Analisis Kekontinuan Fungsi pada Barisan Fungsi Konvergen Wahidah Alwi Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, [email protected] Ishak R Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar Penelitian ini membahas tentang tentang barisan fungsi ππππ dan hubungannya dengan fungsi kontinu ππ. Salah satu kekonvergenan dalam barisan fungsi adalah konvergen seragam, dimana jenis kekonvergenan tersebut mampu mempertahankan kekontinuan fungsi. Penelitian ini bertujuan untuk menunjukkan karakteristik barisan fungsi ππππ yang konvergen ke fungsi kontinu ππ. Kemudian akan diuraikan beberapa sifat barisan fungsi ππππ konvergen seragam serta keterkaitannya dengan fungsi kontinu ππ. Lebih jauh, dalam Penelitian ini akan ditunjukkan karakteristik barisan yang menjadi syarat cukup konvergennya barisan ππππ ke fungsi kontinu ππ. ABSTRAK, Kata Kunci: Barisan fungsi, Fungsi karakteristik barisan, Konvergen seragam kontinu, 1. PENDAHULUAN Barisan fungsi merupakan salah satu cara dalam menghampiri sebuah fungsi, sehingga kekonvergenan barisannya selalu menarik untuk dibahas. Kekonvergenan barisan fungsi terbagi menjadi dua yaitu kekonvergenan pointwise dan kekonvergenan seragam. Pengkajian yang yang lebih jauh dapat dilihat pada kekonvergenan seragam, sebab ini memiliki hubungan yang erat dengan beberapa pembahasan lain seperti kekontinuan, teori integral dan diferensial. Pembahasan kekonvergenan seragam juga memuat criteria Cauchy. Barisan fungsi konvergen seragam dapat dicari melalui nilai mutlak dari selisih suku yang berdekatan. Sebagaimana barisan fungsi konvergen seragam, kriteria Cauchy memiliki hubungan yang erat dengan kekontinuan fungsi. Dibagian khusus, barisan fungsi monoton kontinu yang konvergen ke fungsi kontinu, mengimplikasikan bahwa barisan tersebut konvergen seragam atau lebih dikenal dengan teorema dini. Selanjutnya, tulisan ini akan membahas karakteristik barisan fungsi yang konvergen ke fungsi kontinu atau dengan kata lain karakteristik yang menjadi syarat cukup konvergennya suatu barisan fungsi kefungsi kontinu. Penelitian ini dibatasi pada pendefinisian fungsi kontinu pada interval [ππ, ππ]. Interval [ππ, ππ] merupakan interval tertutup dan terbatas yang mana menurut teorema Heine-Borel interval tersebut adalah interval kompak. 2. TINJAUANPUSTAKA Kekontinuan Sebelum masuk kemateri kekontinuan, terlebih dahulu diperkenalkan materi limit. Limit merupakan pembahasan yang paling penting dalam analisis real, sebab materi selalu digunakan hampir disemua pembahasan lainnya. Limit secara intuitif dapat diartikan sebagai nilai suatu fungsi pada suatu titik. Untuk pemahaman lebih jelas dapat dilihat pada definisi berikut mining dapat dilakukan dalam beberapa langkah. Definisi 2.1 Misalkan π΄π΄ ⊆ β dan ππ adalah titik disekitar π΄π΄. Untuk fungsi ππ: π΄π΄ → β, bilangan real πΏπΏ dikatakan sebagai limit π΄π΄ di ππ jika untuk setiap ππ > 0 terdapat πΏπΏ > 0 sedemikian hingga jika π₯π₯ ∈ π΄π΄ dan 0 < |π₯π₯ − ππ | < πΏπΏ maka berlaku |ππ (π₯π₯ ) − πΏπΏ| < ππ. Definisi tersebut merupakan definisi limit yang secara umum dituliskan sebagai lim ππ(π₯π₯) = πΏπΏ. π₯π₯→ππ Teorema 2.2 Jika ππ: π΄π΄ → β dan c adalah titik limit π΄π΄. Jika π΄π΄ memiliki limit maka limitnya tunggal. Bukti: Ambil ππ > 0 