cara membaca tabel z

36
OUTLINE BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR (PAF-201)
Kompetensi Umum:
Setelah mengikuti matakuliah ini mahasiswa diharapkan mampu menyajikan data yang
telah dikumpulkan dan mampu menganalisis
meng analisis data statistik secara benar.
BAB I. PENDAHULUAN
1.1 Statistik dan Statistika
1.2 Jenis-jenis statistika
1.2.1 Statistika Deskriptif
1.2.2 Statistika Inferensia
1.3 Jenis-Jenis Data
1.3.1 Data Nominal
1.3.2 Data Ordinal
1.3.2 Data Interval
1.3.2 Data Rasio
Bab II.
I I. TEKNIK
TEKN IK MENYAJIKAN DATA
DATA
2.1 Pendahuluan
2.2 Statistik Lima Serangkai
2.3 Diagram Dahan dan Daun (Sten-And-Leaf Plot).
2.4 Tabel Distribusi Frekuensi
2.5 Histogram
2.6 Boxplot
Bab III. PROBABILITAS
3.1 Permutasi dan Kombinasi
3.2 Definisi probabilitas
3.3 Ruang Kejadian dan Ruang Sampel
3.4 Kejadian Tunggal
37
3.5 Kejadian Majemuk
3.6 Kejadian Saling Bebas
3.7 Kejadian tidak saling bebas
Rule)
3.8 Atural Bayes (Bayes Rule)
Bab IV. DISTRIBUSI PROBABILITAS
4.1 Pengertian variabel random
4.2 Distribusi Probabilitas
4.3 Distribusi Probabilitas Diskret
4.3.1 Distribusi Binomial
4.3.2 Distribusi Poisson
4.4 Distribusi Probabilitas Kontinu
4.4.1 Distribusi Normal
4.4.2 Distribusi t-Student
Bab V. DISTRIBUSI SAMPLING STATISTIK
5.1 Distribusi sampling rata-rata
5.2 Distribusi sampling selisih dua rata-rata
5.3 Distribusi sampling proporsi
5.4 Distribusi sampling selisih dua proporsi
5.5 Distribusi sampling variansi
5.6 Distribusi sampling rasio variansi
Bab VI. SELANG KEPERCAYAAN
KEPERCAYAAN
6.1 Selang kepercayaan bagi rata-rata
6.2 Selang kepercayaan bagi selisih dua rata-rata
6.3 Selang kepercayaan bagi proporsi
6.4 Selang kepercayaan bagi selisih dua proporsi
6.5 Selang kepercayaan bagi variansi
6.6 Selang kepercayaan bagi rasio variansi
38
Bab VII. UJI HIPOTESIS
7.1 Uji Hipotesis bagi rata-rata
7.2 Uji Hipotesis bagi selisih dua rata-rata
7.3 Uji Hipotesis bagi proporsi
7.4 Uji Hipotesis bagi selisih dua proporsi
7.5 Uji Hipotesis bagi variansi
7.6 Uji Hipotesis bagi rasio variansi
7.7 Uji Kebaikan Suai (Goodness(Goodness- of-Fit)
DAFTAR PUSTAKA
39
BAHAN AJAR
STATISTIKA DASAR
Tinjauan Mata Kuliah
Mata kuliah Statistika Dasar mengkaji masalah 1). Teknik menyajikan data
kuantitatif maupun kualitatif,
Diskret dan Kontinu 4).
2). Kombinasi dan permutasi, 3).
Probabilitas dan Distribusi Probabilitas,
Variabel Random
5).
Ekspektasi
Variabel Random 6). Distribusi Sampling Statistik 7). Selang Kepercayaan dan 8).
Uji Hipotesis.
Setelah menyelesaikan kuliah statistika dasar, mahasiswa diharapkan mampu
menyajikan data yang telah dikumpulkan, mampu menganalisis data, mampu menarik
kesimpulan berdasarkan statistik deskriptif maupun inferensia.
Untuk mahamami dan mengaplikasikan materi mata kuliah ini mahasiswa harus
secara aktif mengerjakan soal-soal latihan yang ada di buku acuan.
40
BAB II
TEKNIK MENYAJIKAN DATA
2.1 Pendahuluan
Kumpulan data yang berupa hasil pengukuran terhadap variabel tertentu pada
umumnya tidak akan memiliki nilai yang persis sama satu dengan lainnya. Variasi nilainilai pengamatan ini dapat kita lihat melalui pola distribusinnya dan pola ini dapat
berguna dalam menentukan karakteristik distribusi dari data tersebut.
Penciri numerik yang penting adalah ukuran pemusatan yaitu berupa nilai tempat
sebgian besar dari data tersebut mengumpul, dan distribusi data yang menunjukkan
besarnya rentangan atau jarak persebaran (distribusi) dari titik pusatnya.
Dalam BAB ini akan dibahas cara pemeriksaan bentuk atau pola distribusi data
dan penetuan karakteristiknya. Pertama yang akan disajikan adalah teknik mencari dan
