Momentum - FMIPA Personal Blogs

Momentum
28 September 2015
1
Pusat Massa
Pada kuliah-kuliah sebelumnya, benda-benda yang dibahas gerakannya selalu dianggap sebagai partikel titik,
walaupun benda tersebut digambarkan memiliki bentuk, misalnya kubus. Saat membuat diagram benda bebas,
gaya-gaya yang bekerja pada benda kita gambarkan bekerja pada titik pusat massa benda. Titik pusat massa
benda dianggap sebagai titik berkumpulnya massa benda. Kita mendefinisikan koordinat titik pusat massa dari
kumpulan sejumlah partikel sebagai
P
mi~ri
~rpm = P
.
(1)
mi
Dalam koordinat kartesius, vekor posisi pusat massa dapat diurai menjadi komponen-komponennya ~rpm = xpm î +
ypm ĵ + zpm k̂, dengan
P
P
P
mi xi
mi yi
m i zi
xpm = P
, ypm = P
, zpm = P
.
(2)
mi
mi
mi
Sebuah benda pejal merupakan kumpulan dari partikel-partikel kecil bermassa dm yang tersebar secara kontinu
di seluruh bagian benda. Jika posisi masing-masing partikel dinyatakan dengan ~r, maka pusat massa benda pejal
dapat ditulis sebagai
R
R
~rdm
~rdm
=
~rpm = R
,
(3)
M
dm
dengan M massa total benda. Secara umum, posisi (~r) dan massa dm terkait satu sama lain melalui fungsi distribusi massa atau kerapatan. Sebagai contoh, mari meninjau sebuah batang pejal homogen yang kecil sepanjang
L bermassa M dan terletak di sumbu-x koordinat kartesius dengan salah satu ujung ada di titik x = 0 dan ujung
lain di titik x = L. Tinjau suatu potongan kecil sepanjang dx dengan massa dm yang berada pada posisi x.
Karena batang bersifat homogen, maka rapat massa batang ρ = M/L = dm/dx bernilai konstan, sehingga dapat
dituliskan M = ρL dan dm = ρdx. Selanjutnya, pusat massa batang diperoleh sebagai berikut
R
xpm =
xdm
=
M
R
xρdx
=
ρL
RL
0
1 2
xρdx
L
L
= 2
= .
ρL
L
2
(4)
Dari posisi pusat massa benda, kita dapat tentukan kecepatan dan percepatan pusat massa benda sebagai
P
d~rpm
~vi mi
~vpm =
(5)
= P
dt
mi
P
d~vpm
d2~rpm
~ai mi
~apm =
.
(6)
=
= P
2
dt
dt
mi
2
Konservasi Momentum
Tinjau sebuah partikel bermassa m dan bebas bergerak.
Jika total gaya yang bekerja pada partikel tersebut
P~
v
bernilai nol, maka dari hukum Newton diperoleh
F = m~a = 0. Mengingat definisi percepatan, ~a = d~
dt , hukum
P~
v)
d~
p
~ = konstan, dengan
Newton dapat dituliskan sebagai
F = d(m~
dt = dt = 0 atau p
p~ = m~v ,
1
(7)
FI1101 Fisika Dasar IA K-30
Sem. 1 2015-2016
Dosen: Agus Suroso
didefinisikan sebagai momentum benda. Dengan demikian, hukum Newton mengindikasikan bahwa jika gaya
total yang bekerja pada suatu benda bernilai nol, maka momentum benda tersebut konstan. Ini adalah pernyataan
untuk konservasi momentum suatu benda.
Tinjau sebuah sistem yang terdiri
dari sejumlah partikel (jumlahnya berapa? bebas!). Jika massa total dari
P
semua partikel tersebut adalah
mi = M , maka persamaan (6) memberikan
P
X
X
~ai mi
~apm =
⇔ M~apm =
~ai mi ⇔ M~apm =
F~i .
(8)
M
P~
Fi pada ruas kanan dari persamaan terakhir menyatakan jumlah dari gaya-gaya yang dialami oleh setiap
Suku
benda dalam sistem. Terlihat bahwa jumlah gaya yang dialami oleh tiap benda dalam sistem tersebut akan sama
dengan massa total semua
kali percepatan pusat massa sistem. Pada kasus dengan total gaya yang dialami
P benda
oleh sistem adalah nol,
F~i = 0, diperoleh
M~apm = 0 ⇔ ~apm = 0
atau ~vpm = konstan.
(9)
Gaya total yang bernilai nol ini misalnya terjadi pada sistem yang terdiri dari benda-benda yang berinteraksi satu
sama lain melalui gaya internal (misalnya gaya gravitasi, gaya pegas, atau gaya kontak) yang bersifat aksi-reaksi.
