
Langkah-langkah untuk menggambar sketsa kurva suku banyak
Langkah 1
Buatlah analisis berikut ini:
1. Tentukan koordina-koordinat titik potong dengan sumbu-sumbu loordinat,
jika koordinat-koordinat itu mudah ditentukan.

Titik potong dengan sumbu X diperoleh dari syarat y = 0

Titik potong dengan sumbu Y diperoleh dari syarat x = 0
2. Tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi ݂(‫)ݔ‬, yaitu f′(‫)ݔ‬
dan ݂′′(‫)ݔ‬,
Dari rumus pertama ݂′(‫)ݔ‬, dapat ditentukan:


Interval-interval dimana ݂(‫ )ݔ‬naik dan ݂(‫ )ݔ‬turun.
Titik ekstrim fungsi ݂(‫ )ݔ‬serta jenis-jenisnya
Dari turunan kedua ݂′′(‫ )ݔ‬dapat ditentukan :


Interval-interval dimana ݂(‫ )ݔ‬cekung ke atas dan ݂(‫ )ݔ‬cekung ke bawah
Titik belok fungsi ݂(‫)ݔ‬
3. Jika fungsi ݂(‫)ݔ‬didefinisikan dalam interval tertutup, tentukan nilai fungsi
݂(‫ )ݔ‬pada ujung-ujung interval.
4. Jika diperlukan, tentukan beberapa titik tertentu untuk memperhalus sketsa
kurva
Langkah 2
Titik-titik yang diperoleh pada langkah 1 digambarkan pada bidang Cartesius.
Langkah 3
Selanjutnya titik-titik yang telah disajikan dalam bidang cartesius pada langkah 2
dihubungkan dengan mempertimbangkan naik atau turunnya fungsi dan kecekungan
fungsi pada interval-interval yang telah ditentukan.
Contoh:
Gambarlah sketsa kurva suku banyak yang ditentukan dengan persamaan
1
‫ ݕ‬ൌ ݂(‫ݔ = )ݔ‬3 − 2‫ݔ‬2 + 3‫ ݔ‬൅ 4
3
Jawab:
Langkah 1
1. Koordinat-koordinat titik potong kurva dengan sumbu-sumbu koordinat.
 Titik potong dengan sumbu X diperoleh dengan syarat y = 0.
1 3
‫ ݔ‬− 2‫ݔ‬2 + 3‫ ݔ‬൅ 4 = 0
3
Nilai-nilai X yang memenuhi persamaan tersebut adalah akar-akar dari
persamaan sukubanyak tersebut. Akan tetapi akar-akar dari persamaan
sukubanyak itu sulit untuk ditentukan, sehingga koordinat titik potong
dengan sumbu X tidak perlu ditetapkan.

Titik potong dengan sumbu Y diperoleh dari syarat x = 0.
‫ݕ‬ൌ
1
(0)3 − 2(0)2 + 3(0) + 4 = 4
3
Titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 4).
1
2. Turunan pertama dari kedua fungsi ݂(‫ = )ݔ‬3 ‫ݔ‬3 − 2‫ݔ‬2 + 3‫ ݔ‬൅ 4 berturutturut adalah ݂′ (‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬2 − 4‫ ݔ‬൅ ͵ ǡ݂ᇱᇱሺ‫ݔ‬ሻൌ 2‫ ݔ‬െ 4.
a) Dari ݂′ (‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬2 − 4‫ ݔ‬൅ 3 dapat ditentukan:
 ݂(‫ )ݔ‬naik diperoleh dari ݂′ (‫ > )ݔ‬0
‫ݔ‬2 − 4‫ ݔ‬൅ 3 > 0 ⟺ (‫ ݔ‬െ 1)(‫ ݔ‬െ 3) > 0 ฻ ‫ ݔ‬൏ 1ܽ‫ ݔݑܽݐ‬൐ 3
 ݂(‫ )ݔ‬turun diperoleh dari ݂′ (‫ < )ݔ‬0
‫ݔ‬2 − 4‫ ݔ‬൅ 3 < 0 ⟺ (‫ ݔ‬െ 1)(‫ ݔ‬െ 3) < 0 ⟺ 1 ൏ ‫ ݔ‬൏ 3
1
Fungsi ‫ ݕ‬ൌ ݂(‫ = )ݔ‬3 ‫ݔ‬3 − 2‫ݔ‬2 + 3‫ ݔ‬൅ 4

