MODUL 1

MODUL 1
A. Himpunan
1. Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang berlainan yang memenuhi suatu syarat
keanggotaan tertentu.
2. Penyajian Himpunan
Suatu himpunan dapat disajikan dengan dua cara yaitu :
a. Menuliskan semua anggota himpunan tersebut.
Contoh :
A={1,2,3,4}
B={0,2,4,6}
b. Menuliskan syarat keanggotaan himpunan tersebut.
Contoh :
A = { x : x bilangan bulat dan 0 < x < 5 }
B = { x : x bilangan genap dari nol sampai 6}
Terhadap suatu himpunan, suatu objek dapat menjadi anggota atau bukan anggota
himpunan tersebut.
Kita akan menggunakan notasi berikut :
x  A untuk menyatakan x anggota A
dan
x  A untuk menyatakan x bukan anggota A
pada contoh diatas tampak bahwa
1
 A
9
 A
Cara lain untuk menyajikan suatu himpunan adalah dengan Diagram Venn.
Contoh :
5
A
1
2
5
3
4
3. Himpunan sama
Dua himpunan A dan B dikatakan sama bila semua anggota A menjadi anggota B
dan semua anggota B menjadi anggota A.
Contoh :
A={0,1}
B= { x : x( x– 1 )= 0 }
Maka
A=B
Kardinal suatu himpunan adalah banyaknya anggota himpunan tersebut.
Contoh :
A = { semua bilangan prima yang lebih kecil 20 }
N(A)=8
4. Himpunan ekivalen
Dua himpunan A dan B dikatakan ekivalen bila kardinal kedua himpunan tersebut
sama.
Notasi :
A ~ B <==> n ( A ) = n ( B )
Contoh :
A={a,b, c,d}
B={1,2,3,4}
Maka A ~ B
5 . Himpunan Bagian dan Superset
Dari himpunan A dan B bila semua anggota A adalah anggota B maka dikatakan A
adalah himpunan bagian dari B.
Notasi : A  B
Dalam keadaan ini B dikatakan superset dari A. Notasi : A  B
Notasi :
A  B
Contoh :
A = { (x,y) : x + y < 4 }
B = { (x,y) : x 2 + y 2 = 1 }
Maka B
A
Bila A subset B dan A tidak sama dengan B maka dikatakan A himpunan bagian
sejati ( proper subset ) dari B.
Dari definisi ini dapat kita tunjukkan bahwa
1. A = B <==> A  B dan B  A
Bukti :
Karena A = B maka semua anggota A menjadi anggota B yaitu A  B dan
semua anggota B menjadi anggota A yaitu B  A. Sebaliknya karena A  B
maka semua anggota A adalah anggota B, dan karena B  A maka semua
anggota B menjadi anggota A. Dengan menggabungkan kedua statemen ini dan
mengingat definisi kesamaan dua himpunan maka terbukti A = B.
2. Setiap himpunan menjadi himpunan bagian dari diri sendiri. Ini dapat diturunkan
dari definisi.
6. Himpunan Kosong
Suatu himpunan dengan kardinal nol disebut himpunan kosong.
Notasi :
 atau { }
Contoh :
E = { x :x< x}
P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }
Catatan :
Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari semua himpunan.
Bukti :
Perhatikan statemen berikut :
Untuk setiap x  maka x  A
Adalah implikasi dimana antesedentnya bernilai salah sebab  tidak mempunyai
anggota. Dari sebab itu maka statemen di atas selalu bernilai benar tanpa tergantung
pada A. Jadi terbukti bahwa 0  A untuk setiap A.
7. Komplement
Terhadap suatu himpunan S yang memuat A, dengan komplement A (notasi A`)
dimaksud adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota S yang diluar A.
A` = { x : x  S dan x  A }
Bila S di atas himpunan bukan semesta maka komplemen terhadapnya dikatakan
komplemen relatif.
Contoh :
1. S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
B={1,3,5}
Maka B` = { 2 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9 }
2. S = Himpunan semua bilangan bulat
A = Himpunan semua bilangan genap
Maka A` = Himpunan semua bilangan ganjil
8. Himpunan Saling Lepas (Disjoint)
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (mutually disjoin) bila setiap anggota
A tidak menjadi anggota B dan setiap anggota B tidak menjadi anggota A.
Notasi :
A // B
Contoh :
1. X = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }
Y = {10 , 11 , 23 , 56 , 78 }
Maka X / / Y
A = { (x , y) : x + y > 10 }
B = { (x , y) : 2x – 3y = 1 dan x + 4y = 6 }
Maka A // B
9. Multiset
Himpunan dimana anggota-anggotanya boleh berulang disebut multiset.
