- Aqila Toko ONline
advertisement
2 IPA
Suku Banyak -1
I. Pengertian Suku Banyak (Polinom)
Bentuk Umum
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
Disebut suku banyak dalam variable x
Dimana :
an, an-1, an-2, ... a1, disebut koefesien suku banyak
a0 , disebut suku tetap (konstanta)
n, disebutkan derajat suku banyak.
Contoh :
3x5 – 12x4 + 3x2 – 9x + 5
disebut suku banyak berderajat 5
III. Nilai Suku Banyak
Bentuk umum fungsi suku banyak :
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
Cara menentukan nilai suku banyak :
1. Substitusi
Contoh :
f(x) = 2x4 – 3x2 + 8 ; untuk x = 2
f(2) = 2(2)4 – 3(2)2 + 8
= 2 (16) – 3(4) + 8
= 28
2. Sintetik
Contoh :
f(x) = x2 – 3x + 4 ; untuk x = 2
II. Operasi Suku Banyak
1. Penjumlahan
Dalam menjumlahkan dua suku banyak atau lebih
adalah menjumlahkan tiap variable/koefisien suku
banyak yang mempunyai pangkat sama.
Contoh :
(4x4 +3x3+5x2–2x–7) + (3x3–5x2+7x–5)
= 4x4 + 6x3 + 5x – 12
2. Pengurangan
Sama halnya dengan penjumlahan, dalam
mengurangkan dua suku banyak atau lebih harus
diperhatikan suku banyak yang mempunyai pangkat
sama atau sejenis
Contoh :
(3x2 – 2) (4x2 – 2x + 5)
3x2 (4x2 – 2x + 5) – 2 (4x2 – 2x + 5)
12x4 – 6x3 + 15x2 – 8x2 + 4x – 10
12x4 – 6x3 + 7x2 + 4x – 10
1
2
1
-3
4
2
-2
-1
2
= f(2)
===========================================
01. Derajat suku banyak (2x – 4)2(x + 1)(4 – x) adalah :
A. 4
D. 3
B. 5
E. 1
C. 2
02. Koefisien dari x3 dari (3x – 4x2)(2x - 5) adalah :
A. 6
D. –15
B. 8
E. –8
C. 20
1
03. Diketahui jumlah suku banyak f(x) + g(x) adalah
8x4 + 2x3 – 12x2 – 6x + 4. Jika g(x) = 3x4 – 5x2 – 6x – 5
maka fungsi f(x) adalah :
A. 5x4 + 2x3 + 7x2 + 9
B. 5x4 + 2x3 – 7x2 + 9
C. 3x4 + 2x2 – 7x + 9
D. 5x4 – 7x3 – 2x2 + 9
E. 3x3 – 7x2 + 2x + 9
04. Jika f(x) = 7x5 – 12x4 + 3x2 – 6x + 9 dan
g(x) = 2x5 + 4x4 – x3 + 5x – 4. Maka jumlah dua suku
banyak tersebut adalah :
A. 9x5 – 8x4 + 2x3 – x + 5
B. 9x5 – 8x4 – 2x3 + x + 5
C. 9x5 – 8x4 – x3 + 3x2 – x + 5
D. 9x5 – 12x4 – 3x2 – 6x + 5
E. 9x5 – 8x4 + x3 – 3x2 – x + 5
05. Diketahui
f(x)
=
(3x2–4)2
(2x–1)
dan
g(x) = 2(5x3 - 3)(x2 + 2), maka selisih dua suku banyak
f(x) – g(x) adalah :
A. 8x5– 50x3 + 30x2 + 32x – 4
B. 8x5 – 9x4 – 68x3 – 30x2 + 32x – 4
C. 8x5 – 9x4 + 30x2 + 32x – 4
D. 8x5 – 9x4 – 68x3 + 30x2 + 32x – 4
E. 8x5 + 9x4 + 68x3 – 30x2 – 32x – 4
2
06 Diketahui f(x) = (4x2 – 3)(2x2 – 7x + 3) dan fungsi g(x) =
3x4 – 16x3 + 2x – 18. Koefisien x3 dari selisih f(x) – g(x)
adalah :
A. 42
D. 12
B. –12
E. 16
C. –42
07. Diketahui fungsi f(x) = (3x – 5)(x + 4)(x2 – 1). Maka
koefisien dari x3 adalah :
A. 7
D. –5
B. 5
E. 4
C. –7
08. Jika fungsi f(x) = (2x3 – 3x)(4x2 – 5)2. Maka koefisien
dari x5 adalah :
A. 128
D. –48
B. –128
E. 48
C. –80
09. Diketahui fungsi g(x) = x3 – 5x2 – 8x + 7. maka nilai
fungsi untuk x = –2 adalah :
A. –4
D. 4
B. 5
E. –5
C. –3
10. Diketahui h(x) = x3 – 7x2 – 4x + 3. Maka nilai fungsi
untuk x = 3 adalah :
A. 25
D. –45
B. –36
E. 45
C. 36
2 IPA
Suku Banyak -2
I.
Pembagian Suku Banyak
Suku Banyak = Pembagi x Hasil bagi + Sisa
atau
f(x) = g(x) . H(x) + S
Dimana :
02. Suku banyak f(x) dibagi (ax – b)
Sisa = f(a/b)
f(x) = Suku banyak
g(x) = Pembagi
H(x) = Hasil bagi
S = Sisa
03. Suku banyak f(x) dibagi (x – a) (x – b)
Contoh :
X2 – 3x – 10 = (x + 2) (x – 50 + 0
01. Jika suku banyak f(x) dibagi (x – h)
Sisa = f(x)
Hasil bagi : bilangan dibawah garis dengan
cara horner (sintetik)
Contoh :
x3 + 2x2 + 4x – 50 : (x – 2)
Sisa = f(2) = (2)3+2(2)2+4(2)–50 = –26
Horner
1
2
1
2
4
–50
2
8
24
4
12
sisa
H(x) = x2 + 4x +12
02. Jika Suku Banyak f(x) dibagi (ax – b)
Sisa = f(x)
H(x)
a
Contoh :
4x3 – 4x2 + 5x – 1 : (2x – 1)
4
½
4
–4
5
–1
2
–1
2
–2
4
1 = f (½)
hasil
04. f(x) = (x – a) (x – b) H(x) + (px + q)
x = a f(a) = 0 + ap + q ap + q = f(a)
x = b f(b) = 0 + ap + q ap + q = f(b)
Contoh :
x4 – 5x2 + 7x – 6 dibagi (x – 2) (x + 1)
f(2) = (2)4 – 5(2)2 + 7(2) – 6 2p + q = 4
f(–1)=(–1)4–5(–1)2+7(–1)–6 –p+q=–17
2p + q = 4
–p + q = –17
3p = 21 p = 7
Subt (2p + q = 4) didapat q = –10
–26 = f(2)
hasil
Hasil Bagi =
II. Teorema Sisa
01. Suku banyak f(x) dibagi (x – x)
Sisa = f(x)
Sisa = 7x – 10
III. Teorema Faktor
Jika f(x) habis dibagi (x – k) , maka f(k) = 0 dan (x – k)
sebagai factor dari f(x) dengan x = k sebagai akar
persamaan.
Contoh :
Tentukan akar-akar x3 – 7x + 6
Jawab :
(x – 1) (x – 2) (x + 3) = 0
x1= 1 x1= 2 x1= 3
Gunakan cara Sintetik Horner !
sisa
H(x) = 4x2 – 2x + 4
3
01. Sisa jika x4 – 5x2 + 7x + 9 di bagi 3x – 6 adalah:
A. 15
D. 18
B. 16
E. 19
C. 17
02. Hasil bagi jika f(x) = 2x4 – 3x2 + 5x – 9 di bagi x – 3
adalah :
A. 2x3 + 6x2 + 15x + 50
B. 2x3 + 6x2 + 15x + 51
C. 2x3 – 6x2 + 15x + 52
D. 2x3 + 6x2 + 15x + 53
E. 2x3 + 6x2 + 15x + 54
03. Sisa jika x4 – 5x2 + 7x – 9 di bagi oleh x + 2 adalah :
A. –25
D. –28
B. –26
E. –29
C. –27
04. F(x) = 5x3 – 4x2 + kx + 17 jika di bagi 2x + 4 bersisa 9.
Nilai k yang memenuhi adalah :
A. –21
D. –24
B. –22
E. –25
C. –23
05. Jika f(x) = x3 – 7x + 6 di bagi x + 3 Maka akan bersisa :
A. –54
D. 18
B. 24
E. 54
C. 0
06. Suku banyak 6x3 + 7x2 + px – 24 habis di bagi 2x – 3.
Maka nilai p adalah :
A. –24
D. 9
B. –9
E. 24
C. –8
07. Jika 2x3 + x2 – px – 8 habis di bagi x + 2. Maka nilai p
adalah :
A. –12
D. 8
B. –10
E. 10
C. –8
08. Jika 2x4 + x3 + 3x + 6 di bagi x2 + x + 2, maka sisanya
adalah :
A. 4x – 12
D. 8x + 12
B. 4x + 12
E. 6x + 8
C. 2x – 12
09. Jika f(x) di bagi x – 1 sisanya 4 dan di bagi x – 2
sisanya 5, maka jika f(x) di bagi x2 – 3x + 2 sisanya
adalah :
A. x + 3
D. x – 2
B. x + 2
E. x – 3
C. x + 1
10. X = 2 dan x = 7 adalah akar-akar persamaan
x3 + 5x2 + cx + d, akar yang lain adalah
A. 12
D. 15
B. 13
E. 16
C. 14
Orang yang baik adalah orang
yang paling bermanfaat bagi
orang lain
4
2 IPA
Suku Banyak -3
I.
