d. permutasi berulang

MatDis-Smd09
MATEMATIKA DISKRIT
MODUL 9
IX. PERMUTASI ( Urutan diperhatikan )
A. PERMUTASI BIASA
Permutasi adalah susunan berurutan dari semua atau
sebagian elemen yang diketahui. ( Urutan diperhatikan ).
Contoh :
-
Permutasi 2 elemen dari A & B adalah AB & BA ( permutasi 2 dari 2
elemen ( 2P2 ) ) ada 2 susunan.
-
-
Permutasi 3 elemen dari 3 elemen A, B & C
ABC
BAC
CAB
ACB
BCA
CBA
( 3P3 ) adalah:
ada 6 Susunan
Permutasi 2 elemen dari 3 elemen A, B, C
AB
BA
CA
AC
BC
CB
( 3P2 ) adalah:
ada 6 susunan
Jadi 3P3 (permutasi 3 dari 3) dapat dijabarkan seperti berikut :
B – C …………ABC
A
C – B …………ACB
A – C …………BAC
B
C – A …………BCA
A – B …………CAB
C
B – A …………CBA
Sehingga rumus 3P3 adalah 3 X 2 X 1 = 6 = 3! ( 3 faktorial )
Rumus 3P2 ( Permutasi 2 dari 3 ) =….. ?
1
MatDis-Smd09
B …………AB
A
C …………AC
A …………BA
B
C …………BC
A …………CA
C
B …………CB
3X2=6=
3x 2 x1 3!
3!
 
1
1! 3  2!
Dengan cara yang sama
n
Pn = n !
n
Pr =
n!
n  r !
…………..(1)
..…………(2)
Contoh :
4P2
=
4!
4! 4 x3x2 x1
 
 12
4  2! 2!
2 x1
6P3
=
6!
6 x5 x 4 x3x 2 x1

 120
6  3!
3x 2 x1
Contoh soal :
1. Berapa cara untuk memilih seorang ketua dan seorang bendahara dari
suatu kelas terdiri 20 orang ?
Jawab :
2
MatDis-Smd09
Permutasi 2 dari 20 :
20P2
20!
20x19x18!
= = 20  2 ! 
= 20 . 19 = 380 cara
18!
Dengan cara lain :
-
Memilih ketua
: 20 cara
-
Memilih Bendahara : 19 cara
20.19 = 380 cara
2. Berapa cara untuk membuat nomor kode dengan 3 huruf berbeda dan
diikuti 4 angka berbeda ?
Jawab :
26P3
x 10P4 =
26!
10!
x
26  3! 10  4!
= 26.25.24 x 10.9.8.7
= 15600 x 5040
= 78624000 cara
contoh : SMD8514, ABC1235
PEMUTASI YANG MEMUAT BEBERAPA UNSUR SAMA
1. Banyaknya permutasi n unsur yang memuat k unsur sama ( k  n)
P=
n!
k!
.......... (3a)
2. Banyaknya permutasi n unsur yag memuat k unsur sama, l unsur sama dan
m unsur sama:
P=
n!
k!l! m!
........ (3b)
Contoh :
1. Permutasi 2 huruf A dan A adalah hanya satu yaitu : AA
Atau P =
2!
 1 (Permutasi 2 unsur dengan 2 unsur sama).
2!
3
MatDis-Smd09
2. Permutasi 3 huruf A, A dan B yaitu: AAB, ABA, BAA.
atau
P=
3!
 3 (Permutasi 3 unsur dengan 2 unsur sama).
2!
3. Berapa banyak susunan huruf yang dibentuk dari huruf-huruf :
a. S, O, L, O
b. P, A, R, E, R, A
c. C, A, T, A, T, A, N
d. T, E, R, C, E, C, E, R
Jawab:
a. P =
n! 4!
  4.3  12
k! 2!
b. P =
n!
6! 6 x5 x 4 x3


 180
k!l! 2!2!
2.1
c. P =
n!
7! 7 x6 x5 x 4


 420
k!l! 2!3!
2.1
d. P =
n!
8!