menyajikan statistik lima serangkai, yaitu nilai minimum, nilai maksimum, median,
kuartil 1 dan kuartil 3, membuat diagram dahan (batang) dan daun (Stem-and-leaf),
diagram kotak garis (Boxplot), dan terakhir adalah mengkonstruksi Tabel frekuensi dan
histogram.
2.2 Statistik Lima Serangkai
Statistik lima serangkai, sesuai namanya, terdiri dari serangkaian lima statistik
yang terdiri dari nilai minimum, kuartil 1, median (kuartil 2), kuartil 3, dan maksimum.
Dalam pemahaman kelima statistik lima serangkai ini akan kita lihat dalam bentuk
bagan sebagai berikut : Misalkan kita mempunyai sekumpulan data, maka data tersebut
dapat dipilah-pilah sesuai urutannya menurut kelima statistik lima serangkai tersebut.
25%
a
K1
25%
25%
Median (K2)
25%
K3
b
a = nilai yang paling kecil
K1 atau kuartil 1= suatu nilai yang membagi data sedemikian sehingga sekitar 25% dari
data tersebut berada di bawahnya. Jadi kuartil 1 adalah suatu nilai
yang berada pada posisi ¼ dari banyaknya data setelah data tersebut
diurutkan
Kuartil 2 (Median)
41
Median atau K2 = suatu nilai yang membagi data sedemikian sehingga kira-kira 50%
dari data tersebut berada di bawahnya dan 50% berada di atasnya.
Jadi Kuartil 2 (Median) adalah suatu nilai yang berada pada posisi ½
dari banyaknya data setelah data tersebut diurutkan
K3 atau kuartil 3 = suatu nilai yang membagi data sedemikian sehingga sekitar 25% dari
data tersebut berada di atasnya. Jadi Kuartil 3 berada pada posisi ¾
dari banyaknya data setelah data tersebut diurutkan
b = nilai yang paling besar
contoh 1:
Tentukan statistik lima serangkai darai data berikut ini :
11
6
17
9
12
4
4
14
20
10
15
Jawab:
Terlebih dahulu data asal diurutkan dari kecil ke besar :
4
4
a
6
k1
9
10
11
k2
12
14
15
k3
17
20
b
Berdasarkan data yang telah terurut, maka diperoleh:
nilai minimum =4, kuartil 1=6, median=11, kuartil 3=15 dan nilai maksimum=20
contoh 2: Misalkan kita mempunyai sekumpulan data berikut:
102
135
76
108
50
104
77
116
95
122
130
86
114
109
71
130
42
109
71
117
70
132
146
138
77
109
109
89
126
117
88
71
86
77
72
80
105
86
96
70
83
86
Tentukanlah statistik lima serangkai untuk kasus data pada
135
102
33
64
101
37
109
104
141
125
109
55
73
151
82
88
133
97
contoh 2 di atas !
Langkah awal untuk menentukan statistik lima serangkai adalah mengurutkan
data tersebut:
33
1
71
11
86
37
2
72
12
86
42
3
73
13
86
50
4
76
14
86
55
5
77
15
88
64
6
77
16
88
70
7
77
17
89
70
8
80
18
95
71
9
82
19
96
71
10
83
20
97
42
21
101
31
109
41
130
51
22
102
32
109
42
130
52
23
102
33
109
43
132
53
24
104
34
114
44
133
54
25
104
35
116
45
135
55
26
105
36
117
46
135
56
27
108
37
117
47
138
57
28
109
38
122
48
141
58
29
109
39
125
49
146
59
30
109
40
126
50
151
60
1. a=33
2. Nilai K1 berada pada posisi ¼ (60+1) = 15.25
K1 = X15 + ¼ (X16-X15) = 77+ ¼ (77-77) =77.
3. Nilai Median (K2) berada pada posisi median : (n+1)/2 = 61/2=30.5
Median = ½ (X30+X31) = ½ (97+101)= 99
4. Nilai K3 berada pada posisi ¾ (60+1) =, 45.75
K3 = 116 + ¾ (117-116)=116+ 0.75 = 116.75.
3. Nilai maksimum =151
2.3 Diagram Dahan dan Daun ( Sten-And-Leaf Plot).
Diagram dahan dan daun disusun baris perbaris secara vertikal, dan cukup efektif
dalam menggambarkan pola distribusi data yang berukuran kecil. Seperti dalam istilah
pohon, daun melekat pada dahan (batang), jadi dalam hal ini satuan dahan adalah satuan
yang terbesar sedangkan daun lebih kecil. Jika angka-angka yang kita miliki berkisar
antara 00 sampai 99, maka yang dijadikan sebagai dahan adalah puluhan sedanhgkan
daunnya adalah satuan. Ketika angka-angka yang kita miliki berkisar antara 0 sampai 9,
maka tekni penetuan dahannya adalah sebagai berikut:

