Turunan fungsi parameter

DERIVATIF/TURUNAN
(LANJUTAN)
Salmah
Jurusan Matematika FMIPA
Universitas Gadjah Mada
ISI PEMBAHASAN
Turunan
Turunan
Turunan
Turunan
Turunan
fungsi
fungsi
fungsi
fungsi
fungsi
logaritma
eksponensial
implisit
parameter
tingkat tinggi
Turunan fungsi logaritma
y  a log x
Diberikan fungsi logaritma
a
dy
y
log( x  x) a log x
1a
x  x
 lim
 lim
 lim
log
x  0
x  0
x  0
dx
x
x
x
x
 x  x 
a
lim
log


x  0
 x 
1
  x 
 log lim
1  
x  0
x 
 
a
Diperoleh rumus
x
 x 
a
lim
log
1  
x  0
x 

 x x  1 x 
 x x  1 x 
 a
1
 log( e) x  1 x.a log e  1

x ln a

y  a log x maka dy  1
dx
x ln a
Turunan fungsi eksponensial
Diberikan fungsi y  a artinya x 
Menggunakan turunan fungsi invers
x
a
log y
dy
1

 y ln a  a x ln a
dx dx dy
Untuk a=e maka fungsi eksponensialnya adalah
Sehingga
dy
 ex
dx
y  ex
Turunan fungsi implisit
Fungsi implisit berbentuk F ( x, y )  0
Langkah-langkah mencari turunan fungsi implisit
Anggap y sebagai fungsi x kemudian gunakan aturan rantai
Contoh: Tentukan turunan y jika diberikan
Penyelesaian:
Sehingga
2x  2 y
dy
x

dx
y
dy
0
dx
x2  y 2  4
Turunan fungsi implisit
Fungsi implisit berbentuk F ( x, y )  0
Contoh: Tentukan turunan y jika diberikan
2 x  3 y 3  ln 5
Turunan fungsi implisit

F ( x, y )  0
2 x  3 y 3  ln 5
Turunan fungsi implisit
Fungsi implisit berbentuk F ( x, y )  0
Contoh: Tentukan turunan y jika diberikan
x 3 y  xy 2  2 y 3  0
Turunan fungsi implisit

F ( x, y )  0
x 3 y  xy 2  2 y 3  0
Turunan fungsi implisit
 Tunjukkan bahwa titik (2,4) berada pada
kurva
 Selanjutnya carilah persamaan garis
singgung kurva pada titik tersebut.
 Karena dipenuhi
 Berarti titik (2,4) berada pada kurva
Turunan fungsi implisit
 Selanjutnya dicari turunan fungsi implisit
tersebut
Turunan fungsi implisit
 Dicari turunannya pada titik (2,4) yang berarti
merupakan gradien garis singgung
 Persamaan garisnya melalui (2,4) dengan
gradien 4/5 adalah
Turunan fungsi parameter
Fungsi parameter berbentuk: y=g(t) dan x=h(t)
dengan t parameter
dy dy dt

dx dt dx
Karena dt
1

dx dx dt
Diperoleh
maka
dy dy / dt

dx dx / dt
Contoh turunan fungsi parameter
Diberikan
x  1 t 2
y  t ln t
Tentukan dy
dx
Penyelesaian:
sehingga
dx
 2t
dt
dan
dy dy / dt ln t  1


dx dx / dt
2t
dy
 ln t  t (1 / t )  ln t  1
dt
Turunan fungsi parameter
 Diberikan persamaan ellips
 Bentuk persamaan fungsi parameter dari
ellips
 Bukti
 Karena
 Selanjutnya
Turunan fungsi parameter
 Akan dicari persamaan garis singgung kurva
pada titik
pada saat
menggunakan persamaan fungsi parameter
 Penyelesaian:
Turunan fungsi parameter
 Jadi diperoleh gradiennya adalah –b/a
 Persamaan garis singgungnya adalah
Turunan tingkat tinggi
Misalkan f(x) mempunyai turunan f’(x). Dan misalkan f’(x)
mempunyai turunan lagi, maka dinamakan sebagai turunan
tingkat dua dari f(x) (ditulis f’’(x)).
Jika fungsi inin mempunyai turunan lagi, dinamakan turunan tingkat
tiga dari f(x)(ditulis f’’’(x))
Dan seterusnya sampai turunan tingkat n dari f(x)
Contoh:
f ( x)  x 4  3 x 3  5 x 2  1
f ' ( x)  4 x 3  9 x 2  10 x
f ' ' ( x)  12 x 2  18x  10
f ' ' ' ( x)  24 x  18
f iv ( x)  24
dan
f n ( x)  0 untuk
n5
Turunan tingkat tinggi

Turunan tingkat tinggi

Turunan tingkat tinggi
 Carilah turunan tingkat dua fungsi implisit
 Pertama dicari dahulu turunan tingkat
pertama
Turunan tingkat tinggi
 Selanjutnya dicari turunan tingkat dua
dengan rumus pembagian dua fungsi
 Selanjutnya substitusikan
Turunan tingkat dua fungsi
parameter
 Berdasarkan
 Diperoleh rumus
Turunan tingkat dua fungsi
parameter
 Carilah turunan tingkat dua
 Turunan tingkat pertamanya adalah
 Diturunkan terhadap t diperoleh
Turunan tingkat dua fungsi
parameter
 Selanjutnya digunakan rumus
 Sehingga