 8.7.6.5  1.680
k!l!m! 2!2!3!
PERMUTASI SIKLIS / SIRKULER
Misalnya ada 3 orang A (Ani), B (Boy), C(Carli) menempati 3 kursi yang
mengelilingi meja bundar: maka ada 2 cara :
A
A
B
C
B
(a)
C
(b)
dari gambar pada (a) : ABC, BCA, CAB adalah sama
pada (b) : ACB, CBA, BAC adalah sama
4
MatDis-Smd09
Padahal P3 = 3 ! = 6, maka P3 (siklis) = 2
Atau P3 (siklis) = (3-1) !
……………(4)
Jadi,
Pn (siklis) = (n-1)!
Contoh Soal:
3. Misalkan ada 4 orang : A,B,C, dan D menempati 4 kursi yang mengeliling
meja bundar, maka banyak cara mereka duduk ada :
P4 (siklis) = (4 – 1) !
= 3.2.1 = 6 cara
4. Soal No. 2 bila A harus berdekatan dengan B ada berapa cara mereka
duduk ?
P2 . P3 (siklis) = 2.2 = 4 cara
PERMUTASI BERULANG
Banyaknya permutasi r unsur dari n unsur yang diketahui (unsur boleh diulang)
nPr
(r  n)
(berulang) = nr
…………. (5)
Contoh soal :
5. Berapa banyak susunan nomor kendaraan bila terdiri : dua huruf diikuti 4
angka?
Jawab :
26P2 (berulang)
x 10P4 (berulang)
= 26.26 x 10.10.10.10
= 6.760.000 Susunan
6. Berapa banyak susunan nomor kendaraan, bila diawali huruf B kemudian
diikuti 4 angka kemudian diikuti 2 huruf.
Jawab :
Contoh B 8888AA, B1234ZR dll
5
MatDis-Smd09
10P4 (berulang)
x 26P2 (berulang)
= 10.10.10.10. x 26.26
= 6.760.000 susunan
(Perhatian!! nomor kendaraan diatas termasuk nomor B0000XX)
B1000XX,
B0100XX,
B 0010XX,
B0001XX
Soal-Jawab Campuran
1. Bilangan terdiri 3 angka berbeda dibentuk dari angka-angka: 2, 3, 5, 6, 7, 9.
a. Ada berapa bilangan ?
b. Ada berapa cara bila bilangan yang dibentuk < 400 ?
c. Ada berapa yang genap ?
d. Ada berapa yang ganjil ?
e. Ada berapa yang kelipatan 5 ?
Jawab :
a.
6P3
= 6.5.4 = 120 bilangan
b. Ratusan : 2 cara (angka 2 dan 3)
Puluhan : 5 cara
2.5.4 = 40 bilangan < 400
5P2
Satuan
: 4 cara
c. Satuan : 2 cara (angka 2 dan 6)
Ratusan : 5 cara (6 angka diambil 1 buah satuan)
Puluhan : 4 cara
(5.4.2 = 40 bilangan genap)
d. Satuan : 4 cara (angka 3,5, 7, 9)
Ratusan : 5 cara (6 angka diambil 1 buah satuan)
Puluhan : 4 cara
( 5.4.4 = 80 bilangan ganjil)
e. Satuan : 1 cara (angka 5)
Ratusan : 5 cara
5P2
Puluhan : 4 cara
5.4.1 = 20 bilangan (kelipatan 5)
6
MatDis-Smd09
2. Ada 5 orang terdiri 3 pria dan 2 wanita
a. Dengan berapa cara mereka duduk dalam satu baris ?
b. Soal a). bila pria dan wanita masing-masing tidak terpisah ?
c. Soal a), bila hanya wanita yang tidak terpisah-pisah?
Jawab :
a. P5 = 5.4.3.2.1 = 5! = 120 cara
b. Ada 2 bentuk , yaitu : PPPWW dan WWPPP Permutasi pria = P3 , permutasi
wanita = P2. jadi semuanya = 2.P3.P2
= 2.3! . 2! = 2.6.2 = 24 cara
c. Ada 4 bentuk , yaitu :
WWPPP, PWWPP, PPWWP,dan PPPWW
Jadi semuanya = 4.P3 . P2
= 4.3! . 2! = 4.6.2 = 48 cara
atau , cara lain : WW dianggap Satu
jadi ada : P4 . P2 = 4! . 2! = 2.4.2 = 48 cara
SOAL – SOAL
1. Hitunglah:
16P3,
7P4, 5P3,
12P1.
2. Carilah n apabila a). 10 nP2 =
(Ans: 3360, 840,
n+1P4,
60,
b). 3 2n+4P3 = 3
n+4P4.
12)
(Ans: 4 ; 6)
3. Sebuah grup terdiri 7 wanita dan 3 pria. Ada berapa cara berbaris yang mungkin
dilakukan jika ketiga pria tersebut harus berdiri bersebelahan ? (Ans: 241.920)
4. Ada berapa banyak cara yang mungkin menyusun huruf-huruf dalam kata :
Mississippi? (Ans: 34.650)
5. Diperlukan tempat duduk untuk 5 pria dan 4 wanita dalam sebuah baris,
sehingga pria menempati tempat duduk dengan posisi ganjil. Berapa banyak
pengaturan yang mungkin ? (Ans: 2.880)
7
MatDis-Smd09