naik dalam interval atau turun dalam interval 1 <
< 3.
Nilai-nilai stationer diperoleh ‫ ݔ‬൏ 1ܽ‫ ݔݑܽݐ‬൐ 3dari ݂′ (‫ = )ݔ‬0
‫ݔ‬2 − 4‫ ݔ‬൅ 3 = 0 ⟺ (‫ ݔ‬െ 1)(‫ ݔ‬െ 3) = 0 ฻ ‫ ݔ‬ൌ 1ܽ‫ ݔݑܽݐ‬ൌ 3
1
1
Untuk ‫ ݔ‬ൌ 1 diperoleh ݂(1) = 3 (1)3 − 2(1)2 + 3(1) + 4 = 5 3.
1
݂(1) = 5 3 merupakan nilai balik maksimum݂(‫ )ݔ‬, sebab ݂′ (‫)ݔ‬
berubah tanda dari positif menjadi negatif ketika melewati‫ ݔ‬ൌ 1.
1
3
Untuk ‫ ݔ‬ൌ 3 diperoleh ݂(3) = (3)3 − 2(3)2 + 3(3) + 4 = 4.
݂(3) = 4 merupakan nilai balik minimum݂(‫ )ݔ‬, sebab ݂′ (‫ )ݔ‬berubah tanda
dari negatif menjadi positif ketika melewati ‫ ݔ‬ൌ 3.
1
Fungsi ‫ ݕ‬ൌ ݂(‫ = )ݔ‬3 ‫ݔ‬3 − 2‫ݔ‬2 + 3‫ ݔ‬൅ 4 mempunyai koordinat titik
1
balik maksimum ቀ1, 5 3ቁdan koordinat titik balik minimum (3, 4).
3. Dalam soal ini, nilai fungsi f(x) untuk x besar positif dan x kecil negative
tidak perlu ditentukan.
4. Menentukan beberapa titik tertentu untuk memperhalus sketsa kurva.
Untuk
x=
-1,
maka
1
1
݂(−1) = 3 (−1)3 − 2(−1)2 + 3(−1) + 4 = −1 3,
1
diperoleh koordinat ቀെ1, −1 3ቁ
1
1
Untuk x = 4, maka ݂(4) = 3 (4)3 − 2(4)2 + 3(4) + 4 = 5 3, diperoleh
1
koordinat ቀ4, 5 3ቁ
Langkah 2
Titik yang diperolh pada langkah 1 digambarkan pada bidang cartesius.
Langkah 3
Selanjutnya titik-titik yang telah digambarkan pada bidang cartesius tersebut
1
dihubungkan sehingga diperoleh sketsa kurva fungsi ‫ ݕ‬ൌ ݂(‫ = )ݔ‬3 ‫ݔ‬3 − 2‫ݔ‬2 +
3‫ ݔ‬൅ 4. Dalam menghubungkan kedua titik yang berdekatan perlu di
pertimbangkan sifat naik dan sifat turunnya fungsi serta sifat kecekungan fungsi.
Setelah guru selesai menjelaskan cara menggambar grafik fungsi, siswa
diminta untuk menggambar grafik yang titik-titiknya telah dicari pada contoh di
dalam buku berpetak. Dalam menggambar siswa diharapkan menggunakan semua
peralatan gambar yang dibawanya. Lalu guru meminta siswa untuk menghafal tiga
langkah menggambar grafik fungsi dalam waktu 5 menit. Kemudian para siswa
diberi latihan pada LKS.
3) Penutup
:
 Guru dan siswa melakukan refleksi
 Siswa diminta untuk mengerjakan di rumah, Latihan pada Buku Paket
yang dianjurkan oleh sekolah.
 Guru meminta siswa mempelajari kembali materi pada hari ini dan
mempelajari materi pada pertemuan selanjutnya, yaitu: Aplikasi Turunan
Fungsi Dalam Pemecahan Masalah
Tangerang,
-
- 2011
Guru Mata Pelajaran
Matematika
Matematika
SMA NSMA
9 Tang-Sel
Muhammadiyah 25
Observator
(Isni Kusumawati. S.Pd)
(Yuli Dwi Purnamawati)
Kepala Sekolah
SMA Muhammadiyah 25
(Hj. Zesmita Umar. SH)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/ Program
: XI
Semester
I.
: Genap
Tahun Ajaran
: 2010/ 2011
Alokasi Waktu
: 2 x 45 menit
Pendekatan/ Metode
: Pembelajaran Berorientasi Retensi
Pertemuan ke-
: 7 (tujuh)
Standar Kompetensi :
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah.
II.
Kompetensi Dasar
:
1) Menggunakan turunan fungsi untuk menentukan karakteristik suatu
fungsi dan pemecahan masalah.
2) Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
ekstrim fungsi.
3) Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan
dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya.
III.
Indikator
:
1) Menggunakan turunan fungsi dalam dalam perhitungan kecepatan dan
percepatan.
2) Menggunakan turunan fungsi dalam bentuk tak tentu dari suatu limit
fungsi.
3) Menggunakan turunan fungsi dalam menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan nilai ekstrim fungsi.
IV.
Materi Pokok
:
Aplikasi Turunan Fungsi Dalam Pemecahan Masalah
V.
Kegiatan inti
1) Pendahuluan
:
:
Guru masuk ke kelas dan mengucapkan salam, kemudian menanyakan
kabar siswa. Setelah itu, seperti biasa sebelum memulai pelajaran pada pertemuan
kali ini, terlebih dahulu guru mereview pelajaran pada materi sebelumnya. Namun
berbeda dengan pertemuan seblumnya, kini siswa diminta untuk secara parallel
menyebutkan rumus-rumus yang telah diajarkan, mulai dari pertemuan pertma
hingga pertemuan ke tujuh.
2) Kegiatan inti
:
Pada pertemuan kali ini guru menjelaskan bahwa ini adalah sub materi
terakhir pada materi turunan. Dan pelajaran kita pada hari ini adalah puncak dari
pelajarn kita selama ini, yaitu bagaimana kita dapat mengkoneksikan apa yang
telah kita pelajari selam tujuh pertemuan ini dengan materi dalem lingkup
matematika, dengan materi bidang studi yang lain, dan dengan permasalahan
kehidupan sehari-hari. Guru juga menjelaskan bahwa Setelah konsep-konsep
fungsi dipahami, sekarang akan dibahas aplikasi atau penggunaan turunan fungsi
untuk memecahkan masalah, yaitu:
1) Menggunakan turunan fungsi dalam perhitungan kecepatan dan percepatan
2) Menggunakan turunan fungsi dalam perhitungan bentuk tak tentu dari
suatu limit fungsi
3) Menggunakan turunan fungsi dalam menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan nilai ekstrim fungsi (problem nilai maksimum dan
minimum).
Langkah-langkah untuk menyajikan permasalahan dalam model matematika
adalah sebagai berikut:
1) Nyatakan semua basaran atau factor yang terlibat dalam permasalahan
tersebut dalam satu variable matematika.
2) Nyatakan rumusan dari variable-variabel tersebut dalam hubungan tertentu
sabagai representasi masalah.
3) Tentukan variable yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan sebagai
fungsi dari variable lainnya.
4) Tentukan nilai maksimum atau nilai minimum yang akan diperoleh pada
model yang dibentuk dari langkah sebelumnya.
Setelah selesai menjelaskan, siswa diberi kesempatan untuk mencatat dan
menanyakan kembali materi yang dirasa sulit, atu belum dimengerti. Dan seperti biasa
siswa diberi waktu untuk menghafalkan langkah-langkah untuk menyajikan permasalahan
dalam model matematika Kemudian siswa diminta untuk mengerjakan latihan pada LKS
secara berkelompok, masing-masing kelompok terdiri dari 3 orang, yang ditentukan oleh
guru. Tugas dikerjakan pada kertas selembar lalu dikumpulkan.
3) Penutup :
 Guru dan siswa melakukan refleksi
 Guru meminta siswa mempelajari materi pada pertemuan pertama hingga
pertemuan delapan. Karena pada pertemuan selanjutnya siswa akan
menghadapi ulangan harian yang berkaitan dengan materi turunan dan
fungsi komposisi, dengan asessmen yang diukur adalah kemampuan
koneksi matematik siswa.
 Guru mengucapkan salam perpisahan kepada siswa, dan memberikan
kenang-kenangan kepada siswa.
Tangerang,
-
- 2011
Guru Mata Pelajaran
Matematika
Matematika
SMA NSMA
9 Tang-Sel
Muhammadiyah 25
Observator
(Isni Kusumawati. S.Pd)
(Yuli Dwi Purnamawati)
Kepala Sekolah
SMA Muhammadiyah 25
(Hj. Zesmita Umar. SH)
Lampiran 2
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
I.
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/ Program
: XI/ IPS
Semester
: Genap
Tahun Ajaran
: 2010/ 2011
Alokasi Waktu
: 2 x 45 menit
Pendekatan/ Metode
: Pembelajaran Ekspositori
Pertemuan ke-
: 1 (satu)
Standar Kompetensi
:
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah.
II.
Kompetensi Dasar
:
Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan
fungsi aljabar.
III.
Indikator
:
4) Menentukan turunan dengan aturan umum turunan,
5) Menentukan turunan dengan rumus umum aljabar,
6) Menyelesaikan soal yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari.
IV.
Materi Pokok
:
Pengertian turunan fungsi.
V.
Kegiatan Pembelajaran :
1) Pendahuluan
:
 Apersepsi
 Guru memperkenalkan diri
 Guru mengabsensi siswa
2) Kegiatan Inti
:
a) Guru memberitahu kepada siswa, bahwa pada pertemuan kali ini mereka
akan mempelajari materi turunan fungsi. Guru menjelaskan dan mencatat
penjelasannya pada papan tulis.
b) Kemudian guru memberi contoh:
c) Guru dan siswa menjawab secara bersama-sama dipandu oleh guru.
d) Kemudian guru meminta siswa untuk membuka buku pelajaran
Matematika untuk kelas XI, Suwarsini Murniati, Yudhistira, hal 113.
Siswa-siswi diberi waktu kurang lebih 30 menit. Lalu guru meminta bagi
siswa yang sudah selesai mengerjakan maju kedepan dan menuliskan
jawabannya. Guru memfasilitatori dan memeriksa jawaban siswa.
3) Penutup :
a. Guru memberi kesempatan kepada siswa untuk bertanya.
b. Guru dan siswa bersama-sama menyimpulkan hasil pembelajaran.
c. Guru memberi tugas.
Tangerang,
Guru Mata Pelajaran
Matematika
Matematika
SMA NSMA
9 Tang-Sel
Muhammadiyah 25
(Isni Kusumawati. S.Pd)
-
-2011
Observator
Mengetahui,
Kepala Sekolah
SMA Muhammadiyah 25
(Hj. Zesmita Umar. SH)
(Yuli Dwi Purnamawati)
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
(RPP)
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/ Program
: XI
Semester
: Genap
Tahun Ajaran
: 2010/ 2011
Alokasi Waktu
: 2 x 45 menit
Pendekatan/ Metode
: Pembelajaran Ekspositori Pertemuan
ke-
I.
: 2 (dua)
Standar Kompetensi :
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah.
II.
Kompetensi Dasar
:
Menggunakan konsep dan turunan dalam perhitungan turunan fungsi.
III.
Indikator
:
Menentukan turunan fungsi dengan menggunakan rumus-rumus turunan
fungsi.
IV.
Materi Pokok
:
Rumus-rumus turunan fungsi aljabar.
V.
Kegiatan Pembelajaran :
1) Pendahuluan :
a) Apersepsi
b) Mengingat kembali mengenai materi sebelumnya
2) Kegiatan inti :
Setelah guru melakukan review, guru melanjutkan dengan materi pada
pertemuan kali ini, yaitu: Rumus-rumus Turunan Fungsi Aljabar
1. Jika ݂(‫ )ݔ‬ൌ ݇ dengan ݇ = konstanta real, maka turunan ݂(‫ )ݔ‬adalah
݂′ (‫ = )ݔ‬0
2. Jika ݂(‫ )ݔ‬adalah sebuah fungsi identitas atau ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬, maka ݂′ (‫ = )ݔ‬1
3. Jika ݂(‫ )ݔ‬ൌ ܽ‫ݔ‬௡ dengan ܽ konstanta real tidak nol dan n bilangan bulat,
maka
݂′ (‫ )ݔ‬ൌ ܽ݊‫ݔ‬௡ିଵ
4. Jika ݂(‫ )ݔ‬ൌ ݇‫ )ݔ(ݑ‬dengan ݇ konstanta real dan ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ሻ fungsi dari ‫ ݔ‬yang
mempunyai turunan ‫ݑ‬′ ሺ‫ݔ‬ሻ, maka ݂′ (‫ )ݔ‬ൌ ݇‫ݑ‬′ ሺ‫ݔ‬ሻ
5. Jika ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ሻേ ‫ݒ‬ሺ‫ݔ‬ሻ, dengan ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ሻdan ‫ݒ‬ሺ‫ݔ‬ሻ masing-masing adalah
fungsi yang mempunyai turunan ‫ݑ‬′ሺ‫ݔ‬ሻ dan ‫ݒ‬′ሺ‫ݔ‬ሻ, maka ݂′ (‫ )ݔ‬ൌ ‫ݑ‬′ ሺ‫ݔ‬ሻേ
‫ݒ‬′ ሺ‫ݔ‬ሻ
6. Jika ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫)ݔ(ݑ‬Ǥ‫ݒ‬ሺ‫ݔ‬ሻ, dengan ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ሻ dan ‫ݒ‬ሺ‫ݔ‬ሻ adalah fungsi-fungsi yang
mempunyai turunan ‫ݑ‬′ሺ‫ݔ‬ሻ dan
‫)ݔ(ݑ‬Ǥ‫ݒ‬′ ሺ‫ݔ‬ሻ
7. Jika ݂(‫= )ݔ‬
‫ݒ‬′ሺ‫ݔ‬ሻ, maka ݂′ (‫ )ݔ‬ൌ ‫ݑ‬′ (‫)ݔ‬Ǥ‫ )ݔ(ݒ‬+
௨ሺ௫ሻ
, dengan ‫ݒ‬ሺ‫ݔ‬ሻ് Ͳ serta ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ሻdan ‫ݒ‬ሺ‫ݔ‬ሻadalah fungsi-fungsi
௩ሺ௫ሻ
yang mempunyai turunan ‫ݑ‬′ሺ‫ݔ‬ሻdan ‫ݒ‬′ሺ‫ݔ‬ሻ, maka ݂′ (‫= )ݔ‬
௨′ (௫)Ǥ௩(௫)ି௨(௫)Ǥ௩′ ሺ௫ሻ
ሼ௩(௫)}మ
8. Jika ݂(‫ )ݔ‬ൌ ሼ‫})ݔ(ݑ‬௡ , dengan ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ሻ adalah fungsi dari ‫ ݔ‬yang mempunyai
turunan ‫ݑ‬′ (‫ )ݔ‬dan n adalah bilangan real, maka ݂′ (‫ )ݔ‬ൌ ݊{‫})ݔ(ݑ‬௡ିଵǤ‫ݑ‬′ ሺ‫ݔ‬ሻ.
Setelah selesai menejlaskan guru meminta siswa untuk mengerjakan latihan
3) Penutup
:
 Guru dan siswa melakukan refleksi
 Siswa diminta untuk mengerjakan di rumah, Latihan pada LKS yang telah
disiapkan.
 Siswa diminta untuk mempelajari materi.
Tangerang,
-
-2011
Guru Mata Pelajaran
Matematika
Matematika
SMA NSMA
9 Tang-Sel
Muhammadiyah 25
Observator
(Isni Kusumawati. S.Pd)
(Yuli Dwi Purnamawati)
Kepala Sekolah
SMA Muhammadiyah 25
(Hj. Zesmita Umar. SH)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/ Program
: XI
Semester
: Genap
Tahun Ajaran
: 2010/ 2011
Alokasi Waktu
: 2 x 45 menit
Pendekatan/ Metode
: Pembelajaran Ekspositori Pertemuan
ke-
I.
: 3 (tiga)
Standar Kompetensi :
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah.
II.
Kompetensi Dasar
:
Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan
memecahkan masalah.
III.
Indikator
:
1) Menentukan gradien garis singgung dengan konsep turunan.
2) Menentukan
persamaan
garis
singgung
kurva
dengan
singgung
dengan
menggunakan konsep turunan.
3) Menetukan
titik
potong
kedua
garis
menggunakan konsep turunan.
4) Menentukan fungsi naik dan fungsi turun.
IV.
Materi Pokok
:
Persamaan garis singgung pada kurva.
V.
Kegiatan Pembelajaran
1) Pendahuluan
:
:
Guru masuk ke kelas dan mengucapkan salam, kemudian menanyakan kabar
siswa. Setelah itu, seperti biasa sebelum memulai pelajaran pada pertemuan kali ini,
2) Kegiatan inti
:
a) Guru menjelaskan dan mencatat penjelasannya pada papan tulis kemudian
siswa mencatat apa yang telah dijelaskan oleh guru.
b) Setelah selesai menjelaskan, guru meminta siswa untuk menghafalka
rumus persamaan garis singgung kurva dan syarat dikatakan suatu fungsi
naik dan syarat dikatakan suatu fungsi turun. Kemudian siswa dites satu
persatu. Setelah siswa dirasa hafal, guru melanjutkan penjelasan dengan
memberi contoh
c) Contoh dikerjakan secara bersama-sama oleh siswa dipandu oleh guru.
Kemudian siswa diberi tugas untuk mengerjakan latihan pada LKS.
3) Penutup :
 Guru dan siswa melakukan refleksi
 Siswa diminta untuk mengerjakan di rumah, Latihan pada Buku Paket
yang dainjurkan oleh sekolah.
 Guru meminta siswa mempelajari materi pada pertemuan selanjutnya,
Tangerang,
Guru Mata Pelajaran
Matematika
Matematika
SMA NSMA
9 Tang-Sel
Muhammadiyah 25
-
-2011
Observator
(Yuli Dwi Purnamawati)
(Isni Kusumawati. S.Pd)
Kepala Sekolah
SMA Muhammadiyah 25
(Hj. Zesmita Umar. SH)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/ Program
: XI
Semester
: Genap
Tahun Ajaran
: 2010/ 2011
Alokasi Waktu
: 2 x 45 menit
Pendekatan/ Metode
: Pembelajaran Ekspositori Pertemuan
ke-
I.
: 4 (empat)
Standar Kompetensi :
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah.
II.
Kompetensi Dasar
:
3) Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
ekstrim fungsi.
1) Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan
dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya.
III.
Indikator
:
3) Menentukan nilai stationer suatu fungsi.
1) Menentukan ekstrim atau tidaknya suatu fungsi.
IV.
Materi Pokok
:
Titik Stationer Suatu Fungsi dan Jenis-Jenis Ekstrim.
V.
Kegiatan Pembelajaran :
1) Pendahuluan
:
Guru masuk ke kelas dan mengucapkan salam, kemudian menanyakan kabar siswa.
Setelah itu, seperti biasa sebelum memulai pelajaran pada pertemuan kali ini.
2) Kegiatan inti
:
100
a) Guru menjelaskan materi pada pertemuan
kali ini, yaitu: Titik Stationer
Suatu Fungsi dan Jenis-Jenis Ekstrim.
b) Guru menjelaskan bahwa kajian tentang titik stationer yang akan dipelajari
dibatasi pada fungsi-fungsi yang kontinu dan dapat diturunkan, yaitu
fungsi-fungsi suku banyak atau fungsi-fungsi polinom.
c) Guru memberikan contoh yang dikierjakan secara bersama-sam dengan
murid
d) Siswa diberi tugas LKS
3) Penutup :
 Guru dan siswa melakukan refleksi
 Siswa diminta untuk mengerjakan di rumah, Latihan pada Buku Paket
yang dianjurkan oleh sekolah.
 Guru meminta siswa mempelajari materi pada pertemuan selanjutnya,
yaitu: Kecekungan Fungsi dan Titik Belok Fungsi.
Tangerang,
-
-2011
Guru Mata Pelajaran
Matematika
Matematika
SMA NSMA
9 Tang-Sel
Muhammadiyah 25
Observator
(Isni Kusumawati. S.Pd)
(Yuli Dwi Purnamawati)
Kepala Sekolah
SMA Muhammadiyah 25
(Hj. Zesmita Umar. SH)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/ Program
: XI
Semester
: Genap
Tahun Ajaran
: 2010/ 2011
Alokasi Waktu
: 2 x 45 menit
Pendekatan/ Metode
: Pembelajaran Ekspositori Pertemuan
ke-
I.
: 5 (lima)
Standar Kompetensi :
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah.
II.
Kompetensi Dasar
:
Menggunakan turunan untuk menemukan karakteristik suatu fungsi dan
memecahkan masalah.
III.
Indikator
:
3) Menentukan jenis kecekungan suatu fungsi dengan menggunakan
konsep turunan.
1) Menentukan titik belok suatu fungsi.
IV.
Materi Pokok
:
Kecekungan Fungsi dan Titik Belok Fungsi
V.
Kegiatan Pembelajaan :
1) Pendahuluan
:
Guru masuk ke kelas dan mengucapkan salam, kemudian menanyakan kabar siswa.
Setelah itu, sebelum memulai pelajaran pada pertemuan kali ini, terlebih dahulu guru
mereview pelajaran pada materi sebelumnya.
2) Kegiatan inti
:
a) Guru menjelaskan materi pada pertemuan kali ini KECEKUNGAN
FUNGSI DAN TITIK BELOK FUNGSI
b) Guru melanjutkan penjelasan dengan memberi contoh seperti yang
terdapat pada buku Sartono Wirodikromo, Matematika Untuk SMA kelas
XI, penerbit erlangga, halaman 288. Contoh dikerjakan secara bersamasama oleh siswa dipandu oleh guru.
c) Kemudian siswa diberi tugas untuk mengerjakan latihan pada LKS.
3) Penutup
:
a) Guru dan siswa melakukan refleksi
b) Siswa diminta untuk mengerjakan di rumah, Latihan pada Buku Paket
yang dianjurkan oleh sekolah.
c) Guru meminta siswa mempelajari materi pada pertemuan selanjutnya,
yaitu: Menggambar Grafik Fungsi.
Tangerang,
Guru Mata Pelajaran
Matematika
Matematika
SMA NSMA
9 Tang-Sel
Muhammadiyah 25
-
-2011
Observator
(Yuli Dwi Purnamawati)
(Isni Kusumawati. S.Pd)
Kepala Sekolah
SMA Muhammadiyah 25
(Hj. Zesmita Umar. SH)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/ Program
: XI
Semester
: Genap
Tahun Ajaran
: 2010/ 2011
Alokasi Waktu
: 2 x 45 menit
Pendekatan/ Metode
: Pembelajaran Ekspositori Pertemuan
ke-
I.
: 6 (enam)
Standar Kompetensi :
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah.
II.
Kompetensi Dasar
:
Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
ekstrim fungsi dan penafsirannya.
III.
Indikator
:
Menggambar grafik dari suatu fungsi turunan.
IV.
Materi Pokok
:
Menggambar Grafik Fungsi.
V.
Kegiatan inti
:
1) Pendahuluan
:
a) Apersepsi
b) Mengingat kembali mengenai materi sebelumnya.
c)
2) Kegiatan inti
:
Dalam menggambarkan kurva sukubanyak diperlukan
langkah-langkah sebagai berikut:
MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI
Langkah-langkah untuk menggambar sketsa kurva suku banyak
Langkah 1
Buatlah analisis berikut ini:
1. Tentukan koordina-koordinat titik potong dengan sumbu-sumbu loordinat,
jika koordinat-koordinat itu mudah ditentukan.

