Persamaan Kuadrat

NAMA :______________________________________
KELAS : XI____________
PERSAMAAN & FUNGSI KUADRAT
A. Persamaan Kuadrat
Definisi : Persamaan kuadrat dalam 𝑥 adalah suatu persamaan dengan pangkat tertinggi
dari variabelnya adalah dua
Bentuk umum 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Contoh :
1)
2)
3)
4)
5)
𝑥 2 + 𝑥 − 1 = 0 ⇒ Persamaan kuadrat dengan 𝑎 = , 𝑏 = , 𝑐 =
2𝑥 2 + 3𝑥 + 1 = 0 ⇒ Persamaan kuadrat dengan 𝑎 = , 𝑏 = , 𝑐 =
4𝑥 − 5 = 0 ⇒
3𝑥 2 − 𝑥 = 4 ⇒
𝑥2 − 9 = 0 ⇒
➢ Menentukan akar – akar persamaan kuadrat
Bentuk penyelesaian dari persamaan kuadrat adalah akar – akar persamaan kuadrat. Ada
beberapa cara untuk menentukan akar – akar persamaan kuadrat, yaitu :
A. PEMFAKTORAN
Bentuk umum persamaan kuadrat : 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Jika 𝒂 = 1 ⇒ 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 difaktorkan menjadi (𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛) = 0,
dimana 𝑏 = 𝑚 + 𝑛 dan 𝑐 = 𝑚 × 𝑛
sehingga akar – akar persamaan kuadratnya :
𝑥+𝑚 =0
𝑥+𝑛 = 0
𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑥 = 0 − 𝑚 = −𝑚
𝑥 = 0 − 𝑛 = −𝑛
Contoh:
Bilangan tersebut adalah___dan ___
1. 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = 0 ,
𝑎 = ,𝑏 = , 𝑐 =
Sehingga,
Cari dua bilangan sehingga hasil
𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = 0
kalinya 𝑐 = 𝑚 × 𝑛 =
× =
(𝑥 + )(𝑥 +
)=0
𝑥+ = 0
𝑥+ = 0
dan jumlahnya
𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 =
𝑥=
𝑏 =𝑚+𝑛 = + =
*Jadi akar persamaan kuadratnya
adalah ______
2.
𝑥 2 − 2𝑥 − 8 = 0,
4.
𝑥 2 + 2𝑥 − 15 = 0
3.
𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0,
5. 𝑥 2 − 3𝑥 − 18 = 0
Jika 𝑎 > 1
a) 2𝑥 2 + 3𝑥 + 1 = 0
b) 2𝑥 2 + 3𝑥 − 2 = 0
b) 3𝑥 2 − 7𝑥 − 6 = 0
d) 6𝑥 2 + 4𝑥 − 10 = 0
B. Melengkapi kuadrat sempurna
Cara ini dilakukan dengan manipulasi aljabar dari suatu persamaan kuadrat sehingga didalam
persamaan kuadrat tersebut terdapat bentuk kuadrat sempurna.
Contoh :
a) Tentukan akar – akar persamaan kuadrat :
𝑥 2 + 4𝑥 − 5 = 0
• Pindahkan konstanta c ke ruas sebelahnya, sehinggan berbentuk:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = −𝑐.
𝑥 2 + 4𝑥 = 0 + 5 = 5
1
2
1
2
• Kedua ruas ditambah (2 𝑏) = (2 × 4) = (2)2 = 4
𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = 5 + 4
(𝑥 + 2)2 = 9
𝑥 + 2 = ±√9 = ±3
𝑥 = ±3 − 2
Jadi :
𝑥1 = +3 − 2
𝑥2 = −3 − 2
𝑥1 = 1
𝑥2 = −5
*Akar – akar persamaan kuadratnya adalah {−5, 1}
b) Tentukan akar – akar persamaan kuadrat
𝑥 2 + 3𝑥 − 10 = 0
Bentuk Kuadrat Sempurna
𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)2
𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = (𝑥 + 2)2
𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = (𝑥 + 3)2
𝑥 2 + 8𝑥 + 16 = .........
