Laporan Percobaan PENCARIAN AKAR-AKAR DARI FUNGSI Diajukan untuk Memenuhi Laporan Kegiatan Percobaan Fisika Komputasi Disusun oleh : Nama NIM Hari, Tanggal Praktikum Asisten : : : : : : Panji Kusma 18/424149/P A/18254 Senin, 20 April 2020 Siti Amalia M. Adi Yudha P. Hanif Yuandi LABORATORIUM FISIKA KOMPUTASI DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA YOGYAKARTA 2020 Praktikum Komputasi Pencarian Akar-akar dari Fungsi Panji Kusuma∗ Departemen Fisika, Universitas Gadjah Mada, Sekip Utara BLS 21, 55281, Yogyakarta, Indonesia (Dated: 20 April 2020) Salah satu masalah yang paling sering kita jumpai dalam fisika adalah tentang pencarian akar fungsi. Apalagi jika ditemukanya suatu bentuk akar yang rumit dan sulit dalam pemecahanya. Salahsatu solusi untuk mengatasi masalah tersebut adalah dengan memanfaatkan komputer(komputasi). Salah satu metode untuk melakukan pemecahan sebuah akar fungsi adalah Newton-Raphson yang ditemukan oleh Isaac Newton dan Joseph Raphson. I. A. II. PENDAHULUAN Latar Belakang Dewasa ini, ilmu fisika hampir tidak bisa lepas dengan matematika. Sedangkan matematika itu sendiri sangat erat berhubungan dengan fungsi dan persamaan. Fungsi dan persamaan mempunyai akar, didalam fisika, akarakar suatu fungsi kerap dicari untuk menyelesaikan suatu masalah. Beberapa contoh persoalan fisika yang membutuhkan akar-akar dari fungsi adalah persoalan sistem pegas yang saling terkait, atau persoalan medan listrik. Untuk mempermudah fisikawan dalam mencari akar akar suatu fungsi atai persamaan, digunakan sebuah metode yang bernama metode numerik. Salah satu metode tersebut diberi nama Metode Newwton-Raphson. Dalam penggunaanya, metode iniselain membutuhkan fungsi itu sendiri,juga membutuhkan nilai tebakan awal sertaturunan fungsi pada titik tersebut. Untuk mencari turunan fungsi disuatu titik, dapat menggunakan metode Finite Difference. Sebagai fisikawan, kita harus mampu memahami serta bisa mengaplikasikannya agar memudahkan kita dalam menyelesaikan persoalan-persoalan fisika. A. Tujuan Percobaan Tujuan dari Praktikum Komputasi ini adalah sebagai berikut: 1. Praktikan dapat memahami metode pencarian akar Newton-Raphson 2. Praktikan dapat menyelesaikan persoalan Fisika yang berkaitan dengan pencarian akar dengan metode Newton-Raphson 3. Praktikan dapat menyebutkan faktor-faktor yang mempengaruhi hasil pencarian akar dengan metode Newton-Raphson Akar-akar dari Fungsi Dalam matematika, secrara fundamental fungsi adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f (x) dari suatu himpunan kedua yang disebut Kodomain. Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil (Range)[1]. salah satu contoh fungsi adalah sebagai berikut: f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn Fungsi diatas adalah bentuk fungsi polinomial orde n yang mengandung suatu variabel, yaitu x, dengan ai adalah suatu konstanta. Terdapat banyak sekali bentuk fungsi, seperti fungsi sinus, fungsi eksponensial dan lainya. Dalam praktiknya, fungsi biasa dinyatakan sebagai f (x). Suatu fungsi akan memiliki akar-akar. Misal diberikan suatu fungsi f (x), yang dimaksud dengan akar dari f (x) adalah nilai-nilai x sedemikian hingga f (x) = 0. B. B. DASAR TEORI Metode Newton-Raphson Pencarian akar-akar suatu fungsi biasa juga disebut pencarian titik-titik nol suatu fungsi atau suatu penyelesaian tak linier. Salah satu dari berbagai metode pencarian akar adalah metode Newton-Raphson. Metode ini ditemukan oleh Sir Isaac Newton dan oleh JosephRaphson. Pada metode ini, akar-akar dari suatu fungsi dapat didekati dengan mengetahui nilai fungsi di sembarang titik tebakan serta nilai turunan di titik