dan misalkan ππ(π₯π₯) memiliki limit πΏπΏ dan πΏπΏ′ untuk π₯π₯ → ππ maka terdapat ππ1 > 0 dan ππ2 > 0 sehingga untuk π₯π₯ ∈ π΄π΄ dengan 0 < |π₯π₯ − ππ | < ππ1 berlaku Jurnal Matematika dan Statistika serta Aplikasinya Vol. 8 No. 1 Ed. Jan - Juni. 2020 Analisis Kekontinuan Fungsi Pada Barisan Fungsi Konvergen • 57 ππ 2 Dan untuk π₯π₯ ∈ π΄π΄ dengan 0 < |π₯π₯ − ππ | < ππ2 berlaku ππ |ππ(π₯π₯ ) − πΏπΏ′| < 2 Jika diambil ππ = min{ππ1 , ππ2 } maka diperoleh ππ ππ οΏ½πΏπΏ − πΏπΏ′ οΏ½ ≤ |πΏπΏ − ππ(π₯π₯ )| + οΏ½ππ (π₯π₯ ) − πΏπΏ′ οΏ½ < + 2 2 = ππ Terjadi kontradiksi, sehingga limit ππ(π₯π₯) dengan π₯π₯ → ππ adalah tunggal Selanjutnya salah satu konsep penting dalam matematika analisis yang sangat berkaitan dengan limit adalah kekontinuan. Kekontinuan suatu fungsi sangat bergantung dari ada tidaknya limit fungsi tersebut di suatu titik. |ππ(π₯π₯ ) − πΏπΏ| < Definisi 2.3 Misalkan π΄π΄ ⊆ β, ππ: π΄π΄ → β dan ππ ∈ π΄π΄. Fungsi ππ dikatakan kontinu di ππ jika untuk setiap ππ > 0 terdapat πΏπΏ > 0 sedemikian hingga jika π₯π₯ adalah suatu titik di π΄π΄ terpenuhi |π₯π₯ − ππ | < πΏπΏ maka berlaku |ππ (π₯π₯ ) − πΏπΏ| < ππ. definisi ini menyatakan bahwa suatu fungsi dikatakan kontinu disuatu titik jika ππ terdefinisi dititik tersebut dan limitnya ada. Jika suatu fungsi tidak memenuhi kondisi tersebut maka dikatakan diskontinu. Tinjauan dalam kekontinuan yang juga perlu diperhatikan adalah kekontinuan pada interval. Fungsi ππ dikatakan kontinu pada interval jika ππ kontinu disetiap titik pada interval tersebut atau grafik dari ππ tidak terputus dalam interval tersebut. Definisi 2.4 Misalkan π΄π΄ ⊆ β dan ππ: π΄π΄ → β. Fungsi ππ dikatakan kontinu pada π΄π΄ jika untuk setiap π₯π₯ ∈ π΄π΄ dan ππ > 0 terdapat πΏπΏ > 0 sedemikian hingga jika π’π’ ∈ π΄π΄ dengan |π₯π₯ − π’π’| < πΏπΏ maka berlaku |ππ(π₯π₯ ) − ππ(π’π’)| < ππ. Definisi cukup jelas memperlihatkan bahwa nilai πΏπΏ bergantung pada nilai ππ dan π₯π₯. Kekontinuan memiliki ruang kajian yang cukup luas, salah satunya adalah perluasan pada kekontinuan seragam. Suatu fungsi yang kontinu seragam adalah fungsi kontinu, tetapi tidak berlaku sebaliknya. Salah satu perbedaan kekontinua dan kekontinuan seragam adalah nilai πΏπΏ. jika dalam kekontiuan nilai πΏπΏ bergantung pada nilai ππ dan π₯π₯, maka dalam kekontinuan seragam nilai πΏπΏ hanya bergantung pada ππ. Definisi 2.5 Misalkan π΄π΄ ⊆ β dan ππ: π΄π΄ → β. Fungsi ππ dikatakan kontinu seragam pada π΄π΄ jika untuk setiap ππ > 0 terdapat πΏπΏ > 0 sedemikian hingga jika π₯π₯, π’π’ ∈ π΄π΄ dengan |π₯π₯ − π’π’| < πΏπΏ maka berlaku |ππ(π₯π₯ ) − ππ(π’π’)| < ππ. Selanjutnya ditunjukkan teorema yang menjamin suatu fungsi kontinu seragam. Teorema 2.6 Misalkan πΌπΌ interval terbatas tertutup dan ππ: πΌπΌ → β kontinu di πΌπΌ, maka fungsi ππ kontinu seragam pada πΌπΌ. Bukti : Jika ππ tidak kontinu seragam pada πΌπΌ, maka terdapat ππ0 > 0 dan dua barisan yaitu π₯π₯ππ dan π¦π¦ππ 1 di πΌπΌ sedemikian sehingga |π₯π₯ππ − π¦π¦ππ | < dan ππ |ππ (π₯π₯ππ ) − ππ (π¦π¦ππ )| ≥ ππ0 untuk semua bilangan asli ππ. Karena πΌπΌ terbatas maka π₯π₯ππ juga terbatas sehingga terdaoat subbarisan π₯π₯ππππ dari π₯π₯ππ yang konvergen ke π§π§. Karena πΌπΌ tertutup, maka π§π§ terdapat pada πΌπΌ. Cukup jeas bahwa subbarisan π¦π¦ππππ juga konvergen ke π§π§, karena