persamaan tingkat satu derajat satu

BAB II
PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT SATU
Sebagaimana telah dijelaskan pada bab I, persamaan differensial tingkat satu
derajat satu adalah persamaan yang memuat turunan tertinggi yaitu turunan tingkat satu
(
dy
). Secara umum persamaan differensial tingkat satu derajat satu ditulis dalam bentuk:
dx
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0


dy
M ( x, y )
 
dx
N ( x, y )
dy
= F(x,y) (Eksplisit)
dx
 F(x,y,
dy
) = 0. (impilisit)
dx
Bentuk umum di atas mengakibatkan jenis persamaan differensial tingkat
satu derajat satu bervariasi. Untuk lebih memudahkan dalam menentukan primitif
atau selesaiaan umum persamaan, maka persamaan differensial tingkat satu
derajat satu dikelompokkan menjadi:
1) persamaan differensial variabel terpisah (persamaan separable),
2) persamaan yang dapat direduksi ke persamaan variabel terpisah,
3) persamaan differensial homogen,
4) persamanaan differensial tidak homogen,
5) persamaan differensial eksak,
6) persamaan differensial tidak eksak, dan
7) persamaan differensial yang berbentuk y f(xy) dx + x g(xy) dy = 0.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
23
Jenis dan macam masing-masing persamaan differensial mempunyai
spesifikasi yang berbeda-beda. Prinsip utama yang digunakan adalah sedapat
mungkin memisahkan dan mengelompokkan masing-masing koefisien differensial.
Khusus untuk persamaan yang tidak dapat dipisahkan variabelnya, maka cara lain
(tabel, teorema) akan sangat membantu.
Berikut ini disajikan cara menentukan selesaian persamaan differensial tingkat
satu derajat satu.
2.1 Persamaan Differensial Variabel Terpisah (Separable)
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu yang mempunyai bentuk
umum
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat dikategorikan sebagai persamaan
differensial variable terpisah jika bentuk umum tersebut dapat dinyatakan dengan
f(x) dx + g(y) dy = 0. Dengan kata lain masing-masing differensial dalam
persamaan berpasangan dengan variabel yang sejenis.
Contoh:
1. x dx + 2 y dy = 0
2. y2 dx – x dy = 0

dx
dy
- 2=0
x
y
3. y’ = y 1  2 x 2
 1  2 x 2 dx -
dy
=0
y
4. x dx – sin y dy = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
24
Karena tanda differensial persamaan di atas
dx dan dy berpasangan
dengan variable yang sejenis, maka untuk menentukan selesaian umum
persamaan cukup dengan mengintegralkan masing masing bagian.
Perhatikan beberapa contoh di bawah ini!
Tentukan selesaian umum persamaan diffrensial:
1. x dx + 2 y dy = 0

2.

x dx +

2y dy = C

1 2
x + y2 = C
2

x2 + 2y2 = C (primitive, persamaan keluarga kurva, SUPD)
dy
dx
-3
=0
x
y
 x dx – 3y dy = 0



1 2 3 2
x - y =C
2
2
x dx -

3y dy = C
 x2 – 3y2 = C
3. 3y dx + 2x dy = 0
3


dx
dy
+ 2
=0
x
y
3
dx
+
x

2
dy
=C
y
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
25
 3 Ln │x │+ 2 Ln │ y │= C
 Ln │x3y2 │= C
 x3y2 = C
4. x dx + 2 y dy = 0



1 2
x + y2 = C
2
x dx +

2 y dy = C
 x2 + 2y2 = C
5. sin x dx + (1-y) dy = 0 dengan y(  ) = 1


sin x dx +
 - cos x + y -

(1-y) dy = C
1 2
y =C
2
 - 2 cos x + 2y - y2 = C
Karena y(  ) = 1 maka diperoleh C = 3, sehingga selesaian khusus persamaan
adalah -2 cos x + 2y – y2 = 3
Latihan soal
Tentukan selesaian umum persamaan differensial:
1. y2 dx – x dy = 0
2. (1+2y) dx – (4-x) dy = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
26
dx
dy

0
4  x 1 2y
dx
dy
 4  x  1 2y
=C
-ln
3. cos y dx + (1+e-x) dy = 0
4. dx + (1-x2) cot y dy = 0
5.
1 dy
= 1-sec x
3 dx
6. (1-x2)y’ = 2
7. (1+2y) dx - (4-x) dy = 0
8. xdy – ydx = 0 dengan y(1) = 1
9. (1-x) dx – 2y2 dy = 0 dengan y(0) = 1
10. y’= x3(1-y) dengan y(0) = 3
11.
dy

= 2x cos2y dengan y(0) =
dx
4
12. y’ = 2x3e-2y dengan y(1) = 0
Catatan
Yang perlu diingat bahwa persamaan diferensial dengan variable terpisah
memiliki ciri spesifik yaitu koefisien differensial berupa variable sejenis berkumpul
dengan differensialnya, dengan kata lain dapat dinyatakan dalam bentuk
sederhana f(x) dx + g(y) dy = 0.
2.2 Persamaan yang dapat Direduksi ke Persamaan Variabel Terpisah
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
27
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
dapat dikategorikan sebagai persamaan differensial yang dapat direduksi menjadi
persamaan differensial variable terpisah jika bentuk umum
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
 f1(x)g1(y) dx + f2(x)g2(y) dy = 0

f1 ( x)
g ( y)
dx + 2
dy = 0
f 2 ( x)
g1 ( y )
 F(x) dx + G(y) dy = 0.
Untuk selanjutnya bentuk pembagian
1
disebut faktor integrasi.
f 2 ( x) g 2 ( x)
Selesaian umum persamaan differensial yang dapat direduksi menjadi persamaan
variable terpisah dapat ditentukan dengan cara mengintegralkan masing-masing
bagian setelah variable yang sejenis dikelompokkan dengan differensialnya.
Contoh:
Tentukan selesaian umum persamaan dibawah ini:
1. 2(y+3) dx – xy dy = 0
2

dx
ydy
=0
x
y3

2
dx
x

ydy
=C
y3


2
dx
x

( 1-


2
dx
x

1 dy +
3
) dy = C
y3

3
dy = C
y3
 2 Ln │x │- y + 3 Ln │y+3│= C
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
28
 Ln │x2(y+3)3│ = C + y
 x2(y+3)3 = e(C + y) = cey
 x2(y+3)3 = cey
2.
dy
4y
=
dx
x( y  3)
 x(y-3) dy = 4y dx
 4y dx - x(y-3) dy = 0
4


dx
y 3
dy = 0
x
y
4
dx
x

y 3
dy = C
y
 4 Ln │x│– y + 3 Ln │y│= C
 x4y3 = ec+y = cey
3. xy dy = (y+1)(1-x) dx dengan y(1) = 0
 ( y  1)(1  x)dx - xy dy = 0

