Persamaan Difusi

Persamaan Difusi
Penurunan, Solusi Analitik, Solusi Numerik (Beda Hingga, RBF)
M. Jamhuri
UIN Malang
April 7, 2013
M. Jamhuri
Persamaan Difusi
Penurunan Persamaan Difusi
Misalkan u (x, t) menyatakan konsentrasi dari zat pada posisi x dan pada waktu t.
Pada selang [x0 , x1 ] , massa zat
ˆ x1
u (x, t) dx
M=
x0
dan perubahan massa
ˆ x1
dM
ut (x, t) dx
(1)
=
dt
x0
Massa pada selang tersebut akan berubah bila ada zat yang masuk atau keluar
selang tersebut.
Hukum Fick mengatakan rata-rata penyebaran sebanding dengan gradien
konsentrasi
dM
= zat masuk − zat keluar
dt
= kux (x1 , t) − kux (x0 , t)
(2)
dimana k adalah konstanta pembanding.
dengan menyamakan dM
pada persamaan (1) dan (2) diperoleh
dt
ˆ x1
ut (x, t) dx = kux (x1 , t) − kux (x0 , t)
x0
atau
ˆ
x1
ut (x, t) dx = k
x0
M. Jamhuri
ˆ
x1
uxx (x, t) dx
x0
Persamaan Difusi
(3)
Jika integral kedua ruas dari (3) dihilangkan diperoleh
ut = kuxx
yang biasa disebut sebagai persamaan difusi atau persamaan panas.
M. Jamhuri
Persamaan Difusi
(4)
Solusi Analitik
Sebelum menentukan solusi persamaan difusi (4) pada daerah −∞ < x < ∞ dan
t > 0, kita tinjau lebih dahulu solusi persamaan difusi dalam bentuk khusus
Q (x, t) = g (p)
dengan
x
.
4kt
Permasalahan disini adalah bagaimana bentuk dari g , untuk itu akan kita lakukan
langkah-langkah sebagai berikut:
substitusikan Q pada (4), dengan
p= √
∂Q
∂t
=
=
∂Q
∂x
=
=
∂2Q
∂x 2
=
=
M. Jamhuri
dg ∂p
dp ∂t
1
− pg ′ (p)
2t
dg ∂p
dp ∂x
1
√
g ′ (p)
4kt
(6)
1
∂ ′
g (p)
∂x
4kt
1 ′′
g (p)
4kt
√
(5)
Persamaan Difusi
(7)
sehingga diperoleh
Qt
1
− pg ′ (p)
2t
=
pg ′ (p)
=
=
kQxx
1 ′′
k
g (p)
4kt
1 ′′
− g (p)
2
g ′′ (p) + 2pg ′ (p) = 0
Solusi dari (8) dapat diperoleh sebagai berikut
d2
d
g (p) + 2p g (p)
dp 2
dp
dg
d
+ 2p
dp
dp
misalkan
dan
Solusi dari ODE (10) adalah
=
0
=
0
dg
=v
dp
d
+ 2p v = 0
dp
dv
dp
=
−2pv
v
=
C1 e −p
M. Jamhuri
(8)
2
Persamaan Difusi
(9)
(10)
selanjutnya substitusikan v pada (9), sehingga diperoleh
ˆ
dg
dp
=
dg
=
g
=
2
C1 e −p
ˆ
2
C1 e −p dp
ˆ
2
e −p dp + C2
C1
dan
Q (x, t) = C1
ˆ
√x
4kt
2
e −p dp + C2
0
Konstanta C1 dan C2 diperoleh dengan menggunakan syarat awal khusus, yang
diberikan dalam bentuk
(
1, untuk x > 0
Q (x, 0) =
0, untuk x < 0
M. Jamhuri
Persamaan Difusi
Hitung limit t → 0+
Kasus x > 0
lim Q (x, t) = C1
t→0+
ˆ
∞
e
−p 2
dp + C2 = C1
0
√
π
+ C2 = 1
2
Dalam menghitung integral tak wajar, kita gunakan distribusi normal berbentuk
ˆ ∞
2
1
e −p dp = 1
√
π −∞
Kasus x < 0
lim Q (x, t) = C1
t→0−
ˆ
∞
0
2
e −p dp+C2 = −C1
ˆ
0
−∞
2
e −p dp+C2 = −C1
√
π
+C2 = 0
2
Dari dua limit diatas diperoleh
1
C1 = √
π
dan
C2 =
sehingga
Q (x, t) =
1
1
+√
2
π
ˆ
√x
4kt
1
2
2
e −p dp
0
untuk t > 0.