Bentuk Umum Suku Banyak (Polinom)
f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + _ a0
an . an-1 … ao = koefisien suku banyak
n = derajat suku banyak
(n bilangan asli)
Contoh :
f (x) = 4x5 + 3x4 – 2x2 + x – 15
g (x)= 12x3 – 7x2 – 32
II.
Operasi Suku Banyak
Penjumlahan dan Pengurangan
2 suku banyak dapat dijumlahkan dan dikurangkan
dengan cara mengoperasikan suku-suku sejenis.
Contoh :
P(x) = 3x4 – 2x3 + 5x2 – 7
f (x) = 5x2 + 4x – 15
operasi : a. P(x) + f(x)
b. P(x) – f(x)
Perkalian Suku Banyak
Mengalikan setiap elemen suku banyak dengan
elemen dari suku banyak yang lain.
Contoh :
P (x) = 2x2 - 5
f (x) = x2 – 3x + 7
operasi : a. P(x) . f(x)
Pembagian Suku Banyak
P(x) = f(x). H(x) + S(x)
Dimana : P(x) = fungsi suku banyak
f(x) = fungsi pembagi
H(x) = fungsi hasil
S(x) = fungsi sisa = ax + b
Dua cara pembagian suku banyak :
01. Cara pembagian biasa
02. Cara pembagian Sintetik Horner
Contoh :
(3x3 + 2x2 – 4x + 6) = (x + 1)
III. Nilai Suku Banyak
Bentuk Fungsi :
f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + ao
Cara menentukan nilai suku banyak :
01. Cara Subsitusi
02. Cara Sintetik
IV. Teorema Sisa
Jika polinom f(x) dibagi oleh :
01. (x a) maka sisa = P ( a)
02. (x b) maka sisa = P ( b )
a
03. (x – a)(x – b),maka sisa :
f (a) f (b)
ab
x+
af (b) bf (a)
a b
V. Teorema Faktor
Teorema faktor digunakan untuk menguraikan atau
memfaktorkan persamaan polinom dengan cara
horner.
01. Jika polinom habis di bagi (x – a) maka :
(x – a) disebut faktor dari polinom
x = a disebut akar dari polinom
02. Jika (x – a) merupakan faktor dari polinom P(x)
maka sisa = P(a) = 0
Contoh
x2 – 2x – 15 = 0
x3 – 4x2 + x + 6 = 0
x4 – 2x3 – 7x2 + 8x + 12 = 0
“Sesungguhnya di dalam jasad manusia ada segumpal darah, apabila segumpal darah itu baik maka baiklah
seluruh jasad namum apabila rusak maka rusaklah seluruh jasad. Ingatlah segumpal darah itu dalah hati”
5
01. Suku banyak (2x – 4)2 (x + 1) (4 – x) berderajat …
A. 1
D. 4
B. 2
E. 5
C. 3
02. Suku banyak f(x) = (6x + 5)2 (2x – 3) dan
g(x) = (3x + 4)(x – 1)2 Maka operasi jumlah dari kedua
suku banyak adalah …
A. 75x2 – 10x2 + 135x – 71
B. 75x3 + 10x2 – 135x – 71
C. 75x3 – 10x2 – 135x + 71
D. 75x2 + 10x2 + 135x + 71
E. 75x2 – 10x2 – 135x – 71
03. Diketahui suku banyak :
f(x) = 4x3 – 35x2 + 51x – 25 dan
g(x) = (x – 3)2 (3x – 7),
Maka selisih suku banyak f(x) – g(x) adalah …
A. x3 – 25x2 + 44x - 63
B. x3 – 10x2 - 18x - 38
C. x3 – 10x2 - 18x + 38
D. x3 – 10x2 + 18x - 38
E. x3 + 10x2 + 18x - 38
07. Suku banyak dibagi x – 4 bersisa 14 dibagi x – 2
bersisa 8. Maka sisa suku banyak jika dibagi
x2 – 6x + 8 adalah …
A. 3x + 2
B. 3x – 2
C. 2x + 3
D. 2x – 3
E. 2x – 1
08. Sisa suku banyak 4x3 – 3x2 – 5x + 7 jika dibagi
x2 + x- 2 adalah …
A. 10
B. 10x + 7
C. 10x – 7
D. 7x - 10
E. 7x + 10
09. Salah satu akar dari suku banyak :
2x3 – 15x2 + 22x + 15 adalah – 1/2 .
Maka jumlah dari dua akar yang lain adalah….
A. 5
D.
8
B. 3
E. – 3
C. - 2
04. Suku banyak (3x2 – 5x + 7) (4x + 3) (2x – 1).
Maka koefisien dari x3 adalah…
A. - 34
D. – 22
B. 34
E. – 18
C. 22
05. Hasil bagi suku banyak 6x3 – 29x2 + 35x
(2x – 5) adalah …
A. 3x2 + 7x
B. 3x2 – 7x
C. 3x + 15x
D. 2x2 – 7x
E. 2x2 – 15x
06. Jika suku banyak x3 – 2x2 + 3x – 32 dibagi
(x – 4), Maka sisa bagi suku banyak adalah ..
A. 64
D. 16
B. 32
E. 12
C. - 32
dibagi
10. Tentukan akar-akar dari suku banyak :
x3 – 4x2 – 51x + 54 = …
A. – 9, – 6 dan – 1
B. – 9, 1 dan 6
C. – 9, – 6 dan 1
D. – 6, 1 dan 9
E.
1, 6 dan 9
Orang yang bijaksana adalah orang yang
selalu tahu menempatkan diri dalam
berbagai situasi
6
2 IPA
Fungsi Komposisi
I. PENGERTIAN RELASI DAN FUNGSI
Jika A dan B masing-masing menyatakan himpunan,
maka A x B = {(x,y)|x A dan y B}
Relasi dari himpunan A ke himpunan B ditulis :
R = {(x,y)|x A dan y B}
Contoh :
Misalkan A = {a, b} dan B = {1, 2, 3}
Maka A x B = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}
Untuk mencari relasi dari himpunan A ke himpunan B,
dapat dilakukan dengan 3 (tiga) cara :
01. Diagram panah
A
B
1
a
2
b
3
c
II. Fungsi atau Pemetaan :
Fungsi adalah relasi yang menghubungkan setiap x A
dengan satu dan hanya satu y B.
Contoh :
Relasi dari himpunan A {a, b, c} ke himpunan B {p, q, r},
manakah yang merupakan fungsi :
a
p
a
p
q
b
q
1. b
2.
c
r
c
r
3.
a
b
c
p
q
r
a
4. b
c
p
q
r
Komposisi Fungi :
Jika f : A B , g : B C dan h : A C dapat ditulis :
h = g o f (baca g lingkaran f)
h = (g o f)(x) = g(f(x))
Catatan :
02. Himpunan pasangan berurutan
R = {(1,b), (2,c),(3,a)}
03. Grafik kartesius
4
f o g g o f secara umum
(f o g) o h = f o (g o h)
Contoh :
Jika
f(x) = 3x – 16
g(x) = 5x + 12
3
2
1
1
2
3
Domain = Daerah asal
Kodomain = Daerah hasil
Range = Hasil / Jelajah/ Jangkauan
Maka :
(f o g)(x) = f(gx)
(g o f)(x) = g(fx)
= 3(gx) – 16
= 3(5x + 12) – 16
= 15x + 20
= 5(fx) + 12
= 5(3x – 16) + 12
= 15x – 68
7
4
2x 5
4
B.
4x 3
2x 1
C.
2x 3
A.
01. Relasi “satu kurangnya dari” dari himpunan
S = {0, 1, 2, 5} ke himpunan T = {1, 2, 3, 4}. Tentukan
himpunan berurutannya :
A. (0, 1), (1, 2), (2, 3), (5, 4)
B. (0, 1), (1, 2), (2, 3)
C. (1, 0), (2, 1), (3, 2)
D. (1, 2), (2, 3)
E. (0, 2), (1, 3), (0, 4), (5, 1)
02. Relasi “akar dari” dari himpunan
A = {0, 1, 2, 3,…, 10} ke himpunan
B = {2, 4, 6, …, 36} akan mempunyai range :
A. 2, 4, 6
D. 2, 4, 6, …, 36
B. 0, 1, 2, 3, …, 10
E. 0
C. 4, 16, 36
03. Hubungan relasi yang bukan fungsi adalah :
A.