1 x
y
dx dy = 0
x
y 1

dx
dy
- dx – dy +
=0
x
y 1


dx
x

dx –

dy +

dy
=C
y 1
 Ln │x│ - x – y + Ln │y + 1│= C
 Ln │x(y+1)│ = C + x + y
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
29
 x(y+1) = ec+x+y
Karena y(1) = 0 maka 1(0+1) = ec+1+0. Diperleh c = -1 sehingga diperoleh
selesaian khusus persamaan x(y+1) = ex+y-1.
Sebagai latihan, tentukan selesaian umum persamaan di bawah ini:
1. dx + (1-x2) cotg y dy = 0
2. cos y dx + (1+e-x) sin y dy = 0
3. xy dx + (1+x2) dy = 0
4. x2(y-4) dx + y(x2-1) dy = 0
5.
dy
4x  x2
=
dx
y  x2 y
6.
dy
1
=
dx
xy3
7. y-1 + y’ ecos x sin dx = 0
8. x
dy
1  y2
=
dx
3y
9. y’ =
Sec 2 y
1  x2
10. y’ = y(2+sin x)
11.
dy
= 8x2e-3y dengan y(1) = 0
dx
dy
3x 2  4 x  2
12.
=
dengan y(0) = -1
dx
2y 1
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
30
2.3 Persamaan Differensial Homogen
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu M(x,y) dx + N(x,y) dy= 0
disebut persamaan differensial homogen jika M(x,y) dan N(x,y) fungsi homogen
berderajat sama.
Definisi:
1. F(x,y) disebut fungsi homogen jika F(x,y) = G(
y
x
) atau F(x,y) = H( )
x
y
2. Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen berderajat-n jika memenuhi
syarat F(tx,ty) = tn F(x,y).
Contoh:
1. F(x,y) =
F(x,y) =
x
adalah fungsi homogen, karena
yx
x
x
y x

x x
=
1
y
1
x
= H(
y
)
x
2. F(x,y) = x + y
=1+
=
y
x
x
+1
y
3. F(x,y) = 1 – xy, bukan fungsi komogen karena 1-xy tidak dapat dinyatakan
dengan bentuk G(
y
x
) atau H( )
x
y
4. F(x,y) = 3x2 – 2xy + y2.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
31
Adalah fungsi homogen karena dapat dinyatakan dalam dengan H(
G(
y
) atau
x
x
)
y
5. F(x,y) = y sin x, bukan fungsi homogen.
6. F(x,y) =
1  x 2  y , bukan fungsi homogen.
7. F(x,y) = x + y, fungsi homogen berderajat 1, karena:
F(tx,ty) = (tx) + ty
= t(x+y)
= t1 F(x,y)
2x
, fungsi homogen berderajat 0, karena
x y
8. F(x,y) =
F(x,y) =
2(tx)
(tx)  (ty)
=
2(tx)
(tx)  (ty)
=
t (2 x)
t ( x  y)
= to
2( x )
( x  y)
= to F(x,y)
9. Dengan cara yang sama, F(x,y) = x3 – 2x2y + 3xy2 adalah fungsi homogen
berderajat 3 dan G(x,y) = x x 2  y 2 fungsi homogen berderajat 2.
10. F(x,y) = sin (x+y) bukan fungsi homogen, karena F(tx,ty)  tn F(x,y)
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
32
Jika M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 diketahui sebagai persamaan differensial
homogen, maka selesaian umumnya dapat ditentukan dengan cara menyatakan
M(x,y) dan dan N(x,y) dalam bentuk M(
y
x
) atau M( ). Demikian pula untuk
x
y
N(x,y). Dengan kata lain M(x,y) dan N(x,y) dibagi dengan koefisien differensial
yang berpangkat tertinggi.
Setelah dilakukan pembagian, selanjutnya gunakan transformasi
U = x/y atau yu = x atau dapat juga transformasi v = y/x atau xv = y. Jika yang
digunakan transformasi yu = x maka dx = ydu + udy. Sebaliknya jika yang
digunakan transformasi xv = y maka dy = xdv + vdx. Akhirnya dx atau dy (tidak
keduanya) disubstitusikan dalam persamaan differensial semula sehingga,
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
 M(
y
y
x
x
)dx + N( )dy = 0 atau M( ) dx + N( )dy = 0.
x
x
y
y
Dengan memilih transformasi dy = xdv + vdx maka
 M(
y
y
) dx + N( )(xdv + vdx) = 0.
x
x
 M(v) dx + N(v)(xdv + vdx) = 0.
Bentuk terakhir persamaan di atas adalah persamaan differensial yang
dapat direduksi ke persamaan variabel terpisah. Setelah variabelnya dipisahkan
dan dengan mengintergralkan masing-masing bagian didapat selesaian umum
persamaan yang dicari.
Perhatikan contoh berikut:
Tentukan selesaian umum persamaan:
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
33
1. (y2 – x2) dx + xy dy = 0
Persamaan di atas adalah persamaan differensial homogen, karena M(x,y) dan
N(x,y) adalah persamaan homogen yang berderajat sama yaitu dua.
xy
y2
 ( 2 - 1) dx + 2 dy = 0
x
x
Dengan transformasi xv = y dan dy = xdv + vdx, diperoleh
 (v2 – 1)dx + v(xdv + vdx) = 0
 (v2 + v2 – 1)dx + vxdv = 0