Multiplisitas suatu elemen multiset adalah banyaknya kali elemen tersebut muncul
dalam himpunan tersebut.
Contoh :
M = { 0 , 1 , 01 , 1 , 0 , 001 , 010 , 0 , 0 , 111 }
Multiplisitas dari 0 = 4
10. Kuasa Himpunan
Dengan kuasa suatu himpunan A dimaksud adalah himpunan semua himpunan
bagian dari A.
Bila A mempunyai kardinal n maka kardinal kuasa A sama dengan 2 n . Ditulis P(A)
= 2 n(A) = { X  X  A }
Bukti :
Kita susun anggota-anggota A sebagai barisan ( a1 , a2 , …an). Bentuk
himpunan bagian Ai dari A dan juga bentuk barisan-barisan binair Ei = (e1i , e2i
, …..eni ) dengan eji = 1 atau 0. eji = 1 bila aj di ai dan lainnya 0.
Banyaknya Ei yang mungkin adalah 2
n
– 1. Mengingat himpunan kosong
adalah dalam A maka terbukti bahwa banyknya himpunan bagian dari A sama
dengan 2 n .
Notasi :
2 A = { X  X  A } atau P(A)
Contoh :
1. A = { 0 , 1 }
2 A = { { } , {0} , {1} , {0,1} }
2. A =  maka n(A) = 0 sehinnga n (P()) = 2 0 = 1
yaitu P ( A ) = {  }
11. Operasi Himpunan
- Gabungan
Definisi :
Dengan A U B dimaksud adalah himpunan yang memuat anggota yang paling
tidak menjadi anggota salah satu dari A atau B. Atau dapat kita tuliskan sbb:
A U B = {x : x  A atau x  B }
Gambar :
A
B
Contoh :
1. A = { x : x bilangan bulat positif )
B = { y : y bilangan genap positif )
AU B= A
2. X = { 0 , 1 , 2 , 3 }
Y={0,1,4,5}
XU B= {0,1,2,3,4,5}
- Irisan
Definisi
A  B = { x : x  A dan x  B }
Gambar :
Contoh :
1. A = Himpunan bilangan prima
B = Himpunan bilangan genap
A  B={2}
2. C = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 }
D={1,2,3,4,5,6,7,8}
C  D={2,4,6,8}
- Selisih
Definisi
A – B adalah himpunan yang terdiri dari unsur- unsur A yang tidak termuat dalam
B.
Atau
A – B = { x : x  A dan x  B }
Dengan mengingat definisi irisan dua himpunan di atas maka tampak bahwa
A – B = A  B`
Gambar :
Contoh :
1. A = himpunan fungsi continue dan terbatas di [ 0 , 1 ]
B = himpunan fungsi defferentiable di [ 0 , 1 ]
B – A = himpunan fungsi difernsiabel tak terbatas di [ 0 , 1 ]
2. A = { 1 , 2 , 3 , …}
B = { 2 , 4 , 6 , 8 , …}
A – B = { 1 , 3 , 5 , 7 , …}
- Symmetric difference
Definisi
A + B adalah himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota A dan anggota B
yang tidak sekaligus menjadi anggota keduanya.
A + B = ( A U B ) – ( A  B)
Gambar :
Contoh :
1. A = himpunan mahasiswa yang merokok
B = himpunan mahasiswwa pria
A + B = himpunan mahasiswa pria yang tak merokok dan mahasiswa putri yang
merokok
2. C = himpunan segitiga sama kaki
D = himpunan segitiga siku-siku
C + D = himpunan segitiga sama kaki yang tidak siku-siku dan segitiga sikusiku yang tidak sama kaki
- Hasil kali kartesian
Definisi
A X B = { ( a , b ) : a  A dan b  B )
Contoh :
1. A = B = Himpunan semua bilangan real
A X B = Himpunan semua titik di bidang datar
2. C = { 1 , 2 , 3 }
D={a,b}
CXD= {(1,a), (2,a),(3, a),(1,b ),(2,b), (3,b)}
Mudah ditunjukkan bahwa :
a. n (A X B ) = n (A) . n (B)
b. A X  = 
12. Sifat-sifat Operasi
- AU B= BU A
A B=BA
A+B= B+ A
- AU(BUC)=( AUB)UC
A( BC)= (A B) C
A+( B+C)=( A+B)+C
- AU(BC)=( AU B) (A U B)
A( BUC)= (A B)U (A B)
- ( A U B ) ` = A`  B`
(A  B ) ` = A` U B `
13. Prinsip Inklusi dan Ekslusi
Kita akan menulis n ( A ) untuk menyatakan banyaknya anggota himpunan A.