1
2
3
a
b
c
B.
1
2
3
a
b
c
1
2
3
a
b
c
C.
D.
1
2
3
a
b
c
E.
1
2
3
a
b
c
f(x) =
2x 4
B. Df {x | x 1} dan Rf {y | y 0}
C.
D.
E.
Df {x | x 2} dan Rf {y | y 1}
Df {x | x 0} dan Rf {y | y 2}
Df {x | x 1} dan Rf {y | y 2}
05. Jika diketahui f(x) = 2x + 1 dan g(x) =
Maka (g o f)(x) = ….
8
fog (–1) = …
A. 13
B. – 13
C. 12
4
,
2x 3
D. –12
E. 14
07. Jika diketahui f(x) = 2x – 1 dan g o f(x)
= 4x2 – 8x +8. Maka g(x) adalah ..
A. x2 – 2x + 5
D. x2 – 2x – 5
B. x2 – 3x + 7
E. x2 + 2x + 5
2
C. x – x + 6
08. Jika diketahui f(x) = 3x – 1 dan g o f (x) =
6x 2
.
15x 5
Maka nilai g(2) adalah ….
A. 0,5
D. 0,8
B. 0,6
E. 0,9
C. 0,7
09. Jika f(x)= 3x2 – 5 dan f og (x) = 3x2 – 42x + 142. Maka
D. 3x + 5
E. 2x – 5
10. Jika f(x) = 2x2 – 3x + 1 dan g(x) = 2x + 5. Maka
f o g (–1) adalah …
A. – 10
B. 8
C. 10
A. Df {x | x 2} dan Rf {y | y 0}
E.
4x 5
2x 3
4
4x 5
06. Jika diketahui f(x)= 3x – 1 dan g(x) = x2 – 5. Maka
g (x) adalah ….
A. x – 7
B. 2x + 7
C. x + 7
04. Tentukan domain dan range dari suatu fungsi
D.
D. – 9
E. 12
2 IPA
Fungsi Invers
Fungsi Invers :
Jika f : A B dan f–1: B A, maka f–1 disebut fungsi
invers dari f, untuk merumuskan fungsi invers,
misalnya
y = f(x), ubahlah fungsi itu sehingga
menjadi x fungsi dari y kemudian ganti x dengan f–1(x)
dan y dengan x.
Cth :
Jika f : x y ditentukan f(x) = 2x – 6, maka fungsi
Contoh :
Fungsi invers dari f(x) =
Jb :
f(x) = y =
3x 4
2x 1
2xy – y = 3x + 4
y4
2y 3
inversnya adalah :
f(x) = y = 2x – 6
x=
y6
2
–1
f :yx
maka f–1(x) =
x=
f–1(x)=
x6
2
ax b
cx d
x4
2x 3
Invers Fungsi Komposisi :
Jika h(x) = (f o g)(x) = f(g(x)),
maka
h–1(x) = (f o g)–1(x) = g–1(f–1(x))
Bentuk umum perubahan :
f(x) =
Cth :
Jika f : R R dan g : R R dirumuskan dengan
x 1
; x 0 dan g(x) = x + 3.
x
Maka fungsi inversnya
f(x) =
Y =
ax b
cx d
cxy dy ax b
Maka (gof)–1(x) adalah :
Jb :
cxy ax b dy
f(x) =
x
dy b
cy a
Dimana :
y = f(x) dan x = f-1(x)
f–1(x) =
dx b
cx a
3x 4
adalah
2x 1
x 1
x
; f–1(x) =
g(x) = x + 3
Maka (gof)–1(x) =
1
1 x
; g–1(x) = x – 3
f–1(g–1(x)) =
1
1 g 1 ( x)
f–1(g–1(x)) =
1
4x
9
01. Jika f : R R ditentukan f(x) = 2x + 5, maka invers
fungsi f(x) adalah :
x5
x5
A.
D.
2
2
5x
x2
B.
E.
2
x
2
C.
x5
02. Jika f : R R ditentukan f(x) =
fungsi f(x) adalah :
x2
A.
x
x2
B.
x
C. 2x + 12
D.
E.
x
x2
x
x2
03. Jika f : R R ditentukan f(x) =
dari fungsi invers f(x) adalah :
A. {x | x = 3 2 , x R}
B. {x | x –
3
2
2
, maka invers
x 1
3x 5
, maka domain
2x 4
, x R}
C. {x | x = – 3 2 , x R}
D. {x | x ½, x R}
E. {x | x 3 2 , x R}
04. Jika f : R R ditentukan f(x) =
f–1(1) adalah :
A. – 5
B. – 4
C. – 3
3x 5
, maka nilai
x5
D. 5
E. 4
05. Jika f : R R ditentukan f(x) = x2 – 6x + 9, maka nilai
f–1(4) adalah :
A. –1 dan 5
D. 2 dan 3
B. 1 dan –5
E. –2 dan 3
C. 1 dan 5
06. Jika f : R R dan g : R R dirumuskan dengan
3x
x 1
f–1(x) =
; dan g–1(x) =
. Maka (fog)–1(6)
5
2
adalah :
A. –1
D. 2
B. 1
E. 3
C. –2
07. Jika f : R R dan g : R R dirumuskan dengan
1
f(x) = ; dan g(x) = 2x – 1. Maka (fog)–1(x) adalah :
x
x 1
1 x
A.
D.
2x
2x
x 1
2x 1
B.
E.
2x
x 1
2x 1
C.
x 1
08. Jika f : R R dan g : R R dirumuskan dengan
f(x) = ½ x – 1 dan g(x) = 2x + 4. Maka (gof)–1(10)
adalah :
A. 8
D. 5
B. 7
E. 4
C. 6
09. Jika f : R R dan g : R R dirumuskan dengan
3x 5
(fog)(x) =
dan g(x) = 2x – 4. Maka f–1(x) adalah
x2
:
8x 2
8x 2
A.
D.
3x
3x
8x 2
3x
B.
E.
3 x
8x 2
8x 2
C.
x 3
10. Jika f : R R dan g : R R dirumuskan dengan
(gof)(x) = x2 dan g(x) = x2 – 4x + 4. Maka f–1(x) adalah :
A. x + 2
D. 3x – 2
B. 2x – 1
E. 2x – 3
C. x – 2
Jika penderitaan itu telah semakin menghimpit, maka penyelesaian
akan datang, pada malam pasti akan datang terbit fajar
10
2 IPA
Fungsi Komposisi & Fgs Invers
I.
Pengertian relasi dan Fungsi
Jika A dan B menyatakan himpunan, maka
A x B = {(x, y) | x A dan y B}
{x,y} dinamakan pasangan berurutan (x, y) (y, x).
Relasi dari A ke B ditulis :
R = {(x, y) | x A dan y B}
Ada 3 cara menyatakan relasi, yaitu :
1. Diagram panah
2. Himpunan pasangan berurutan
3. Grafik kartesius
Fungsi : relasi yang memasangkan setiap x A
dengan satu dan hanya satu y B.
II. Fungsi Komposisi
Jika f : A B, g : B C dan h : A C, Maka dapat
ditulis :
h = g f (baca : g bundaran f)
h(x) = (g f) (x) = g(f(x))
catatan :
f g g f secara umum
(f g) h = f (g h)
Contoh :
Jika f(x) = x2 – 2 dan g(x) = 2x + 1 maka komposisi
f(g(x)) adalah…
Jawab :
f(g(x)) = g(x)2 – 2
= (2x + 1)2 – 2
= 4x2 + 4x – 1
III. Fungsi Invers
Jika f : A B dan f-1 : B A, maka f-1 disebut fungsi
invers dari f.
