BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

BARISAN DAN DERET
Materi ke 1
 Pola Bilangan adalah ?
Susunan bilangan yang disusun menurut aturan tertentu.
Contoh :
1. Pola Bilangan Ganjil
1, 3, 5, ....
2. Pola Bilangan Genap
2, 4, 6, ....
• PERHATIKAN SUSUNAN BILANGAN DI BAWAH INI
• Susunan bilangan asli : 1, 2, 3, 4, , ...
• Susunan bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7, ...
• Susunan bilangan genap: 2, 4, 6, 8, , ...
• Susunan bilangan kelipatan tiga: 3, 6, 9, 12, ...
Berdasarkan contoh-contoh tersebut, dapat dilihat
bahwa bilangan seperti inilah yang dinamakan barisan
bilangan.
Definisi
Definisi Barisan Bilangan
Barisan bilangan adalah urutan bilangan-bilangan yang memiliki pola atau aturan
tertentu
Jika barisan bilangan tadi dijumlahkan maka terbentuklah deret bilangan.
Definisi
Definisi Deret Bilangan
Deret bilangan adalah penjumlahan dari suku-suku barisan bilangan.
Sebagai contoh, jika 1, 2, 3, 4, ... merupakan barisan bilangan maka
deret dari barisan bilangan tersebut adalah 1 + 2 + 3 + 4 + ....
BARISAN ARITMATIKA
Definisi Barisan Aritmetika
Suatu barisan dikatakan sebagai barisan aritmetika jika
selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap.
Bilangan (selisih) tetap tersebut disebut sebagai beda.
Biasanya diberi simbol b .
Definisi tersebut jika diubah ke bentuk notasi adalah sebagai
berikut.
Jika U1, U2, U3, ..., Un–1, Un adalah suatu barisan bilangan maka
barisan tersebut dikatakan sebagai barisan aritmetika apabila
memenuhi hubungan berikut U2 – U1 = U3 – U2 = ... Un – Un–1
Rumus umum suku ke-n pada barisan aritmatika
U1
U2
U3
Urutan ke 1 beda b
a
ke 2 beda b
a+ b Urutan
ke 3 beda 2 b
a+2bJadiUrutan
jika urutannya n
maka mempunyai beda
(n-1)b
Un
Suatu barisan dengan suku
pertama dan beda b maka
rumus umum suku ke-n
barisan aritmatika
ditentukan oleh :
a+(n-1) b
Un=a+(n-1) b
Keterangan :
Un = Rumus Suku Ke-n
a = suku pertama
b = beda
b = U2 – U1 = U3 – U2 = .... = Un – Un-1
Contoh 1:
Seorang ibu membagikan permen kepada 5
orang anaknya menurut aturan deret
aritmetika. Semakin muda usia anak semakin
banyak permen yang diperoleh. Jika banyak
permen yang diterima anak kedua 11 buah dan
anak keempat 19 buah, maka berapa jumlah
permen yang diperoleh anak yang lain
DERET ARITMATIKA
Telah diketahui bahwa penjumlahan dari barisan bilangan
dikenal sebagai deret bilangan. Begitu pula jika
menjumlahkan suatu barisan aritmetika maka akan
mendapatkan suatu deret aritmetika.
Definisi
Definisi Deret Aritmetika
Misalkan U1, U2, ...,Un adalah barisan aritmetika
maka penjumlahan
U1 + U2 + ... + Un adalah deret aritmetika.
Sebagai contoh, jika barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, ...
Kemudian menjumlahkan setiap suku dalam barisan
aritmetika tersebut maka akan diperoleh deret
aritmetika 2 + 5 + 8 + 11 + ....
Secara umum, dari suatu barisan U1, U2, ..., Un
dengan U1= a dan beda = b
Maka dapat diperoleh bentuk umum deret
aritmetika, yaitu
U1 + U2 + ...+ Un = a + (a + b) + (a + 2b) + ... +
(a + (n – 1) b)
Rumus Umum Deret Aritmatika
Jika jumlah n suku pertama deret aritmatika dilambangkan dengan
Sn , maka Sn dapat dicari dengan menggunakan rumus.
Misalkan Sn = U1 + U2 + ... + Un merupakan deret aritmetika
dengan suku pertama a dan beda b maka :
Sn = n/2 (a + Un ) atau Sn = n/2 ( 2 a +(n-1) b )
Keterangan :
a
= suku pertama
b
= beda
Sn
= jumlah suku ke – n
Jika U n  suku ke - n. U t  suku tengah
dan Sn  Jumlah n suku pertama deret Aritmetika maka :
1. U n  a  (n  1)b
n
n
2. Sn  (a  U n )  (2a  (n  1)b)
2
2
a  Un
3. U t 
2
4. U n  Sn  Sn 1
5. b  U n  U n -1
CONTOH 2
Diketahui barisan Aritmetika 5,8,11,...,125,128,131.
suku tengahnya adalah.... .