Dari Q yang sudah diperkenalkan di atas, kita akan menentukan solusi u terkait
dengan Q. Tetapi lebih dahulu kita perhatikan sifat-sifat berikut.
M. Jamhuri
Persamaan Difusi
Jika u memenuhi ut − kuxx = 0 maka v = ux juga memenuhi persamaan
tersebut. Kita dapat menunjukkan dengan memeriksa apakah v memenuhi
persamaan, turunan dari v
∂u
∂
vt =
∂t ∂x
=
vx
=
=
vxx
=
∂2u
∂t∂x
∂
∂u
∂x ∂x
∂2u
∂x 2
2 ∂ u
∂
∂x ∂x 2
∂3u
∂x 3
diatas pada persamaan difusi, yaitu
=
Selanjutnya terapkan vt , dan vxx
vt − kvxx
=
=
=
=
∂2u
∂3u
−k 3
∂t∂x
∂x
∂ ∂u
∂2u
−k 2
∂x ∂t
∂x
∂
·0
∂x
0
memenuhi persamaan difusi.
M. Jamhuri
Persamaan Difusi
Dengan Q seperti didefinisikan diatas,
S (x, t) =
∂Q
∂x
juga solusi persamaan panas. Hal ini dapat ditunjukkan, karena Q memenuhi
persamaan panas, dan sifat sebelum ini,
Begitu juga S (x, y ) memenuhi persamaan panas, dan juga
ˆ ∞
S (x − y , t) g (y ) dy
W (x, t) =
−∞
untuk sebarang g (y ) asalkan integral konvergen.
Dengan sifat-sifat diatas dan pendefinisian S terkait dengan Q, maka u dapat
didefinisikan sebagai
ˆ ∞
u (x, t) =
S (x − y , t) φ (y ) dy
−∞
untuk t > 0, yang memenuhi persamaan panas.
Masalah sekarang adalah apakah u tersebut memenuhi kondisi awal
u (x, 0) = φ (x) . Untuk itu, kita tuliskan u dalam dalam Q
ˆ ∞
∂Q
u (x, t) =
(x − y , t) φ (y ) dy
−∞ ∂x
sedangkan
∂Q
∂Q ∂ (x − y )
∂y
∂ (x − y )
∂Q
=
=−
∂x
∂y ∂ (x − y )
∂x
∂y
∂x
M. Jamhuri
Persamaan Difusi
Selanjutnya gunakan integral parsial, sehingga diperoleh
ˆ ∞
Q (x − y , t) φ′ (y ) dy
u (x, t) = − Qφ|∞
−∞ −
−∞
Suku pertama pada ruas kanan bernilai nol dengan menggunakan asumsi φ → 0
untuk |y | → ∞, sehingga diperoleh
ˆ ∞
Q (x − y , 0) φ′ (y ) dy
u (x, 0) =
−∞
Sekarang kita gunakan
Q (x, 0) = 1
untuk
x > 0 ⇔ Q (x − y , 0) = 1
untuk
y <x
dan dengan uraian yang sama diperoleh Q (x − y , 0) = 0 untuk y > x.
