Uploaded by User97468

PPT MERISA revisi

advertisement
DISTRIBUSI
PELUANG
KELOMPOK 8
DITA ARIYANI
NIDA RIHADATUL AISY NAHDAH
MUHAMAD BAGUS AMRULLAH
MOH HARUN AR-RASYID
DISTRIBUSI BINOMIAL
Salah satu karakteristik penting dari percobaan binomial adalah bahwa percobaan hanya mungkin
menghasilkan dua kejadian. Secara konvensional, kedua kejadian tersebut 15 biasa dikatagorikan sebagai
berhasil dan gagal. Suatu percobaan binomial mempunyai ciri-ciri sebagai berikut :
• Percobaan binomial terdiri dari n ulangan yang identik
• Dalam setiap ulangan hanya mungkin dihasilkan dua kejadian, yaitu berhasil atau gagal.
• Peluang untuk berhasil dalam setiap ulangan adalah p, dan nilai p bersifat konstan.
• Setiap ulangan bersifat bebas dari ulangan yang lain, artinya hasil dari suatu ulangan tidak mempengaruhi hasil
ulangan yang lain.
Suatu pabrik lilin (untuk ski), menyatakan bahwa lilin produksinya dapat
mengurangi gesekan antara ski-salju. Untuk menguji hal tersebut perlu
dilakukan percobaan “perlombaan” 10 pasang ski, tiap pasangan satu ski
diberi lilin sedangkan yang lain tidak diberi lilin. Berapakah kebolehjadian
ke10 ski berlilin memenangkan lomba ?
Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, dirumuskan dulu hipotesis
statistik, dalam hal ini yang paling sederhana adalah “hipotesis nol”, yaitu
mengandaikan bahwa lilin tidak memberi efek apapun. Kebolehjadian tiap
ski berlilin menang p = ½, kalah q = ½ Kebolehjadian n ski berlilin memang
dalam sepuluh (10) perlombaan.
10
10!
10!
1
𝑛 (10−𝑛)
𝑃 𝑥, 𝑛, 𝑝 =
𝑝 𝑞
=
𝑛! 10 − 𝑛 !
𝑛! 10 − 𝑛 ! 2
10
10
1
10!
1
1
𝑃 10,10,
=
=
≈ 0,1%
2
10! 10 − 10 ! 2
2
DISTRIBUSI POISSON
Distribusi ini diturunkan dari distribusi binomial untuk N besar. Jika kejadian yang diharapkan
muncul adalah x, dan x << N maka kebolehjadian munculnya kejadian tersebut adalah p << 1
Standar deviasi dalam distribusi Poisson adalah 𝜎 = 𝑝𝑁 dengan 𝑝𝑁 = 𝜇 = mean, maka
standart deviasinya adalah
𝜎= 𝜇
Suatu detector diletakkan di dekat sumber radioaktif lemah, counter mencatat tiap interval
waktu 10 detik. Setelah selesai percobaan, distribusi bilangan cacah tiap interval waktu
dinyatakan dengan distribusi Poisson, dengan
𝑐𝑎𝑐𝑎ℎ
Mean = 𝜇 = 1,67
10 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑
𝜎=
𝜇=
1,67 = 1,29
DISTRIBUSI NORMAL Contoh 2.6
Misal hasil pengukuran dari suatu periode ayunan yang dilakukan enam kali adalah: 3,8; 3,5; 3,9; 3,4; 3,9; 1,8 (dalam detik).
Kita lihat bahwa 1,8 sangat menyimpang dari hasil yang lain. Perlukah harga 1,8 tersebut kita tolak?