Titik potong dengan sumbu X diperoleh dari syarat y = 0

Titik potong dengan sumbu Y diperoleh dari syarat x = 0
2. Tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi ݂(‫)ݔ‬, yaitu ݂′(‫)ݔ‬
dan ݂′′(‫)ݔ‬,
Dari rumus pertama ݂′(‫)ݔ‬, dapat ditentukan:


Interval-interval dimana ݂(‫ )ݔ‬naik dan ݂(‫ )ݔ‬turun.
Titik ekstrim fungsi ݂(‫ )ݔ‬serta jenis-jenisnya
Dari turunan kedua ݂′′(‫ )ݔ‬dapat ditentukan :


Interval-interval dimana ݂(‫ )ݔ‬cekung ke atas dan ݂(‫ )ݔ‬cekung ke bawah
Titik belok fungsi ݂(‫)ݔ‬
3. Jika fungsi ݂(‫)ݔ‬didefinisikan dalam interval tertutup, tentukan nilai fungsi
݂(‫ )ݔ‬pada ujung-ujung interval.
4. Jika diperlukan, tentukan beberapa titik tertentu untuk memperhalus sketsa
kurva
Langkah 2
Titik-titik yang diperoleh pada langkah 1 digambarkan pada bidang Cartesius.
Langkah 3
Selanjutnya titik-titik yang telah disajikan dalam bidang cartesius pada langkah 2
dihubungkan dengan mempertimbangkan naik atau turunnya fungsi dan kecekungan
fungsi pada interval-interval yang telah ditentukan.
3) Penutup
:
 Guru dan siswa melakukan refleksi
 Siswa diminta untuk mengerjakan di rumah, Latihan pada Buku Paket
yang dianjurkan oleh sekolah.
Tangerang,
-
- 2011
Guru Mata Pelajaran
Matematika
Matematika
SMA NSMA
9 Tang-Sel
Muhammadiyah 25
Observator
(Isni Kusumawati. S.Pd)
(Yuli Dwi Purnamawati)
Kepala Sekolah
SMA Muhammadiyah 25
(Hj. Zesmita Umar. SH)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
I.
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/ Program
: XI
Semester
: Genap
Tahun Ajaran
: 2010/ 2011
Alokasi Waktu
: 2 x 45 menit
Pendekatan/ Metode
: Pembelajaran Ekspositori Pertemuan
ke-
: 7 (tujuh)
Standar Kompetensi :
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah.
II.
Kompetensi Dasar
:
1) Menggunakan turunan fungsi untuk menentukan karakteristik suatu
fungsi dan pemecahan masalah.
2) Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
ekstrim fungsi.
3) Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan
dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya.
III.
Indikator
:
1) Menggunakan turunan fungsi dalam dalam perhitungan kecepatan dan
percepatan.
2) Menggunakan turunan fungsi dalam bentuk tak tentu dari suatu limit
fungsi.
3) Menggunakan turunan fungsi dalam menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan nilai ekstrim fungsi.
IV.
Materi Pokok
:
Aplikasi Turunan Fungsi Dalam Pemecahan Masalah.
V.
Kegiatan inti
4) Pendahuluan
:
:
Guru masuk ke kelas dan mengucapkan salam, kemudian menanyakan
kabar siswa. Setelah itu, seperti biasa sebelum memulai pelajaran pada pertemuan
kali ini, terlebih dahulu guru mereview pelajaran pada materi sebelumnya. Namun
berbeda dengan pertemuan seblumnya, kini siswa diminta untuk secara parallel
menyebutkan rumus-rumus yang telah diajarkan, mulai dari pertemuan pertma
hingga pertemuan ke tujuh.
5) Kegiatan inti
:
a) Pada pertemuan kali ini guru menjelaskan bahwa ini adalah sub materi
terakhir pada materi turunan. Dan pelajaran kita pada hari ini adalah
puncak dari pelajarn kita selama ini, yaitu bagaimana kita dapat
mengkoneksikan apa yang telah kita pelajari selam tujuh pertemuan ini
dengan materi dalem lingkup matematika, dengan materi bidang studi
yang lain, dan dengan permasalahan kehidupan sehari-hari. Guru juga
menjelaskan bahwa Setelah konsep-konsep fungsi dipahami, sekarang
akan dibahas aplikasi atau penggunaan turunan fungsi untuk memecahkan
masalah, yaitu:
4) Menggunakan turunan fungsi dalam perhitungan kecepatan dan
percepatan
1) Menggunakan turunan fungsi dalam perhitungan bentuk tak tentu dari
suatu limit fungsi
2) Menggunakan turunan fungsi dalam menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan nilai ekstrim fungsi (problem nilai maksimum dan
minimum).
Langkah-langkah
untuk
menyajikan
permasalahan
dalam
model
matematika adalah sebagai berikut:
5) Nyatakan semua basaran atau factor yang terlibat dalam permasalahan
tersebut dalam satu variable matematika.
1) Nyatakan rumusan dari variable-variabel tersebut dalam hubungan
tertentu sabagai representasi masalah.
2) Tentukan variable yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan
sebagai fungsi dari variable lainnya.
3) Tentukan nilai maksimum atau nilai minimum yang akan diperoleh
pada model yang dibentuk dari langkah sebelumnya.
b) Guru member contoh soal
c) Siswa diberikan latihan yang dikerjakan secara berkelompok. Masingmasing kelompok terdiri dari 5 siswa.
6) Penutup :
 Guru dan siswa melakukan refleksi
 Guru meminta siswa mempelajari materi pada pertemuan pertama hingga
pertemuan delapan. Karena pada pertemuan selanjutnya siswa akan
menghadapi ulangan harian yang berkaitan dengan materi turunan dan
fungsi komposisi, dengan asessmen yang diukur adalah kemampuan
koneksi matematik siswa.
 Guru mengucapkan salam perpisahan kepada siswa, dan memberikan
kenang-kenangan kepada siswa.
Tangerang,
Guru Mata Pelajaran
Matematika
Matematika
SMA NSMA
9 Tang-Sel
Muhammadiyah 25
-
- 2011
Observator
(Yuli Dwi Purnamawati)
(Isni Kusumawati. S.Pd)
Kepala Sekolah
SMA Muhammadiyah 25
(Hj. Zesmita Umar. SH)
Lampiran 3
LKS
Pertemuan I dan 2
PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI DAN RUMUS-RUMUS
TURUNAN FUNGSI ALJABAR
 Aturan umum fungsi ࢌ(࢞)dapat didefinisikan sebagai berikut:
Definisi:
Misalkan diketahui fungsi ‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ yang terdefinisi dalam daerah
asal
‫݂ܦ‬ǣሼ‫ݔ‬ȁ‫ܴ א ݔ‬ሽ. Turunan fungsi x ditentukan oleh
݂(‫ ݔ‬൅ ݄) െ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ
௛՜ ଴
ℎ
݂′(‫ = )ݔ‬lim
Dengan catatan jika nilai limit itu ada.
Ungkapan matematika ݂′(‫ = )ݔ‬lim௛՜ ଴
umum turunan fungsi ݂(‫)ݔ‬.
௙(௫ା௛)ି௙ሺ௫ሻ
௛
dikenal sebagai rumus
 Bentuk lain notasi fungsi
Turunan fungsi ‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ dilambangkan dengan
ௗ௬
ௗ௫
atau
ௗ௙
ௗ௫
, yang
dikenal sebagai notasi Leibniz. Dalam ilmu-ilmu terapan (fisika, kimia,
ekonomi, dsb) notasi Leibniz masih sering digunakan. Jadi, untuk
menyatakan turunan dari fungsi ‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ dapat digunakan sati diantara
notasi-notasi berikut:
݂݀
݀‫ݕ‬
‫ݕ‬′ ܽ‫݂ݑܽݐ‬′ (‫ݑܽݐܽ ݑܽݐܽ)ݔ‬
݀‫ݔ‬
݀‫ݔ‬
 Rumus-rumus Turunan Fungsi Aljabar
9. Jika ݂(‫ )ݔ‬ൌ ݇ dengan ݇ = konstanta real,
maka turunan ݂(‫ )ݔ‬adalah ݂′ (‫ = )ݔ‬0
10. Jika ݂(‫ )ݔ‬adalah sebuah fungsi identitas atau ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬,
maka ݂′ (‫ = )ݔ‬1
11. Jika ݂(‫ )ݔ‬ൌ ܽ‫ݔ‬௡ dengan ܽ konstanta real tidak nol dan
n bilangan bulat, maka
݂′ (‫ )ݔ‬ൌ ܽ݊‫ݔ‬௡ିଵ
12. Jika ݂(‫ )ݔ‬ൌ ݇‫ )ݔ(ݑ‬dengan ݇ konstanta real,
dan ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ሻfungsi dari ‫ ݔ‬yang mempunyai turunan ‫ݑ‬′ ሺ‫ݔ‬ሻ,
maka ݂′ (‫ )ݔ‬ൌ ݇‫ݑ‬′ ሺ‫ݔ‬ሻ
13. Jika ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ሻേ ‫ݒ‬ሺ‫ݔ‬ሻ,
dengan ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ሻdan ‫ݒ‬ሺ‫ݔ‬ሻ masing-masing adalah fungsi yang
mempunyai turunan ‫ݑ‬′ሺ‫ݔ‬ሻdan ‫ݒ‬′ሺ‫ݔ‬ሻ, maka ݂′ (‫ )ݔ‬ൌ ‫ݑ‬′ ሺ‫ݔ‬ሻേ ‫ݒ‬′ ሺ‫ݔ‬ሻ
14. Jika ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫)ݔ(ݑ‬Ǥ‫ݒ‬ሺ‫ݔ‬ሻ,
dengan ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ሻ dan ‫ݒ‬ሺ‫ݔ‬ሻ adalah fungsi-fungsi yang mempunyai
turunan ‫ݑ‬′ሺ‫ݔ‬ሻdan ‫ݒ‬′ሺ‫ݔ‬ሻ, maka ݂′ (‫ )ݔ‬ൌ ‫ݑ‬′ (‫)ݔ‬Ǥ‫ )ݔ(ݒ‬൅ ‫)ݔ(ݑ‬Ǥ‫ݒ‬′ ሺ‫ݔ‬ሻ
15. Jika ݂(‫= )ݔ‬
௨ሺ௫ሻ
, dengan ‫ݒ‬ሺ‫ݔ‬ሻ് Ͳ serta ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ሻ dan ‫ݒ‬ሺ‫ݔ‬ሻ adalah
௩ሺ௫ሻ
fungsi-fungsi yang mempunyai turunan ‫ݑ‬′ሺ‫ݔ‬ሻ dan ‫ݒ‬′ሺ‫ݔ‬ሻ, maka
݂′ (‫= )ݔ‬
௨′ (௫)Ǥ௩(௫)ି௨(௫)Ǥ௩′ ሺ௫ሻ
ሼ௩(௫)}మ
16. Jika ݂(‫ )ݔ‬ൌ ሼ‫})ݔ(ݑ‬௡ , dengan ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ሻ adalah fungsi dari ‫ ݔ‬yang
mempunyai turunan ‫ݑ‬′ (‫ )ݔ‬dan n adalah bilangan real, maka
݂′ (‫ )ݔ‬ൌ ݊{‫})ݔ(ݑ‬௡ିଵǤ‫ݑ‬′ ሺ‫ݔ‬ሻ.
LATIHAN!
1. Carilah turunan dari fungsi-fungsi f(x) berikut ini dengan
menggunakan aturan umum turunan:݂′(௫) = lim௛՜ ଴
a) ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଶ ൅ ͸‫ ݔ‬െ ͳ
b) ݂(‫= )ݔ‬
ସ
௫ିଶ
2. Carilah turunan dari fungsi-fungsi berikut:
a) ݂(‫ )ݔ‬ൌ െʹ ‫଻ݔ‬
b) ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ ଼ݔ‬െ ͸‫ݔ‬ଶ + 5
ଵ
ଷ
ଵ
c) ݂(‫ = )ݔ‬ହ ‫ݔ‬ହ − ସ ‫ݔ‬ସ + ଶ ‫ݔ‬ଶ െ ͷ‫ ݔ‬൅ ͵
d) ݂(‫ = )ݔ‬2√‫ ݔ‬+
ଶ
√௫
௙(௫ା௛)ି௙(௫)
௛
3. Carilah turunan dari fungsi- fungsi berikut:
a) ݂(‫= )ݔ‬
ଷ௫మା௫ାହ
c) ݂(‫= )ݔ‬
ሺ௫మାଵሻయ
௫మା௫̴ ଵ
b) ݂(‫ݔ( = )ݔ‬ଷ ൅ ‫)ݔ‬ሺ‫ ݔ‬൅ ʹ ሻ
ሺ௫ିଶሻఱ
4. Sebuah kendaraan bergerak dengan persamaan s= t2. S jarak (m),
dan t waktu (dt). Hitunglah kecepatan rata-rata dari t=1 ke t-5!
5. Sebuah benda bergerak dengan persamaan s = t2 + t, s jarak (m),
dan t waktu (dt). Hitunglah kecepatan benda pada saat t = 5 dt
LKS
Pertemuan 3
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA, FUNGSI
NAIK DAN FUNGSI TURUN
 Persamaan garis Singgung pada Kurva
Persamaan garis singgung pada kurva ‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ yang melalui titik
ܲሺܽǡ݂(ܽ)) dirumuskan dengan persamaan sebagai berikut:
‫ ݕ‬െ ݂(ܽ) ൌ ݉ ሺ‫ ݔ‬െ ܽሻ
ௗ௬
Dengan gradient m ditetukan oleh ݉ ൌ ݂′ (ܽ)ܽ‫ ݉ݑܽݐ‬ൌ ሺௗ௫)௫ୀ௔
 Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Suatu fungsi ‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ di
Y=f(x)
sebut fungsi naik bila
f(x2)
untuk setiap
x2 > x1, maka f(x2) > f(x1)
f(x1)
x
x1
x2
Suatu fungsi
‫ ݕ‬ൌ ݂(‫ )ݔ‬adalah
naik bila ݂′ (‫ > )ݔ‬0
fungsi
Suatu fungsi ‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ di
y=f(x)
sebut fungsi turun bila
f(x1)
untuk setiap x2 > x1, maka
f(x2) < f(x1)
f(x2)
x
x1
Suatu
fungsi
‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ
adalah fungsi turun bila
x2
݂′ (‫ < )ݔ‬0
LATIHAN!
1. Tentukan gradien garis singgung dari kurva - kurva berikut ini
pada titik-titik yang disebutkan. Kemudian tentukan pula
persamaan-persamaan garis singgungnya.
a. ‫ ݕ‬ൌ ʹ െ Ͷ‫ݔ‬ଶǡ݀݅‫݇݅ݐ݅ݐ‬ሺͳǡെʹ ሻ
b. ‫ ݕ‬ൌ ‫ݔ‬ଷ ൅ ͳǡ݀݅‫݇݅ݐ݅ݐ‬ሺͳǡʹ ሻ
ଶ
c. ‫ ݕ‬ൌ ௫ ǡ݀݅‫݇݅ݐ݅ݐ‬ሺെʹ ǡെͳሻ
d. ‫ ݕ‬ൌ
ହ
௫ାଶ
ǡ݀݅‫݇݅ݐ݅ݐ‬ሺ͵ ǡͳሻ
e. ‫ ݕ‬ൌ √͵ ‫ݔ‬ǡ݀݅‫݇݅ݐ݅ݐ‬ሺͳʹ ǡ͸ሻ
2. Tentukan persamaan garis singgung kurva berikut ini!
a. ‫ ݕ‬ൌ ʹ ‫ݔ‬ଷǡ‫ ݔܽ݀ܽ݌‬ൌ െʹ
b. ‫ ݕ‬ൌ ͵ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ ݔ‬െ ʹ ǡ‫ ݔܽ݀ܽ݌‬ൌ Ͳ
c. ‫ ݕ‬ൌ ‫ݔ‬ଷ ൅ ʹ ‫ݔ‬ଶ െ ͵ ‫ ݔ‬൅ ͳǡ‫ ݔܽ݀ܽ݌‬ൌ ͳ
3. Tentukan persamaan garis singgng pada kurva‫ ݕ‬ൌ െ‫ݔ‬ଶ di titiktiitik dengan x= -2 dan x= 2. Kemudian tentukan titik potong
kedua garis singgung tersebut!
4. Diketahui garis ‫ ݕ‬ൌ ͷ‫ ݔ‬െ ʹ menyinggung kurva ‫ ݕ‬ൌ ܽ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݔ‬൅ ܾdi
titik (2, -1). Tentukan nilai dari ܽ dan ܾ!
5. Untuk setiap fungsi berikut ini, tentukan interval mana fungsi
݂ሺ‫ݔ‬ሻnaik dan dalam interval mana fungsi ݂ሺ‫ݔ‬ሻ turun.
a. ݂(‫ )ݔ‬ൌ Ͷ‫ ݔ‬െ ͳʹ ‫ݔ‬ଶ
b. ݂(‫ )ݔ‬ൌ ሺ‫ ݔ‬െ Ͷሻଶ
ଵ
c. ݂(‫ = )ݔ‬ଶ ‫ݔ‬ଶ െ ͵ ‫ ݔ‬൅ Ͷ
d. ݂(‫ )ݔ‬ൌ ͺ‫ݔ‬ଷ െ ͵ ‫ݔ‬ଶ െ ͳͺ‫ ݔ‬൅ ʹ
e. ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ሺ͵ െ ‫ݔ‬ሻଶ
LKS
Pertemuan 4
TITIK STATIONER SUATU FUNGSI DAN JENISJENIS EKSTRIM
 Pengertian Nilai Stationer dan Titik Stationer
Teorema: Nilai Stationer
Jika fungsi ‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻdiferensiabel di ‫ ݔ‬ൌ ܽ, dengan
݂′ (ܽ) = 0 maka ݂ሺܽሻadalah nilai stationer dari fungsi ݂(‫ ݔ݅݀)ݔ‬ൌ ܽ
 Jenis-Jenis Ekstrim, Nilai Balik Maksimum dan Nilai Balik
Minimum
Uji turunan pertama untuk menentukan jenis ekstrim
Misalkan ݂ሺ‫ݔ‬ሻ merupakan fungsi yang diferensiabel pada ‫ ݔ‬ൌ ܽ
dan mencapai nilai stationer pada titik itu dengan nilai stationer
݂ሺܽሻ
1. Jika
 ݂′ (‫ )ݔ‬൐ Ͳ‫ ݔ݇ݑݐ݊ݑ‬൏ ܽ՜ ݂‫݇݅ܽ݊)ݔ(݂݅ݏ݃݊ݑ‬
 ݂′ (‫ )ݔ‬ൌ Ͳ‫ ݔ݇ݑݐ݊ݑ‬ൌ ܽ՜ ݂‫ ݔܽ݀ܽ݌ݎ݁݊݋݅ݐܽݐݏ)ݔ(݂݅ݏ݃݊ݑ‬ൌ ܽ
 ݂′ (‫ )ݔ‬൏ Ͳ‫ ݔ݇ݑݐ݊ݑ‬൐ ܽ՜ ݂‫݊ݑݎݑݐ)ݔ(݂݅ݏ݃݊ݑ‬
Maka ݂ሺ‫ݔ‬ሻmencapai nilai balik maksimum pada ‫ ݔ‬ൌ ܽ
2. Jika
 ݂′ (‫ )ݔ‬൏ Ͳ‫ ݔ݇ݑݐ݊ݑ‬൏ ܽ՜ ݂‫݊ݑݎݑݐ)ݔ(݂݅ݏ݃݊ݑ‬
 ݂′ (‫ )ݔ‬ൌ Ͳ‫ ݔ݇ݑݐ݊ݑ‬ൌ ܽ՜ ݂‫ ݔܽ݀ܽ݌ݎ݁݊݋݅ݐܽݐݏ)ݔ(݂݅ݏ݃݊ݑ‬ൌ ܽ
 ݂′ (‫ )ݔ‬൐ Ͳ‫ ݔ݇ݑݐ݊ݑ‬൐ ܽ՜ ݂‫݇݅ܽ݊)ݔ(݂݅ݏ݃݊ݑ‬
Maka ݂ሺ‫ݔ‬ሻmencapai nilai balik minimum pada ‫ ݔ‬ൌ ܽ
3. Jika