Bila hal ini diterapkan pada integral, didapat
ˆ x
φ′ (y ) dy = φ (x)
u (x, 0) =
−∞
memenuhi syarat yang ada, dan secara eksplisit solusinya
u (x, t) = √
1
4πkt
M. Jamhuri
ˆ
∞
e
−
(x−y )2
4kt
φ (y ) dy
−∞
Persamaan Difusi
(11)
Contoh
Tentukan solusi ut − kuxx = 0 untuk −∞ < x < ∞, dengan syarat awal
u (x, 0) = e −x
Dari persamaan 11 diperoleh
u (x, t)
=
=
(x − y )2 + 4kty
4kt
=
=
=
=
√
√
1
ˆ
4πkt
1
ˆ
4πkt
∞
e
−
(x−y )2
4kt
−
e −y dy
−∞
∞
e
(x−y )2 +4kty
4kt
dy
−∞
i
1 h
(x − y )2 + 4kty
4kt
1 2
x − xy + y 2 + 4kty
4kt
i
1 h
(x − y − 2kt)2 + 4ktx − 4k 2 t 2
4kt
x − y − 2kt 2
+ (x − kt)
√
4kt
sehingga (12) menjadi
e −(x −kt)
u (x, t) = √
4πkt
M. Jamhuri
ˆ
∞
2
e −s ds = e −(x −kt)
−∞
Persamaan Difusi
(12)
Metode Pemisahan Variabel
Diberikan persamaan difusi
ut = 3uxx
pada
0 < x < π,
t>0
(13)
dengan kondisi batas
u (0, t)
=
u (π, t) = 0
(14)
u (x, 0)
=
4 sin (2x)
(15)
Misalkan u (x, t) = X (x) T (t) dan substitusikan pemisalan tersebut pada (13),
sehingga diperoleh
XT ′ = 3X ′′ T
X ′′
T′
=
(16)
3T
X
Ruas kiri dari (16) hanya bergantung pada variabel t saja, sedangkan ruas kanan
hanya bergantung pada variabel x saja, kondisi tersebut hanya mungkin dipenuhi
jika keduanya merupakan konstan yaitu
X ′′
T′
=
= −λ
3T
X
(17)
Misalkan λ = β 2 , maka persamaan (17) dapat dituliskan menjadi dua buah ODE
yaitu
X ′′ + β 2 X = 0
(18)
dan
T ′ + 3λT = 0
M. Jamhuri
Persamaan Difusi
(19)
Solusi dari (18) adalah
X (x) = C1 e i βx + C2 e −i βx
atau dalam bentuk sinusoidal
X (x) = A cos (βx) + B sin (βx)
(20)
Kondisi u (0, t) = 0 memberikan A = 0, sehingga
X (x) = B sin (βx)
selanjutnya kondisi u (π, t) = 0 memberikan
sin (βπ)
=
0
βπ
=
arcsin 0
βπ
=
nπ,
β
=
n
{n = 0, 1, 2, . . . }
sehingga diperoleh
Xn (x) = sin (nx)
(21)
Solusi dari persamaan (19) adalah
T (t)
=
Ce −3λt
karena λ = β 2 = n2 , maka
Tn (t) = Ce −3n
M. Jamhuri
2
t
Persamaan Difusi
(22)
Dari persamaan (21) dan (22), maka diperoleh solusi
un (x, t) = Cn e −3n
2
t
sin (nx)
Karena kombinasi linier dari solusi persamaan difusi adalah solusi, maka
u (x, t) =
∞
X
Cn e −3n
2
t
sin (nx)
n=1
Selanjutnya gunakan kondisi awal (15)
u (x, 0) = 4 sin (2x)
sehingga diperoleh
4 sin (2x) =
∞
X
Cn sin (nx)
n=1
dimana
Cn
=
=
8
π
(
ˆ
π
sin (2x) sin (nx) dx
0
0,
4
jika n 6= 2
n lainnya
Substitusikan kembali Cn pada (23) sehingga diperoleh
u (x, t) = 4e −12t sin (2x)
M. Jamhuri
Persamaan Difusi
(23)
Metode Numerik dengan RBF
Persamaan difusi (13) yaitu
ut = 3uxx
kita aproksimasi dengan jaringan RBF sebagai
N
X
αj
N
X
∂2
∂
φ (x, t) = 3
αj 2 φ (x, t)
∂t
∂x
j=1
N
X
αj
j=1
j=1
∂
∂2
φ (x, t) − 3 2 φ (x, t) = 0
∂t
∂x
dimana
φ (x, t) =
(24)
q
(x − c)2 + (t − d)2 + ǫ2
∂
φ (x, t)
∂t
=
∂2
φ (x, t)
∂x 2
=
q
t −d
2
(x − c) + (t − d)2 + ǫ2
(t − d)2 + ǫ2
h
i3
2
(x − c)2 + (t − d)2 + ǫ2
{α}N
j=1 adalah koefisien interpolan atau bobot jaringan yang akan ditentukan,
sedangkan c dan d adalah center dari jaringan, dan ǫ adalah parameter bebas
yang harus dipilih.