A.
21
B.
22
C.
42
D.
43
E.
68
CONTOH 3
Jumlah semua bilangan - bilangan bulat diantara
100 dan 300 yang habis dibagi 5 ialah .....
A.
8.200
B.
8.000
C.
7.800
D.
7.600
E.
7.400
JAWAB
Bilangan - bilangan bulat diantara 100 dan 300 yang
habis dibagi 5 ialah 105,110,115,.....295 jadi
a  105
b5
U n  a  (n - 1)b
U n  295
295  105  (n - 1)5 didapat n  39
n
39
Jadi Sn  (a  U n )  (105  295)
2
2
 7.800
BARISAN GEOMETRI
Adalah :
Barisan bilangan yang
mempunyai rasio (Pembanding)
yang tetap antara dua suku yang
berurutan dan dinotasikan
dengan r
CONTOH
1. 1,3,9,27,…..
2. 1,2,4,8,…..
3. 1,5,25,125,…..DLL
RUMUS SUKU KE-N BARISAN
GEOMETRI
U n  ar
n 1
CONTOH
Tentukan suku ke- 10 dari barisan geometri
1,3,9,27,…..
Jawab :
a=1
n 1
r=3
n
n= 10
101
10
U  ar
U  1(3)
U10  3  19.683
9
SISIPAN
CONTOH :
Antara dua suku yang berurutan pada barisan
3,18,33,… disisipkan 4 buah bilangan sehingga
Berbentuk barisan Aritmetika yang baru.Jumlah
7 suku pertama dari barisan yang terbentuk
Adalah…..
A. 78
D. 87
B. 81
E. 91
C. 84
PEMBAHASAN
3,
, ,18
U 6  a  5b  18
Yang disisipkan
a=3
3  5b  18  b  3
n
S7  (2a  (n - 1)b)
2
7
 (2.3  6.3)
2
7
 (24)
2
 84
Model Bunga Majemuk
Modal pokok P dibungakan secara majemuk, suku
bunga perahun i, maka jumlah akumulatif modal F
setelah n tahun adalah:
setelah 1 tahun : F1  P  P.i  P(1  i )
setelah 2 tahun : F2  P(1  i )  P(1  i )i  P(1  i ) 2
setelah 3 tahun : F3  P(1  i ) 2  P(1  i ) 2 i  P(1  i )3
setelah n tahun : Fn  (.........)  (..........)  P(1  i ) n
• Jumlah di masa datang dari jumlah sekarang :
Fn  P(1  i) n
S n  ap n-1
Bunga dibayar 1x
setahun
20
• Bila bunga dibayar lebih sekali dalam
setahun, misal m kali, maka :
i mn
Fn  P(1 
)
m
m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun
Suku (1+i) dan (1 + i/m) disebut “faktor bunga
majemuk” (compounding interest factor), yaitu suatu
bilangan yang lebih besar dari 1, yang dapat dipakai
untuk menghitung jumlah dimasa mendatang dari
suatu jumlah sekarang.
21
• Dengan manipulasi matematis, bisa
diketahui nilai sekarang (present value) :
1
P
F
n
(1  i)
1
atau P 
F
mn
(1  i / m)
Suku 1/(1+i)n dan 1/(1+i/m)mn dinamakan “faktor
diskonto” (discount factor), yaitu suatu bilangan
lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai untuk
menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa
datang.
22
Tugas Individu:
1. Suku ke–4 dari suatu barisan aritmetika adalah 17 dan
suku ke–12 dari barisan tersebut adalah 81. Tentukan
suku ke–25 dari barisan tersebut ?
2. Dari suatu deret aritmetika, diketahui U5 = 5 dan U10 =
15.
Tentukan nilai dari Suku ke 20 !
3. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih
kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan
pertama sebesar Rp. 50.000,00, bulan kedua
Rp.55.000,00, bulan ketiga Rp.60.000,00, dan
seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama
dua tahun adalah
Ketentuan e-learning
1.
2.
3.
4.
Kerjakan tugas individu
Jawaban dalam bentuk file dengan nama
file : nama saudara_deret.
Jawaban dikirim lewat email ke alamat :
[email protected]
Jawaban diterima paling lambat hari
Selasa tanggal 6 Oktober 2015