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = (𝑥 − 1)2
𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = (𝑥 − 2)2
𝑥 2 − 6𝑥 + 9 =
C. Rumus ABC
Akar – akar persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dengan 𝑎, 𝑏 dan 𝑐 bilangan real dan 𝑎 ≠ 0
adalah
2
𝑥1,2 =
−𝑏±√𝑏 −4𝑎.𝑐
2𝑎
Dimana, 𝑏2 − 4𝑎. 𝑐 = 𝐷 ∶ 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛
Contoh :
Tentukan akar – akar persamaan kuadrat 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 = 0.
Jawab :
Diketahui persamaan kuadrat 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 = 0,
Dari persamaan kuadrat tersebut, didapatkan nilai 𝑎 = 1, 𝑏 = 4, 𝑐 = −5
Maka, akar-akar persamaan kuadratnya adalah :
𝑥1,2 =
𝑥1,2 =
𝑥1 =
𝑥2 =
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎.𝑐
2𝑎
−4±√42 −4(1)(−5)
2(1)
−4+6
2
−4−6
2
=
−4±√16+20
2
=
−4±√36
2
=
−4±6
2
2
= =1
2
=
−10
2
= −5
Jadi, akar-akar persamaan kuadratnya adalah {−5,1}
➢ Jenis – jenis Akar Persamaan Kuadrat dikaitkan dengan nilai Diskriminan
1) Jika 𝐷 > 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real berlainan.
2) Jika 𝐷 < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar yang nyata atau akar – akar
imajiner.
3) Jika 𝐷 = 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang sama (kembar).
1.
Contoh
Selidikilah jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut tanpa mencari akarnya terlebih dahulu
a. 𝑥 2 + 10𝑥 + 25 = 0
b. 𝑥 2 + 𝑥 + 3 = 0
c. 𝑥 2 − 2𝑥 − 35 = 0
2.
Tentukan nilai 𝑘 agar persamaan kuadrat 𝑥 2 + 8𝑥 + 2𝑘 − 4 = 0 mempunyai akar kembar (sama).
Kemudian tentukan akar persamaan kuadrat tersebut.
➢ Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar – akar Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 adalah bilangan real dan 𝑎 ≠ 0, dengan akar –
akar 𝑥1 dan 𝑥2 .
Maka:
dan 𝑥1 . 𝑥2 =
𝑥 +𝑥 =
1
2
Contoh :
Diketahui persamaan kuadrat 𝑥 2 + 4𝑥 − 1 = 0, mempunyai akar – akar 𝑥1 dan 𝑥2 . Tentukan :
a. 𝑥1 + 𝑥2
c. 𝑥1 2 + 𝑥2 2
1
1
b. 𝑥1 . 𝑥2
d. 𝑥 + 𝑥
1
Jawab :
Diketahui: 𝑥 2 + 4𝑥 − 1 = 0, 𝑎 = , 𝑏 =
a. 𝑥1 + 𝑥2 =
b. 𝑥1 . 𝑥2 =
2
, 𝑐=
= ...........
= .............
c. 𝑥1 2 + 𝑥2 2 = (𝑥1 + 𝑥2 )2 − 2𝑥1 . 𝑥2 = (… … … … … )2 − 2(… … … … )
d.
1
𝑥1
1
+𝑥 =
2
𝑥2 +𝑥1
𝑥1 .𝑥2
=
(
)
➢ Menentukan Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Akar – Akarnya
Sebuah persamaan kuadrat diketahui akar – akarnya 𝑥1 𝑑𝑎𝑛 𝑥2, maka persamaan kuadratnya adalah:
(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) = 0
𝑥 2 − (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥 + 𝑥1 . 𝑥2 = 0
Contoh :
Tentukan persamaan kuadrat akar – akarnya:
a. −3 dan 5
Jawab :
a. 𝑥1 = −3 , 𝑥2 = 5
b. 4 dan −
1
2
b. 𝑥1 = 4, 𝑥2 = −
1
2
B. Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi dalam himpunan bilangan yang dinyatakan dengan rumus fungsi
berikut : 𝑓(𝑥 ) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 dan 𝑎 ≠ 0.