οΏ½π¦π¦ππππ − π§π§οΏ½ ≤ οΏ½π¦π¦ππππ − π₯π₯ππππ οΏ½ + |π₯π₯ππππ − π§π§| Selanjutnya, jika ππ kontinu di π§π§ maka kedua barisan ππ(π₯π₯ππππ ) dan ππ(π¦π¦ππππ ) haruslah konvergen ke ππ(π§π§). Tetapi ini tidak mungkin terjadai karena |ππ(π₯π₯ππ ) − ππ (π¦π¦ππ )| ≥ ππ0 untuk semua bilangan asli ππ. Terjadi kontradiksi, sehingga ini membuktikan bahwa jika ππ kontinu di πΌπΌ, maka ππ kontinu seragam pada πΌπΌ. Teorema ini menunjukkan bahwa fungsi kontinu yang terdefinisi pada interval tertutup dan terbatas juga kontinu seragam. Barisan Jurnal Matematika dan Statistika serta Aplikasinya Vol. 8 No. 1 Ed. Jan - Juni. 2020 58 • Wahidah Alwi; Ishak R Barisan bilangan real merupakan pemetaan dari bilangan asli kebilangan real yang diperjelas dengan definisi berikut Definisi 2.7 Barisan bilangan real (atau barisan di R) adalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan ππ dengan range dalam π π . Selanjutnya, suatu barisan dikatakan konvergen kesuatu titik jika barisan tersebut memiliki limit. Definisi 2.8 Barisan ππ = (π₯π₯ππ ) dikatakan konvergen ke π₯π₯ ∈ π π , atau π₯π₯ dikatakan limit barisan (π₯π₯ππ ) jika untuk setiap ππ > 0 terdapat bilangan asli πΎπΎ(ππ) sedemikian hingga untuk setiap ππ ≥ πΎπΎ(ππ), untuk π₯π₯ππ berlaku |π₯π₯ππ − π₯π₯ | < ππ. Beberapa sifat barisan konvergen dapat dilihat dalam teorema berikut yang menyangkut ketunggalan nilai limit dan keterbatasan barisan. Teorema 2.9 Jika barisan ( π₯π₯ππ ) konvergen, maka ( π₯π₯ππ ) limitnya tunggal. Bukti: Misalkan lim (π₯π₯ππ ) = π₯π₯′dan ππ→∞ lim (π₯π₯ππ ) = π₯π₯" ππ→∞ dengan π₯π₯′ ≠ π₯π₯". Jika diambil ππ > 0 terdapat πΎπΎ′ ππ sedemikian sehingga |π₯π₯ππ − π₯π₯ ′ | < 2 untuk setiap ππ ≥ πΎπΎ" dan terdapat πΎπΎ" sedemikian sehingga ππ |π₯π₯ππ − π₯π₯ | < untuk semua ππ ≥ πΎπΎ". Dipilih 2 ′ πΎπΎ =max{πΎπΎ , πΎπΎ"}. Menurut Ketaksamaan Segitiga untuk ππ ≥ πΎπΎ diperoleh |π₯π₯ ′ − π₯π₯"|=|x'-xn +xn-x"| = |π₯π₯ ′ − π₯π₯ππ | + |π₯π₯ππ − π₯π₯"| ππ ππ < + = ππ 2 2 Karena berlaku untuk setiap ππ > 0 , maka π₯π₯ ′ − π₯π₯" = 0 yang berarti π₯π₯ ′ = π₯π₯". Kontradiksi dengan pengandaian, sehingga terbukti bahwa limit (π₯π₯ππ ) tunggal. Teorema 2.10 Jika ππ = (π₯π₯ππ ) konvergen, maka ππ = (π₯π₯ππ ) terbatas. Bukti: Diketahui lim(π₯π₯ππ ) = π₯π₯ dan ambil ππ = 1, maka terdapat bilangan asli πΎπΎ = πΎπΎ(1) sedemikian hingga berlaku |π₯π₯ππ − π₯π₯ | < 1 untuk semua ππ ≥ πΎπΎ . Dengan ketaksamaan segitiga untuk ππ ≥ πΎπΎ maka diperoleh |π₯π₯ππ | = |π₯π₯ππ − π₯π₯ + π₯π₯ | ≤ |π₯π₯ππ − π₯π₯ | + |π₯π₯ | < 1 + |π₯π₯| Jika dipilih ππ = sup {|π₯π₯1 |, |π₯π₯2 |, … , |π₯π₯ππ−1 |, 1 + |π₯π₯|} Maka terbukti bahwa |π₯π₯ππ | ≤ ππ untuk semua ππ ∈ ππ. Teorema 2.11 (i) Jika ππ = (π₯π₯ππ ) naik (monoton) dan terbatas ke atas, maka ππ = (π₯π₯ππ ) konvergen dengan lim(π₯π₯ππ ) = sup {π₯π₯ππ : ππ ∈ ππ}. (ii) Jika ππ = (π₯π₯ππ ) turun (monoton) dan terbatas ke bawah, maka ππ = (π₯π₯ππ ) konvergen dengan lim(π₯π₯ππ ) = inf {π₯π₯ππ : ππ ∈ ππ}. Bukti: Karena ππ = (π₯π₯ππ ) terbatas ke atas, maka terdapat ππ ∈ ππ sedemikian hingga π₯π₯ππ ≤ ππ untuk semua ∈ ππ . Namakan π΄π΄ = {π₯π₯ππ : ππ ∈ ππ}, maka ⊂ π π , terbatas ke atas dan tidak kosong. Menurut Sifat Lengkap, maka π΄π΄ memiliki supremum, misalkan π₯π₯ = sup π΄π΄. Diambil ππ > 0, maka terdapat πΎπΎ ∈ ππ sedemikian hingga