݂′ (‫ )ݔ‬൐ Ͳ‫ ݔ݇ݑݐ݊ݑ‬൏ ܽ՜ ݂‫݇݅ܽ݊)ݔ(݂݅ݏ݃݊ݑ‬

ܽ

atau
݂′ (‫ )ݔ‬ൌ Ͳ‫ ݔ݇ݑݐ݊ݑ‬ൌ ܽ՜ ݂‫ ݔܽ݀ܽ݌ݎ݁݊݋݅ݐܽݐݏ)ݔ(݂݅ݏ݃݊ݑ‬ൌ
݂′ (‫ )ݔ‬൐ Ͳ‫ ݔ݇ݑݐ݊ݑ‬൐ ܽ՜ ݂‫݇݅ܽ݊)ݔ(݂݅ݏ݃݊ݑ‬
 ݂′ (‫ )ݔ‬൏ Ͳ‫ ݔ݇ݑݐ݊ݑ‬൏ ܽ՜ ݂‫݊ݑݎݑݐ)ݔ(݂݅ݏ݃݊ݑ‬
 ݂′ (‫ )ݔ‬ൌ Ͳ‫ ݔ݇ݑݐ݊ݑ‬ൌ ܽ՜ ݂‫ ݔܽ݀ܽ݌ݎ݁݊݋݅ݐܽݐݏ)ݔ(݂݅ݏ݃݊ݑ‬ൌ ܽ
 ݂′ (‫ )ݔ‬൏ Ͳ‫ ݔ݇ݑݐ݊ݑ‬൐ ܽ՜ ݂‫݊ݑݎݑݐ)ݔ(݂݅ݏ݃݊ݑ‬
Maka ݂ሺܽሻbukan nilai ekstrim
LATIHAN!
2. Tentukan nilai-nilai stationer masing-masing fungsi berikut ini
dan tentuka pula jenisnya!
a. ‫ ݕ‬ൌ ‫ݔ‬ଶ െ ͵ ‫ ݔ‬൅ ʹ
b. ‫ ݕ‬ൌ ͵ ‫ݔ‬ଶ − 6
c.
݂(‫ )ݔ‬ൌ ͵ ൅ ʹ ‫ ݔ‬െ ‫ݔ‬ଶ
d. ݂(‫ )ݔ‬ൌ ሺʹ ‫ ݔ‬െ ͷሻଶ
e. ݂(‫ )ݔ‬ൌ ሺ͹ െ ‫ݔ‬ሻଶ
f. ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଷ − 1
g. ݂(‫ )ݔ‬ൌ ʹ ‫ݔ‬ଷ െ ʹ Ͷ‫ݔ‬
h. ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଷ െ ͹‫ݔ‬ଶ ൅ ͳͷ‫ ݔ‬൅ ʹ
i. ݂(‫ )ݔ‬ൌ ʹ ‫ݔ‬ଷ െ ‫ݔ‬ଶ െ Ͷ‫ ݔ‬൅ ͸
j. ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ସ െ ͺ‫ݔ‬ଶ
3. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan rumus݂(‫= )ݔ‬
‫ݔ‬ଶ െ ͵ ‫ ݔ݌‬൅ ͺ . Fungsi kuadrat itu mencapai nilai balik minimum
untuk absis‫ ݔ‬ൌ ͸ .
a. Carilah nilai p!
b. Tentukan koordinat titik balik minimum
LKS
Pertemuan 5
KECEKUNGAN FUNGSI DAN TITIK BELOK FUNGSI
 Kecekungan Fungsi
Definisi : Kecekungan Fungsi
Misalkan fungsi ݂ሺ‫ݔ‬ሻkontinu dan diferensiabel dalam interval I
1. Jika
݂′ሺ‫ݔ‬ሻ naik dalam interval I, maka grafik fungsi ݂(‫)ݔ‬
dikatakan cekung ke atas dalam interval I
2. Jika ݂′ሺ‫ݔ‬ሻ turun dalam interval I, maka grafik fungsi ݂(‫)ݔ‬
dikatakan cekung kebawah dalam interval I
 Titik Belok Fungsi
Definis: Titik Belok Fungsi
Jika pada titik ሺܽǡ݂(ܽ)) terjadi perubahan kecekungan grafik
fungsi ‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ (dari cekung kebawah menjadi cekung ke atas
atausebaliknya) maka titik ሺܽǡ݂(ܽ)) dinamakan titik belok fungsi
‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ
Teorema: Syarat Perlu Bagi Titik Belok
Jika ݂(‫ )ݔ‬diferensiabel dua kali pada ‫ ݔ‬ൌ ܽ atau ݂′′ ሺ‫ݔ‬ሻ ada dan
ሺܽǡ݂(ܽ)) adalah titik belok grafik fungsi ‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ, maka ݂′′ (ܽ) = 0
Selanjutnya untuk memastikan bahwa ሺܽǡ݂(ܽ)) adalah titik belok
fungsi ݂(‫ )ݔ‬atau bukan, dapat dilakukan dengan cara mengamati
tanda-tanda dari ݂′′ ሺ‫ݔ‬ሻ di sekitar ‫ ݔ‬ൌ ܽ dengan menguji turunan
kedua.
Misalkan ݂(‫ )ݔ‬adalah fungs yang diferensiabel dua kali pada ‫ ݔ‬ൌ ܽ
dan ݂′′ (ܽ) = 0.
Jika