dx
vdv
+
=0
2v 2  1
x


dx
+
x

vdv
=C
2v 2  1
 Ln │x│+ ¼ Ln │(2v2 – 1)│= ln C
 (x4(2v2-1)) = C
 (x4(
2 y2  x2
)=C
x2
 2x2y2 – x4 = C
2. (3x – 2y)
dy
- 3y = 0 dengan y(1) = 1
dx
Persamaan di atas adalah persamaan differensial homogen, karena M(x,y) dan
N(x,y) adalah fungsi homogen berderajat sama yaitu satu.
 (3x – 2y)dy – 3ydx = 0
3y dx – (3x-2y) dy = 0
 (3
x
– 2)dy – 3dx = 0
y
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
34
Dengan transformasi x = uy dan dx = udy + ydu
 (3u – 2)dy – 3(udy + ydu) = 0
 (3u – 2 – 3u)dy – 3ydu = 0
 2


dy
+ 3 du = 0
y
2
dy
+
y

3 du = C
 2 Ln │y│+ 3u = C
 Ln y2 = C-3u
 y2 = ec-3y/x
Karena y(1) = 1 maka 12 = ec-3(1)/(1) didapat C = 3 sehingga selesaiannya
dinamakan selesaian khusus (integral khusus) yaitu y2 = e3-3y/x
Latihan soal
1. Selidiki apakah fungsi berikut homogen, jika homomogen tentukan derajatnya.
a. f(x,y) = x + 2y
b. f(x,y) = ex/y
x2  y2
c. f(x,y) =
3xy
d. f(x,y) = sin(x+y) + cos2(xy)
e. f(x,y) = xy – y2 + 3x2
f. f(x,y) =
x
x  y2
2
g. f(x,y) = x + y cosx.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
35
2. Tentukan selesaian persamaan differensial homogen berikut ini.
a. (xy + y2) dx – x2 dy = 0 dengan y(2) = 1
Jawab
Persamaan di atas di bagi dengan x 2
 y y2 
  2 dx  dy  0
x x 
Transformasi s =
y
sehingga dy = s dx + x ds
x
(s + s 2 )dx – (s dx + x ds) = 0
s 2 dx - x ds = 0
dx ds

=0
x s2

dx
ds
 2 c
x
s
Ln x +
1
=C
s
Karena y(2) = 1 maka ln 2 + 2 = C
b.
dy
x2  y2
=
dx
3xy
c. (2x-5y) dx + (4x-y) dy = 0, dengan y(1) = 1
d. (x-y) dx + x dy = 0, dengan y(0) = 0
e. (x3+y3) dx – 3xy2 dy = 0
f. x dy – y dx g.
x 2  y 2 dy = 0
dy
y
y
= - tgn
dx
x
x
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
36
h. y’ =
xy
dengan y(2) = 1
(3x  y 2 )
2
jawab : 2x 2 - y 2 = cy 6 karena y(2) = 1 maka C = 7.
i. y’ =
j.
x2  y 2
dengan y(1) = 3
x y
dx
xt
= 2 2
x t
dt
k. y2 dx + (x2 –y2) dy = 0 dengan y(2) = 0
2.4 Persamaan M(x,y) dan N(x,y) Linear, tetapi Tidak Homogen
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0,
disebut persamaan differensial linear tidak homogen jika M(x,y) dan N(x,y) adalah
fungsi linear. Sehingga berbentuk (ax+by+c) dx + (px + qy + r ) dy = 0.
Contoh :
1. (x+y+2) dx + (2x + 2y + 4) dy = 0
2. (x+y+1) dx + (2x+2y+3) dy = 0
3. (3y – 7x +7) dx + (7y – 3x + 3) dy = 0
4. (3x + 2y + 1) dx – ( 3x+2y-1) dy = 0
Berdasarkan contoh di atas, maka persamaan differensial tidak homogen
dengan M(x,y) dan N(x,y) fungsi linear dapat dikelompokkan menjadi 3 jenis
yaitu:
a. Bentuk
c
a
b
=
=
=  (parameter), sehingga
r
p
q
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
37
a =  p , b =  q, dan c =  r
Contoh
(x+y+2) dx + (2x + 2y + 4) dy = 0
b. Bentuk
c
a
b
=
=  (parameter) 
r
p
q
Sehingga a =  p , b =  q
Contoh
(x+y+1) dx + (2x+2y+3) dy = 0
(3x+2y+1) dx + (3x+2y-4) dy = 0
c. Bentuk selain di atas.
(3y – 7x +7) dx + (7y – 3x + 3) dy = 0
(3x - 2y + 1) dx – ( 3x+2y) dy = 0
Karena bentuknya berbeda-beda, maka selesaian umum persamaan
differensial linear tidak homogen harus menyesuaikan dengan bentuknya.
a. Bentuk
Karena
c
a
b
=
=
= .
r
p
q
c
a
b
=
=
=  , maka diperoleh
r
p
q
a = p, b =  q, dan c = r . Sehingga persamaan semula
(ax + by + c) dx + (px +qy + r) dy = 0
 ( px + qy + r) dx + (px + qy + r) dy = 0
  (px + qy + r ) dx + (px + qy + r) dy = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
38
  dx + dy = 0


 dx +

dy = C
  x + y = C (persamaan linear)
b. Bentuk
a
b
=
= .
p
q
Persamaan bentuk
a
p
=
b
q
= 
dapat diselesaikan dengan cara
menggunakan transformasi ax + by = u atau px + qy = v.
Berdasarkan
transformasi tersebut, dengan mendifferensialkan masing variabel,
sehingga
diperoleh:
d(ax) + d(by) = d(u)
 a dx + b dy = du
 a dx = du – b dy
dx =
du  bdy
, atau
a
 a dx + b dy = du
 b dy = du – a dx
dy =
du  adx
b
Dengan cara yang sama jika yang digunakan transformasi px + qy = v,
diperoleh bentuk
dx =
dv  qdy
, atau
p
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
39
dy =
dv  pdx
q
Pilih dx atau dy akan tetapi tidak keduanya, dan substitusikan ke persamaan
differensial semula.
(ax + by + c) dx + (px + qy + r)dy = 0
(u +c) dx + (
 (u+c) (
1