M. Jamhuri
Persamaan Difusi
Berikutnya aproksimasi kondisi batas (14) memberikan
N
X
αj φ (0, t) = 0
(25)
N
X
αj φ (π, t) = 0
(26)
αj φ (x, 0) = 4 sin (2x)
(27)
j=1
dan
j=1
Dari kondisi batas (15) diperoleh
N
X
j=1
Untuk mendapatkan solusi numerik dari persamaan difusi (13) dengan kondisi
batas (14) dan (15), pertama kita harus menentukan koefisien α dari sistem
persamaan (24), (25), (26), dan (27).
Selanjutnya gunakan α yang didapat untuk menentukan solusi u dengan cara
mengaproksimasi u sebagai
u (x, t) ≈
M. Jamhuri
N
X
αj φ (x, t) .
j=1
Persamaan Difusi
Hasil Simulasi
Hasil simulasi metode RBF diatas diperoleh dengan menggunakan 16 buah titik
untuk 0 < x < π dan 21 buah titik untuk 0 < t < 1.
Parameter ǫ dipilih sebagai
ǫ=
var (x) + var (y )
2
M. Jamhuri
Persamaan Difusi
Plot error mutlak antara metode RBF vs hasil eksak
M. Jamhuri
Persamaan Difusi
Metode Beda Hingga: FTCS
Pada tulisan ini akan dibahas beberapa metode beda hingga untuk persamaan
difusi
ut = kuxx
(28)
dengan k suatu konsatnta.
Metode FTCS (Forward Time Central Space) biasa disebut sebagai metode
eksplisit untuk persamaan difusi.
Pada metode ini, forward time diterapkan pada ut dengan akurasi O (∆t)
dan
metode beda pusat yang diterapkan pada uxx dengan akurasi O ∆x 2 , sehingga
diperoleh persamaan beda sebagai berikut:
ujn+1 − ujn
∆t
=k
n
n
− 2ujn + uj−1
uj+1
∆x 2
(29)
Persamaan (29) dapat disederhanakan sebagai
ujn+1 =
atau
dengan S =
k∆t
.
∆x 2
k∆t n
n
uj+1 − 2ujn + uj−1
+ ujn
∆x 2
n
n
+ uj−1
ujn+1 = (1 − 2S) ujn + S uj+1
M. Jamhuri
Persamaan Difusi
(30)
Stencil untuk metode FTCS pada persamaan difusi dapat dilihat pada gambar
berikut:
Kestabilan:
Substitusikan ujn = ρn e iaj pada persamaan (30), sehingga diperoleh
ρn+1 e iaj = (1 − 2S) ρn e iaj + S ρn e ia(j+1) + ρn e ia(j−1)
ρe iaj ,
Bagi kedua ruas dari persamaan (31) dengan
ρ = (1 − 2S) + S e ia + e −ia
=
=
=
sehingga diperoleh
(1 − 2S) + S ([cos a + i sin a] + [cos a − i sin a])
(1 − 2S) + 2S cos a
1 + 2S (cos a − 1)
Agar skema stabil, maka |ρ| ≤ 1, yaitu
|ρ|
−1
−2
−1
0
=
≤
≤
≤
≤
|1 + 2S (cos a − 1)|
1 + 2S (cos a − 1)
2S (cos a − 1)
S (cos a − 1)
(1 − cos a) S
M. Jamhuri
Persamaan Difusi
≤
≤
≤
≤
≤
1
1
0
0
1
(31)
min (1 − cos a) = 0, dan max (1 − cos a) = 2, sehingga
2S
≤
S
≤
1
1
2
Jadi skema akan stabil jika
S=k
1
∆t
≤
∆x 2
2
Konsistensi:
Diberikan dua hampiran berikut:
ujn+1
=
n
uj±1
=
1
1
1 2
∆t utt |nj + ∆t 3 uttt |nj +
utttt |nj + · · · (32)
2
3!