Untuk angka 0 dan 1 diberi simbol o

Untuk angka 2 dan 3 diberi simbol t (two, three)

Untuk angka 4 dan 5 diberi simbol f (four, five)

Untuk angka 6 dan 7 diberi simbol s (six, seven)

Untuk angka 8 dan 9 diberi simbol *
Contoh 3
49
P(X=0)=P(BBB)=1/8
P(X=1)=P(MBB)+P(BMB)+P(BBM)=1/8 + 1/8 + 1/8 =3/8
P(X=2)=P(MMB)+P(MBM)+P(BMM)=1/8 + 1/8 + 1/8 =3/8
P(X=3)=P(MMM) =1/8
Sehingga tabel distribusi frekuensinya adalah :
X
P(X)
0
1
1
3
2
3
3
1
8
8
8
8
Contoh lainnya, dari percobaan yang sama, misalkan Y menyatakan banyaknya sisi
belakang (B) yang muncul, dan P(Y)=P(Y=y) = probabilitas muncul B sebanyak y kali .
jika sebuah koin setimbang dilempar 3 kali
Y= 0, 1, 2, 3
50
Y
P(Y)=P(Y=y)
0
1
1
3
2
3
3
1
8
8
8
8
Distribusi probabilitas ini dapat diringkas ke dalam suatu fungsi probabilitas
a. Untuk Variabel random X
P(X=x) P ( X
 1 , untuk x = 0,3
8

3
= x) =  , untuk x = 1,2
8
0, untuk x selainnya

Atau dapat diringkas
P( X
 n  1  x  1  3− x
   1 −  , untuk x = 0,1,2,3
= x) =  x  2   2 
0
, untukl x selainnya