➢ Untuk menggambarkan grafik fungsi kuadrat pada sumbu koordinat cartesius, lambang 𝑓(𝑥) diganti
dengan 𝑦 sehingga : 𝑓 (𝑥 ) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dapat ditulis : 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
➢ Grafik Fungsi Kuadrat : 𝑓 (𝑥 ) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 berbentuk parabola simetris.
➢ Sifat – sifat Grafik Fungsi Kuadrat :
• Jika 𝑎 > 0 (positif) maka: ............
• Jika 𝑎 < 0 (negatif) maka: ............
Nilai a
Nilai D
𝐷=0
𝐷<0
𝐷>0
𝑎<0
𝑎>0
➢ Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah – langkah menggambar grafik fungsi kuadrat :
1) Menentukan titik potong dengan sumbu 𝑥 dan sumbu 𝑦.
• Titik potong sumbu 𝑥 diperoleh jika 𝑦 = 0
• Titik potong sumbu 𝑦 diperoleh jika 𝑥 = 0
2) Menentukan sumbu simetri dan koordinat titik balik.
• Sumbu simetri adalah 𝒙 = −
𝒃
𝟐𝒂
• Koordinat titik balik / titik puncak : (−
𝒃
𝑫
, − 𝟒𝒂)
𝟐𝒂
3) Menentukan beberapa titik bantu lainnya (jika diperlukan), ambil sembarang nilai 𝑥 ∈ 𝑅
kemudian subtitusikan ke persamaan fungsi kuadrat, titik tersebut merupakan titik bantu.
Hubungkan titik – titik tersebut untuk mendapatkan grafik fungsi yang diinginkan.
Contoh :
Gambarkan grafik fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 − 5
Jawab :
𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 − 5 ⇒ 𝑎 = 1, 𝑏 = −4, 𝑐 = −5
(1) Titik potong dengan sumbu 𝑥 (𝑦 = 0)
𝑥 2 − 4𝑥 − 5 = 0
Jadi titik potong dengan sumbu 𝑥 adalah titik
(
) dan (
(2) Titik potong dengan sumbu 𝑦 (𝑥 = 0)
𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 − 5
Jadi titik potong grafik dengan sumbu 𝑦 adalah
(
)
)
(3) Sumbu simetri : 𝑥 = −
𝑏
2𝑎
=−
Koordinat titik balik : 𝑦 = −
−4
2( 1)
𝐷
4
= =2
=
4𝑎
2
−(𝑏2 −4𝑎𝑐 )
4𝑎
−(… …2 − 4(… … )(… … ))
=
4 × ……
− (… … − ⋯ … ) − (… … … … )
=
=
= ⋯……
……
……
,
)
Jadi koordinat titik baliknya adalah (
(4) Menentukan beberapa titik bantu, misal untuk 𝑥 = 1, maka :
𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 − 5
𝑦 = 12 − 4.1 − 5
= −8
Jadi titik bantunya (1, −8)
(5) Gambarkan grafiknya
LATIHAN 1
1. Carilah akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 7𝑥 + 6 = 0 dengan menggunakan faktorisasi.
Jawab :