6. Banyaknya lambang bilangan yang terdiri dari 4 angka, jika tersedia angka, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 adalah …? (Ans: 6.561)
7. Bilangan terdiri 3 angka berbeda disusun dari angka-angka 2,3,5,6,7,9 dan lebih
kecil 400 maka banyaknya bilangan tersebut adalah ..(Ans: 40)
8. Banyaknya bilangan genap > 550 yang terdiri 3 angka disusun dari angka 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7 adalah …? (Ans: 51)
9. Berapa banyaknya bilangan dua angka dapat dibentuk dengan angka–angka 0,
3, 5, 7 apabila tidak ada pengulangan yang diperbolehkan ? (Ans: 9)
10. Berapakah banyaknya bilangan genap yang terdiri dari dua angka yang berbeda
dapat dibentuk dari angka–anka 3, 4, 5, 6, 8 ? (Ans: 12)
11. Berapakah banyaknya bilangan yang terdiri dari tiga angka yang dapat dibentuk
dari angka–angka 1, 2, 3, 4, 5 apabila tidak ada angka yang diulangi dalam
setiap bilangan ? (Ans: 60)
12.Berapa banyak cara menyusun huruf-huruf M, O, R, A, L kalau :
a. Huruf pertama dimulai huruf hidup (vokal) ? (Ans: 48)
b. Huruf pertama dimilai huruf mati (konsonan)? (Ans: 72)
13. Berapakah banyaknya bilangan yang terdiri dari tiga angka dapat dibentuk dari
angka–angka 3, 4, 5, 6, 7 apabila angka–angka diperbolehkan untuk diulang?
(Ans. 125)
14. Berapakah banyaknya bilangan ganjil yang terdiri dari tiga angka yang dapat
dibentuk dengan tanpa pengulangan dari setiap angka dalam sebuah bilangan
dari angka–angka : a) 1, 2, 3, 4
b)1, 2, 4, 6, 8 ?
(Ans: 12 ; 12)
15. Berapakah banyaknya bilangan genap yang terdiri dari empat angka yang
berbeda dapat dibentuk dari angka–angka 3, 5, 6, 7, 9 ? (Ans: 24)
8
MatDis-Smd09
16. Berapakah banyaknya bilangan yang berbeda yang tiap–tiap bilangan terdiri dari
lima angka dapat dibentuk dari angka–angka 2, 3, 5, 7, 9 apabila tidak ada
angka yang diulangi ? (Ans: 120)
17. Berapakah banyaknya bilangan bulat antara 100 dan 1000 dalam mana tidak ada
angka yang diulangi ? (Ans: 648)
18. Berapakah banyaknya bilangan bulat yang lebih besar dari 300 dan lebih kecil
dari 1000 dapat dibuat dengan angka–angka 1, 2, 3, 4, 5 apabila tidak ada angka
yang diulangi dalam setiap bilangan ? (Ans: 36)
19. Berapakah banyaknya bilangan bulat antara 100 dan 1000 dapat ditulis dengan
angka–angka 0, 1, 2, 3, 4 apabila tidak ada angka yang diulangi dalam setiap
bilangan ? (Ans: 48)
20. Berapakah banyaknya bilangan yang terdiri dari 4 angka yang lebih besar dari
2000 dapat dibentuk dengan angka–angka 1, 2, 3, 4 apabila pengulangan :
a) tidak diperbolehkan
b) diperbolehkan (Ans: a) 18,
b) 192 )
21. Dalam kantong ada 8 bola, kemudian diambil 3 bola satu persatu. Ada berapa
cara, bila : a). dengan pengembalian ?
b). tanpa pengembalian ?
(Ans: 512)
(Ans: 336)
22. Dalam berapa carakah 3 gadis dan 3 anak laki–laki dapat duduk dengan sebuah
baris, apabila tidak ada dua gadis dan tidak ada dua laki–laki menempati tempat
duduk yang berbatasan ? (Ans : 72)
23. Berapakah banyaknya tanda dapat dibuat dengan 8 bendera terdiri dari 2 merah,
3 putih, dan 3 biru, apabila semuanya diikat pada sebuah tiang tegak? (Ans: 560)
24. Dalam berapa carakah 4 laki–laki dan 4 perempuan duduk pada meja bundar
sehingga tidak ada dua laki–laki duduk berdekatan? (Ans: 144)
25. Dalam berapa carakah 9 hadiah yang berbeda dapat diberikan kepada dua
mahasiswa sehingga seorang menerima 3 dan yang lainnya 6 ? (Ans: 168)
9