π₯π₯ − ππ < π₯π₯ππ ≤ π₯π₯. Karena ππ monoton naik, maka untuk ∀ππ ≥ πΎπΎ berlaku Atau π₯π₯ − ππ < π₯π₯ππ ≤ π₯π₯ππ ≤ π₯π₯ < π₯π₯ + ππ π₯π₯ − ππ < π₯π₯ππ < π₯π₯ + ππ ⇔ |π₯π₯ππ − π₯π₯ | < ππ Ini membuktikan bahwa ππ = (π₯π₯ππ ) konvergen ke π₯π₯ = lim(π₯π₯ππ ) = sup {π₯π₯ππ : ππ ∈ ππ}. pembuktian untuk infimum serupa. Barisan Fungsi Barisan fungsi merupakan barisan yang elemennya adalah berupa fungsi. Sehingga fungsi untuk setiap suku bergantung pada bilangan asli. Barisan fungsi konvergen terbagi atas konvergen pointwise dan konvergen seragam. Kekonvergenan pointwise didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.12 Jurnal Matematika dan Statistika serta Aplikasinya Vol. 8 No. 1 Ed. Jan - Juni. 2020 Analisis Kekontinuan Fungsi Pada Barisan Fungsi Konvergen • 59 Barisan fungsi {ππππ } dikatakan konvergen pointwise ke suatu fungsi ππ jika lim ππππ (π₯π₯ ) = ππ→∞ ππ(π₯π₯), untuk setiap π₯π₯ ∈ πΈπΈ dimana πΈπΈ ⊆ π π . Definisi tersebut cukup jelas menggambarkan bahwa nilai interval yang diberikan sangat mempengaruhi nilai limitnya sebagaimana dalam lemma berikut. Lemma 2.13 Suatu barisan fungsi {ππππ } pada himpunan π΄π΄ ⊆ π π konvergen ke suatu fungsi jika dan hanya jika untuk setiap ππ > 0 dan setiap π₯π₯ ∈ π΄π΄ ada bilangan asli ππππ,π₯π₯ sedemikian sehingga untuk semua ππ ≥ ππππ,π₯π₯ berlaku |ππππ (π₯π₯ ) − ππ (π₯π₯ )| < ππ. Bukti: Pertidaksamaan di atas menunjukkan bahwa π₯π₯ berpengaruh terhadap ππ untuk memenuhi pertidaksamaan. Sehingga jelas bahwa dalam memenuhi pertidak samaan, ππ bergantung terhadap nilai π₯π₯ dan ππ. Selanjutnya, suatu barisan yang knvergen seragam hanya bergantung pada nilai ππ dan berlaku untuk semua nilai π₯π₯ dalam interval. Keknvergenan seragam didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.14 Barisan fungsi {ππππ } bernilai riil di πΈπΈ ⊆ π π . Barisan fungsi {ππππ } dikatakan konvergen seragam ke fungsi ππ di πΈπΈ, jika diberikan ππ > 0, ∃ ππππ ∋ |ππππ (π₯π₯ ) − ππ (π₯π₯ )| < ππ, ∀ππ ≥ ππππ , π₯π₯ ∈ πΈπΈ. Fungsi ππ(π₯π₯) merupakan nilai limit dari ππππ (π₯π₯ ) untuk nilai ππ → ∞. Akibat 2.15 Barisan fungsi {ππππ } tidak konvergen seragam ke ππ di πΈπΈ jika dan hanya jika ∃ππ0 > 0 ∋ βππ yang memenuhi |ππππ (π₯π₯ ) − ππ(π₯π₯ )| < ππ0 ∀ππ ≥ ππππ0 , ∀π₯π₯ ∈ πΈπΈ. Bukti: Sesuai dengan definisi bariasan konvergen seragam bahwa Barisan fungsi {ππππ } dikatakan konvergen seragam ke fungsi ππ di πΈπΈ, jika diberikan ππ > 0, ∃ ππππ ∋ |ππππ (π₯π₯ ) − ππ (π₯π₯ )| < ππ, ∀ππ ≥ ππππ , π₯π₯ ∈ πΈπΈ. Fungsi ππ(π₯π₯) merupakan nilai limit dari ππππ (π₯π₯ ) untuk nilai ππ → ∞, diketahui bahwa jika diambil ππ > 0 maka ∀ππ ≥ ππππ memenuhi pertidaksamaan |ππππ (π₯π₯ ) − ππ (π₯π₯ )| < ππ. Jadi, jika diambil ππ > 0 sehingga tidak ada ππ ≥ ππππ yang memenuhi pertidaksamaan |ππππ (π₯π₯ ) − ππ (π₯π₯ )| < ππ maka ππππ (π₯π₯ ) dinyatakan tidak konvergen seragam. 3. METODOLOGI Penelitian ini merupakan kajian teori yang membahas mengenai kekontinuan dengan memperhatikan barisan fungsinya. Prosedur penelitian dimulai dengan menunjukkan hubungan konvergensi barisan fungsi dan fungsi kontinu. Kemudian menganalisis sifat barisan fungsi yang konvergen ke fungsi kontinu. Terakhir, akan ditunjukkan barisan fungsi yang konvergen ke fungsi kontinu yang berimplikasi pada ditunjukkannya karakteristik barisan fungsi yang menjadi syarat cukup kekontinuan fungsi yang didekatinya. 