݂′′ (‫ )ݔ‬൏ Ͳ‫ ݔ݇ݑݐ݊ݑ‬൏ ܽ՜ ݂‫݄ܽݓܾܽ݁݇݃݊ݑ݇݁ܿ)ݔ(݂݅ݏ݃݊ݑ‬
݂′′ (‫ )ݔ‬ൌ Ͳ‫ ݔ݇ݑݐ݊ݑ‬ൌ ܽ
݂′′ (‫ )ݔ‬൐ Ͳ‫ ݔ݇ݑݐ݊ݑ‬൐ ܽ՜ ݂‫ݏܽݐܽ݁݇݃݊ݑ݇݁ܿ)ݔ(݂݅ݏ݃݊ݑ‬
atau



݂′′ (‫ )ݔ‬൐ Ͳ‫ ݔ݇ݑݐ݊ݑ‬൏ ܽ՜ ݂‫ݏܽݐܽ݁݇݃݊ݑ݇݁ܿ)ݔ(݂݅ݏ݃݊ݑ‬
݂′′ (‫ )ݔ‬ൌ Ͳ‫ ݔ݇ݑݐ݊ݑ‬൏ ܽ
݂′′ (‫ )ݔ‬൏ Ͳ‫ ݔ݇ݑݐ݊ݑ‬൐ ܽ՜ ݂‫݄ܽݓܾܽ݁݇݃݊ݑ݇݁ܿ)ݔ(݂݅ݏ݃݊ݑ‬
Maka titik ሺܽǡ݂(ܽ)) merupakan tiitk belok fungsi ݂(‫)ݔ‬. Dalam hal
݂′′ ሺ‫ݔ‬ሻ tidak memenuhi aturan seperti di atas, makaሺܽǡ݂(ܽ)) bukan
titik belok fungsi ݂(‫)ݔ‬.
LATIHAN!
1. Untuk fungsi-fungsi ݂(‫ )ݔ‬berikut ini, tentukan pada interval mana
fungsi ݂(‫ )ݔ‬ceking ke atas dan pada interval mana fungsi ݂(‫)ݔ‬
cekung ke bawah!
a. ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଷ െ ͵ ‫ݔ‬ଶ ൅ ͵ ‫ ݔ‬െ ʹ
ଶ
ଷ
଻
b. ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଷ − ଷ ‫ݔ‬ଶ − ସ ‫ ݔ‬൅ ͳ ଼
c. ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ସെ ͺ‫ݔ‬ଷ ൅ ͳͺ‫ݔ‬ଶ − 24
d. ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ସ െ ͸‫ݔ‬ଶ ൅ ͵ ‫ ݔ‬൅ ͳͲ
ଵ
ଵ
2. Diketahui fungsi ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ସ ൅ ʹ ‫ݔ‬ଷ + 1 ଶ ‫ݔ‬ଶ + ଶ ‫ ݔ‬൅ ͵
asal ‫ܦ‬௙ ൌ ሼ‫ݔ‬ȁ‫ܴ א ݔ‬ሽ.
ଵ
଼
dalam daerah
a. Tentukan turunan pertama dan turunan keua dari fungsi ݂(‫)ݔ‬
ଵ
b. Tunjukkan bahwa ݂′′ (− ) = 0
ଶ
ଵ
c. Tunjukkan bahwa titik (− ଶ , 3) bukan titik belok fungsi ݂(‫)ݔ‬
3. Diketahui fungsi ݂(‫ )ݔ‬ൌ ሺ‫ݔ‬ଶ − 1)ଶ dalam daerah asal ‫ܦ‬௙ ൌ ሼ‫ݔ‬ȁ‫ܴ א ݔ‬ሽ
a. Tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi ݂(‫!)ݔ‬
b. Tentukan pada interval mana fungsi ݂(‫ )ݔ‬cekung ke atas dan
pada interval mana fungsi݂(‫ )ݔ‬cekung ke bawah!
c. Tentukan koordinat-koordinat titik belok fungsi ݂(‫)ݔ‬
LKS
Pertemuan 6
MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI
Langkah-langkah untuk menggambar sketsa kurva suku banyak
Langkah 1
Buatlah analisis berikut ini:
5. Tentukan koordina-koordinat titik potong dengan sumbu-sumbu
loordinat, jika koordinat-koordinat itu mudah ditentukan.

Titik potong dengan sumbu X diperoleh dari syarat y = 0

Titik potong dengan sumbu Y diperoleh dari syarat x = 0
6. Tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi ݂(‫)ݔ‬,
yaitu ݂′(‫ )ݔ‬dan ݂′′(‫)ݔ‬,
Dari rumus pertama ݂′(‫)ݔ‬, dapat ditentukan:


Interval-interval dimana ݂(‫ )ݔ‬naik dan ݂(‫ )ݔ‬turun.
Titik ekstrim fungsi ݂(‫ )ݔ‬serta jenis-jenisnya
Dari turunan kedua ݂′′(‫ )ݔ‬dapat ditentukan :

Interval-interval dimana ݂(‫ )ݔ‬cekung ke atas dan ݂(‫ )ݔ‬cekung
ke bawah

Titik belok fungsi ݂(‫)ݔ‬
7. Jika fungsi ݂(‫)ݔ‬didefinisikan dalam interval tertutup, tentukan
nilai fungsi ݂(‫ )ݔ‬pada ujung-ujung interval.
8. Jika
diperlukan,
tentukan
beberapa
titik
tertentu
untuk
memperhalus sketsa kurva
Langkah 2
Titik-titik yang diperoleh pada langkah 1 digambarkan pada bidang
Cartesius.
Langkah 3
Selanjutnya titik-titik yang telah disajikan dalam bidang cartesius
pada langkah 2 dihubungkan dengan mempertimbangkan naik atau
turunnya fungsi dan kecekungan fungsi pada interval-interval yang
telah ditentukan.
LATIHAN!
1. Dengan
menggunakan
langkah-langkah
yang
gambarkan sketsa fungsi-fungsi berikut ini:
a. ‫ ݕ‬ൌ ݂(‫ )ݔ‬ൌ ሺ‫ ݔ‬െ ʹ ሻଶ
b. ‫ ݕ‬ൌ ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଷ െ ͳʹ ‫ݔ‬
c. ‫ ݕ‬ൌ ݂(‫ )ݔ‬ൌ ሺ‫ ݔ‬െ ʹ ሻଷ + 2
d. ‫ ݕ‬ൌ ݂(‫ )ݔ‬ൌ ͵ ‫ݔ‬ହ െ ͷ‫ݔ‬ଷ + 1
e. ‫ ݕ‬ൌ ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ ଺ݔ‬െ ͵ ‫ݔ‬ସ
telah
dijelaskan,
2. Gambarlah sketsa kurva fungsi kontinu dalam interval tertutup D
[0,6] yang memenuhi ketentuan berikut:
݂(0) ൌ ݂(4) ൌ ʹ ǡ݂(2) ൌ Ͷǡ݂(6) = 0,
fungsi
mencapai
݂(‫)ݔ‬
maksimum pada x=2 dan mencapai minimum pada x = 6