u + r) dy = 0
du  bdy
1
) + ( u + r) dy = 0
a

Persamaan di atas adalah persamaan yang dapat direduksi ke persamaan
differensial dengan variable terpisah (PD separable).
Contoh:
1. Tentukan primitif dari (x+y+1) dx + (2x+2y+3) dy = 0 dengan y(0) = 0
Jawab
Dari persamaan (x+y+1) dx + (2x + 2y + 3) dy = 0, diperoleh
a = 1, b = 1, c = 1, p = 2, q = 2, dan r = 3. Sehingga  =
1
.
2
Selanjutnya gunakan transformasi
x + y = u atau 2x + 2y = v.
Jika transformasi yang digunakan x + y = u. maka diperoleh
(u+1) dx + (2u + 3) dy = 0.
Selanjutnya bentuk transformasi x + y = u didefferensialkan
dx + dy = du dan diperoleh dx = du – dy atau dy = du – dx.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
40
Cara I
(u+1) dx + (2u + 3) dy = 0.
 (u+1) (du – dy) + (2u + 3) dy = 0
 (u+1) du + (2u +3 – u – 1) dy = 0
 (u+1) du + (u +2) dy = 0 (direduksi menjadi PD Separable)
 dy +


u 1
du = 0
u2
dy +

1 du -

1
du = 0
u2
 y + u - Ln │u + 2│= C
 y + (x+y) - Ln │x + y + 2│= C
 x + 2y – C = Ln │x + y + 2 │
 e(x+2y-c) = (x+y+2)
Karena y(0) = 0, maka selesaian khusus persamaan e(x+2y-ln 2 ) = (x+y+2)
Cara II
(u+1) dx + (2u + 3) (du – dx) = 0.
 (u+1 – 2u -3) dx + ( 2u + 3) du = 0
 (-u -2 ) dx + ( 2u + 3) du = 0
 (u+1) du + (u +2) dy = 0
 du +


u2
dy = 0
u 1
du +

1 dy +

1
dy = 0
u 1
 (x+y) + y + Ln │x + y + 1 │= C
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
41
 x + 2y – C = Ln │x + y + 1 │
 (x+y+1) = e
x + 2y – C
Karena y(0) = 0 maka didapat c = ln 2.
4. (3x+2y+1) dx - (3x+2y-1) dy = 0 (jenis 2)
Jawab
Transformasikan 3x + 2y = u, sehingga 3 dx + 2 dy = u dan diperoleh:
dx =
du  2dy
du  3dx
, atau dy =
3
2
(u+1) dx – (u-1) dy = 0
Pilih dx atau dy, lalu substitusikan ke dalam persamaan dan diperoleh
(u+1) (
du  2dy
) – (u-1) dy = 0
3
 (u+1) (du – 2dy) – 3(u-1) dy = 0 dstnya.
 (u+1) du – (2u+2+3u-3) dy = 0


(u  1)
du – dy = 0
(5u  1)

1
6
du +
5
25
5
 5u 1du -  dy = C
 1/5 u + 6/25 Ln │5u -1│- y = C
 1 /5 (3x+3y) + 6/25 Ln │5(3x+3y) -1 │ - y = C
Bentuk yang ketiga adalah selesaian bentuk selain persamaan 1 dan 2.
Dalam menentukan selesaiannya gunakan transformasi ax + by + c = u dan
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
42
px + qy + r = v.
Selanjutnya differensialkan kedua bentuk transformasi di atas sehingga
diperoleh
d(ax) + d(by) + d(c) = d(u) dan d(px) + d(qy) + d(r) = d(v)
 a dx + b dy = du dan p dx + q dy = dv. Eleminasikan dx dan dy pada hasil
differesial yang diperoleh secara berurutan yaitu:
a dx + b dy = du
xp
p dx + q dy = dv
x a, sehingga
ap dx + bp dy = p du
ap dx + aq dy = a dv
--------------------------- (bp-aq) dy = p du – a dv
dy =
pdu  adv
bp  aq
Dengan cara yang sama diperoleh
dx =
qdu  bdv
aq  bp
Substisusikan dx dan dy dalam persamaan semula, yaitu:
(ax + by + c) dx + (px +qy + r ) dy = 0
u
pdu  adv
qdu  bdv
+v
=0
aq  bp
bp  aq
Persamaan di atas menjadi persamaan baru dengan tanda differensial du
dan dv, dan termasuk dalam persamaan differensial homogen. Primitifnya dapat
ditentukan dengan menggunakan metode PD homogen.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
43
Contoh
1. Tentukan selesaian umum persamaan (3y – 7x +7) dx + (7y – 3x + 3) dy = 0
Jawab
Transformasikan
(3y-7x+7) = u dan (7y-3x+3) = v
Dengan mendifferensialkan masing-masing peubah, diperoleh:
3 dy – 7 dx = du dan 7 dy – 3 dx = dv.
Elimasikan dx dan dy berurutan
3 dy – 7 dx = du
x3
7 dy – 3 dx = dv
x 7, didapat
9 dy – 21 dx = 3 du
49 dy – 21 dx = 7 dv
----------------------- -40 dy = 3 du – 7 dv
dy =
7dv  3du
40
Dengan cara yang sama diperoleh
dx =
3dv  7du
40
Substitusikan kepersaman semula, sehingga diperoleh
(3y – 7x +7) dx + (7y – 3x + 3) dy = 0
u(
3dv  7du
7dv  3du
)+v(
)=0
40
40
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
44
 40u(3dv-7du) + 40v(7dv-3du) = 0 (PD homogen)
 (3u + 7v) dv – (7u + 3v) du = 0
Bagi persamaan dengan v, diperoleh
(3
u
u
+ 7) dv -(7 + 3 ) du = 0
v
v
Transformasikan
u
= t atau u = vt
v
Sehingga du = v dt + t dv
Persamaan di atas adalah PD yang dapat direduksi ke persamaan variable
terpisah.
(3t +7) dv – (7t+3)(vdt + tdv) = 0
 (3t+7-7t2-3t) dv –(7t+3)vdt = 0