Catatan :
y = f(x)
x = f-1 (x)
contoh :
f(x) = 3x + 5, tentukan fungsi invers
y 5
3
x 5
f-1 (x) =
3
3x = y – 5 x =
Contoh :
f(x) =
y=
3x 4
, tentukan fungsi invers :
2x 1
3x 4
2yx – y = 3x + 4
2x 1
(2y – 3)x = y + 4
x=
y 4
2x 3
kartu As :
f(x) =
ax b
dx b
f 1 ( x )
cx d
cx a
IV. Invers Fungsi Komposisi
Jika h = g f, maka h-1 (x) = (g f)-1 (x)
Atau h-1 (x) = (f-1 g-1) (x)
Contoh :
Jika f(x) =
1
dan g(x) = 2x – 1, maka (f g)-1 (x)= …
x
Jawab :
1
=y
2x 1
1 = 2xy - y
y 1
x =
2y
x 1
(f g)-1 (x) =
2x
f g (x) =
01. Fungsi f : x y dirumuskan dengan
f(x) =
3x 15
12 4 x
. Maka domain dari fungsi invers
f (x) tersebut adalah :
A. {x | x 5 , x riel}
4
B. {x | x 3 , x riel}
4
C. {x | x 3 , x riel}
4
5
D. {x | x –
, x riel}
4
E. {x | x 1, x riel}
11
02. Fungsi f : x y dan g : x y f(x) = x – 1 dan
g(x) = x2 – 3x + 5. Maka fungsi komposisi (gof)(x) = …
A. x2 – 4x + 12
B. x2 – 5x – 9
C. x2 + 4x + 9
D. x2 – 5x + 12
E. x2 – 5x + 9
03. Fungsi f : x y ; g : x y ditentukan f(x) = 3x + 4
dan (g o f)(x) = 15x + 27. Maka fungsi g(x) adalah :
A. 7x – 5
D. 5x + 7
B. 7x + 5
E. 3x + 5
C. 3x – 7
04. Fungsi f : x y ; g : x y , f(x) = 12x + 7 dan f o g(x)
= 12x2 – 24x + 19. Maka fungsi komposisi g(x) adalah :
A. x2 – 2x + 3
B. 2x2 – 4x + 3
C. (x – 2)2
D. x2 – 2x + 7
E. (x – 1)2
05. Diketahui fungsi f dengan rumus f(x) =
Maka fungsi f–1(x) adalah :
x5 - 3
A.
B.
x5 + 3
C.
x5 + 3
D.
x3 + 5
E.
x3 - 5
06. Jika ditentukan f(x) =
x2
– 6x + 4,
07. Fungsi f : R R dan g : R R dirumuskan dengan
f(x) = ½x – 1 dan g(x) = 2x + 4 . Maka (g o f)–1(6)
adalah :
A. 4
D. 12
B. 8
E. 16
C. 9
08. Jika invers fungsi f(x) adalah f–1(x) =
adalah :
A. 9
B. 5/9
C. 1
B.
C.
x 1
4x 1
x4
4x 1
4x 1
x 1
A.
x9
2
B. x – 9
C.
x9
2
D. x + 9
E.
x6
2
10. Fungsi ditentukan g(x) = x2 – 4x + 4 dan (g o f)(x) = x2,
maka fungsi f–1(-1) adalah
A. –3
B. –2
C. –1
D. 1
E. 3
4x 1
dengan x riel dan x 4.
x4
4x 1
x4
4x 1
E.
x4
D.
12
D. –3/7
E. –1
09. Fungsi f : R R ditentukan oleh f(x) = 2x + 5 dan g(x)
= x + 2, maka (fog)-1 (x) memetakan x ke…
Maka f–1(x) adalah :
A.
2x
. Maka f(-3)
3x
2 IPA
Limit - 1
I.
Pengertian Limit
Konsep dasar dari limit adalah pencapaian hasil
melalui beberapa pendekatan, dalam arti merupakan
laju perubahan fungsi f(x) terhadap perubahan x.
y
Untuk mendapatkan nilai limit dapat dengan
mensubstitusikan nilai x = 1 pada fungsi f(x), sehingga :
2
2
(1) 4
Limit x 4
=
f(x)
=
=3
x1
x2
12
III. Cara Menyelesaikan Limit
01. Cara Substitusi
Substitusi langsung digunakan untuk fungsi yang
kontinu (disubstitusi langsung dapat hasil)
Contoh :
y=f(x)
y
x
x
2
y + y = f(x + x)
y = f(x + x) – y
Limit 3x 2
x3
2
9-x
Limit 2x x 3
x1 2
x 3x 2
Lim Δy
Lim f(x Δx) - f(x)
= Δx0
Δx0
Δx
Δx
II.
Nilai Limit
Ada 2 bentuk nilai limit, yaitu :
01. Bentuk tertentu
Bilangan
Bil
=N
0
02. Bentuk Tak Tentu
00
0
Bil
=O
2
02. Cara Fakorisasi
Digunakan ntuk fungsi yang dapat difaktorkan
(mis: fungsi kuadrat)
Contoh :
2
(x 2) (x 2)
Limit x 4
=
=x+2
x2
x2
(x 2)
Limit
x2 x + 2 = 4
-
0.
Contoh:
Tentukan limit fungsi f(x) untuk x 1
2
Jika f(x) =
2
4 (1)
Limit 4 x
=
=3
x1
2(1) - 1
2x - 1
x 4
2
Limit x 2x 15
x3
2
6xx
Limit 3x 2x 5
x1 2
x 7x 5
2
x-2
Pernyataan diatas dinotasikan sbb:
2
Limit x 4
x1
x-2
13
4
06. lim
x 1 x 2
01. limit
x 4
x4
sama dengan ....
x 2 x 12
1
7
A. 0
D.
B. 1
C. 14
E.
x 2
2
x 5x 6
A. –4
B. 0
C. 1
03. lim
x 1
x
3
x
3
04. lim
x 2
= ....
D. 2
E. 4
4x
2
5x 10
2
= ....
2x 2x 5
D. 4
E.
16
9
5x 3 40
x2 4
1
6
E. 0
3x 2 4x 3
08. lim
D. 20
E. 18
3
3
adalah ....
D.
1
E.
3a2
x 1
A. –2
B. –½
C. – 13
09. Jika
10. lim
x 1
x ax
x a
= ....
D. –9
= ....
D. ¼
E. ½
lim f(x) =
xm
A. 105
B. 85
C. 45
adalah ....
A. 3a2
B.
4x 4
–3
dan
lim 3g 2 (x) 10f(x) = ....
2
x a
x 1
xm
A. 15
B. 10
C. 12
05. lim
4x 5 8x 1
07. lim
x 1
A. 0
9
B. 16
C.
D. –1
E. 1
B. – 16
C. –6
2
02. lim
2
adalah ....
(x 1)
A. ½
B. –½
C. ¾
A.
3x 8x 4
1
1
3a
a
3
D. –15
E. –45
x 2 2x 1
= ....
2
x2 1
A.
1
3
D. – 15
B.
¼
E. – 16
C.
½
C. 3a
Menyadari bahwa anda bodoh, adalah langkah yang
besar menuju ke pengetahuan.
14
lim g(x)
xm
=
5,
2 IPA
Limit -2
I. Menentukan Limit Bentuk Akar
Bentuk akar pada umumnya tidak mudah untuk
difaktorkan, maka agar dapat disederhanakan
pembilang dan penyebut dikalikan bilangan sekawan.
3 4x 1
x 2
Contoh : Lim
x 2
Jawab :
3 4x 1
3 4x 1
x 2
9 (4x 1)
Lim
x 2 (x 2) 3 4x 1
4 ( x 2)
Lim
x 2 ( x 2) 3 4 x 1
Lim
3 4x 1
x 2
=
4
3 4x 1
Lim
=
2
3
4x 1 2
x 2
10 x 1 3
Lim
4 x 4 2 x 10
6 2x
x 2
Teorema – 03
Jika f dan g fungsi-fungsi dari x dan c adalah konstanta,
maka :
Lim f ( x ) g ( x ) = Lim f ( x ) Lim g ( x )
x c
x c
x c
Teorema – 04
Jika f dan g fungsi-fungsi dari x dan c adalah konstanta,
maka :
Lim f ( x ) . g ( x ) = Lim f ( x ) . Lim g ( x )
x c
xc
x c
Teorema – 05
Jika f dan g fungsi-fungsi dari x dan c adalah konstanta,
maka :
Lim
xc
Lim f ( x )
f ( x)
=
g( x)
x c
Lim g ( x )
x c
Teorema – 06
Jika f merupakan fungsi dari x dan c adalah konstanta,
n bilangan bulat, maka :
II. Teorema Limit
Teorema – 01
Jika c dan k adalah konstanta, maka :
1
Lim f ( x )
x c
n
x c
= Lim f ( x )
1
n
Lim k k
x c
Teorema – 02
Jika f merupakan fungsi dari x dan c adalah konstanta,
maka :
Lim f( x) f(c)
x c
15
06.
Limit
A.
x 0
A. –3
B. 3
C. 13
02. Limit
x 25
3x 2 2x 1
x2 4
x 5
A. 79
10 x 1 3
= ….
B.
C.
1
D. 10
E. 10
x 2
A. 6
B. 8
C. 9
E.
A. –1
B. –½
C. 0
x 2 x 15
x 2 x 20
09. Jika Limit f (x ) = –1 dan Limit g (x ) = 4, maka
xk
Limit 4f ( x ) g ( x ) = ….
= ….
D.
9
20
19
20
D. ½
E. 1
xk
2
1
3
1
6
= ….
E.
x k
9
8
E.
A. -1
B. 1
C. 2
D. 3
E. -2
10. Jika Limit h(x ) = 8 dan Limit f (x ) = 3 serta
xn
05. Limit
x 2x 1
= ….
x 1
x 1
x 5
= ….
x 25
D.