݂′ (‫ )ݔ‬൐ Ͳ݈݀ܽܽ݉ ݅݊‫ Ͳ݈ܽݒݎ݁ݐ‬൏ ‫ ݔ‬൏ ʹ ǡ݀ܽ݊
݂′ (‫ )ݔ‬൏ Ͳ݈݀ܽܽ݉ ݅݊‫ ʹ݈ܽݒݎ݁ݐ‬൏ ‫ ݔ‬൏ Ͷǡܽ‫ݑܽݐ‬Ͷ ൏ ‫ ݔ‬൏ ͸
݂′ (2) ൌ ݂′ (4) ൌ ݂′′ (4) = 0
ଶ
3. Grafik fungsi mempunyai titik balik minimum di (1, -6ଷ) dan titik
ଵ
belok (−1, −1 ଷ)
a. Hitunglah nilai ܽǡܾǡܿǡ݀ܽ݊݀
b. Tulislah persamaan grafik fungsi itu, kemudian gambarlah
sketsa kurvanya!
LKS
Pertemuan 7
APLIKASI TURUNAN FUNGSI
DALAM PEMECAHAN MASALAH
Setelah konsep-konsep fungsi dipahami, sekarang akan dibahas aplikasi
atau penggunaan turunan fungsi untuk memecahkan masalah, yaitu:
1. Menggunakan turunan fungsi dalam perhitungan kecepatan
dan percepatan
2. Menggunakan turunan fungsi dalam perhitungan bentuk tak
tentu dari suatu limit fungsi
3. Menggunakan turunan fungsi dalam menyelesaikan masalah
yang berkaitan dengan nilai ekstrim fungsi (problem nilai
maksimum dan minimum)
LATIHAN!
1. Sebuah partikel bergerak pada lintasan garis lurus. Persamaan
gerak partikel itu dirumuskan dengan ‫ ݏ‬ൌ ݂(‫ )ݐ‬ൌ ‫ݐ‬ଷ െ ͸‫ݐ‬ଶ ൅ ͻ‫ (ݐ‬s
dalam meter dan t dalam detik).
a. Hitunglah panjang lintasan pada waktu t=0 detk, t=1 detik,
dan t= 2 detik.
b. Tentukan rumus kecepatan v(t) dan rumus percepatan a(t).
c. Hitunglah kecepatan pada waktu t = 0 detik, t= 1 detik, dan
t= 2 detik
d. Hitunglah percepatan pada waktu t=0 detik, t- 1 detik, dan t
= 2 detik.
2. Sebuah peluru ditembakkan vertiakl ke atas dengan kecepatan
awal 50m/detik. Ketinggian peluru h meter terhadap titik asal
setelah t detik, ditentukan oleh rumus ݄ ൌ ͷͲ‫ݐ‬െ ͷ‫ݐ‬ଶ.
a. Tentukan nilai h pada waktu t=0 detik, t= 5 detik, dan t= 10
detik.
b. Tentukan kecepatan peluru setelah t = 3 detik, t= 5 detik,
dan t = 7 detik
3. Hitunglah limit-limit fungsi berikut:
a. lim௫՜ ∞
b. lim௫՜ ଵ
௫యା௫ାଵ
ଷ௫యశర
ହ௫ఴିଵଵ௫ళା଺௫లା௫మି௫
ሺ௫ିଵሻయ
4. Luas dari selembar poster sama dengan 2m2. Bidang gambar pada
ketas poster itu dibatasi oleh tepi atas dan tepi bawah masingmasing selebar 21 cm. Tepi kiri dan tpi kanan masing-masing 14
cm seperti diperlihatkan pada gambar berikut:
a. Jika panjang kertas poster sama dengan x cm dan L adalah
luas bidang gambar, nyatakan luas L sebagai fungsi dari x
21 cm
14 cm
14 cm
21 cm
b. Tentukan ukuran (panjang dan lebar) kertas poster itu supaya
luas bidang gambar maksimum
5. Sebuah kerucut dengan jari-jari alas 8 cm dan tinggi 20 cm. Di
dalam kerucut dibuat tabung dengan alas tabung terletak pada
alas keucut dan pusat berhimpit dengan pusat alas kerucut.
a. Nyatakan tinggi tabung (t) dalam alas tabung r!
b. Nyatakan volume tabung V dalam r!
c. Tentukan nilai r agar volume tabung maksimum!
d. Tentukan volume tabung maksimum!
Lampiran 4
KISI-KISI UJI COBA INSTRUMEN TES
Standar Kompetensi: Turunan
-
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi
dalam pemecahan masalah
No
1
Klasifikasi Koneksi
Koneksi antara topik
Indikator
a) Menentukan turunan
matematika yang satu dengan
dengan rumus umum
topik matematika yang lain.
turunan (aturan limit).
No. Soal
1, 2, 3, 4,
5, 8
b) Menentukan gradien suatu
garis dengan menggunakan
konsep turunan.
c) Menentukan persamaan
garis singgung kurva
dengan konsep turunan.
d) Menentukan titik potong
kedua garis singgung
dengan konsep turunan.
e) Menentukan nilai suatu
bilangan dengan konsep
turunan.
f) Menentukan luas persegi
panjang dengan konsep
turunan
2
Koneksi matematika dengan
Menyelesaikan soal yang
9, 10
kehidupan sehari-hari.
berhubungan dengan
kehidupan sehari-hari.
3
Koneksi antara topik
Menentukan keuntungan
matematika dengan bidang
maksimum dengan
ilmu lain.
menggunakan konsep turunan
fungsi.
6, 7
Lampiran 5
UJI COBA INSTRUMEN TES
1
2
Dengan menggunakan rumus ݂′ (‫ = )ݔ‬lim௛՜ ଴
fungsi ݂(‫ )ݔ‬ൌ Ͷ‫ݔ‬ଶ − 1!
௙(௫ା௛)ି௙(௫)
௛
, tentukan ݂′ (2) dari
Tentukan persamaan garis singgung kurva ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଶ െ ʹ ‫ ݔ‬െ ͵
yang
memiliki gradien m= 4!
3
4
Tentukan persamaan garis singgung kurva ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଶ െ ʹ ‫ ݔ‬൅ Ͷ di titik A
yang sejajar dengan garis Ͷ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬ൌ ͸!
Selisih dua bilangan adalah 10. Pada saat hasil kali kuadrat bilangan pertama
dengan bilangan kedua maksimum. Berapakah jumlah kedua bilangan
tersebut?
5
Dari sehelai karton akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan alas bujur
sangkar. Jika jumlah luas bidang alas dan semua bidang sisi kotak ditentukan
sebesar 432 cm2. Berapakah volume kotak terbesar yang mungkin?
6
Suatu perusahaan setiap minggunya memperoleh penerimaan sebesar 800 +
1000n – 20n2 (dalam ratus rupiah) dengan n menyatakan banyaknya
karyawan. Perusahaan tersebut mengeluarkan biaya setiap minggunya sebesar
Rp 76.000,00 untuk setiap karyawan. Berapakah keuntungan yang diperoleh
setiap minggunya?
7
PT. Kreasi Utama memproduksi pemanggang roti dengan biaya produksi per
hari sebesar 250 +1,2n2 (dalam ratus rupiah) dan menyatakan banyaknya
pemanggang roti yang dihasilkan setiap hari. Harga jual pemanggang roti
tersebut adalah Rp 6.000,00 per unit. Tentukan banyak pemanggang roti yang
dihasilkan per hari agar diperoleh keuntungan maksimum!
8
Keliling sebuah persegi panjang adalah 1.800 cm. Hitunglah luas maksimum
dari persegi panjang?
9
Andika akan membuat sebuah persegi panjang dari sepotong kawat sepanjang
16 meter. Agar diperoleh luas maksimum, tentukan panjang sisi-sisi persegi
panjang tersebut!
10 Dua kandang ayam berukuran sama diletakkan berdampingan. Jika setiap
kandang ayam mempunyai luas 12 m2. Tentukan ukuran masing-masing
kandang agar pada saat pembuatan pagar yang mengelilinginya adalah
minimum!
Lampiran 6
KISI-KISI INSTRUMEN TES
Standar Kompetensi: Turunan
-
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi
dalam pemecahan masalah
No
1
Klasifikasi Koneksi
Koneksi antara topik
Indikator
g) Menentukan turunan
matematika yang satu dengan
dengan rumus umum
topik matematika yang lain.
turunan (aturan limit).
No. Soal
1, 2, 3, 4
h) Menentukan gradien suatu
garis dengan menggunakan
konsep turunan.
i) Menentukan persamaan
garis singgung kurva
dengan konsep turunan.
j) Menentukan titik potong
kedua garis singgung
dengan konsep turunan.
k) Menentukan nilai suatu
bilangan dengan konsep
turunan.
2
Koneksi matematika dengan
Menyelesaikan soal yang
kehidupan sehari-hari.
berhubungan dengan
6, 7
kehidupan sehari-hari.
3
Koneksi antara topik
Menentukan keuntungan
matematika dengan bidang
maksimum dengan
ilmu lain.
menggunakan konsep turunan
fungsi.
5
Lampiran 7
INSTRUMEN TES
Nama :
Kelas :
1
2
Dengan menggunakan rumus ݂′ (‫ = )ݔ‬lim௛՜ ଴
fungsi ݂(‫ )ݔ‬ൌ Ͷ‫ݔ‬ଶ − 1!
௙(௫ା௛)ି௙(௫)
௛
, tentukan ݂′ (2) dari
Tentukan persamaan garis singgung kurva ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଶ െ ʹ ‫ ݔ‬െ ͵
yang
memiliki gradien m= 4!
3
4
Tentukan persamaan garis singgung kurva ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଶ െ ʹ ‫ ݔ‬൅ Ͷ di titik A
yang sejajar dengan garis Ͷ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬ൌ ͸!
Selisih dua bilangan adalah 10. Pada saat hasil kali kuadrat bilangan pertama
dengan bilangan kedua maksimum. Berapakah jumlah kedua bilangan
tersebut?
5
Suatu perusahaan setiap minggunya memperoleh penerimaan sebesar 800 +
1000n – 20n2 (dalam ratus rupiah) dengan n menyatakan banyaknya
karyawan. Perusahaan tersebut mengeluarkan biaya setiap minggunya sebesar
Rp 76.000,00 untuk setiap karyawan. Berapakah keuntungan yang diperoleh
setiap minggunya?
6
Andika akan membuat sebuah persegi panjang dari sepotong kawat sepanjang
16 meter. Agar diperoleh luas maksimum, tentukan panjang sisi-sisi persegi
panjang tersebut!
7
Dua kandang ayam berukuran sama diletakkan berdampingan. Jika setiap
kandang ayam mempunyai luas 12 m2. Tentukan ukuran masing-masing
kandang agar pada saat pembuatan pagar yang mengelilinginya adalah
minimum!
~ Selamat Mengerjakan~
137
Lampiran 8
Penyelesaian Instrumen Tes
1
Dengan menggunakan rumus ݂′ (‫ = )ݔ‬lim௛՜ ଴
fungsi ݂(‫ )ݔ‬ൌ Ͷ‫ݔ‬ଶ − 1!
௙(௫ା௛)ି௙(௫)
௛
, tentukan ݂′ (2) dari
Penyelesaian:
Diket: ݂(‫ )ݔ‬ൌ Ͷ‫ݔ‬ଶ − 1
݂(‫ ݔ‬൅ ݄) െ ݂(‫)ݔ‬
௛՜ ଴
ℎ
݂′ (‫ = )ݔ‬lim
Ditanya: ݂′ (2) = ⋯ ?
Jawab:
′ (‫)ݔ‬
݂
݂(‫ ݔ‬൅ ݄) െ ݂(‫)ݔ‬
{4(‫ ݔ‬൅ ݄)ଶ െ ͳሽെ ሺͶ‫ݔ‬ଶ − 1)
= lim
= lim
௛՜ ଴
௛՜ ଴
ℎ
ℎ
ሼͶ‫ݔ‬ଶ ൅ ͺ‫ ݄ݔ‬൅ Ͷ݄ଶ െ ͳሽെ ሺͶ‫ݔ‬ଶ − 1)
ͺ‫ ݄ݔ‬൅ Ͷ݄ଶ
= lim
௛՜ ଴
௛՜ ଴
ℎ
ℎ
= lim
݄ሺͺ‫ ݔ‬൅ Ͷ݄ሻ
= lim ͺ‫ ݔ‬൅ Ͷ݄ ൌ ͺ‫ݔ‬
௛՜ ଴
௛՜ ଴
ℎ
= lim
݂′ (2) = 8 (2) = 16
Jadi, ݂′ (2) = 16
2. Tentukan persamaan garis singgung kurva ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଶ െ ʹ ‫ ݔ‬െ ͵
memiliki gradien m= 4!
Penyelesaian:
Diket:݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଶ െ ʹ ‫ ݔ‬െ ͵
m= 4
Ditanya: persamaan garis singgung kurva?
Jawab:
݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଶ െ ʹ ‫ ݔ‬െ ͵
݂′ (‫ )ݔ‬ൌ ʹ ‫ ݔ‬െ ʹ , karena ݂′ (‫ )ݔ‬ൌ ݉ , maka
4
6
= ʹ ‫ݔ‬െ ʹ
=ʹ ‫ݔ‬
yang
‫ݔ‬
=3
‫ )ݔ(݂݊ܽܽ ݉ܽݏݎ݁݌݁݇ݔ݅ݏݑݐ݅ݐݏܾݑݏ‬ൌ ‫ݔ‬ଶ െ ʹ ‫ ݔ‬െ ͵
݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଶ െ ʹ ‫ ݔ‬െ ͵ ൌ ͵
ଶ
− 2(3) െ ͵ ൌ Ͳ ฻ ‫ ݕ‬ൌ Ͳ
Persamaan garis singgung tersebut melalui
138 titik (3,0) sehingga
