Contoh 2 - WordPress.com

INDUKSI MATEMATIKA
PRODI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS JAMBI
2017
INDUKSI MATEMATIKA
• Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk
membuktikan pernyataan. Pernyataan yang dimaksudkan dibatasi hanya
pada pernyataan yang menyangkut bilangan bulat.
• Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi
secara berulang sesuai dengan pola tertentu.
• Induksi Matematika digunakan untuk membuktikan pernyataan yang
khusus menyangkut bilangan bulat positif. Dengan menggunakan Induksi
Matematika akan mengurangi pembuktian bahwa semua bilangan bulat
positif termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan jumlah
langkah terbatas.
INDUKSI MATEMATIKA
Contoh :
Misalkan p(n) adalah pernyataan yang menyatakan :
“jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n+1)/2”
Misal untuk n = 6, p(6) adalah jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai 6
adalah 6(6+1)/2. Terlihat bahwa 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 = 6(7)/2.
Tetapi pembuktian hanya dengan mengambil contoh p(6) saja tidak berlaku
sebagai bukti bahwa p(n) benar untuk seluruh n.
Walaupun pengambilan contoh n = 6 menghasilkan nilai dibawah
himpunan kebenaran p(n), tetapi n = 6 bukan satu-satunya bilangan
bulat positif karena bilangan bulat positif tidak berhingga banyaknya.
PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA
Misalkan p(n) adalah pernyataan bilangan bulat positif dan akan
membuktikan bahwa p(n) adalah benar untuk semua bilangan
bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, hanya perlu
menunjukkan bahwa :
1. p(1) adalah benar
2. Untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 1, jika p(n) benar maka
p(n+1) adalah juga benar.
Langkah 1 dinamakan basis induksi sedangkan langkah 2 dinamakan
langkah induksi. Selain itu asumsi yang digunakan pada langkah
2 yang menyatakan bahwa pernyataan adalah benar untuk p(n)
disebut hipotesis induksi.
INDUKSI MATEMATIKA-Contoh
Contoh 1:
Tunjukkan bahwa n ≥ 1, 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2 melalui induksi matematika
Jawab :
Langkah 1 :
Untuk n = 1, maka 1 = 1(1+1)/2 adalah benar.
1 = 1 (1+1)/2
= 1 (2)/2
= 2/2
=1
Langkah 2 : Misalkan untuk n ≥ 1
1+2+3+…+n
= n (n + 1) /2
adalah benar (hipotesis induksi), maka akan dibuktikan
bahwa
1 + 2 + 3 + … + n + (n +1) = (n +1) ((n + 1) + 1)/ 2 adalah benar juga.
Sekarang perhatikan:
1 + 2 + 3 + … + n + (n +1) = (1 + 2 + 3 + … + n) + (n +1)
= ( n(n+1)/2) ) + (n+1)
= ( (n2 + n)/2 ) + (2n+2)/2
= (n2 + 3n + 2)/2
= (n+1)(n+2)/2
= (n+1) ((n+1) + 1) / 2
Karena langkah 1 dan langkah 2 keduanya telah dibuktikan benar, maka untuk semua bilangan bulat
positif n,
TERBUKTI bahwa 1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1) /2
INDUKSI MATEMATIKA-Contoh
Contoh 2:
Buktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2
Jawab
Langkah 1.
Untuk n = 1 jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 12 = 1.
Langkah 2.
Misalkan untuk n ≥ 1
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 adalah benar, maka akan dibuktikan bahwa
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2(n+1) – 1) = (n+1)2 atau
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n+1) = (n+1)2 adalah benar juga.
Sekarang perhatikan:
1+3+5+…+(2n – 1)+(2n+1) = (1+3+5+…+(2n – 1)) + (2n+1)
= n2 + (2n+1)
= n2 + 2n + 1
= (n + 1)2
INDUKSI MATEMATIKA-Contoh
Contoh 3:
Untuk n ≥ 1, Tunjukkan bahwa n3 + 2n adalah kelipatan 3
Jawab
Langkah 1.
Untuk n = 1, didapat 13 + 2 (1) = 3 adalah benar kelipatan 3
Langkah 2.
Misalkan untuk n ≥ 1, maka n3 + 2n adalah benar kelipatan 3
Akan diunjukkan bahwa :
(n+1)3 + 2(n+1) adalah juga benar kelipatan 3.
Sekarang perhatikan:
(n+1)3 + 2(n+1)
= (n3 + 3n2 + 3n + 1) + (2n + 2)
= (n3 + 2n) + 3n2 + 3n + 3
= (n3 + 2n) + 3(n2 + n + 1)
Adalah benar kelipatan 3.
Terlihat bahwa : (n3 + 2n) adalah kelipatan 3 dari hipotesis awal langkah 2
Sedangkan bahwa : 3(n2 + n + 1) jelas merupakan kelipatan 3 juga, sehingga n3 + 2n adalah
kelipatan 3 terbukti benar.
INDUKSI MATEMATIKA-Contoh
Contoh 4:
Buktikan bahwa 22n – 1 habis dibagi 3 untuk semua bilangan bulat n ≥ 1
Jawab
Langkah 1.
Untuk n = 1, didapat 22 (1) -1 = 3 habis dibagi oleh 3.
Langkah 2.
Misalkan n ≥ 1, maka 22n -1 adalah benar habis dibagi oleh 3.
Akan ditunjukkan bahwa : 22(n+1) - 1 adalah benar habis dibagi 3.
Sekarang perhatikan bahwa:
22(n+1) - 1
= 22n + 2 - 1
= 22n . 22 - 1 = 4 . 22n – 1 =( 3 + 1).22n – 1
= (22n + 3. 22n) – 1
= (22n – 1) + 3. 22n
Adalah benar kelipatan 3.
Terlihat bahwa : (22n – 1) adalah benar kelipatan 3 dari langkah 1 sedangkan 3. 22n
jelas merupakan kelipatan 3.
INDUKSI MATEMATIKA-Contoh
Contoh 5:
Buktikan bahwa 1(2) + 2(3) +…+ n(n+1) = n(n  1)(n  2)
untuk semua n.
3
Jawab
Langkah 1.
Untuk n = 1, didapat 1(1  1)(1  2)  2 adalah benar.
3
Langkah 2.
Misalkan n ≥ 1, maka adalah benar.
Akan ditunjukkan bahwa :
1(2) + 2(3) + … + n(n+1) +(n+1)(n+2) = (n  1)(n  1  1)(n  1  2)
1(2) + 2(3) + … + n(n+1) +(n+1)(n+2) = (n  1)(n  2)(n  3) 3
3
= (n3 + 3n2 + 3n2 + 9n + 2n + 6)/3
= ((n3 + 3n2 + 2n) + (3n2 + 9n + 6))/3
= ((n3 + 3n2 + 2n)/3) + 3(n2 + 3n + 2)/3
= ((n3 + 3n2 + 2n)/3) + (n2 + 3n + 2)
= n(n+1)(n+2)/3 + (n+1)(n+2) Adalah benar.
Soal Latihan