4!
1
1
1
ujn ± ∆x ux |nj + ∆x 2 uxx |nj ± ∆x 3 uxxx |nj +
uxxxx |nj + · (33)
··
2
3!
4!
ujn + ∆t ut |nj +
n
n
uj+1
+ uj−1
= 2ujn + ∆x 2 uxx |nj +
1
uxxxx |nj + · · ·
12
(34)
Substitusikan (32) dan (34) pada persamaan (28), sehingga diperoleh
ujn + ∆t ut |nj +
1 2
∆t utt |nj + · · ·
2
M. Jamhuri
=
(1 − 2S) ujn +
1
uxxxx |nj + · · ·
S 2ujn + ∆x 2 uxx |nj +
12
Persamaan Difusi
Contoh Penerapan Metode FTCS
Diberikan persamaan difusi
ut = 3uxx
pada
0 < x < π,
t>0
(35)
dengan kondisi batas
u (0, t)
=
u (π, t) = 0
(36)
u (x, 0)
=
4 sin (2x)
(37)
Persamaan difusi (35) dengan kondisi batas (36), dan (37) diatas akan kita
selesaikan secara numerik menggunakan skema FTCS dengan langkah-langkah
sebagai berikut.
Persamaan (35) kita diskritkan dengan menggunakan persamaan beda (30), yaitu
3∆t
n
n
,
S=
+ uj−1
ujn+1 = (1 − 2S) ujn + S uj+1
(38)
∆x 2
sedangkan kondisi batas (36) dan (37) sebagai
u1n = 0
uj1
dan
=
n
=0
uM
x
4 sin 2xj
dimana {n = 1, . . . Nt , j = 1, . . . , Mx } dengan Nt =
j
T −0
∆t
k
dan Mx =
Contoh, misalkan untuk j = 2 dan n = 1, maka (38) menjadi
u22 = (1 − 2S) u21 + S u31 + u11
M. Jamhuri
Persamaan Difusi
π−0 ∆x
.
Simulasi metode beda hingga FTCS
M. Jamhuri
Persamaan Difusi
Error mutlak: metode beda hingga vs hasil eksak
M. Jamhuri
Persamaan Difusi
Metode Implisit BTCS
Metode BTCS memiliki akurasi O ∆t, ∆x 2 , persamaan beda untuk persamaan
difusi dengan menggunakan metode BTCS adalah
ujn+1 − ujn
∆t
=k
n+1
n+1
− 2ujn+1 + uj−1
uj+1
∆x 2
k∆t n+1
n+1
uj+1 − 2ujn+1 + uj−1
2
∆x
n+1
n+1
= ujn
+ (2S + 1) ujn+1 − Suj+1
−Suj−1
(39)
ujn+1 − ujn =
dengan S =
k∆t
.
∆x 2
Kestabilan: Substitusikan ujn = ρn e iaj ke dalam (40) sehingga diperoleh
−Sρe −ia + (2S + 1) ρ − Sρe ia
−S e −ia + e ia + (2S + 1)
1
ρ
1
(1 − cos a) 2S + 1 −
ρ
(1 − cos a) 2Sρ + ρ
−2S cos a + 2S + 1 −
ρ
M. Jamhuri
=
=
1
1
ρ
=
0
=
0
=
1
=
1
(1 − cos a) 2S + 1
Persamaan Difusi
(40)
Karena untuk setiap S dan a penyebut selalu lebih besar atau sama dengan 1,
maka jelas bahwa
|ρ| ≤ 1
jadi skema stabil untuk setiap S =
k∆t
.