Mudah ditunjukkan bahwa :
n( AU B) = n(A )+ n( B)– n( A B)
Rumus di atas dapat kita perluas untuk gabungan 3 himpunan :
n( AU B UC )= n( A)+ n( B)+ n (C )– n( A B)– n( AC )
– n( B C )+ n (A B C )
dan seterusnya.
Contoh :
Akan ditentukan banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 250 yang dapat dibagi oleh
salah satu dari 2 , 3 dan 5.
Misalkan A himpunan bilangan bulat antara 1 dan 250 yang habis dibagi 2. B adalah
himpunan bilangan bulat antara 1 dan 250 yang habis dibagi 3 dan C adalah
himpunan bilangan bulat antara 1 dan 250 yang habis dibagi 5. Maka :
Gambar :
n ( A ) = [ 250 / 2 ] = 125
n ( B ) = [ 250 / 3 ] = 83
n ( C ) = [ 250 / 5 ] = 50
n ( A  B ) = [ 250 / (2 X 3) ] = 41
n ( A  C ) = [ 250 / (2 X 5) ] = 25
n ( B  C ) = [ 250 / (3 X 5) ] = 16
n ( A  B  C ) = [ 250 / (2 X 3 X 5) ] = 8
Jadi n ( A  B  C ) = 125 + 83 + 50 – 41 – 25 – 16 + 8 = 186
SIFAT LAIN
AU =A
A  = 
AUS=S
AS=A
 (X) A  X  A
B` = S – B
A – B = A  B`
A U A` = S
A+B= (A– B) U( B–A )
A  B dan B  C ==> A  C
A  B dan C  D ==> A  C  B  D
A = B <==> A + B = 
13. Himpunan terhingga dan tak terhingga
- Korrespondensi l - 1
- Definisi
Untuk suatu A maka sucesor A (notasi A) adalah A U {A} sekarang kita
definisikan
0=
1 = { } = 0+
2 = 1+={ {  } ,  }
secara umum n = ( n – 1 ) +
Selanjutnya kita definisikan N sehingga :
1. 0  N
2. ( n – 1 )  N ===> n = ( n – 1 ) +  N
3. N tidak memuat anggota yang lain
Himpunan terhingga :
Adalah himpunan yang berkorespondensi l - 1 dengan suatu N
Himpunan yang tidak demikian tersebut tak hingga.
Sifat :
- Superset dari suatu himpunan tak hingga adalah tak hingga.
- A tak hingga dan B sembarang himpunan maka :
a. P ( A ) tak hingga.
b. A U B tak hingga.
c. B  maka A X B tak hingga.
Himpunan countably infinite :
Adaah himpunan yang berkorespondensi l – 1 dengan N
- Eksistensi himpunan tak hingga yang tak countably infinite.
Pandang himpunan bilangan real antara 0 dengan 1
Himpunan tersebut diatas adalah tak hingga dan tidak countably infinite.
Andaikan countably infinite maka enumerasi berikut akan menghabiskan (
0 , 1 ).
a1 = 0 . al1 al2 al3 .……..
a2 = 0 . a2l a22 a23 ……..
..
…………………………
..
…………………………
sekarang pandang x = 0 .p11 p12 p13 ……..
dengan pij = 10 – ajj jika ajj > 0
jelas x anggota (0,1).
Tampak bahwa x  a1 sebab digit desimal pertama tidak sama. Jugax  a2
sebab digit desimal kedua tidak sama. Dan seterusnya x  pi untuk setiap i.
Ini berarti ada anggota ( 0 , 1 ) yang tidak dalam enumerasi di atas.
Kontradiksi dengan pengandaian bahwa ( 0 , 1 ) countably infinite.
14. Partisi Suatu Himpunan
Diberikan Ai adalah himpunan bagian dari A untuk I = 1 , 2 , …. { Ai} dikatakan
partisi dari A bila Ai  Aj =  i  j dan
Ui Ai = A
Contoh :
A = { 1 , 2 , 3 , ……..}
Pandang Ai = {I } untuk I = 1 , 2 , ……….
Maka
Ai  Aj =  untuk i  j
Dan
Ui Ai = A
Contoh Latihan :
1. Buktikan A + B = ( A U B )  ( A` U B `)
Bukti :
( A U B )  ( A` U B `) = ( A U B )  ( A B )`
= ( A U B ) - ( A B )
=A+B
2. Buktikan bahwa bila X  A = Y  A dan X  A` = Y  A` maka
X = Y.
Bukti
X  A = Y  A dan X  A` = Y  A` maka
(X  A) U (X  A`) = (Y  A) U (Y  A`)
X  (A U A`) = Y  (A U A’)
XS=YS
X=Y