untuk variabel Y sama caranya dengan kasus variabel X (coba sendiri)
Kita lihat bahwa distribusi probabilitas untuk variabel X dan Y sama, maka variabel X
dan Y mempunyai distribusi identik.
51
Fungsi Distribusi Kumulatif (Cumulatif Distribution Function, disingkat CDF)
dilambangkan dengan F(x).
Definisi : fungsi F(x) disebut Fungsi Distribusi Kumulatif jika dan hanya jika 3 kondisi
berikut terpenuhi:
a.
lim F ( x) = 0, dan lim F ( x ) = 1
x → −∝
x →∝
b. F(x) bukan fungsi yang monoton turun
c. F(x) kontinu dari kanan
Kita kembali ke contoh pelemparan sebuah koin dengan x menyatakan banyakanya sisi
M muncul.
F ( x) = P( X
x
≤ x) = ∑ P( X = i ), untuk semua x
i =1
0, − ∝< x < 0
1
 , 0 ≤ x <1
8
 4
F ( x) =  , 1 ≤ x < 2
8
7 , 2 ≤ x < 3
8

1, 3 ≤ x <∝
Dengan cara yang sama, fungsi distribusi kumulatif bagi Y dan hasilnya akan sama.
Rata-rata atau nilai ekspektasi dan variansi variabel diskret dapat dicari dengan
menggunakan rumus sebagai berikut : Misalkan X adalah suatu variabel random diskret
dengan fungsi massa probabilitas (fmp) P(X)=P(X=x),
n
Mean X
= µ = ∑ X i P( X i )
i =1
n
Variansi X
= σ = ∑ X i 2 P( X i ) − µ 2
2
i =1
S tan dardeviasi
=
σ
2
=σ
n
Nilai Harapan X
= E ( X ) = ∑ X i P( X i )
i =1
Penurunan rumus mean dan variansi berasal dari Nilai harapan (Expected Value), Mean
= E(X) =
µ
dan Variansi dari variabel random X, atau disingkat Var(X) berasal dari
definisi sebagai berikut:
52
Var(X) =E(X-E(X))2 (di statistika lanjutan definisi ini selalu digunakan),
karena E(X)= µ, maka Variansi
Var(X) =E(X- µ)2 , selanjutnya dapat diuraikan
Var ( X ) =
n
∑(X
i
− µ ) 2 P( X i )
i =1
n
= ∑ ( X i 2 − 2 X i µ + µ 2 ) P( X i )
i =1
n
= ∑ Xi
2
P( X i ) − 2µ
i =1
n
∑X
i
P( X i ) + µ
n
2
∑ P( X )
i
i =1
i =1
n
= ∑ X i 2 P( X i ) − 2µµ + µ 2
i =1
n
= ∑ X i 2 P( X i ) − µ 2
i =1
Untuk suatu distribusi yang probabilitas setiap titik sampelnya sama (probabilitas serba
sama P(Xi)=1/n untuk semua i=1,2,…n), jika ada n t indakan atau peristiwa, maka :
n
Mean = µ
=
∑X
i
i =1
n
=X
Sifat-Sifat Nilai Harapan
Misalkan a dan b suatu konstanta, X adalah variabel random dengan mean (X) =µ dan
Variansi (X)=Var(X)= σ2 , dan misalkan Y=a+bX, maka
= ∑aP( X i ) = a ∑P ( X i ) = a
1.
E (a)
2.
E ( aX )
3.
E (Y )
4.
Var ( aX )
5.
Var (Y )
= ∑aX i P ( X i ) = a ∑X i P( X i ) = aE ( X ) = aµ
= E ( a + bX ) = ∑( a + bX i ) P( X i ) = a ∑P( X i ) + b∑X i P ( X i ) = a + bµ
= E ( aX − E (aX ))
= E (Y − E (Y ))
2
2
= E ( a ( X − E ( X ))
2
2
2
= E ( b( X − E ( X )) )
2
= b var( X ) = b σ
2
2
= E ( a + bX − a −bE ( X ) )
2
= b E ( X − E ( X ))
2
= a E ( X − E ( X ))
= E ( a + bX − E ( a + bX ))
= E ( a + X − ( a + bE ( X ))
= E (bX − bE ( X ))
2
2
2
2
2
2
2
= a Var ( X ) = a σ
2
63
Dalam menerapkan hampiran normal terhadap binom perlu dilakukan koreksi
kontinuitas terlebih dahulu. Hal ini disebabkan karena distribusi binomial merupakan
distribusi diskret sedangkan distribusi normal kontinu. Sebagai ilustrasi bahwa X =6
sama dengan luas empat persegi panjang yang alasnya berpusat di titik 6. Dengan
bantuan Tabel binom diperoleh 0.1093. Nilai probabilitas ini kira-kira sama dengan luas
daerah yang di arsir antara 5.5 sampai 6.5 (Gambar di bawah)
 5.5 − 4 < Z < 6.5 − 4 