Penyelesaian
Dengan perhitungan nilai rata – rata diperoleh
𝜇=
3,8 + 3,5 + 3,9 + 1,8
6
𝜇 =3,4
Dan 𝜎 = 0,8
Kebolehjadian mendapat hasil ukur terletak antara :
1) 𝑋 − 𝜎𝑥 dan 𝑋 + 𝜎𝑥 dan = 68% atau P
2) 𝑋
𝑋 − 𝜎𝑥 ≤ 𝑋 ≤ 𝑋 + 𝜎𝑥
= 68%
− 2𝜎𝑥 dan 𝑋 + 2𝜎𝑥 = 95% atau P 𝑋 − 2𝜎𝑥 ≤ 𝑋 ≤ 𝑋 + 2𝜎𝑥
= 95%
Kebolehjadian penyimpangan hasil ukur adalah :
1) <
2) <
𝑋 − 𝜎𝑥 dan > 𝑋 + 𝜎𝑥
= 100% − 68% = 32%
𝑋 − 𝜎𝑥 )dan > (𝑋 + 𝜎𝑥
= %5 = %95 - %100 =
Data 1,8 ternyata terletak pada P
1
%
20
𝑋 − 2𝜎𝑥 ≤ 𝑋 ≤ 𝑋 + 2𝜎𝑥
dengan kebolehjadian penyimpangan hasil ukur 5% atau
1/20. Ini berarti bahwa setiap 20 pengukuran, diharapkan hanya ada satu penyimpangan hasil pengukuran.
Contoh 2.7
SOAL :
Dilakukan 10 kali pengukuran terhadap suatu besaran dengan nilai rata-rata
adalah 𝑋 = 5dan 𝜎𝑥 .2 =salah satu hasil adalah 8. Ditolak atau diterimakah 8 ini?
Penyelesaian:
𝑥−𝑥 8−5
=
= 1,5
𝜎
2
𝑃 −1,5 < 𝜇 < 1,5 = 2𝑃 𝜇 > 1,5
𝑧=
Dari daftar z
𝑃 𝜇 > 1,5 < 𝜇 < 1,5 = 86,64%
Kebolehjadian menyimpang
x
𝑃 𝜇 > 1,5 =
1
Karena
𝐾 = 10 →
𝑃 𝜇 > 1,5 > 4𝐾
1
4𝐾
=
1
40
= 2,5%
maka 8 diterima
100% − 86,64%
= 6,68%
2
Contoh 2.8
Soal:
Suatu perusahaan membutuhkan fiber dengan daya patah normal 150 psi.
Pengalaman sebelumnya menunjukkan bahwa simpangan baku daya patah fiber
merk X adalah 3 psi. Sebelum menggunakan fiber merk X, dilakukan empat kali
eksperimen secara acak, dan 28 diobservasi. Ternyata daya patah rata-ratanya
adalah 148 psi. Dengan 𝜎 = 0,05 (taraf kepercayaan 95 %), diterimakah fiber merk X
tadi ?
Penyelesaian:
Diketahui : 𝑥 148 = psi
𝑥0 150 = psi
𝜎 = 3 psi
n=4
Perumusan hipotesis : 𝐻0 : 𝜇 = 150
𝐻1 𝜇 ≠ 150
Ditentukan 𝜎 = 0,05 ; 𝑍1 2 1−𝜎 = 𝑍0,475 =( 1,960 tabel harga Z)
Terima 𝐻0 jika −1,960 < 𝑍 < 1,960
𝑋 − 𝜇0 148 − 150
𝑍0 = 𝜎
=
= −1,33
3
𝑛
4
Ternyata 𝑍0 < 𝑍𝑎 2 ,jadi 𝐻0 diterima, berarti fiber merk X tersebut dapat diterima
karena memenuhi syarat normal.
Contoh 2.14
SOAL:
Proses pengisian suatu jenis makanan kedalam kemasan plastik oleh mesin, paling tinggi
mempunyai varians 0,50 g. Akhir-akhir ini ada dugaan bahwa isi kemasan telah
mempunyai variabilitas yang lebih besar. Setelah diteliti 20 kemasan dan isinya
ditimbang. Ternyata sample ini menghasilkan simpangan baku 0,90 g dengan 𝛼 = 0,05.
Perlukah mesin pengisi distel ?