dv (7t  3)
dt = 0
v (7  7t 2 )


dv
v

(7t  3)
dt = C
(7  7t 2 )
 Ln │v│ + ½ Ln │1-t2│+ 3/7 Ln
1 t
=0
1 t
Dengan mensubstitusi v = 7y – 3x + 3 dan t =
7 y  3x  3
, diperoleh selesaian
3y  7x  7
umum persamaan (3y – 7x +7) dx + (7y – 3x + 3) dy = 0
2. Tentukan selesaian umum persamaan ( 3x - 2y + 1) dx – ( 3x+2y) dy = 0
Jawab.
Transformasikan
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
45
3x – 2y + 1 = u dan 3x+2y = v
 3 dx – 2 dy = du dan 3 dx + 2 dy = dv diperoleh

3 dx – 2 dy = du
3 dx +2 dy = dv
------------------- -4 dy = du – dv
dy = ¼ (dv-du) dan dx = dx = 1/6 ( du+dv).
Substitusikan dy dan dx ke persamaan semula dan diperoleh
( 3x - 2y + 1) dx – ( 3x+2y) dy = 0
 u (1/6)(du+dv) – v(1/4)(dv-du) = 0
 4u(du+dv) – 6v(dv-du)
 (4u + 6v) du + (4u -6v) dv = 0
 (4 + 6
v
v
) du + (4 – 6 ) dv = 0
u
u
Transformasikan
v
= p  v = up sehingga dv = u dp + p du
u
Substitusikan kepersamaan di atas, diperoleh
(4+6p) du + (4-6p)(u dp + p du) = 0
 (4+6p+4p-6p2) du + (4-6p)u dp = 0

du
(4  6 p)dp
+
=0
u
(4  10 p  6 p 2 )


du
+
u
 Ln │u │-

(4  6 p)dp
=C
(4  10 p  6 p 2 )
46p
 (6 p  2)( p  2) dp = C
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
46
 Ln │3x – 2y +1│+ 18/5 Ln │6p + 2 │+ 8/5 Ln │p-2│+ C
 Ln │3x – 2y +1│+ 18/5 Ln │6(
2.5
3x  2 y
3x  2 y
) + 2 │+ 8/5 Ln │(
) - 2│+ C
3x  2 y  1
3x  2 y  1
Persamaan Differensial Eksak (PDE)
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
disebut persamaan differensial eksak jika dan hanya jika memenuhi syarat:
N ( x, y )
M ( x, y )
=
x
y
Contoh
1. (x+y) dx + (x-y) dy = 0 adalah PD eksak karena
M(x,y) = (x+y)

N ( x, y )
M ( x, y )
= 1 dan N(x,y) = (x-y) 
=1
x
y
2. ( x + y Cos x) dx + Sin x dy = 0, adalah PD eksak karena
M(x,y) = x + y Cos x 
N(x,y) = Sin x 
M ( x, y)
= Cos x
y
N ( x, y )
= Cos x
x
3. y(x-2y) dx – x2 dy = 0, bukan persamaan differensial eksak,
M(x,y) = xy – 2y2 
N(x,yk) = -x2 
M ( x, y )
= x – 4y
y
N ( x, y )
=
x
2-2x
N ( x, y )
M ( x, y )

x
y
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
47
Dengan cara yang sama, persamaan dibawah ini adalah persamaan tidak eksak
N ( x, y )
M ( x, y)
.

x
y
karena
1. (x2+y2) dx + xy dy = 0 -- PD Homogen
2. dx -
a 2  x 2 dy = 0 --- PD yang dapat direduksi ke PD Separable
3. (x+y+1) dx - (x-y+3) dy = 0 ---> PD Tidak homogen
Persamaan differensial eksak mempunyai selesaian umum F(x,y) = C.
Menurut definisi differensial total untuk F(x,y) = C, diperoleh:
d(C) = dF(x,y)+ dF(x,y)
0=
F ( x, y )
F ( x, y )
dx +
dy.
x
y
Berdasarkan bentuk M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dan
0=
F ( x, y )
F ( x, y )
dx +
dy
x
y
F ( x, y )
F ( x, y )
= M(x,y) dan
= N(x,y)
x
y
Berdasarkan kesamaan di atas, maka untuk menentukan selesaian
persamaan differensial eksak yang berbentuk F(x,y) = C dapat dilakukan dengan
dua cara.
Cara I
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
48
F ( x, y )
F ( x, y )
= M(x,y) dan
= N(x,y)
x
y
Dari kesamaan di atas diperoleh
F ( x, y )
= M(x,y)  F(x,y) =
x

M(x,y) dx
x
=
F ( x, y )
= N(x,y) 
y

y

y
 M ( x, y) dx + G(y)
x
 M ( x, y) dx + G(y) = N(x,y)
x
 M ( x, y) dx + G’(y) = N(x,y)

G’(y) = N(x,y) y
G(y) =

(N(x,y) -
x
 M ( x, y) dx

y
x
 M ( x, y) dx ) dy
`
x
Substitusikan G(y) dalam F(x,y) =
 M ( x, y) dx + G(y) yang merupakan selesaian
umum persamaan differensial
Cara II
F ( x, y )
F ( x, y)
= N(x,y) dan
= M(x,y)
x
y
Dari kesamaan di atas di peroleh
F ( x, y )
= N(x,y)  F(x,y) =
y
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo

N(x,y) dy
49
y
=
F ( x, y )