1.41 
 1.41
P(5.5 < X < 6.5) = P
P(1.06<Z<1.77) = P(0<Z<1.77) - P(0<Z<1.06)
= 0.4616-0.3554
= 0.1062
Jika X berdistribusi Binomial P(X ≥6) dapat didekati dengan hampiran normal, yaitu
P(X>5.5).
64
4.4.3 Distribusi t-Student
Dari suatu populasi berukuran N dengan mean
µ dan simpangan baku σ, dapat
ditarik sampel berukuran n (n< N), dan dari sampel berikuran n ini dapati dicari rataratanya, misalkan x dan simpangan bakunya, s. statistik t didefinisikan sebagai
t
=
x−µ
s
n
distribusi t juga simetrik terhadap mean=0 tetapi variansinya lebih besar dari 1.
Semakin ukuran sampel (n) semakin besar variansinya dan sebaliknya semakin besar
ukuran sampel semakin kecil variansinya. Bila n→∞ maka kurva t menyerupai kurva Z.
Db=∞
Db=8
Db=4
Gambar 4.4.3. Hubungan Kurva Z dan Kurva t
65
Tabel 4.4.3. Tabel t-student untuk berbagai derajat bebas dan α (alpha).
tα
Derajat
Bebas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
∝
α
0.25
1.000
0.817
0.765
0.741
0.727
0.718
0.711
0.706
0.703
0.700
0.697
0.695
0.694
0.692
0.691
0.690
0.689
0.688
0.688
0.687
0.686
0.686
0.685
0.685
0.684
0.684
0.684
0.683
0.674
0.10
3.078
1.886
1.638
1.533
1.476
1.440
1.415
1.397
1.383
1.372
1.363
1.356
1.350
1.345
1.341
1.337
1.333
1.330
1.328
1.325
1.323
1.321
1.319
1.318
1.316
1.315
1.314
1.313
1.282
Perhatikan bahwa nilai
0.05
6.314
2.920
2.353
2.132
2.015
1.943
1.895
1.860
1.833
1.812
1.796
1.782
1.771
1.761
1.753
1.746
1.740
1.734
1.729
1.725
1.721
1.717
1.714
1.711
1.708
1.706
1.703
1.701
1.645
0.03
12.706
4.303
3.182
2.776
2.571
2.447
2.365
2.306
2.262
2.228
2.201
2.179
2.160
2.145
2.131
2.120
2.110
2.101
2.093
2.086
2.080
2.074
2.069
2.064
2.060
2.056
2.052
2.048
1.960
0.01
31.821
6.965
4.541
3.747
3.365
3.143
2.998
2.896
2.821
2.764
2.718
2.681
2.650
2.624
2.602
2.583
2.567
2.552
2.539
2.528
2.518
2.508
2.500
2.492
2.485
2.479
2.473
2.467
2.326
0.01
63.657
9.925
5.841
4.604
4.032
3.707
3.499
3.355
3.250
3.169
3.106
3.055
3.012
2.977
2.947
2.921
2.898
2.878
2.861
2.845
2.831
2.819
2.807
2.797
2.787
2.779
2.771
2.763
2.576
α merupakan daerah yang diarsir di sebelah kanan nilai-t tabel.
Nilai α disini disebut sebagai taraf signifikan. Cara pembacaan tabel distribusi t :
Misalkan kita akan mencari nilai t tabel jika diketahui nilai α=5% dengan derajat bebas
5, maka nilai t tabelnya sama dengan 2.015 (lihat nilai sel pada baris 5 dan pada kolom
0.05).