PENYELESAIAN :
Pengujian yang akan dilakukan adalah mengenai
𝐻0 : 𝜎 2 = 0,50
𝐻1 : 𝜎 2 > 0,50
Dengan 20,81 dan n = 20 serta 𝜎 2 ,0,50 = maka dengan persamaan (2.29)
diperoleh
20 − 1 0,81
= 30,78
0,50
Dari daftar Chi-kudrat dengan dk = 19 dan peluang 0,95 diperoleh 𝑋 2 0,95= 30,1
Karena Chi-kuadrat dari penelitian lebih besar dari 30,1 maka H0 ditolak pada taraf 5%. Ini
berarti bahwa variasi isi kemasan telah menjadi lebih besar, sehingga dianjurkan untuk
menyetel kembali mesin agar mendapatkan pengisian yang lebih merata.
𝑋2 =
CONTOH 2.16
SOAL :
Penelitian terhadap dua mesin pengisi minuman botol menghasilkan s12 = 25,4 cc dan s22 = 30,7
cc. Sampel yang diambil berukuran 13. Ada anggapan bahwa pengisian dengan mesin pertama
mempunyai variabilitas yang lebih kecil. Betulkah hal tersebut ?
Penyelesaian :
Hipotesis yang akan diuji adalah
H0 : 12 = 22
H1 : 12 > 22
Dengan persamaan (2.30) diperoleh
30,7
𝐹=
= 1,21
25,4
Dari daftar distribusi F didapat F 0,05(12,12) = 2,69. Karena 1,21 < 2,69, maka dalam taraf nyata 0,05
H0 kita terima. Atau cara pengisian mesin kesatu mempunyai variabilitas yang sama dengan
mesin kedua.
SOAL NO. 1
Dalam suatu eksperimen dilakukan 15 kali pengukuran terhadap suatu besaran, rata rata hasil adalah x= 7
dengan deviasi standar sama dengan 2. Jika salah satu hasil adalah 𝑋1 = 9, ditolak atau diterimakah hasil
pengukuran 𝑋1 tersebut?
Penyelesaian
𝑋=9
𝑋=7
𝜎=2
𝑘 = 15
𝑋− 𝑋 9 −7
𝑍=
=
=1
𝜎
2
P −1, 0 < 𝜇 < 1,0 = 68, 26%
Kebolehjadian menyimpang
100% −68,26%
P (𝜇 > 1,0) =
= 15, 87%
Karena P μ > 1,0 >
1
4𝐾
𝐾 = 15 →
1
4𝑘
2
=
15,87% > 1,67%
Maka, 9 diterima
1
60
= 1, 67%
SOAL NOMOR 4
Hasil pengukuran panjang suatu benda adalah: 45, 48, 44, 38, 45, 47, 52, 44,
46, 45 cm. Selidikilah apakah ada data yang harus ditolak atau tidak?
Penyelesaian :
Berdasarkan data yang diperoleh tersebut, terdapat data yang menyimpang yaitu 38 dan 52.
45 + 48 + 44 + 38 + 45 + 47 + 52 + 44 + 46 + 45
𝑥=
10
𝑥 = 45,4
𝜎=
1
𝑁−1
𝑁
(𝑥𝑖 − 𝑥)2
𝑖=1
Kebolehjadian mendapat hasil ukur terletak antara:
1. 𝑥 − 𝜎 𝑑𝑎𝑛 𝑥 + 𝜎 = 68%, 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑃 𝑥 − 𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥 + 𝜎
= 68%
2. 𝑥 − 2𝜎 𝑑𝑎𝑛 𝑥 + 2𝜎 = 95%, 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑃 𝑥 − 2𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥 + 2𝜎
= 95%
Kebolehjadian penyimpangan hasil ukur adalah:
1. < 𝑥 − 𝜎 𝑑𝑎𝑛 > 𝑥 + 𝜎
= 100% − 68% = 32%
2. < 𝑥 − 2𝜎 𝑑𝑎𝑛 > 𝑥 + 2𝜎
1
= 100% − 95% = 5% = 20
Data 38 dan 52 ternyata terletak pada 𝑃 𝑥 − 2𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥 + 2𝜎
1
𝑎𝑡𝑎𝑢 20
dengan kebolehjadian penyimpangan
hasil ukur 5%
. ini berarti bahwa setiap 20 pengukuran, diharapkan hanya ada satu
penyimpangan hasil pengukuran.
Maka 38 dan 52 harus ditolak karena hanya terdapat 10 data.
Download