= M(x,y) 
x
x

x

N(x,y) dy + F(x)
y

N(x,y) dy + F(x) = M(x,y)
y

N(x,y) dy + F’(x) = M(x,y)
F’(x) =
M(x,y) -

x

F(x) =  ( M(x,y) x
y

N(x,y) dy
x

N(x,y) dy ) dx
y
Substitusikan F(x) ke dalam F(x,y) =

N(x,y) dy + F(x) yang merupakan
selesaian umumnya.
Contoh
1. Tentukan selesaian persamaan differensial eksak berikut ini:
(2x +3y+4) dx + (3x+4y+5) dy = 0.
Jawab
M(x,y) = (2x+3y+4) 
M ( x, y )
= 3 dan
y
N(x,y) = (3x+4y+5) 
N ( x, y )
=3
x
Berarti persamaan di atas adalah eksak.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
50
Selesaian PD di atas adalah F(x,y) = C. Untuk mendapatkan F(x,y) = C
dapat digunakan kesamaan
F ( x, y)
= N(x,y) dan
y

F ( x, y )
= M(x,y).
x
F ( x, y)
= (3x+4y+5)
y
 F(x,y) =
 (3x  4 y  5)dy
= 3xy + 2y2 + 5y + F(x)
F ( x, y )
= M(x,y).
x


( 3xy + 2y2 + 5y + F(x)) = (2x +3y +4)
x
 3y + F’(x) = 2x + 3y + 4
 F’(x) = 2x + 4
 F(x) = x2 + 4x + C
Primitif persamaan adalah F(x,y) = 3xy + 2y2 + 5y + x2 + 4x + C
2. (x + y Cos x) dx + sin x dy = 0
Jawab
M(x,y) = x + y Cos x 
N(x,y) = sin x 
M ( x, y)
= Cos x dan
y
N ( x, y )
= Cos x
x
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
51
Berarti persamaan di atas adalah persamaan diferencial eksak. Sehingga
selesaiannya dapat dinyatakan dalam bentuk F(x,y) = C. Untuk mendapatkan
F(x,y) = C digunakan kesamaan
F ( x, y )
F ( x, y )
= M(x,y) dan
= N(x,y)
x
y
F ( x, y )
= x + y Cos x
x
 F(x,y) =
=

(x + y Cos x) dx
1 2
x + y Sin x + G(y)
2
F ( x, y )
= sin x
y

 1 2
( x + y Sin x + G(y) ) = sin x
y 2
 Sin x + G’(y) = sin x

g’(y) = 0

g(y) = C
Diperoleh selesaian umum persamaan F(x,y) =
1 2
x + y Sin x + C
2
 x2 + 2y Sin x = C
Soal-soal
A. Selidiki apakah persamaan di bawah ini eksak atau tidak
1. (3x+2y) dx + (2x+y) dy = 0
2. (y2 + 3) dx + (2xy-4) dy = 0
3. (6xy + 2y2 – 5) dx + (3x2+4xy-6) dy = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
52
4.
2x  1
x  x2
dx +
dy = 0
y
y2
5. (cos x cos y + y)y’ + tgn x = sin x sin y
6. (5xy + 4y2 + 1) dx + (x2+2xy) dy = 0
7. x dx + y dy = (x2+y2) dx
8. l(y2 -
y
1
+2) dx + (
+ 2y(x+1))dy = 0
x( x  y )
x y
9. 2(x2 + xy) dx + (x2+y2) dy = 0
10. (
1
1
4x  1
+ 2 ) dx + (
) dy = 0
2
x
y
y3
B. Tentukan selesaian umum persamaan 1-10 di atas, jika diketahui eksak.
2.6 Persamaan Differensial Tidak Eksak (PDtE)
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah persamaan differensial tingkat satu
derajat satu disebut persamaan differensial tidak eksak jika dan hanya jika:
N ( x, y )
M ( x, y )
.

x
y
Persamaan differenial tidak eksak dapat diselesaikan dan ditentukan primitifnya
dengan cara mencari faktor integral dari persamaan tersebut. Setelah ditentukan
faktor integralnya, maka persamaan differensial tidak eksak tersebut menjadi
persamaan differensial eksak. Faktor integral persamaan differensial tidak eksak
dinyatakan dengan  (x,y).
Setelah diketahui faktor integralnya , maka
persamaan tidak eksak ditulis dalam bentuk:
 (x,y)[M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0]
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
53
  (x,y)M(x,y) dx +  (x,y)N(x,y) dy = 0 (PD eksak)
 M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 - PD tingkat satu derajat satu
Dengan M(x,y) =  (x,y)M(x,y) dan N(x,y) =  (x,y)N(x,y)
Sehingga diperoleh persamaan yang merupakan persamaan differensial tingkat
satu berupa persamaan differensial eksak yang memenuhi sifat
M ( x, y ) N ( x, y )

y
x
dengan
M(x,y) =  (x,y)M(x,y), dan N(x,y) =  (x,y)N(x,y)
Persamaan baru tersebut dinamakan persamaan differensial eksak, sehingga
selesaiannya
dapat
ditentukan
dengan
menggunakan
metode
persamaan
differensial eksak.
Bagaimana menentukan faktor integral persamaan tidak eksak?
Karena  (x,y)[M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0] persamaan eksak, maka:
 (N )
 (M )
=
x
y

M

+M
=
y
y

N

M

-
=(N
- M
)
x
x
y
y
(
N
M
) =
x
y

1

N

+N
x
x
(N


- M
)
x
y
dalam hal ini dapat kita tinjau dari beberapa kasus:
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
54
a. Misal  (x,y) =  (x) yaitu fungsi bervariabel x saja, maka