D.
3
10
3
20
9
10
08. Limit
8
9
9
8
C.
A.
D. –9
E.
A. 0
B. 1
C. 2
04. Limit
3x 1 2
07. Limit
x 1
A. 0
B. 1
C. 9
03. Limit
C.
D. 2
E. 1
x 2
B.
B.
2x 2 x 3
= ….
3x 1
01. Limit
x 0
1
2
1
3
1
6
9 x 9 x
= ….
2x
4x
2
3 x2 5
= ….
D. 10
E. 12
xn
g( x) . (h( x))
Limit g (x ) = 2, maka Limit
3f ( x ) 5
x n
xn
A. –1
B. –2
C. –3
2
3
=...
D. 1
E. 2
=============================================================================================
Kesabaran itu pahit, tetapi buahnya manis. ‘Jean Jacques Rousseau’
=======================================================================================
16
2 IPA
Limit -3
Limit fungsi tak hingga
Apabila x , maka untuk menyelesaikan limit bentuk
: Lim
x
f ( x)
g( x)
Merasionalkan bentuk limit tak berhingga
Bentuk umum :
ax 2 bx c ax 2 px q
Lim
x
Bentuk umum :
nilai limit =
ax m bx m ...
Lim
n
n
x px qx ...
m = n, maka nilai limit =
a
p
Contoh :
x
) Lim
x
2 a
Contoh :
4x 2 3x 9
3x 2 x 7
2 x 3 52
3 x 2 x 3
x 2 4 x x 2 2x 3
Lim
01. Apabila pangkat tertinggi dari f(x) = g(x) atau
) Lim
bp
x
Jawab :
x 2 4x x 2 2x 3
Lim x 2 4 x x 2 2 x 3
2
2
x
x
4
x
x
2
x
3
Lim
x
)
x2 4 x x2 2 x 3 =
2
2
x 4x x 2x 3
x2 4x 5
Lim
4 ( 2 )
2 1
=3
x2 x 2
x
02. Apabila pangkat tertinggi dari f(x) > g(x) atau
m > n, maka nilai limit =
Contoh :
) Lim
x
) Lim
x
3
2
4x 6 x 9x
3 x 2 5 x 3
2 x 2 3 x 2
x 7 39 x 2 6 x 3
x
3 x 3 11 x 7 x 9
) Lim
12 x 2 43
3 x 3 1 x 4 3
x
Lim 3 x 2 9 x 2 3 x 7
x
)
4 x 2 2 x 11 2 x 5
Lim
x
2x 2 3x 7
03. Apabila pangkat tertinggi dari f(x) < g(x) atau
m < n, maka nilai limit = 0
Contoh :
) Lim
)
Sebagian besar sukses terdiri dari
tetap bertahan
sementara orang lain melepaskannya.
‘William Feafher’
17
x 3 3x 2 6 x 8
06. Lim
x 2 3 x 10
x
x 2 2x 1
01. Lim
2x 2 x 3
x
A.
= ….
D.
1
2
B. – 12
C. –
02. Lim
E. 1
6 2x 6 x 2
4 x 2x 2
D. 3
3
2
E.
12 x 3 6 x 2 4 x 1
2x 3 3x 4x 5
x
1
3
= ….
A. – 15
D. 6
B.
E. –5
C.
04. Lim
x
A.
1
5
1
6
(2 x 1 ) 3
(3 x 2) 3
C.
05. Lim
x
x 3 4 x 2 8x 1 6
x
= ….
D. –2
E. 12
x 2 5 x 1 x 2 3 x 4 = ….
08. Lim
x
A. 1
B. 2
C. 3
09. Lim
x
D. 4
E. 5
x 5 x 3
A. 2
B. 3
C. 4
4 x 7 = ….
D. –2
E. –4
9 x 2 2 x 4 3 x 2 = ….
x
D.
B. – 23
3x 3 6x 2 7x 1 12
10. Lim
= ….
2
3
07. Lim
D. 0
E.
A. 3
B. –3
C. 2
= ….
B. – 23
C. –3
03. Lim
1
3
1
3
x
A.
A. 1
B. –1
C. 54
= ….
E.
8
27
8
– 27
4
9
A.
7
3
B. – 73
D.
5
3
E.
3
5
C. – 53
(1 4 x) 2
= ….
(x 1) 3
A. –16
B. 16
1
C. 16
D. 0
E.
======================================================================
Perhatikannlah apa yang diucapkan seseorang bukan siapa yang mengucapkan
‘Ali bin Abi Thalib r.a’
================================================================
18
2 IPA
Limit -4
I. Limit Fungsi Trigonometri
Rumus Dasar I
) Lim
Sin x
) Lim
Sin ax
bx
x 0
a
b
2
) Lim
Sin ax
(bx )
x 0
2
x 0
x
) Lim
1
Sin
x
x 0
1
x
x 0
) Lim
) Lim
x 0
a2
b
2
) Lim
x 0
ax
Sin bx
( ax )
2
Sin bx
Bukti !
a
b
2
Lim
Misalkan y = 2x,
b
= Lim
2
Sin y
2y
x 0
x
x 0
x=½y
Lim
Sin 2 x
x
x 0
= (2,71828)
1
Lim 1 x
x
t
= Lim 1 1t
x
= 2, 71828
( x 5) 2
2 x 3 52 = ….
3 x 2 x 3
1 Cos 4 x
01. Lim
Cos 6 x 1
x
1
Tan ax
bx
x
Sin2 (3 x 15)
Lim
x
1
x
x . Sin x
Lim
Tan x
1
Cos x
Untuk x 0, maka t
=
1 Cos 4 x
Lim
) Lim
x 0
a
b
) Lim Cos x 1
x 0
1 x
x
Jawab :
Misalkan t =
x
A.
B.
C.
Rumus Dasar II
) Lim
. Lim
Contoh :
=2
x 0
x 0
Lim 1
Sin 2 x
maka
x 0
) Lim
x
II. Bilangan
Bentuk umum :
x 0
x 0
)
x . Cos x
Sin x
= 1 . 1 = 1
x 0
)
x 0
1
x 0
)
x
Sin x
Tentukan nilai limit fungsi x 1
Tentukan limit : Lim
1
= Lim
a2
Contoh :
y 0
Tan x
x 0
Rumus Trigonometri
) Sin 2 x + Cos 2 x = 1
) Sin 2x = 2 Sin x . Cos x
) Cos 2x = Cos 2 x – Cos 2 x
) Cos 2x = 1 – 2 Sin 2 x
Lim
1
1
Cos x
) Lim
x 0
x
1
Tan x
ax
Tan bx
a
b
) Lim Cos ax 1
x 0
02. Lim
2
4
4
D.
E.
3
9
4
2
27
27
3
4 x 2 2 x 11 2 x 5 = ….
x
A. 4,5
B. 5,5
C. 3,5
D. –4,5
E. –5,5
19
3x 1 2
03. Lim
10 x 1 3
x 1
A.
9
B.
9
C.
3
20
D.
9
10
E.
9
5
25
08. Lim
5
( x 5) 2
x 5
D. 10
E. 0
2
5 ( x 6 x 9)
A.
8
B.
16
C.
8
Lim
= ….
B.
9
C.
9
07. Lim
x 0
x
x2
x 0
= 1, maka nilai dari
= ….
D.
32
5
B.
2
E.
1 3
25
C.
3
5
D.
5
E.
8
3
2
5
2 x . Sin 5 x
9
Sin x
A. ½
4
Tan 2 3 x
A.
Lim
Cos x Cos 2x
Sin 3 x Sin 3 x . Cos 2 x
4x3
x 0
x 0
D. 1
E. 2
09. Jika diketahui
10. Lim
06. Lim
= ….
x 0
2 2 Cos 4 ( x 3)
x 5
4 x . Sin x
A. 4
B. ¼
C. ½
= ….
A. 9
B. –9
C. –10
D. 1
E. 2
1 Cos 4 x
x 0
Sin2 (3 x 15)
04. Lim
05. Lim
A. –2
B. –1
C. 0
= ….
= ….
20
D.
3
10
E.
3
10
A. ½
D.
B.
2
E. 3
C.
3
3
3
= ….
2
4
5
5
Sin 2 x 2 Tan x
x3
= ….
Kepercayaan terhadap dirimu akan sangat
membantu mewujudkan makna hidup yang lebih
banyak dan membentuk mendapatkan
keuntungan dalam hidup
20
2 IPA
Limit -5
I. Grafik Fungsi Kontinu & Diskontinu
Fungsi f(x) dikatakan kontinu di x = a,
jika Lim f ( x ) = f(a).
y
6
x0
Contoh 1 :
f(x) =
2x + 8
; x<0
3
–4x + 8 ; x 0
–2
Grafik :
6
x
y
Dari grafik fungsi f(x) diskontinu untuk x = 2
Contoh :
a. f(x) =
–½x – 1
; x < –2
8
–4
0
x
2
b.
f(x) =
– 23 x + 2
; x –2
–¼x + 2
; x<3
4x – 15
; x3
3x + 6
; x<2
–½x + 3
; x2
c. f(x) =
Dari grafik disimpulkan fungsi f(x) kontinu di x=0
Contoh :
a.
x2 + 2x + 3
; x<0
b.