4. PEMBAHASAN Hubungan barisan fungsi konvergen dan kekontinuan Barisan fungsi konvergen terbagi menjadi dua yaitu konvergen pointwise dan konvergen seragam. Meskipun telah diketahui bahwa konvergen pointwise merupakan syarat perlu konvergen seragam, akan tetapi berdasarkan definisinya mengimplikasikan bahwa barisan fungsi yang konvergen pointwise tidak mampu mempertahankan kekontinuan fungsi. Lain halnya dengan kekonvergenan seragam, kekonvergenan tersebut mampu mempertahankan kekontinuan suatu fungsi . dengan kata lain barisan fungsi yang konvergen seragam akan konvergen ke suatu fungsi kontinu. Hal tersebut dapat dilihat pada teorema berikut Teorema 4.1 Misalkan ππππ konvergen seragam ke ππ pada suatu interval [ππ, ππ]. Jika ππππ kontinu di [ππ, ππ] untuk tiap ππ ∈ ππ, maka ππ juga kontinu di [ππ, ππ]. Bukti: Ambil ππ > 0 terdapat ππ ∈ β sedemikian hingga untuk ππ ≥ ππ berlaku ππ |ππππ (π₯π₯ ) − ππ (π₯π₯ )| < π₯π₯ ∈ [ππ, ππ] 3 Jurnal Matematika dan Statistika serta Aplikasinya Vol. 8 No. 1 Ed. Jan - Juni. 2020 60 • Wahidah Alwi; Ishak R Misalkan ππππ (π₯π₯) kontinu maka ππππ (π₯π₯) juga kontinu seragam. Maka untuk setiap ππ > 0 terdapat πΏπΏ > 0 sehingga untuk setiap π₯π₯, π¦π¦ ∈ [ππ, ππ] dengan |π₯π₯ − π¦π¦| < πΏπΏ berlaku ππ |ππππ (π₯π₯ ) − ππππ (π¦π¦)| < 3 Sehingga diperoleh ketaksamaan berikut |ππ (π₯π₯ ) − ππ (π¦π¦)| ≤ |ππ (π₯π₯ ) − ππππ (π₯π₯ )| + |ππππ (π₯π₯ ) − ππππ (π¦π¦)| + |ππππ (π¦π¦) − ππ(π¦π¦)| ππ ππ ππ < + + 3 3 3 = ππ Ini membuktikan bahwa ππ kontinu. Pernyataan ini cukup jelas menunjukkan bahwa kekonvergenan seragam hanya mampu mempertahankan kekontinuan fungsi. Dengankata lain, jika ππππ tidak kontinu maka kekonvergenan seragam tidak mampu mengakibatkan ππππ konvergen kefungsi kontinu. Oleh sebab itu, dibagian selanjutnya ππππ akan dianggap fungsi kontinu pada interval kompak [ππ, ππ] yang mengimplikasikan bahwa ππππ juga konvergen seragam. Sebab konvergen seragam mengimplikasikan konvergen ke fungsi kontinu, maka selanjutnya cukup ditulis konvergen. Sifat dasar barisan fungsi yang konvergen ke fungsi kontinu Syarat perlu dari suatu barisan yang onvergen kefungsi kontinu adalah ketunggalan nilai limit serta keterbatasan barisannya, sebagaimana terdapat pada teorema berikut. Teorema 4.2 Jika barisan ππππ konvergen ke ππ, maka limit barisan ππππ tunggal. Bukti: Andaikan ππππ konvergen ke ππ dan ππ dengan ππ ≠ ππ. Maka untuk sebarang ππ > 0 ππ terdapat πΎπΎ′ sedemikian sehingga |ππππ − ππ | < 2 untuk setiap ππ ≥ πΎπΎ′ dan terdapat πΎπΎ" sedemikian ππ sehingga |ππππ − ππ| < 2 untuk setiap ππ ≥ πΎπΎ". Dipilih πΎπΎ = max{πΎπΎ ′ , πΎπΎ"}, untuk ππ ≥ πΎπΎ diperoleh |ππ − ππ|=|ππ – ππn + ππn-ππ| = |ππ − ππππ | + |ππππ − ππ| ππ ππ + = ππ 2 2 Karena berlaku untuk setiap ππ > 0 , maka ππ − ππ = 0 yang berarti ππ = ππ. Kontradiksi dengan pengandaian. Jadi, terbukti bahwa limitnya tunggal. < Contoh Tunjukkan kekonvergenan π₯π₯ ππππ (π₯π₯ ) = untuk π₯π₯ ∈ [0,1]. ππ ππππ (π₯π₯ ) = π₯π₯ ππ barisan konvergen seragam menuju π₯π₯ ππ (π₯π₯ ) = 0 pada π₯π₯ ∈ [0,1] karena nilai οΏ½ππ − 0οΏ½ ≤ 1 < ππ, yang berarti jika diambil sebarang nilai ππ > 0 ada nilai ππ ≥ ππsedemikian sehingga π₯π₯ οΏ½ − 0οΏ½ < ππ berlaku untuk