∆x 2
Perhtikan persamaan beda (40) diatas, jika diberikan syarat batas bertipe dirichlet
yaitu u (0, t) = f1 dan u (L, t) = f2 . Titik-titik yang harus dihitung adalah
ujn+1
M. Jamhuri
Persamaan Difusi
Contoh penerapan metode BTCS
Diberikan persamaan difusi
ut = 3uxx
pada
0 < x < π,
t>0
(41)
dengan kondisi batas
u (0, t)
=
u (π, t) = 0
(42)
u (x, 0)
=
4 sin (2x)
(43)
Persamaan beda skema BTCS untuk persamaan (41) adalah
ujn − ujn−1
=
ujn−1
=
h
i
n
n
ujn − S uj+1
− 2ujn + uj−1
=
∆t
ujn
−
n
n
+ (1 + 2S) ujn − Suj+1
−Suj−1
atau
=
3
n
n
− 2ujn + uj−1
uj+1
∆x 2
i
3∆t h n
n
uj+1 − 2ujn + uj−1
2
∆x
3∆t
ujn−1 ,
S=
∆x 2
ujn−1
n
n
= −ujn−1
− (1 + 2S) ujn + Suj+1
Suj−1
M. Jamhuri
Persamaan Difusi
(44)
Kondisi batas (42) kita diskritkan sebagai
u1n = 0,
dan
n
=0
uM
x
(45)
(46)
dan (43) kita diskritkan sebagai
uj1 = 4 sin 2xj
dimana {j = 1, . . . , Mx , n = 1, . . . , Nt } dengan Mx =
π−0 ∆x
dan Nt =
j
T −0
∆t
k
.
Dalam bentuk matrik dapat kita gambarkan persamaan beda (44), (45), dan (46)
sebagai
j \n
1
2
3
.
..
Mx − 1
Mx
1
0
4 sin (2x2 )
4 sin (2x3 )
.
..
4 sin (2xMx −1 )
0
2
0
u22
u32
.
..
3
0
u23
u33
.
..
2
uM
x −1
0
3
uM
x −1
0
M. Jamhuri
···
···
···
···
..
.
···
0
Persamaan Difusi
Nt − 1
0
u2Nt −1
u3Nt −1
.
..
Nt −1
uMx −1
0
Nt
0
u2Nt
u3Nt
.
..
Nt
uM
x −1
0
Sebagai contoh, untuk j = 2, 3, . . . , Mx − 1 dan n = 2 akan kita tentukan ujn , yaitu
u22 =?
maka dengan menggunakan (44) diperoleh
n
n
= −ujn−1
− (1 + 2S) ujn + Suj+1
Suj−1
j =2
j =3
j =4
..
.
j = Mx − 1
⇒
⇒
⇒
..
.
⇒
Su12 − (1 + 2S) u22 + Su32
Su22 − (1 + 2S) u32 + Su42
Su32 − (1 + 2S) u42 + Su52
..
.
2
2
2
+ SuM
− (1 − 2S) uM
SuM
x
x −1
x −2
=
=
=
..
.
=
−u21
−u31
−u41
..
.
1
−uM
x −1
so we have matrix









− (1 + 2S)
S
0
S
− (1 + 2S)
S
.
.
.
0
.
.
.
0
0
S
− (1 + 2S)
.
.
.
0
···
···
···
.
.
.
···
M. Jamhuri
0
0
0
.
.
.
− (1 + 2S)










2
u2
2
u3
2
u4
.
.
.
2
uM
x −1
Persamaan Difusi










 = 








1 − Su 2
−u2
1
1
−u3
1
−u4
.
.
.
1
2
−uM
− SuM
x −1
x