2
f(x) =
f(x) =
c.
f(x) =
Contoh 2 :
f(x) =
–x + 3
; x0
–½x + 2
; x < 2 52
2x – 4
; x 2 52
x2 + 2x + 4
; x<2
–x + 8
; x2
3x + 6
; x<2
–½x + 3
; x2
II. Kontinuitas - Diskontinu
Suatu fungsi f : R R, dikatakan kontinu pada x = a
jika dan hanya jika Lim f ( x ) = f(a)
x0
Kekontinuan fungsi f(x) pada x = a memerlukan 3 (tiga
syarat):
01. Lim f ( x ) = L (ada)
x0
02. f(x) ada (harus terdefinisi di x = a)
03. f(a) = L
Contoh 3 :
Jika diketahui :
1+x
f(x) =
;x<2
5–x
; x2
21
Buktikan fungsi f(x) kontinu di x = 2.
Jwb :
Syarat :
01. Lim 1 x = 3
x 2
Lim 5 x
x 2
= 3
02. f(x) = 5 – x
f(2) = 5 – 2 = 3
03. Lim f ( x ) = Lim f ( x ) = f(2) = 3
x 2
x 2
Ketiga syarat terpenuhi, maka fungsi f(x) kontinu di x = 2
Catatan :
Apabila salah satu dari ketiga syarat tidak terpenuhi,
maka fungsi dikatakan diskontinu pada x = a.
Contoh :
a.
2
5
f(x) =
b.
x 2
x 2 3 x 10
f(x) =
x = 2.
c.
f(x) =
x+2
4
A. 12
B. - 12
C. 6
x
A.
B.
C.
D.
E.
- 1/4
1/3
- 2/3
1/2
2/3
x
E.
lim
x 0
A.
B.
C.
D.
E.
f( x x) f( x)
adalah :
x
x2 – x
2x – 1
2x2 – 1
2x – 2
2x + 1
02. Tentukan nilai dari lim
x 2
A.
B.
C.
D.
E.
3/5
– 5/3
– 3/5
5/3
1/3
3x 7
50 x 9
07. Nilai dari :
4 x 2 5x 1 4 x 2 3x 7
lim
4
x 3
A. 4
B. - 3
C. 5
D. 3
E. - 4
A.
B.
C.
D.
E.
08. Jika lim
x 1
A.
B.
C.
D.
E.
ax 2 bx 4
= 1. Maka 2a + b = …
5x 5
-5
4
9
-4
5
09. Nilai limit dari lim
x 2 2x 15
adalah …
2x 6
A.
B.
C.
D.
E.
x(1 cos 6x)
sin 6x . tg 2 31 x
adalah …
9
27
3
- 27
-9
10. Nilai lim
x 0
A.
B.
C.
D.
E.
= ….
- 1/4
1/4
3/4
1/8
- 1/8
x 0
03. Nilai limit dari lim
22
x 2 3x 7
=…
2x 1
3x 7 5 x 5 13x
=…
(2x 3 6 x) (5 x 2 1 ) 3
3/50
- 3/ 59
0
x
01. Diketahui fungsi f(x) = x2 – x + 5. Maka
(2x 2 5) 3
=…
x (3 x 3 6 x ) (4 x 2 1 )
06. Tentukan nilai dari : lim
Apabila fungsi kontinu untuk
adalah …
D. – 6
E. 18
05. Nilai limit dari lim
x5
x=5
Pada x = a. Tentukan nilai a ?
2x 3 x 6
x 3
A.
B.
C.
D.
3x 1
Fngsi diskontinu
x2 x 2
2x 6
04. Nilai limit dari lim
6
6x
–6
– 6x
2
tan 6 x (2 sin 2 3 x 1 )
adalah…
x
2 IPA
Turunan -1
I. Pengertian Turunan
Misalkan y = f(x) suatu fungsi yang differensial (dapat
diturunkan pada setiap titik), maka turunan pertama dari
fungsi tersebut ditulis :
y = f(x) =
d f( x )
dy
=
x
dx
Turunan pertama dari fungsi y = f(x) didefenisikan
sebagai :
f(x) = Limit
h 0
f( x h) f( x )
h
Contoh 1 :
Buktikan turunan pertama y = ax2 adalah 2ax
Jawab :
f(x) = ax2 f(x+h) = a(x+h)2 = ax2 + 2ahx + ah2
f(x) = Limit
h 0
= Limit
h 0
f( x h) f( x )
h
ax 2 2ahx ah 2 ax 2
h
= Limit 2ax + ah = 2ah
h 0
Terbukti f(x) = 2ah
Contoh 2 :
*) f(x) = 2x2 – 3x
*) f(x) = (x – 1)2
Rumus dasar turunan :
*) f(x) = k (konstanta) f(x) = 0
*) f(x) = axn
f(x) = an xn—1
Contoh 3 :
Tentukan turunan pertama y = x2 – 3x + 5
Jwb :
y = 2x – 3
II. Aplikasi Mekanika
Apabila perubahan jarak dari suatu benda yang
bergerak dinyatakan sebagai fungsi waktu, maka jarak :
S(t)
Kecepatan rata-rata =
V ( t)
Perubahan Jarak
Perubahan Waktu
S
S(t)
t
Percepatan rata-rata =
Perubahan Kecepa tan
Perubahan Waktu
V
( t )
V (t)
t
Contoh :
Benda bergerak dengan lintasan sebagai fungsi waktu
S(t) = 2t3 – t2 + 4t. tentukan kecepatan benda setelah
bergerak 2 detik !
Jwb :
V ( t)
S
S(t) = 6t2 – 2t + 4
t
V(2) = 6(2)2 – 2(2) + 4
= 24 m/s
01. Jika f(x) = x2+2x, maka Limit
h 0
A. 2x2 + 2
B. 2x + 2
C. x + 2
D. 4x
E. 4
02. Jika g(x)= 6x2 – 4, maka Limit
h 0
A. 6x – 4
B. 12x – 4
C. 12x
f( x h) f( x )
=…
h
g( x h) g( x )
=
h
D. 12
E. 6
23
03. Jika h(x) = 1 3 x 3 3 4 x 2 x 1 15 , maka h(x)
adalah ….
A. x2 – 3x + x—2
B. x2 + 3 2 x + x—2
C. x2 +
3
D. x2 –
3
E. x2 –
3
2
x–1
2
x – x—2
2
x–1
04. Jika diketahui f(x) = 4 3 x 3 3 4 x 2 5 x 16 . Maka
nilai dari f(-1) adalah ….
A. –1
D. –2
B. 1
E. 2
C. ½
05. Jika diketahui P(x) = 2x 2 8x , maka
4
B.
2
C.
3
3
D.
3
3
E.
1
P(4)
adalah ….
A. 8
B. –8
C. 16
24
4
8
16
untuk
x2
x
D. –16
E. –24
A. –5 dan 3
B. 5 dan 3
C. 5 dan 4
D. 5 dan –3
E. –5 dan –3
08. Persamaan dari benda yang bergerak dinyatakan
dengan S(t) = 2t2 – 5t. Maka kecepatan rata-rata benda
pada saat t = 2 dan t = 3 detik adalah ….
A. 4 m/s
D. 3 m/s
B. 5 m/s
E. 2 m/s
C. 6 m/s
10. Lintasan dari benda yang bergerak dinyatakan dengan
2
2
06. Turunan pertama dari f(x) =
memenuhi agar f(a) = 20 adalah ….
09. Dari soal no.08 kecepatan sesaat benda pada waktu t
= 1,5 detik adalah ….
A. 1 m/s
D. 4 m/s
B. 2 m/s
E. 5 m/s
C. 3 m/s
adalah ….
A.
07. Jika f(x) = 1 3 x 3 x 2 5 x 16 . Maka nilai a yang
x=1
S(t) = 5 3 t 3 5t 2 7 . Maka kecepatan maksimum
yang dialami benda pada saat ….
A. 1 detik
D. 4 detik
B. 2 detik
E. 5 detik
C. 3 detik
2 IPA
Turunan -2
I.