semua π₯π₯ ∈ [0,1]. ππ Barisan ππππ merupakan barisan fungsi kontinu yang sebagaimana terlihat bahwa ππππ konvergen seragam ke ππ = 0. Berdasarkan sifat limit barisan, cukup jelas bahwa ππ merupakan fungsi kontinu. ππ Suatu himpunan tak kosong πΌπΌ dikatakan terbatas keatas jika terdapat ππ sedemikian sehingga berlaku πΌπΌ ≤ ππ. πΌπΌ dikatakan terbatas kebawah jika terdapat ππ sedemikian sehingga berlaku πΌπΌ ≥ ππ. Selanjutnya πΌπΌ dikatakan terbatas jika πΌπΌ terbatas keatas dan terbatas kebawah. Berikut teorema kekonvergenan yang dipengaruhi oleh keterbatasan. Teorema 4.3 Jika barisan ππππ konvergen ke ππ, maka ππππ terbatas. Bukti: Diketahui {ππππ} konvergen ke ππ dan diambil ππ > 0, maka terdapat bilangan asli πΎπΎ = πΎπΎ(ππ) sedemikian hingga berlaku |ππππ − ππ | < ππ untuk semua ππ ≥ πΎπΎ . Jika digunkan ketaksamaan segitiga dengan ππ ≥ πΎπΎ maka didapat |ππππ | = |ππππ − ππ + ππ | ≤ |ππππ − ππ | + |ππ | < ππ + |ππ| Jika dipilih ππ = sup {|ππ1 |, |ππ2 |, … , |ππππ−1 |, ππ + |ππ|} Maka itu menyatakan bahwa |ππππ | ≤ ππ untuk semua ππ ∈ ππ Jurnal Matematika dan Statistika serta Aplikasinya Vol. 8 No. 1 Ed. Jan - Juni. 2020 Analisis Kekontinuan Fungsi Pada Barisan Fungsi Konvergen • 61 Barisan Cauchy Barisan Cauchy merupakan suatu kriteria yang dapat digunakan untuk menunjukkan barisan fungsi konvergen. Kriteria yang digunakan adalah dengan memperhatikan nilai mutlak dari dua suku yang berdekatan. Definisi 4.4 Barisan ππππ dikatakan barisan Cauchy jika setiap ππ > 0 terdapat bilangan asli ππ sehingga untuk ππ, ππ ≥ ππ berlaku |ππππ − ππππ | < ππ Salah satu sifat dasar barisan konvergen juga berlaku dalam barisan Cauchy. Sifat itu ditunjukkan dalam teorema berikut. Teorema 4.5 Barisan Cauchy adalah barisan terbatas Bukti: Misalkan ππππ adalah barisan Cauchy dan diambil ππ > 0, maka terdapat bilangan asli πΎπΎ = πΎπΎ(ππ) sedemikian hingga berlaku |ππππ − ππππ | < ππ untuk semua ππ ≥ πΎπΎ . Dengan ketaksamaan segitiga untuk ππ ≥ πΎπΎ maka diperoleh |ππππ | = |ππππ − ππππ + ππππ | ≤ |ππππ − ππππ | + |ππππ | < ππ + |ππππ | Jika dipilih ππ = sup {|ππ1 |, |ππ2 |, … , |ππππ−1 |, ππ + |ππππ |} Maka terbukti bahwa |ππππ | ≤ ππ untuk semua ππ ∈ ππ. Selanjutnya diperlihatkan bahwa kriteria Cauchy menjamin konvergennya barisan ππππ konvergen kefungsi kontinu. Teorema 4.6 Barisan ππππ konvergen ke ππ jika dan hanya jika ππππ adalah barisan Cauchy. Bukti: Karena ππππ konvergen maka terdapat ππ sedemikian hingga untuk setiap ππ > 0 terdapat πΎπΎ ∈ β sehingga untuk ππ ≥ πΎπΎ berlaku ππ |ππππ − ππ | < 2 Berdasarkan ketaksamaan tersebut, untuk ππ, ππ ≥ πΎπΎ berlaku |ππππ − ππππ | ≤ |ππππ − ππ | + |ππ − ππππ | ππ ππ < + 2 2 = ππ Terbukti bahwa ππππ konvergen merupakan barisan Cauchy. Selanjutnya diperlihatkan bahwa ππ kontinu. Diketahui ππππ adalah barisan Cauchy yang berarti untuk setiap ππ > 0 terdapat ππ ∈ β sedemikian hingga untuk ππ, ππ ≥ ππ berlaku |ππππ (π₯π₯ ) − ππππ (π₯π₯ )| < ππ π₯π₯ ∈ [ππ, ππ] Hal ini mengindikasikan bahwa barisan ππππ (π₯π₯) dengan π₯π₯ ∈ [ππ, ππ] merupakan baisan Cauchy di β. Selanjutnya ini mengimplikasikan bahwa ππππ (π₯π₯) konvergen yang berarti untuk setiap ππ > 0 terdapat ππ ∈ β sedemikian hingga untuk ππ ≥ ππ berlaku |ππππ (π₯π₯ ) − ππ (π₯π₯ )| < ππ 3 π₯π₯ ∈ [ππ, ππ] Misalkan