= 0 dan
y

du
=
, sehingga
dx
x
(
N
M
) =
x
y
1

(N
d
- M.0 )
dx
M N

1 d
y
x
=
 dx
N
M N

y
x
Jika
suatu fungsi dari x atau f(x), maka dari
N
M N

1 d
y
x
=
didapat
 dx
N
1 d
d
= f(x) atau
= f(x) dx

 dx
Ln  =

f(x) dx
f ( x ) dx
 =e 
---- faktor integral yang dicari
b. Misal  =  (y) yaitu fungsi bervariabel y saja maka

y
=

= 0 dan
x
d
, sehingga
dy
d

-M
)
x
dy
(
N
M
) =
x
y
1

(N
(
N
M
) =
x
y
1

( N.0 - M
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
d
)
dy
55
M N

1 d
y
x
=
 dy
M
M N

y
x
Jika
suatu fungsi dari y atau g(y), maka dari
M
M N

1 d
y
x
=
didapat
 dy
M
1 d
d
= -g(y) atau
= -g(y) dy

 dy
Ln  =

-g(y) dy
 g ( y ) dy
 =e 
c. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah persamaan differensial homogen dengan
x M(x,y) + y N(x,y)  0, maka faktor integral  (x,y) =
1
xM ( x, y )  yN ( x, y )
d. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat ditulis y f(xy) dx + x g(xy)dy = 0 dengan
f(xy)  g(xy) maka  (x,y) =
1
1
=
xy[ f ( xy)  g ( xy)]
xM ( x, y )  yN ( x, y )
e. Seringkali faktor integral  (x,y) dapat diperoleh dengan pemeriksaan, hal ini
akan tampak setelah pengelompokkan kembali suku-suku persamaannya.
Dengan mengenal kelompok suku-suku tertentu merupakan suatu bagian
dalam persamaan differensial eksak.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
56
Contoh
Tentukan selesaian umum persamaan differensial berikut dengan terlebih dahulu
menentukan faktor integrasinya.
1. (x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0
Jawab
M(x,y) = x2 + y2 + x 
N(x,y) = xy 
M ( x, y)
= 2y
y
N ( x, y )
=y
x
Sehingga persamaan di atas tidak eksak karena
N ( x, y )
M ( x, y)

x
y
Selanjutnya dicari  (x,y) sebagai faktor integrasi
M ( x, y ) N ( x, y )

1
2y  y
y
x
Karena
=
= = f(x)
x
N ( x, y )
xy
Maka  (x,y) = e 
f ( x ) dx
=e
ln x
= x.
Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan differensial eksak yaitu
x{(x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0}
(x3 + xy2 + x2) dx + (x2y) dy = 0
Dengan menggunakan metode persamaan eksak diperoleh selesaian umumnya
3x4 + 4x3 + 6x2y2 = C
2. (2xy4ey + 2xy3 + y) dx + (x2y4ey – x2y2 – 3x) dy = 0
Jawab
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
57
M ( x, y)
= (8xy3ey + 2xy4) + 6xy2 + 1
y
N ( x, y )
= 2xy4ey – 2xy2 - 3
x
Sehingga persamaan di atas tidak eksak.
Selanjutnya dicari  (x,y) sebagai faktor integrasi
M ( x, y ) N ( x, y )

2
y
x
Karena
= = -g(y)
N ( x, y )
y
Maka  (x,y) = e 
 g ( y ) dy
=
1
y4
Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan differensial eksak yaitu
1
(2xy4ey + 2xy3 + y) dx + (x2y4ey – x2y2 – 3x) dy = 0
y4
Dengan menggunakan metode persamaan eksak diperoleh selesaian umumnya
x2ey +
x
x2
+ 3 =C
y
y
Latihan
Tentukan faktor integral dan selesaiaan umum persamaan
a. (x4 + y4) dx – xy3 dy = 0
b. y(x-2y) dx – x2 dy = 0
c. x dy – y dx = x2ex dx
d. y2 dy + y dx – x dy = 0
e. 3x2y2 dx + 4(x3y-3) dy = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
58
2.7 Persamaan Bentuk y F(xy) dx + x G(xy) dy = 0
Persamaan y F(xy) dx + x G(xy) dy = 0, juga disebut persamaan
differensial tingkat satu derajat satu karena bentuknya M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
Selesaiannya dapat ditentukan dengan menggunakan transformasi xy = z,
sehingga y =
dy =
z
. Dengan menurunkan masing-masing variable diperoleh
x
xdz  zdx
.
x2
Substitusikan bentuk dy =
xdz  zdx
ke persamaan semula
x2
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
 M(x,
z
z xdz  zdx
)dx + N(x, )(
)=0
x
x
x2
 M(x,z) dx + N(x,z) dz = 0
Bentuk terakhir merupakan persamaan yang dapat dipisahkan variabelvariabelnya.
Contoh.
Tentukan selesaian umum persamaan
1. (xy2+y) dx + (x+x2y+x3y2) dy = 0
Jawab
(xy2+y) dx + (x+x2y+x3y2) dy = 0
 y(xy+1) dx + x(1+xy+x2y2)dy = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
59
Transformasikan y =
diperoleh dy =
z
, dengan menurunkan masing-masing variable
x
xdz  zdx
.
x2
Sehingga persamaan semula menjadi
z
xdz  zdx
(z+1) dx + x(1+z+z2)(
)=0
x
x2
 z3 dx – x(1+z+z2) dz = 0