Persamaan di atas menunjukkan bahwa jika total gaya yang dialami oleh suatu sistem bernilai nol, maka kecepatan
pusat massa sistem bernilai konstan. Mengingat definisi pusat massa pada persamaan (5), kita dapat menuliskan
X
X
M~vpm =
~vi mi =
p~i = p~total = konstan.
(10)
Kita simpulkan bahwa jika total gaya yang bekerja pada suatu sistem bernilai nol, maka momentum total sistem
tersebut bernilai konstan. Ini adalah pernyataan untuk konservasi momentumPsuatu sistem partikel.
F~ = 0 maka p~ = konstan” di
Gaya dan momentum merupakan besaran vektor, sehingga hubungan ”jika
atas berlaku untuk setiap komponen vektor. Sebagai contoh, pada sistem koordinat xyz berlaku
X
X
X
Fx ⇒ px = konstan,
Fy ⇒ py = konstan,
Fz ⇒ pz = konstan.
(11)
Ketiga komponen tersebut saling bebas, sehingga bisa jadi konservasi momentum suatu benda hanya berlaku
pada satu atau dua arah saja dan tidak pada semua arah. Kita dapat memperbaiki pernyataan untuk konservasi
momentum sebagai jika gaya total yang bekerja pada suatu arah bernilai nol, maka momentum pada arah tersebut
akan konstan.
3
Tumbukan dua benda
Saat suatu benda (A) menumbuk benda lain (B), maka masing-masing benda mengalami gaya kontak (A mengalami gaya kontak akibat B, dan sebaliknya). Karena gaya kontak yang dialami oleh kedua benda merupakan
pasangan aksi-reaksi, maka jumlah gaya yang bekerja pada benda tersebut bernilai nol, sehingga berlaku konservasi momentum. Tentu saja, konservasi momentum ini tidak akan berlaku seandainya pada kedua benda tersebut
bekerja gaya luar seperti gaya gesek. Pada bagian ini, kita membatasi diri untuk hanya membahas kasus dengan
tanpa gaya luar.
Pada kasus tertentu, tumbukan dapat terjadi secara lenting sempurna (sehingga energi kinetik sistem sebelum dan setelah tumbukan tidak berubah) atau tidak lenting sama sekali (yaitu kedua benda yang bertumbukan
kemudian menyatu dan bergerak bersama). Namun umumnya tumbukan berlangsung secara lenting sebagian
(setelah tumbukan, kedua benda bergerak masing-masing dan sebagaian energi kinetik kedua benda berubah bentuk menjadi energi lain). Pada ketiga kasus tersebut, jika total gaya luar yang berkerja pada benda bernilai nol
maka konservasi momentum berlaku.
Untuk kasus tumbukan lenting sempurna, berlaku konservasi momentum dan energi. Dengan memisalkan vi
sebagai kecepatan tiap benda sebelum tumbukan dan vf sebagai kecepatan tiap benda setelah tumbukan, dapat
dituliskan
m1~v1i + m2~v2i = m1~v1f + m2~v2f ,
1
1
1
1
2
2
2
2
m1 v1i
+ m2 v2i
= m1 v1f
+ m2 v2f
.
2
2
2
2
update: 28 September 2015
(12)
(13)
halaman 2
FI1101 Fisika Dasar IA K-30
Sem. 1 2015-2016
Dosen: Agus Suroso
Kedua persamaan di atas dapat ditulis ulang dalam bentuk
m1 (~v1i − ~v1f ) = m2 (−~v2i + ~v2f ) ,
2
2
2
2
m1 v1i
− v1f
= m2 −v2i
+ v2f
.
3.1
(14)
(15)
Gerak satu dimensi
Jika tumbukan berlangsung satu dimensi, maka persamaan (14) tereduksi menjadi
m1 (v1i − v1f ) = m2 (−v2i + v2f ) .
(16)
Hasil bagi persamaan (15) dengan persamaan terakhir menghasilkan
2 − v2
2 + v2
m1 v1i
m
−v
2
2i
1f
2f
=
⇔ v1i + v1f = v2i + v2f ⇔ v1f = −v1i + v2i + v2f
m1 (v1i − v1f )
m2 (−v2i + v2f )
(17)
Dari dua persamaan terakhir diperoleh
2m2
m1 − m2
v1i +
v2i ,
m1 + m2
m1 + m2
2m1
m2 − m1
=
v1i +
v2i .
m1 + m2
m1 + m2
v1f =
(18)
v2f
(19)
Beberapa kasus khusus yang menarik:
1. Jika massa kedua benda sama, m1 = m2 = m, maka v1f = v2i dan v2f = v1i . Artinya, kedua benda bertukar
kecepatan.
2. Jika massa salah satu benda sangat besar, misalnya m1 >> m2 , maka v1f ≈ v1i dan v2f ≈ 2v1i − v2i .
update: 28 September 2015
halaman 3