ππππ (π₯π₯) kontinu, maka untuk setiap ππ > 0 terdapat πΏπΏ > 0 sehingga untuk setiap π₯π₯, π¦π¦ ∈ [ππ, ππ] dengan |π₯π₯ − π¦π¦| < πΏπΏ berlaku ππ |ππππ (π₯π₯ ) − ππππ (π¦π¦)| < 3 Sehingga diperoleh ketaksamaan berikut |ππ (π₯π₯ ) − ππ (π¦π¦)| ≤ |ππ (π₯π₯ ) − ππππ (π₯π₯ )| + |ππππ (π₯π₯ ) − ππππ (π¦π¦)| + |ππππ (π¦π¦) − ππ(π¦π¦)| ππ ππ ππ < + + = ππ 3 3 3 Jadi tebukti bahwa ππ merupakan fungsi kontinu. Barisan (fungsi) monoton Barisan fungsi ππππ dikatakan monoton naik apabila ππππ ≤ ππππ+1 dan ππππ monoton turun apabila ππππ ≥ ππππ+1 Teorema 4.7 (1). Jika barisan ππππ naik monoton dan mempunyai supremum maka barisan ππππ konvergen ke supremumnya. (2). Jika barisan ππππ turun monoton dan mempunyai infimum maka barisan ππππ konvergen ke infimumnya. Bukti: dan π π = (1) Misalkan π΄π΄ = {ππππ : ππ ∈ ππ} sup π΄π΄. Diambil ππ > 0, maka terdapat πΎπΎ ∈ ππ sedemikian hingga π π − ππ < ππππ ≤ π π . Karena {ππππ} naik monoton, maka untuk ππ ≥ πΎπΎ berlaku Jurnal Matematika dan Statistika serta Aplikasinya Vol. 8 No. 1 Ed. Jan - Juni. 2020 62 • Wahidah Alwi; Ishak R Atau π π − ππ < ππππ ≤ ππππ ≤ π π < π π + ππ π π − ππ < ππππ < π π + ππ ⇔ |ππππ − π π | < ππ Jadi, terbukti bahwa {ππππ} konvergen ke π π = sup {ππππ : ππ ∈ ππ}. Infimum dapat dibuktikan dengan cara yang sama. Teorema 4.8 Diberikan barisan ππππ (π₯π₯) terbatas. (1).Jika ππππ (π₯π₯) naik seragam maka ππππ (π₯π₯) memiliki supremum. Lebih jauh, barisan ππππ (π₯π₯) konvergen ke supremumnya. (2).Jika ππππ (π₯π₯) turun seragam maka ππππ (π₯π₯) memiliki infimum. Lebih jauh, barisan ππππ (π₯π₯) konvergen ke infimumnya. Bukti: Diketahui ππππ terbatas dan naik seragam, maka untuk setiap ππ > 0 tedapat ππ0 ∈ β sehingga untuk setiap ππ ≥ ππ0 berlaku 0 ≤ ππππ+1 (π₯π₯ ) − ππππ (π₯π₯ ) < ππ π₯π₯ ∈ [ππ, ππ] Cukup jelas bahwa untuk setiap π₯π₯ ∈ [ππ, ππ] barisan ππππ (π₯π₯) terbatas di β. Sesuai dengan sifat kelengkapan, maka terdapat ππ(π₯π₯ ) = sup ππππ (π₯π₯) untuk setiap π₯π₯ ∈ [ππ, ππ]. Berdasarkan Teorema 4.7, cukup jelas bahwa ππππ (π₯π₯) konvergen ke supremumnya yaitu ππ(π₯π₯). Tapi akan dilanjutkan mengenai kekontinuan ππ(π₯π₯). Ambil ππ > 0 tedapat ππ1 ∈ β sehingga untuk setiap ππ ≥ ππ1 berlaku ππ |ππππ (π₯π₯ ) − ππ (π₯π₯ )| < 3 Ambil bilangan asli ππ = sup{ππ0 , ππ1 }. Andaikan ππππ kontinu maka terdapat πΏπΏ > 0 sehingga untuk setiap π₯π₯, π¦π¦ ∈ [ππ, ππ] dengan |π₯π₯ − π¦π¦| < πΏπΏ berlaku ππ |ππππ (π₯π₯ ) − ππππ (π¦π¦)| < 3 Selanjutnya dapat disimpulkan bahwa untuk π₯π₯, π¦π¦ ∈ [ππ, ππ] dengan |π₯π₯ − π¦π¦| < πΏπΏ berlaku |ππ(π₯π₯ ) − ππ (π¦π¦)| ≤ |ππ(π₯π₯ ) − ππππ (π₯π₯ )| + |ππππ (π₯π₯ ) − ππππ (π¦π¦)| + |ππππ (π¦π¦) − ππ(π¦π¦)| ππ ππ ππ < + + 3 3 3 = ππ Terbukti bahwa ππ kontinu. Infimum dapat dibuktikan dengan cara yang sama. Karakteristik barisan fungsi yang konvergen ke fungsi kontinu Pembuktian teorema konvergen seragam dan kekontinuan menunjukkan bahwa ππππ konvegen kefungsi kontinu jika dan hanya jika ππππ merupakan barisan fungsi yang kontinu di [ππ, ππ]. Sehingga hal pertama yang perlu diperhatikan dalam menentukan kekonvergenan barisan kefungsi kontinu adalah kekontinuan barisannya sendiri. Sifat-sifat barisan yang telah diuraikan sebelumnya mengindikasikan suatu pernyataan bahwa barisan ππππ yang konvergen ke fungsi kontinu memiliki