Turunan dari suatu fungsi
01. f(x) = (U(x))n
Jwb :
U = 2x3
V = 2x – 1
dy dy du
.
dx du dx
dy
6 x 2 (2x 1 ) 2(2x 3 )
=
dx
(2x 1 ) 2
Contoh :
f(x) = (2x2 – 1)2, maka turunan pertama dari fungsi
adalah :
u=
2x2
–1
du
= 4x
dx
dy
= 2u. (4x) = 2(2x2 – 1)(4x)
dx
dy
= 16x3 – 8x
dx
02. f(x) = U(x) . V(x)
dy
= U(x) . V(x) + V (x) + U(x)
dx
Contoh :
f(x) = 3x2 2x 1
U = 3x2
U = 6x
1
V = (2x – 1)1/2 V =
dy
= 6x 2x 1
dx
03. f (x) =
=
II.
dy
= 2u
du
y = u2
U = 6x2
V = 2
8x 3 6x 2
(2x 1 ) 2
Turunan Fungsi Trigonometri
y = sin x
y = cos x
y = cos x
y = - sin x
y = tan x
y = sec2 x
y = ctan x
y = - cosec2 x
y = sec x
y = tan x . sec x
y = cosec x
y = ctan x . cosec x
III. Persamaan Garis Singgung
Apabila suatu garis menyinggung suatu fungsi f(x),
maka gradient dari garis tersebut adalah turunan
pertama dari fungsi.
y = f (x)
2x 1
3x 2
2x 1
U( x)
V( x )
U .V V .U
dy
= (x) (x) 2 (x) (x)
dx
V( x )
y
x
m = f (x) =
y
x
y – y1 = m(x – x1)
Contoh :
f(x) =
2x 3
. Tentukan turunan pertama!
(2 x 1 )
Contoh :
Garis singgung kurva y = x2 – 8x + 3 di titik (1, -4).
25
01. Turunan pertama dari f(x) = 1 2x 2 adalah
A.
B.
C.
1
2 1 2x 2
x
1 2x
2 x
1
D.
2
2 2x 2 1
x
E.
1 2x 2
02. Jika fungsi f(x) =
2x 2 1
1
((x 2)(x 1))2
....
A. - 1/4
B. - 1/8
C. 1/2
, maka f ( -1) adalah
D. 1/4
E. 1/8
03. Jika h(x) = (2x – 1)(3x2 + 2), maka h (2) adalah ...
A. -92
B. - 64
D. 92
C. 16
E. 64
04. Jika g(x) =
A. 4/9
B. - 4/9
C. 6/9
2x
2x 3
, maka g (3) adalah ...
D. - 6/9
E. 5/9
05. Diketahui fungsi f(x) = tan2 2x. Maka nilai turunan
pertama untuk x = 6 adalah ...
A.
16
3
3
B. 16 3
C. 16
3
3
06. Turunan pertama dari fungsi f(x) = sin x . cos2 x
adalah :
A. cos3 x + sin 2x . sin x
B. cos3 x + 2 sin x . cos x
C. cos2 x + ½ cos 3x – ½ cos x
D. cos2 x – 2sin2 x . cos x
E. cos2 x – ½ cos 3x + ½ cos x
D. -16 3
E. 4 3
07. Jika y = 3x4 + sin 2x + cos 3x, maka
A.
B.
C.
D.
E.
dy
= ….
dx
12x3 + 2 cos 2x + 3 sin 3x
12x3 + cos 2x – sin 3x
12x3 – 2cos 2x + 3 sin 3x
12x3 – 2cos 2x – 3 sin 3x
12x3 + 2cos 2x – 3 sin 3x
08. Persamaan garis yang menyinggung
y = 2x3 - 2x2 – 5 di titik (1, -2) adalah …
A. y = 2x
B. y = 2x – 3
D. y = 2x + 3
C. y = 2x – 4
E. y = 2x + 4
kurva
09. Koordinat titik singgung pada kurva y = x2(2x – 3)
yang garis singgungnya sejajar dengan garis 2y – 24x
= 1 adalah :
A.
1,5 dan –2, –4
B. –1, 5 dan –2, –4
C. –1, –5 dan 2, 4
D. 1,5 dan 2, 4
E. 1,5 dan 2, -4
10. Salah satu garis singgung kurva:
y = x3 – 3x2 + 1, yang sejajar dengan garis
18x – 2y + 3 = 0 adalah …
A. y = –9x + 28
B. y = –9x – 26
C. y = 9x – 26
D. y = 9x – 10
E. y = 9x + 10
26
2 IPA
Turunan -3
I. Menentukan naik-turunnya suatu fungsi
m=0
satsioner
m>0
(naik)
f(a)
m<0
turun
a
f(b)
m>0
naik
b
y = f(x)
x
m=0
satsioner
Jika f’(x) = m = 0, maka (x, y) disebut titik
stasioner
Jika f’(x) = m> 0, maka grafik fungsi naik pada
interval x < a atau x > b
Jika f’(x) = m < o, maka grafik turunan pada
interval a < x < b
Contoh :
Grafik f(x) = x2 – 4x + 5 menurun pada interval
Jawab :
y = f(x)
x
2
f’(x) < 0
2x – 4 < 0
x<2
Contoh :
f(x) = 2x3 – 9x2 – 24x
interval naik
interval turun
II.
Menentukan Nilai External Fungsi
Fungsi y = f(x) akan mempunyai nilai maximum
di {x1, f(x1)}
Syarat :
1. f(x) = 0
2. f”(x1) < 0
Fungsi y = f(x) akan mempunyai nilai minimum di
{x2, f(x2)}
Syarat :
1. f’(x) = 0
2. f”(x2) > 0
Contoh :
Fungsi y = 4x3 – 18x2 + 5x + 15x – 20 mencapai nilai
maksimum di titik x = …
Jawab :
y = 4x3 – 18x2 + 15x – 20
y’ = 12x2 – 36x + 15 = 0
3(4x2 – 12x + 5) = 0
3(2x – 1) (2x – 5) = 0
x = 12 x = 52
y” = 24x – 36
f”( 12 ) = 24( 12 ) – 36 = - 24 (maksimum)
f”( 12 ) = 24( 52 ) – 36 = 24 (minimum)
pembuat nilai maksimum x = 12
Seseoarang hendaknya tidak menyia-nyiakan sebagian hidupnya untuk
membenci
27
01. Fungsi f(x) = 2 x3 + 5 x2 – 3x + 7 turun pada
3
2
interval…
A. - ½ < x < 3
B. ½ < x < 3
C. – 3 < x < ½
D. 0 < x < ½
E. 0 < x < 3
02. Fungsi f(x) = x3 – ½ x2 – 2x + 1 naik pada interval…
A. x < - 1 atau x > - 2/3
B. - 2/3 < x < 1
C. - 1 < x < 2/3
D. x < - 2/3 atau x > 1
E. x < - 1 atau x > 2/3
03. Grafik fungsi f(x) = x(6 – x)2 akan naik dalam interval :
A. x < 0 atau x > 6
B. 0 < x < 6
C. x > 6
D. x < 6
E. x < 2 atau x > 6
04. Titik – titik stasioner dari kurva :
y = x3 – 3x2 – 9x + 10 adalah ….
A. (3, - 17) dan (–2, 8)
B. (1, - 1) dan (3, - 17)
C. (1, - 1) dan (– 3, - 17)
D. (-1, 15) dan (–3, - 17)
E. (-1, 15) dan (3, - 17)
05. Jika f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 2, Maka fungsi mempunyai
nilai maksimum …
A. - 9 untuk x = 1
B. 9 untuk x = - 1
C. 19 untuk x = - 1
D. 18 untuk x = - 2
E. 26 untuk x = -2
28
06 Nilai maksimum fungsi yang dirumuskan dengan
f(x) = 2x2 – 4x dalam interval –4 < x < 3 adalah :
A. - 3
D. 9
B. - 2
E. 48
C. 6
07. Titik belok f(x) = x3 + 9x2 + 24x + 8 adalah…
A. (- 3, 10)
B. (- 3, - 10)
C. (3, 10)
D. (3, - 10)
E. (-3, 0)
08. Tentukan
absis
dari
f(x) = sin x + cos x ….
A. 90
B. 120
C. 30
D. 45
E. 135
titik
belok
fungsi
09. Jika nilai maksimum fungsi y = x + p 2x adalah 4,
maka p = …
A. 3
B. 4
C. 5
D 7
E. 8
10. Fungsi y = 4x3 – 18x2 + 15x – 20 mencapai maksimum
untuk nilai x = ….
A. 0,5
B. 1,5
C. 2
D. 2,5
E. 3
2 IPA
Turunan -4
I.
Turunan Kedua Fungsi
Bentuk umum :
04. f ‘(x) disekitar x = d
x<d x=d x>d
(+) 0
titik belok {d, f(d)}
axn
y = f(x)
dy
= f ‘(x)
dx
d2 y
= f “(x)
dx 2
anxn-1
Contoh
f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1
f ‘(x) = 3x2 – 12 + 9
3(x2 – 4x + 3) = 0
3(x – 3) (x – 1) = 0
x=1 x=3
f “(x) = 6x – 12
f “(x) = 6(1) – 12 = - 6 (maximum)
f “(3) = 6(3) – 12 = 6 (minimum)
an (n – 1) xn-2
Contoh :
f (x)
= 2x3 – 9x2 + 13x – 5
f ‘(x) = 6x2 – 18x + 13
f “(x) = 12x – 18
II.