‫ ݕ‬െ ‫ݕ‬ଵ ൌ ݂′ (‫)ݔ‬ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݔ‬ଵ)
‫ ݕ‬െ Ͳൌ Ͷ(‫ ݔ‬െ ͵ )
‫ ݕ‬ൌ Ͷ‫ ݔ‬െ ͳʹ
Jadi, persamaan garis singgung kurva adalah ‫ ݕ‬ൌ Ͷ‫ ݔ‬െ ͳʹ
3. Selisih dua bilangan adalah 10. Pada saat hasil kali kuadrat bilangan pertama
dengan bilangan kedua maksimum. Berapakah jumlah kedua bilangan
tersebut?
Penyelesaian:
Diket: Selisih dua bilangan adalah 10
hasil kali kuadrat bilangan pertama dengan bilangan kedua maksimum
Ditanya: jumlah kedua bilangan tersebut?
Jawab:
Misal; Selisih dua bilangan adalah 10฻ ܽ െ ܾ ൌ ͳͲ
hasil kali kuadrat bilangan pertama dengan bilangan kedua ฻ ܽଶǤܾ ൐ Ͳ
ܽ െ ܾ ൌ ͳͲ ฻ ܽ ൌ ܾ ൅ ͳͲ
Substitusi ܽ ൌ ܾ ൅ ͳͲ ke ܽଶǤܾ ൐ Ͳ
ሺܾ ൅ ͳͲሻଶǤܾ ൌ ܾଷ ൅ ʹ Ͳܾଶ ൅ ͳͲͲܾଶ > 0
݀݅‫ܾ ͵݆݅݀ܽ݊݁ ݉݊ܽ݇݊ݑݎݑݐ‬ଶ ൅ ʹ Ͳܾଶ + 100 > 0
(͵ ܾ ൅ ͳͲ)ሺܾ ൅ ͳͲሻ
4. Tentukan persamaan garis singgung kurva ݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଶ െ ʹ ‫ ݔ‬൅ Ͷ di titik A
yang sejajar dengan garis Ͷ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬ൌ ͸!
Penyelesaian:
Diket:݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଶ െ ʹ ‫ ݔ‬൅ Ͷ
Sejajar garis Ͷ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬ൌ ͸
Ditanya: persamaan garis singgung kurva?
Jawab:
Ͷ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬ൌ ͸ ฻ ‫ ݕ‬ൌ Ͷ‫ ݔ‬െ ͸ǡ‫ ݄݈݉݁݋ݎ݁݌݄݅݀ܽ݃݃݊݅݁ݏ‬ൌ Ͷ
Karena kedua garis sejajar, maka m1 = m2 = 4
݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଶ െ ʹ ‫ ݔ‬൅ Ͷ
݂′ (‫ )ݔ‬ൌ ʹ ‫ ݔ‬െ ʹ karena ݂′ (‫ )ݔ‬ൌ ݉ , maka
4
6
‫ݔ‬
= ʹ ‫ݔ‬െ ʹ
=ʹ ‫ݔ‬
=3
‫ )ݔ(݂݊ܽܽ ݉ܽݏݎ݁݌݁݇ݔ݅ݏݑݐ݅ݐݏܾݑݏ‬ൌ ‫ݔ‬ଶ െ ʹ ‫ ݔ‬൅ Ͷ
݂(‫ )ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ଶ െ ʹ ‫ ݔ‬൅ Ͷ ൌ ͵
ଶ
− 2(3) ൅ Ͷ ൌ ͹ ฻ ‫ ݕ‬ൌ ͹
Persamaan garis singgung tersebut melalui titik (3,7) sehingga
‫ ݕ‬െ ‫ݕ‬ଵ ൌ ݂′ (‫)ݔ‬ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݔ‬ଵ)
‫ ݕ‬െ ͹ൌ Ͷ(‫ ݔ‬െ ͵ )
‫ ݕ‬ൌ Ͷ‫ ݔ‬െ ͳʹ ൅ ͹ ൌ Ͷ‫ ݔ‬െ ͷ
Jadi, persamaan garis singgung kurva adalah ‫ ݕ‬ൌ Ͷ‫ ݔ‬െ ͷ
5. Suatu perusahaan setiap minggunya memperoleh penerimaan sebesar 800 +
1000n – 20n2 (dalam ratus rupiah) dengan n menyatakan banyaknya
karyawan. Perusahaan tersebut mengeluarkan biaya setiap minggunya sebesar
Rp 76.000,00 untuk setiap karyawan. Berapakah keuntungan yang diperoleh
setiap minggunya?
Penyelesaian:
Diket: 800 + 1000n – 20n2 (dalam ratus rupiah)
biaya setiap minggunya sebesar Rp 76.000,00 untuk setiap karyawan
Ditanya: keuntungan yang diperoleh setiap minggunya
Jawab:
f (n) = 800 + 1000n – 20n2
݂’ሺ݊ሻൌ ͳͲͲͲȂͶͲ݊൐ Ͳ
ͳͲͲͲ൐ ͶͲ݊
݊൐ ʹ ͷ
jumlah penerimaan setiap bulan (dalam ratus rupiah);
800 + 1000(25) – 40(25) = Rp 2.480.000,00
Jumlah pengeluaran setiap minggunya;
25 x Rp 76.000,00 = Rp 1.900.000
Maka keuntungan perusahaan setiap minggunya adalah
Rp 2.480.000,00 - Rp 1.900.000 = Rp 580.000,00
6. Andika akan membuat sebuah persegi panjang dari sepotong kawat sepanjang
16 meter. Agar diperoleh luas maksimum, tentukan panjang sisi-sisi persegi
panjang tersebut!
Penyelesaian:
Diket: sepotong kawat sepanjang 16 meter
Ditanya: panjang sisi-sisi persegi panjang tersebut, agar diperoleh luas
maksimum?
Jawab:
Keliling persegi panjang; 2 × (‫ ݌‬൅ ݈) = 16
(‫ ݌‬൅ ݈) ൌ ͺ ฻ ‫ ݌‬ൌ ͺ െ ݈ǥ ሺͳሻ
Luas persegi panjang = ‫ ݌‬ൈ ݈…(2)
Substitusi (1) ke (2)
(ͺ െ ݈) ൈ ݈൐ Ͳ
ͺ݈െ ݈ଶ > 0
Diturunkan menjadi ͺ െ ʹ ݈ൌ Ͳ
ʹ ݈ൌ Ͷ
substitusi (3)݇݁(1)
݈ൌ ʹ ǥ ሺ͵ ሻ
‫ ݌‬ൌ ͺ െ ݈ൌ ͺ െ ʹ ൌ ͸
Sehingga diperoleh panjang sisi-sisi persegi panjang tersebut, agar diperoleh
luas maksimum adalah panjang = 6 meter dan lebar = 2 meter.
7. Dua
kandang
ayam
berbentuk
kubus
berukuran
sama
diletakkan
2
berdampingan. Jika setiap kandang ayam mempunyai luas 96 m . Tentukan
ukuran masing-masing kandang agar pada saat pembuatan pagar yang
mengelilinginya adalah minimum!
Penyelesaian:
Diketahui : Luas kandang masing-masing 96 cm2
Ditanya
: ukuran masing-masing kandang agar pada saat pembuatan pagar
yang mengelilinginya adalah minimum…?
Jawab:
Luas permukaan kubus = 6s2
96
= 6s2
96
= 12 x s
S
= 96 : 12
S
= 8 cm
Jadi, ukuran masing-masing kandang agar pada saat pembuatan pagar yang
mengelilinginya minimum adalah 8 cm.
Lampiran 9
Perhitungan Uji validitas
Nama
Nomor Soal
y
y2
Subjek
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
S-05
10
10
6
6
4
10
8
10
8
10
82
6724
S-01
10
10
10
6
8
4
6
6
10
8
78
6084
S-02
8
10
10
6
5
8
5
5
10
10
77
5929
S-04
10
6
10
4
6
4
8
8
8
10
74
5476
S-03
10
10
8
8
10
0
4
4
8
10
72
5184
S-22
8
8
8
4
6
8
6
6
6
8
68
4624
S-11
10
8
6
4
4
5
8
8
5
8
66
4356
S-06
10
10
4
4
4
10
5
5
5
8
65
4225
S-08
8
8
2
5
4
10
6
6
5
6
60
3600
S-12
8
10
6
2
8
8
0
4
6
8
60
3600
S-09
6
8
10
2
4
10
4
4
5
6
59
3481
S-29
6
10
6
0
4
4
8
8
6
6
58
3364
S-17
6
10
8
8
0
8
0
5
5
8
58
3364
S-15
10
8
10
2
4
0
6
6
4
6
56
3136
S-23
10
4
8
4
2
6
6
2
8
5
55
3025
S-19
6
8
6
0
4
6
4
6
6
8
54
2916
S-20
8
10
10
0
4
6
4
0
4
8
54
2916
S-26
6
10
4
2
6
2
4
4
4
10
52
2704
S-24
6
6
4
0
2
8
6
2
8
10
52
2704
S-30
8
8
10
2
2
5
5
5
2
5
52
2704
S-18
10
10
5
0
0
4
0
4
6
10
49
2401
S-21
6
6
8
0
0
8
4
4
8
4
48
2304
S-14
8
6
6
2
6
0
2
8
4
6
48
2304
S-16
6
5
8
4
2
0
5
5
6
6
47
2209
S-28
6
10
4
0
2
5
0
5
6
8
46
2116
S-27
8
8
2
2
4
5
2
2
2
10
45
2025
S-7
6
5
8
4
0
0
5
5
6
6
45
2025
S-18
10
10
6
0
0
2
0
4
2
10
44
1936
S-14
8
6
6
2
6
0
2
4
4
6
44
1936
S-29
8
8
2
2
0
5
2
2
5
10
44
1936
S-32
8
6
4
4
5
4
0
4
2
6
43
1849
S-31
10
6
4
4
2
0
2
2
2
10
42
1764
S-38
8
6
2
2
2
4
0
4
4
10
42
1764
S-37
6
6
4
2
2
2
4
2
4
8
40
1600
S-35
6
8
2
2
0
4
0
6
4
8
40
1600
S-33
8
4
6
2
0
0
2
0
5
6
33
1089
S-34
6
6
6
0
0
2
4
0
2
4
30
900
S-36
6
4
2
0
2
2
2
0
2
2
22
484
112358
∑Xi
298
292
231
101
124
169
139
165
197
288
2004
2136
2082
1429
349
545
965
624
770
935
2082
93137
6E+05
6E+05
5E+05
2E+05
3E+05
346351
3E+05
337589
402575
589109
4098977
r11
0.47
0.57
0.52
0.61
0.61
0.50
0.58
0.65
0.70
0.42
rtabel
0,325
V
V
V
V
V
V
V
V
V
∑Xi
2
∑Xi Yi
Ket
V
Lampiran 10
Penghitungan Uji Reliabilitas
Nama
Nomor Soal
y
y2
Subjek
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
S-05
10
10
6
6
4
10
8
10
8
10
82
6724
S-01
10
10
10
6
8
4
6
6
10
8
78
6084
S-02
8
10
10
6
5
8
5
5
10
10
77
5929
S-04
10
6
10
4
6
4
8
8
8
10
74
5476
S-03
10
10
8
8
10
0
4
4
8
10
72
5184
S-22
8
8
8
4
6
8
6
6
6
8
68
4624
S-11
10
8
6
4
4
5
8
8
5
8
66
4356
S-06
10
10
4
4
4
10
5
5
5
8
65
4225
S-08
8
8
2
5
4
10
6
6
5
6
60
3600
S-12
8
10
6
2
8
8
0
4
6
8
60
3600
S-09
6
8
10
2
4
10
4
4
5
6
59
3481
S-29
6
10
6
0
4
4
8
8
6
6
58
3364
S-17
6
10
8
8
0
8
0
5
5
8
58
3364
S-15
10
8
10
2
4
0
6
6
4
6
56
3136
S-23
10
4
8
4
2
6
6
2
8
5
55
3025
S-19
6
8
6
0
4
6
4
6
6
8
54
2916
S-20
8
10
10
0
4
6
4
0
4
8
54
2916
S-26
6
10
4
2
6
2
4
4
4
10
52
2704
S-24
6
6
4
0
2
8
6
2
8
10
52
2704
S-30
8
8
10
2
2
5
5
5
2
5
52
2704
S-18
10
10
5
0
0
4
0
4
6
10
49
2401
S-21
6
6
8
0
0
8
4
4
8
4
48
2304
S-14
8
6
6
2
6
0
2
8
4
6
48
2304
S-16
6
5
8
4
2
0
5
5
6
6
47
2209
S-28
6
10
4
0
2
5
0
5
6
8
46
2116
S-27
8
8
2
2
4
5
2
2
2
10
45
2025
6
5
8
4
0
0
5
5
6
6
45
2025
S-18
10
10
6
0
0
2
0
4
2
10
44
1936
S-14
8
6
6
2
6
0
2
4
4
6
44
1936
S-29
8
8
2
2
0
5
2
2
5
10
44
1936
S-32
8
6
4
4
5
4
0
4
2
6
43
1849
S-31
10
6
4
4
2
0
2
2
2
10
42
1764
S-38
8
6
2
2
2
4
0
4
4
10
42
1764
S-37
6
6
4
2
2
2
4
2
4
8
40
1600
S-7
S-35
6
8
2
2
0
4
0
6
4
8
40
1600
S-33
8
4
6
2
0
0
2
0
5
6
33
1089
S-34
6
6
6
0
0
2
4
0
2
4
30
900
S-36
6
4
2
0
2
2
2
0
2
2
22
484
2004
112358
∑Xi
∑Xi
2
∑(Xi^2)
298
292
231
101
124
169
139
165
197
288
2136
2082
1429
349
545
965
624
770
935
2082
2072
2062
1333
333
513
953
564
706
875
1986
5,65
4,78
4,40
282,26
Var t
Var i
∑var i
∑soal
tingkat
reliabilitas test
2,61
4,06
6,97
4,96
6,56
10,46
6,44
76,50
10
0,81
Lampiran 12
Penghitungan Daya Beda
Nama
Nomor Soal
skor
Subjek
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
S-05
10
10
6
6
4
10
8
10
8
10
82
S-01
10
10
10
6
8
4
6
6
10
8
78
S-02
8
10
10
6
5
8
5
5
10
10
77
S-04
10
6
10
4
6
4
8
8
8
10
74
S-03
10
10
8
8
10
0
4
4
8
10
72
S-22
8
8
8
4
6
8
6
6
6
8
68
S-11
10
8
6
4
4
5
8
8
5
8
66
S-06
10
10
4
4
4
10
5
5
5
8
65
S-08
8
8
2
5
4
10
6
6
5
6
60
S-12
8
10
6
2
8
8
0
4
6
8
60
S-09
6
8
10
2
4
10
4
4
5
6
59
S-29
6
10
6
0
4
4
8
8
6
6
58
S-17
6
10
8
8
0
8
0
5
5
8
58
S-15
10
8
10
2
4
0
6
6
4
6
56
S-23
10
4
8
4
2
6
6
2
8
5
55
S-19
6
8
6
0
4
6
4
6
6
8
54
S-20
8
10
10
0
4
6
4
0
4
8
54
S-26
6
10
4
2
6
2
4
4
4
10
52
S-24
6
6
4
0
2
8
6
2
8
10
BA
156
164
136
67
89
117
98
99
121
153
52
120
0
JA
190
S-30
8
8
10
2
2
5
5
5
2
5
52
S-18
10
10
5
0
0
4
0
4
6
10
49
S-21
6
6
8
0
0
8
4
4
8
4
48
S-14
8
6
6
2
6
0
2
8
4
6
48
S-16
6
5
8
4
2
0
5
5
6
6
47
S-28
6
10
4
0
2
5
0
5
6
8
46
S-27
8
8
2
2
4
5
2
2
2
10
45
S-7
6
5
8
4
0
0
5
5
6
6
45
S-18
10
10
6
0
0
2
0
4
2
10
44
S-14
8
6
6
2
6
0
2
4
4
6
44
S-29
8
8
2
2
0
5
2
2
5
10
44
S-32
8
6
4
4
5
4
0
4
2
6
43
S-31
10
6
4
4
2
0
2
2
2
10
42
S-38
8
6
2
2
2
4
0
4
4
10
42
S-37
6
6
4
2
2
2
4
2
4
8
40
S-35
6
8
2
2
0
4
0
6
4
8
40
S-33
8
4
6
2
0
0
2
0
5
6
33
S-34
6
6
6
0
0
2
4
0
2
4
30
S-36
6
4
2
0
2
2
2
0
2
2
22
BA
142
128
95
34
35
52
41
66
76
135
804
0.24
jele
k
0.09
JA
DB
ket
190
0.07
jele
k
0.19
jele
k
0.22
0.17
0.28
0.34
0.30
0.17
jelek
jelek
jelek
baik
baik
jelek
jelek