2. Carilah akar-akar persamaan kuadrat 3𝑥 2 − 5𝑥 − 2 = 0 dengan menggunakan rumus ABC.
Jawab :
3. Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat berikut : (gunakan satu cara yang menurut anda paling
mudah)
a. 𝑥 2 + 6𝑥 − 16 = 0
jawab :
b. 𝑥 2 + 10𝑥 + 21 = 0
jawab :
c. 𝑥 2 − 4𝑥 − 12 = 0
jawab :
d. 𝑥 2 − 11𝑥 + 18 = 0
jawab :
e. 2𝑥 2 + 7𝑥 + 5 = 0
jawab :
f. 3𝑥 2 − 9𝑥 + 6 = 0
jawab :
g. 4𝑥 2 − 6𝑥 − 4 = 0
jawab :
h. 2𝑥 2 + 3𝑥 − 14 = 0
jawab :
LATIHAN 2
1. Tentukan hasil jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat berikut :
a. 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 0
Jawab :
b. 2𝑥 2 − 3𝑥 + 4 = 0
Jawab :
2. Jika 𝑥1 dan 𝑥2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 + 5𝑥 + 3 = 0. Tentukan :
a. 𝑥1 + 𝑥2
Jawab :
b. 𝑥1 ∙ 𝑥2
Jawab :
c. 𝑥12 + 𝑥22
Jawab :
d.
1
1
𝑥1
+𝑥
2
Jawab :
3. Susunlah persamaan kuadrat jika akar-akarnya sebagai berikut :
a. −2 dan 5
Jawab :
b. −1 dan −4
Jawab :
c.
1
3
dan 6
Jawab :
LATIHAN 3
Tuliskan langkah-langkah menggambar dan Gambarkan grafik dari fungsi kuadrat berikut:
1. 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3
2. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 9
3. 𝑓 (𝑥 ) = −𝑥 2 + 2𝑥 + 8
Contoh Soal Penerapan Fungsi Kuadrat
1. Lintasan sebuah peluru yang ditembakan vertikal ke atas setinggi ℎ meter dalam waktu 𝑡
detik, dinyatakan dengan rumus ℎ = 40𝑡 − 5𝑡 2 . Tentukan :
a) Waktu yang diperlukan untuk mencapai tinggi maksimum.
b) Tinggi maksimum peluru tersebut.
Jawab :
ℎ = 40𝑡 − 5𝑡 2 ⇒ fungsi kuadrat dengan 𝑎 = ⋯ , 𝑏 = ⋯ , 𝑐 = ⋯
−𝑏
a. Tinggi maksimum (ℎ𝑚𝑎𝑥 ) dicapai pada nilai sumbu simetri, 𝑡 = 2𝑎 = = ⋯
Jadi, waktu yang diperlukan untuk mencapai tinggi maksimum adalah ..... detik.
−𝐷
b. ℎ𝑚𝑎𝑥 =
(*Koordinat titik balik/puncak)
4𝑎
−(𝑏2 − 4𝑎𝑐)
=
4𝑎
−(
)
=
=⋯
Jadi, tinggi maksimum peluru adalah ...... meter
2. Seutas tali panjangnya 60 cm. tali tersebut akan dibentuk menjadi persegi panjang dengan
ukuran panjang 𝑥 cm dan lebar 𝑦 cm. jika luas persegi panjang dinyatakan dengan
L,tentukan :
a. Nyatakan L sebagai fungsi
b. Carilah luas maksimum persegi panjang tersebut.
Jawab :
a. Panjang tali =
LATIHAN 4
1. Sebuah kembang api diluncurkan ke udara. Ketinggian kembang api pada saat 𝑡 detik
adalah ℎ meter yang didefinisikan dengan rumus ℎ(𝑡) = −16𝑡 2 + 200𝑡 + 4.
Kapankah kembang api itu mencapai maksimum dan berapa tinggi maksimum tersebut.
2. Tinggi ℎ meter suatu roket adalah ℎ(𝑡) = 800𝑡 − 5𝑡 2 . Tentukan tinggi maksimum roket
itu apabila 𝑡 menunjukan satuan waktu dalam detik.
3. Biaya produksi suatu barang dinyatakan sebagai fungsi dari banyak barang yang
diproduksi. Jika banyak barang yang diproduksi sebanyak x. Maka biayanya adalah 𝑓 (𝑥 ) =
𝑥 2 − 20𝑥 + 150 (dalam juta rupiah). Tentukan biaya produksi minimum.
4. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam 𝑥 hari dengan biaya 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 5 dalam
ratusan ribu rupiah. Banyak hari yang diperlukan agar biaya yang dikeluarkan minimum
adalah…har