dx
(1  z  z 2 )
–
dz = 0
x
z3

dx
dz
dz
dz
– 3 - 2 +
=0
x
z
z
z


dx
–
x
 Ln │x │+

dz
z3

dz
+
z2

dz
=C
z
1
1
+
+ Ln │z │= c
2
2z
z
Dengan mensubstitusikan xy = z diperoleh selesaian persamaan
2x2y2 Ln │y │- 2xy - 1 = Cx2y2
Sebagai latihan, tentukan selesaian umum persamaan
1. y(xy+1)dx + x(1+xy + x2y2) dy = 0
2.
(y-xy2) dx – (x +x2y) dy = 0
3. (1-xy+x2y2) dx + (x3y – x2) dy = 0 dengan y(1) = 0
4. y(1+2xy) dx + x(1-xy) dy = 0 dengan y(0) = 0
5. y(1-xy) dx + x (xy + 3) dy = 0
2.8 Trayektori Ortogonal
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
60
Suatu kurva yang memotong setiap persamaan keluarga kurva atau dari
sebaliknya dengan sudut tetap  disebut trayektori  dari persamaan differensial
yang diketahui. Jika besar sudut  = 90o maka disebut trayektori ortogonal,
sedangkan jika besar sudut   90º maka diebut trayektori isogonal.
a. Trayektori Isogonal
Integral kurva dari persamaan f(x,y,
y 'tgn
) = 0 adalah trayektori isogonal
1  y ' tgn
dengan sudut tetap  dari persamaan differensial f(x,y,y’) = 0
b. Trayektori Ortogonal
Jika  = 90º maka trayektorinya disebut trayektori ortogonal Integral kurva
dari persamaan differensial f(x,y,
1
) = 0 adalah trayektori orthogonal dari
y'
persamaan f(x,y,y’) = 0.
Jika dinyatakan dalam koordinat polar, integral kurva dari persamaan
diferencial f(r,  ,r2
f(r,  ,
dr
) = 0 adalah trayektori ortogonal dari integral kurva
d
dr
)
d
Jika suatu persamaan hendak ditentukan trayektorinya, maka beberapa
langkah yang ditempuh adalah.
1. Tentukan persamaan differensial dari persamaan keluarga kurva yang
diketahui . Jika persamaan yang diketahui masih terdapat parameter
 maka parameter  harus dieliminir terlebih dahulu.
2. Tentukan persamaan differensial dari trayektorinya.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
61
a. Bila trayektorinya ortogonal dilakukan penggantian
dy
dx
dengan dx
dy
pada persamaan differensialnya.
b. Bila trayektori isogonal dengan sudut tetap
 maka lakukan
dy
 tgn
dy
penggantian
dengan dx
pada persamaan
dy
dx
1  tgn
dx
differensialnya.
c. Bila trayektori  = 45º maka lakukan penggantian
dy
dengan
dx
dy
1
dx
pada persamaan differensialnya.
dy
1
dx
d. Bila trayektorinya dalam koordinat polar maka lakukan penggantian
dr
dr
dengan –r2
.
d
d
3. Selesaikan persamaan differensial baru tersebut dengan metode yang
sesuai sehingga diperoleh persamaan trayektori yang diminta.
Contoh
Tentukan trayektori ortogonal persamaan keluarga kurva x2 + 2y2 = C, C  Real.
Jawab
Persamaan differensial dari persamaan x2 + 2y2 = C adalah
d(x2 ) + d( 2y2 ) = d(C)
2x dx + 4y dy = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
62
 2x + 4y
dy
= 0.
dx
Untuk mendapatkan trayektori ortogonal adalah mengganti
dy
dx
dengan ,
dx
dy
sehingga
2x + 4y
dy
= 0.
dx
 dx 
 2x + 4y    = 0
 dy 
 2x dy – 4y dx = 0
2
dx
dy
–4
=0
x
y
2

dy
–4
y

dx
=C
x
 2 Ln y│- 4 Ln │x│= C
 Ln
y2
=C
x4
 y2 = Cx4
Latihan
1. Tentukan trayektori ortogonal dari persamaan keluarga kurva
a. x2 + y2 – 2Cx = 0
b. y2 + 3x2 – Cx = 0
c. y2 – x2 – C = 0
d. (x2 + y2)2 = Cxy
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
63
e. y = x – 1 + Ce-x
f. r = C Cos 
g.
y2
x2
=
Cx
2. Tentukan trayektori isogonal dengan sudut tetap  = 45º dari persamaan
keluarga kurva
a. x2 + y2 = 2C(x+y)
b. x2 + y2 = C2
2.9 Soal-soal
A. Dengan menggunakan metode yang sesuai, tentukan selesaian umum
persamaan differensial di bawah ini.
1. y’ =
( x  1)
y
2. y’ + y = 2x + 1
3. (2xy – y + 2x) dx + (x2- x) dy = 0
4. y’ =
5. (
x2  1
y2  1
y
xdx
+ x2) dx +
=0
xy  1
xy  1
6. (2x sin xy + x2y cos xy) dx + x2 cos xy dy = 0
7. y’ = xy2 + 2xy
8. (y+y2) dx + (y2-x2-xy) dy = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
64
x  x2  y 2
9. y’ =
y
10. (2x+y+1) dx + (x+3y+2)dy = 0
B. Tentukan selesain masalah nilai awal
1. y’ = (1+y2) tgn x dengan y(0) =
3
dy

= 2x cos2y dengan y(0) =
dx
4
2. b.
3. (x2 + 3y2) dx – 2xy dy = 0 dengan y(2) = 6
4. (2xy – 3) dx + (x2+4y) dy = 0 dengan y(1) = 2
5. (
3 y
y2  1
)
dx
+
(
) dy = 0
x2
xy2
C. Tentukan M(x,y) dan A sedemikian sehingga persamaan berikut eksak.
1. (x3 + xy2) dx + M(x,y) dy = 0
2. (
1
x
+ 3 ) dx + M(x,y) dy = 0
2
x y
y
2
3. (x2+3xy) dx + (Ax2 + 4y) dy = 0
4. (
Ay y
1 1
 2 ) dx + ( 2  ) dy = 0
3
x
x
x
x
5. (
1
1
ax  1
 2 ) dx + ( 3 ) dy = 0
2
y
x
y
D. Tentukan Faktor integrasi persamaan di bawah ini dan tentukan selesaiannya
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
65
1. x dy + y dx = (x2 + y2) dx
2. (2y-3x) dx + x dy = 0
3. (x-y2) dx + 2xy dy = 0
4. x dy + y dx = 3x2 (x2 + y2) dx
5. y dx – x dy + ln x dx = 0
6. (3x2+y2) dx – 2 xy dy = 0
7. (x+y) dx – (x-y) dy = 0
8. y(x+y) dx – x2 dy = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
66