Lampiran 11
Penghitungan Taraf Kesukaran
Nama
Nomor Soal
y
Subjek
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
S-05
10
10
6
6
4
10
8
10
8
10
82
S-01
10
10
10
6
8
4
6
6
10
8
78
S-02
8
10
10
6
5
8
5
5
10
10
77
6
10
4
6
4
8
8
8
10
74
S-04
S-03
10
10
8
8
10
0
4
4
8
10
72
S-22
8
8
8
4
6
8
6
6
6
8
68
S-11
10
8
6
4
4
5
8
8
5
8
66
S-06
10
10
4
4
4
10
5
5
5
8
65
S-08
8
8
2
5
4
10
6
6
5
6
60
S-12
8
10
6
2
8
8
0
4
6
8
60
S-09
6
8
10
2
4
10
4
4
5
6
59
S-29
6
10
6
0
4
4
8
8
6
6
58
S-17
6
10
8
8
0
8
0
5
5
8
58
S-15
10
8
10
2
4
0
6
6
4
6
56
S-23
10
4
8
4
2
6
6
2
8
5
55
S-19
6
8
6
0
4
6
4
6
6
8
54
S-20
8
10
10
0
4
6
4
0
4
8
54
S-26
6
10
4
2
6
2
4
4
4
10
52
S-24
6
6
4
0
2
8
6
2
8
10
52
S-30
8
8
10
2
2
5
5
5
2
5
52
S-18
10
10
5
0
0
4
0
4
6
10
49
S-21
6
6
8
0
0
8
4
4
8
4
48
S-14
8
6
6
2
6
0
2
8
4
6
48
S-16
6
5
8
4
2
0
5
5
6
6
47
S-28
6
10
4
0
2
5
0
5
6
8
46
S-27
8
8
2
2
4
5
2
2
2
10
45
S-7
6
5
8
4
0
0
5
5
6
6
45
S-18
10
10
6
0
0
2
0
4
2
10
44
S-14
8
6
6
2
6
0
2
4
4
6
44
S-29
8
8
2
2
0
5
2
2
5
10
44
S-32
8
6
4
4
5
4
0
4
2
6
43
S-31
10
6
4
4
2
0
2
2
2
10
42
S-38
8
6
2
2
2
4
0
4
4
10
42
S-37
6
6
4
2
2
2
4
2
4
8
40
S-35
6
8
2
2
0
4
0
6
4
8
40
S-33
8
4
6
2
0
0
2
0
5
6
33
S-34
6
6
6
0
0
2
4
0
2
4
30
S-36
6
4
2
0
2
2
2
0
2
2
22
X
288
292
231
101
124
169
139
165
197
288
2004
Xmaks
I. K.
ket
380
0.76
0.77
0.61
0.27
0.33
0.445
0.37
0.43
0.52
0.76
mudah
mudah
sedang
sukar
sedang
sedang
sedang
sedang
sedang
mudah
Lampiran 13
Nilai Kemampuan Koneksi Matematika
Kelompok Eksperimen dan Kelompok Kontrol
A. Kelompok Eksperimen
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Nama
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
S11
S12
S13
S14
S15
S16
S17
S18
S19
S20
S21
S22
S23
S24
S25
S26
S27
S28
S29
S30
B. Kelompok Kontrol
Nilai
64
74
80
78
64
88
60
84
48
64
64
98
50
84
54
84
78
54
100
70
94
55
68
58
84
74
66
80
65
100
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
147
Nama
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
S11
S12
S13
S14
S15
S16
S17
S18
S19
S20
S21
S22
S23
S24
S25
S26
S27
S28
S29
S30
Nilai
44
35
70
35
48
73
45
60
55
58
44
80
48
50
60
40
80
55
58
83
53
40
58
48
53
75
55
58
45
75
Lampiran 14
Perhitungan Daftar Distribusi Frekuensi, Mean,
Median, Modus, Varians, Simpangan Baku, Kemiringan
dan Kurtosis Kelompok Eksperimen
A. Distribusi Frekuensi
48
50
54
54
55
58
60
64
64
65
66
68
70
74
74
78
78
84
84
84
84
88
94
98
100
64
64
80
80
100
1) Banyak Data (n)
= 30
2) Rentang (R)
= Xmaks – Xmin
= 100 – 48
= 52
Keterangan:
Xmaks = nilai tertinggi
Xmin = nilai terendah
3) Banyaknya Kelas (K)
= 1 + 3,3 log 30
= 5,87 dbulatkan menjadi 6
4) Panjang Kelas Interval (P)
menjadi 9
=
=
dibulatkan
Tabel
Distribusi Frekuensi
No
1
2
3
4
5
6
Interval
45 - 54
55 - 64
65 - 74
75 - 84
85 - 94
95 - 104
Bb
Ba
frekuensi
fi fk(%)
4 13.33
7 23.33
6
20
8 26.67
2 6.667
3
10
30
100
44,5 54,5
54,5 64,5
64,5 74,5
74,5 84,5
84,5 94,5
94,5 104,5
∑
Mean
Median
Modus
Varians
Simpangan baku
B. Perhitungan Mean
C. Perhitungan Median
Bb
= 64.5
P
=9
n
= 30
F
= 11
fme
=6
49.5
59.5
69.5
79.5
89.5
99.5
2450.25
3540.25
4830.25
6320.25
8010.25
9900.25
198
416.5
417
636
179
298.5
2145
9801
24781.8
28981.5
50562
16020.5
29700.8
159848
71.5
71.2
77
223.45
14.95
Keterangan : Bb = Batas bawah kelas median
P
= Panjang Kelas
n
= Jumlah sampel
F
= frekuensi sebelum median
fme
= frekuensi kelas median
Me = median
D. Perhitungan Modus
Bb = 74,5
b1 = 2
P =6
b2 = 6
Keterangan : Bb = Batas bawah kelas
P = Panjang Kelas
b1 = frekuensi kelas sebelum modus
b2 = frekuensi kelas setelah modus
E. Perhitungan Varians
Perhitungan Koefesien (α3) dan Kurtosis (α4)
No
Nilai
fi
1 45 - 54
49.5
4
-22
234256
937024
2 55 - 64
59.5
7
-12
20736
145152
3 65 - 74
69.5
6
-2
16
96
4 75 - 84
79.5
8
8
4096
32768
5 85 - 94
89.5
2
18
104976
209952
6 95 - 104
99.5
3
28
614656
1843968
∑
30
α3
α4
3168960
-0.368
0.368
2.115
=
=
S
= 14,95
α3
=
Karena nilai α3 < 0 (α3 =
) maka kurva memiliki kemiringan negative dan
dekat dengan nol maka modelnya sedikit kekiri.
Karena nilai α4 < 3 (α4 =
atau bentuk kurva mendatar.
), maka distribusinya adalah distribusi platiku
platikurtis
Lampiran 15
Perhitungan Daftar Distribusi Frekuensi, Mean,
Median, Modus, Varians, Simpangan Baku, Kemiringan
dan Kurtosis Kelompok Kontrol
A. Distribusi Frekuensi
30
35
40
40
44
44
45
45
48
50
53
53
55
55
55
58
58
60
60
70
73
75
75
80
80
48
48
58
58
83
1) Banyak Data (n)
= 30
2) Rentang (R)
= Xmaks – Xmin
= 95 -30
= 65
Keterangan:
Xmaks = nilai tertinggi
Xmin = nilai terendah
3) Banyaknya Kelas (K)
= 1 + 3,3 log 30
= 5,87 dbulatkan menjadi 6
4) Panjang Kelas Interval (P)
menjadi 11
=
=
dibulatkan
Tabel
Distribusi Frekuensi
No
Interval
1
30 - 38
2
39 - 47
3
48 - 56
4
57 - 65
5
66 - 74
6
75 - 83
Jumlah
Mean
Median
Modus
Varians
Simpangan Baku
Bb
29.5
38.5
47.5
56.5
65.5
74.5
Ba
38.5
47.5
56.5
65.5
74.5
83.5
B. Perhitungan Mean
C. Perhitungan Median
Bb
= 47,5
P
=9
n
= 30
F
=8
fme
=9
Frekuensi
fi
fk (%)
2
6
9
6
2
5
30
6.667
20
30
20
6.667
16.67
100
Titik
tengah
34
43
52
61
70
79
1225
2116
3249
4624
7744
9801
68
258
468
366
140
395
1695
2450
12696
29241
27744
15488
49005
136624
56.50
45.5
43
1408.84
37.53
Keterangan : Bb = Batas bawah kelas median
P
= Panjang Kelas
n
= Jumlah sampel
F
= frekuensi sebelum median
fme
= frekuensi kelas median
Me = median
D. Perhitungan Modus
Bb = 47,5
P =9
b1 = 3
b2 = 3
Keterangan :
Bb= Batas bawah kelas
b1= frekuensi kelas sebelum modus
P=Panjang Kelas
b2=frekuensi kelas setelah modus
E. Perhitungan Varians
F. Perhitungan Koefesien (α3) dan Kurtosis (α4)
No
1
2
3
4
5
6
Nilai
30 - 38
39 - 47
48 - 56
57 - 65
66 - 74
75 - 83
∑
fi
34
43
52
61
70
79
2
6
9
6
2
5
30
-24.23
344678.07
689356.1
-16.23
69386.36
416318.1
-7.23
2732.46
24592.10
1.77
9.82
58.89037
10.77
13454.35
26908.71
19.77
152765.99
763829.9
1921064
α3
α4
0.360
0.032
=
=
S
= 37,53
α3
=
Karena nilai α3 < 0 (α3
) maka kurva memiliki kemiringan positif dan
dekat dengan nol maka modelnya sedikit kekanan.
Karena nilai α4 < 3 (α4 =
atau bentuk kurva mendatar.
), maka distribusinya adalah distribusi platikurtis
Lampiran 16
Perhitungn Uji Normalitas Kelas Eksperimen
1. Hipotesis
Ho
: Sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal
Ha
: Sampel berasal dari populasi berdistribusi tidak normal
2. Menentukan
Dari tabel chi-kuadrat
chi
untuk jumlah 30 pada taraf signifikansi (
dan
dk = k – 3
3. Menentukan
Nilai
Batas
kelas
44.5
z
-1.81
Nilai z
batas
kelas
0.4641
45 - 54
54.5
-1.14
-0.47
0.20
0.87
1.54
0.1921
5.763
7 0.27
0.1015
3.045
6 2.87
0.2285
6.855
8 0.19
0.1304
3.912
2 0.93
0.0479
1.437
3 1.70
6.54
71.5
0.4382
95 - 104
104.5
4 0.58
0.3078
85 - 94
94.5
2.736
0.0793
75 - 84
84.5
0.0912
Oi
0.1808
65 - 74
74.5
Ei
0.3729
55 - 64
64.5
Luas z
tabel
2.21
0.4861
Rata-rata
Simpangan baku
14.95
6.54
7.81
4. Kriteria Pengujian
Jika
hitung
Jika
hitung
<
tabel,
maka Ho diterima Ha ditolak
tabel,
maka Ho ditolaj Ha diterima
5. Membandingkan
dengan
Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh
hitung
<
6. Kesimpulan
Karena
hitung
<
tabel
maka Ho diterima Ha ditolak
tabel
Lampiran 17
Perhitungn Uji Normalitas Kelas Kontrol
1. Hipotesis
Ho:: Sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal
Ha:: Sampel berasal dari populasi berdistribusi tidak normal
2. Menentukan
Dari tabel chi-kuadrat
kuadrat untuk jumlah 30 pada taraf signifikansi (
dan
dk = k – 3
3. Menentukan
Nilai
Batas
kelas
29.5
z
-2.81
Nilai z
batas
kelas
-2.21
-1.61
-1.00
-0.40
0.20
0.0401
1.203
6 19.13
0.105
3.15
9 10.86
-0.1859
-5.577
6 -24.03
-0.0761
-2.283
2 -8.04
0.2088
6.264
0.0793
75 - 83
83.5
2 8.35
0.1554
66 - 74
74.5
0.333
0.3413
57 - 65
65.5
0.0111
0.4463
48 - 56
56.5
Oi
0.4864
39 - 47
47.5
Ei
0.4975
30 - 38
38.5
Luas z
tabel
0.80
0.2881
Rata-rata
Simpangan baku
5 0.26
6.53
71.5
37.53
6.53
7.81
4. Kriteria Pengujian
Jika
hitung
Jika
hitung
<
tabel,
maka Ho diterima Ha ditolak
tabel,
maka Ho ditolaj Ha diterima
5. Membandingkan
dengan
Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh
hitung
<
6. Kesimpulan
Karena
hitung
<
tabel
maka Ho diterima Ha ditolak
tabel
Lampiran 18
Perhitungan Uji Homogenitas
Statistik
Kelas Eksperimen
Kelas Kontrol
Varians (s2)
223,45
1408,84
Fhitung
6,303
Ftabel
9,28
Kesimpulan
Kedua kelompok sampel berasal dari populasi yang
sama (Homogen)
Keterangan :
= varians terbesar
= varians terkecil
Lampiran 19
Perhitungan Uji Hipotesis Statistik
Statistik
Kelas Eksperimen
Kelas Kontrol
Rata-rata
71,50
56,50
Varians (s2)
223,45
1408,84
Sgab
5,3
thitung
10,96
ttabel
2,35
Kesimpulan
H0 ditolak dan H1 diterima
Perhitungan :
a. Varians(
b. Simpangan baku/ standar deviasi (Sgab)
c. Uji-t
t=
X1  X 2
1 1
S


n1 n 2

71,50  56,50
 10,96
1 1
5,3

30 30
Keterangan:
rata data kelompok eksperimen
X 1 : rata-rata
kontrol
rata data kelompok
X 2 : rata-rata
S: nilai standar deviasi gabungan
eksperimen
n1 : banyaknya data kelompok
n2 : banyaknya data kelompok kontrol
eksperimen
: varians data kelompok kontrol
: varians data kelompok