limit tunggal dan juga barisannya terbatas, sedangkan menurut teorema 4.3 (Teorema Cauchy) barisan ππππ akan konvergen ke fungsi kontinu ππ jika dan hanya jika ππππ merupakan barisan Cauchy. Sifat Barisan fungsi ππππ monoton yang merupakan kondisi spesifik dari barisan mengindikasikan bahwa ππππ yang konvergen kefungsi kontinu ππ memiliki supremum/infimum. Untuk mengetahui konvergen atau tidaknya ππππ kefungsi kontinu ππ cukup dengan meninjau kepemilikan supremum/infimum barisannya. Menurut teorema 4.5 kemonotonan seragam mampu menjamin kepemilikan supremum/infimum barisan monoton ππππ . Sehingga ππππ konvergen ke ππ kontinu dapat diidentifikasi dengan memeriksa kemonotonan seragam dari ππππ . 5. KESIMPULAN Barisan yang konvergen kefungsi kontinu dipengaruhi oleh kekontinuan seragam dari barisannya, yaitu ππππ merupakan barisan fungsi kontinu. Sesuai batasan peneliatian yaitu interval terbatas dan tertutup [ππ, ππ], maka ππππ kontinu juga telah kontinu seragam. Hubungan barisan konvergen dan kekontinuan juga menunjukkan bahwa konvergen seragam mampu mempertahankan kekontinuan fungsi diiterval kompak [ππ, ππ], sebab barisannya akan selalu konvergen kefungsi kontinu di [ππ, ππ]. Selanjutnya sifat yang perlu dimiliki oleh barisan agar konvergen kefungsi kontinu adalah keterbatasan barisan. Karakteristik yang Jurnal Matematika dan Statistika serta Aplikasinya Vol. 8 No. 1 Ed. Jan - Juni. 2020 Analisis Kekontinuan Fungsi Pada Barisan Fungsi Konvergen • 63 menjamin ππππ konvergen ke ππ kontinu yaitu criteria Cauchy. Sehingg barisan konvergen dapat diperiksa melalui suku barisan. Untuk barisan monoton, kepemilikan supremun menjamin barisan konvergen kesupremummya. Karkteristik yang dapat dilihat agar ππππ memiliki supremum yaitu kemonotonan seragam. Criteria Cauchy dan kemonotonan seragam pada dasarnya adalah dua hal yang mirip. Sebab keduanya menggunakan selisih suku barisan. Dengan kata lain, kemotonan seragam merupakan spesifikasi kriteria Cauchy untuk barisan monoton. 6. DAFTAR PUSTAKA [1] Alwi, Wahidah. (2012). “Analisis Real: Landasan Berfikir Formal dalam Matematika”. Makassar: Alauddin Press [2] Alwi, Wahidah, Muh. Irwan dan Ishak R. (2018).”Ekuivalensi Kekonvergenan Pointwise dan kekonvergenan Seragam pada Barisan fungsi”. Jurnal Matematika Statistika dan Apikasinya, Vol. 6 No. 2, halaman 15-23. [3] Bartle, R. G. (1976). “The Elements of Real Analysis 2nd”. New York. John Wiley and Sons. [4] Bartle, R. G dan Donald R. Sherbert. (2000). “Introduction to Real Analysis 3rd”. New York. John Wiley and Sons. [5] Goldberg, Richard R. (1976). “Method of Real Analysis”.New York. John Wiley and Sons. [6] Marsden, Jerold E. (1974). “Elementary Classiccal Analysis”. San Fransisco. W. H. Freeman and Company. [7] Setiawan, Restu Puji dan Hartono. 2107 ” Analisis Kekonvergenan pada Barisan Fungsi”, Jurnal Matematika Vol 6 No 1 Tahun 2017 Universitas Negeri Yogyakarta. [8] Trench, William F. (2013). “Introduction to Real Analysis”. Trinity University. [9] Ubaidillah, Firdaus, Soeparna Darmawijaya dan Ch. Rini Indrati. (2013). “Kekonvergenan Barisan didalam Ruang Fungsi Kontinu C[a,b]”.Jurnal CAUCHY, Vol. 2 No. 4, halaman 184-188. Jurnal Matematika dan Statistika serta Aplikasinya Vol. 8 No. 1 Ed. Jan - Juni. 2020