Titik Stasioner
y
+
+
+
x
a
b
c
01. f ‘(x) disekitar x = a
x<a x=0
x>a
(+)
0
(-)
nilai maximum {a, f(a)}
02. f ‘(x) disekitar x = b
x<b x=b x>b
(-)
0
(-)
Tititk belok {b, f(b)}
03. f ‘(x) disekitar x = c
x<c x=c x>c
(-)
0
(+)
nilai minimum {c, f(c)}
d
Titik maximum x = 1
f(1) = (1)3 – 6(1) + 9(1) + 1 = 5
(1, 5)
Titik minimum x = 3
f(3) = (3)3 – 6(3)2 + 9(3) + 1 = 1
(3, 1)
Titik belok f “(x) = 0 x = 2
f(2) = (2)3 – 6(2)2 + 9(2) + 1 = 4
(2, 4)
01. Jika fungsi f(x) = x3 – 12x2 + 6x – 8, maka turunan
kedua dari fungsi adalah…
A. 3x2 - 24x + 6
B. 6x2 – 24x
C. 6x – 24
D. 6x2 - 24
E. 12x
29
02. Fungsi f(x) = 2x3 – 3x2 + 4x – 5. Tentukan nilai a agar f
“(a) = 18
A. 1
B. 1,5
C. 2
D. 2,5
E. 3
07. Jumlah dari dua bilangan adalah 6 maka agar hasil
kali kedua bilangan maksimum selisih bilangan
tersebut adalah…..
A.
0
B.
1
C. – 1
D.
2
E. – 2
03. Suatu kurva f(x) = 4 + 3x2 – x3 untuk x 0 nilai
maksimum dari f(x) adalah…
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
E. 8
08. Reaksi obat serangga 1 jam setelah disemprotkan
pada tanaman dapat dinyatakan sebagai bilangan tak
negatif yang sama dengan 15t2 – t3. reaksi maksimum
dicapai…
A. 12 jam setelah reaksi
B. 10 jam setelah reaksi
C. 8 jam setelah reaksi
D. 6 jam setelah reaksi
E. 5 jam setelah reaksi
04. Persegi panjang dengan keliling (2x + 24) cm dan lebar
(8 – x) cm. Agar luasnya maksimum, maka panjang
persegi adalah…
A. 11 cm
B. 8 cm
C. 10 cm
D. 12 cm
E. 20 cm
09. Luas maksimum persegi
dari gambar adalah…
A. 3
y
B. 4
3x + 4y = 12
C. 5
D. 6
E. 7
05. Fungsi y = x3 - 23 x2 - 6x – 5 akan mempunyai nilai
maksimum untuk x = …
A. - 1
D. 2
B. - 2
E. 3
C. 1
06. Fungsi f(x) = 2x2 – 8x + 3 dengan interval
– 1 x 3 maka nilai minimum dari fungsi…
A. - 3
D. 2
B. - 4
E. 1
C. - 5
30
x
10. Jika suatu proyek diselesaikan dalam x hari, maka
biaya proyek per hari menjadi
3x + 1200 - 60 ribu
x
rupiah. Biaya minimum proyek tersebut adalah…
A. 1.200 ribu rupiah
B.
900 ribu rupiah
C.
800 ribu rupiah
D.
750 ribu rupiah
E.
720 ribu rupiah
2 IPA
Turunan -5
01. Diketahui Fungsi f(x) = 3x4 – 5x3 + 7x – 3. Maka
turunan pertama dari fungsi adalah…
A. 3x3 – 5x2 + 7
D. 12x3 – 15x – 7
2
B. 12x – 15x + 7
E. 12x4 – 15x3 + 7
3
2
C. 12x – 15x + 7
07. Diketahui fungsi f(x) =
interval …
A. –3 < x < 5
B. – 5 < x < 3
C. – 5 < x < - 3
02. Diketahui fugnsi f(x) = 3 sin 3 (2x2). Maka turunan
pertama dari fungsi adalah…
A. – 36 x. sin 2 (2x2) . cos (2x2)
B.
36 sin 2 (2x2) . cos (2x2)
C. 18x sin (2x2) . sin (4x2)
D. 18 sin2 (2x2) . cos (2x2)
E. – 18 sin 2 (2x2) . cos (2x2)
08. Jika fungsi f(x) = 13 x3 – x2 – 3x + 1. Maka koordinat
titik maximum fungsi adalah ….
A. (-1, 2 23 )
D. (-3, 2 23 )
B. (3, -8)
E. (1, -8)
C. (–1, -8)
03. Diketahui fungsi f(x) =
2x 6
. Maka nilai f1 (3) adalah
3x 1
…
A. 1/2
B. 3/4
C. 2/3
D. 1/4
E. 2/5
04. Benda bergerak menurut fungsi jarak terhdap waktu
St = 2 t3 – 3t2 + 15t – 9. Maka kecepatan minimum
3
diperoleh pada saat t = …
A. 1
B. 2
C. 1 12
D. 2 12
E. 3
05. Persamaan
garis
singgung
pada
kurva
f(x) = 2x2 – 5x + 7. Serta tegak lurus garis
2x – 2y – 7 = 0 adalah ….
A. 2x + 2y – 4 = 0
D. x + y + 5 = 0
B. x + y – 5 = 0
E. x – 7 – 5 = 0
C. 3x – 3y – 15 = 0
06. Diketahui fungsi f(x) = 2 x3 - 7 x2 + 3x – 5 turun pada
3
interval…
A. – 3 < x < - 12
B. – 3 < x < 12
C. x < 12 dan x > 3
2
D. - 12 < x < 3
E. 12 < x < 3
1
3
x3 – x2 – 15x + 6 naik pada
D. x < - 3 dan x > 5
E. x < - 5 dan x > 3
09. Koordinat titik balik minimum dari kurva :
y = 13 x3 - 52 x2 + 6x adalah …
A. (2, 3)
D. (3, - 4 12 )
B. (- 2, 4 23 )
E. (2, 4 23 )
C. (3, 4 12 )
10. Koordinat titik belok fungsi f(x) = x3 + 9x2 + 24x + 8
adalah …
A. (- 3, 10)
D. (3, - 10)
B. (- 3, - 10)
E. (- 3, 0)
C. (3, 10)
11. Jika
f-1
x 2
merupakan
invers
dari
fungsi
5
f(x) =
dan g(x) adalah turunan dari f-1 (x),
;x
5 3x
3
maka g(1) = …
A. – 9/16
B. – 7/16
C. 7/16
D. 11/16
E. 13/16
12. Jika nilai maksimum fungsi y = x + p 2x adalah 4,
maka p = …
A. 3
D. 7
B. 4
E. 8
C. 5
13. Jika fungsi f(x) = px2 – (p + 1)x – 6 mencapai nilai
tertinggi untuk x = - 1, maka nilai p = …
A. – 3
D. 1/3
B. – 1
E. 1
C. – 1/3
31
14. Jika f(x) = a tan x + bx dan f ‘ ( 4 ) = 3 ; f’(
maka a + b ….
A. 0
D. 2
B. 1
E.
C.
3
) = 9,
p
B.
P4
C.
P
4
D.
E.
P
+
4
p
4
turun pada interval….
D. – 4 < x < 0
E. 4 < x < 8
16. Kurva f(x) = x3 + 3x2 – 9x + 7 naik untuk nilai-nilai x
……
A. x > 0
D. x < - 3 artau x > 1
B. – 3 < x < 1
E. x < - 1 atau x > 3
C. – 1< x < 3
A.
x2
19. Jika f(x) = x cos x, maka f ' x =…
15. Fungsi f(x) = x3 - 3x2 turun untuk nilai x …….
A. x > 0
D. 0 < x < 2
B. x > 2
E. x > 3
C. 0 < x < 3
lingkaran
x
x 2 2x 4
A. – 2 < x < 2
B. 0 < x < 4
C. 2 < x < 6
2
17. Sebuah pintu berbentuk
seperti gambar. Keliling pintu
sama dengan p. Agar luas
pintu maksimum maka x
sama dengan…
18. Fungsi f(x) =
A.
B.
C.
D.
E.
sin x + x cos x
sin x - x cos x
-sin x - x cos x
cos x + x sin x
cos x - x sin x
20. Diketahui f(x) =
2x 2 1
x
turunan pertama fungsi f(x) =
…
A. 3 x
x
2x
x
2x 2
2
3 x 2 x
x
B. 5 x
x
y
C.
2x
Tak selamanya harapan itu
terwujud angin itu berhembus ke arah
yang tidak diinginkan oleh bahtera
32
2
D. 5 x
x
2
E. 5 x
2
x2
x