tersebut. Berbeda dengan metode Bisection yang membutuhkan dua nilai tebakan awal sebagai batas, metode NewtonRaphson hanya membutuhkan satu nilai tebakan yang dapat dipastikan akan menuju akar tersebut. Metode Newton-Raphson secara matematis dituliskan sebagai berikut: xi+1 = xi − ∗ [email protected] f (xi ) f 0 (xi ) (1) (x) dengan f 0 (xi ) = dfdx ketika x = xi , dan i = 0, 1, 2, .... Bentuk kaitan seperti persamaan (1) akan sering muncul 2 dalam Fisika Komputasi dan disebut itersasi. Ide dasar dari iterasi adalah pemanfaatan nilai coba yang diberikan untuk mendapatkan nilai berikutnya yang lebih baik. Andaikan nilai coba yang diberikan kita lambangkan dengan x0 maka semua ungkapan yang muncul pada ruas kiri persamaan (1) akan dapat dihitung, yang berarti nilai x1 akan diperoleh. Jika proses ini dilakukan terus menerus akan mencapai suatu nilai xn , yaitu nilai akar yang paling mendekati [3]. Dengan syarat: xn ≈ xn−1 D. Medan listrik merupakan daerah yang masih dipengaruhi sifat kelistrikan dari muatan tertentu. Medan listrik juga dapat didefinisikan sebagai gaya yang bertumpu pada muatan uji satuan pada titik yang ingin didapatkan harga medan vektornya. Ft = (2) atau III. f (xn ) ≈ 0 Medan Listrik 1 q1 q2 2 4π0 R12 (5) METODE PERCOBAAN (3) A. Langkah Percobaan Percobaan dilakukan dengan cara mempraktikkan instruksi yang ada pada bab 4 buku panduan praktikum. Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut : 1. Sistem elektrostatik digambar 2. Arah medan listrik yang bekerja digambar 3. Fungsi yang akan dicari akar-akarnya ditentukan dengan menggunakan rumus elektrostatika 4. Fungsi di-plot FIG. 1. Ilustrasi Metode Newton-Raphson C. 5. Source-code dibuat Dalam menggunakan metode Newton-Raphson, seperti yang telah diketahui, kita juga membutuhkan turunan dari fungsi tersebut pada titik tebakan. Ketika turunan fungsi sulit ditentukan secara analitik, metode Finite Difference akan sangat membantu dalam menentukan nilai turunan secara numerik. Dasar dari metode ini adalah deret Taylor[2]. Secara matematis dapat dinyatakan: f (x + h) − f (x) f (x) ≈ h program Newton-Raphson 6. Program dijalankan untuk mendapatkan akar-akar fungsi Metode Finite Difference 0 untuk B. Fungsi Pembuat Nol Fungsi pembuat nol-nya merupakan total nilai E yang dipengaruhi oleh masing masing muatan. Dengan kata lain nilai Etotal = 0 Etotal = 0 (6) E1 − E2 + E3 − E4 = 0 (7) (4) 1 Q1 1 Q2 1 Q3 1 Q3 − + − =0 4π0 R12 4π0 R22 4π0 R32 4π0 R42 (8) 1 3 1 5 1 6 1 2 − + − =0 2 2 2 4π0 (5 − x) 4π0 x 4π0 (8 − x) 4π0 (x + 1)2 (9) Pada persamaan (9) kita dapat menyederhanakan per1 samaan tersebut sehingga nilai 4π dapat dihilangkan 0 Sehingga kita mendapatkan fungsi f (x) sebagai berikut: FIG. 2. Ilustrasi Metode Finite Difference f (x) = 3 5 6 2 − 2+ − (5 − x)2 x (8 − x)2 (x + 1)2 (10) 3 Selain membutuhkan fungsi pembuat nol, pada praktikum ini, praktikan juga membutuhkan turunan pertama dari fungsi pembuat nol sebagai berikut: 10 12 4 df (x) 6 + 3+ + = dx (5 − x)3 x (8 − x)3 (x + 1)3 C. (11) Nilai Tebak Pada penerapanya, metode Newton-Raphson memerlukan sebuah nilai tebak. Nilai tebak adalah terkaan dimana kira kira fungsi tersebut memotong sumbu x. Nilai tebak dapat dicari menggunakan intuisi fisika, atau dalam kasus ini praktikan melakukan ploting grafik, sehingga nilai tebaknya dapat di perkirakan. Berikut adalah plot grafik: 2. Tebak nilai awal x untuk iterasi pertama. 3. Substitusikan x ke persamaan Newton-Raphson, dan hitung xnew . 4. Jika |xnew −x| < N ilaitoleransi hentikan iterasi dan print out akar: xnew . 5. Jika iterasi mencapai nomer ke-maksimal, hentikan iterasi. 6. Else substitusikan x = xnew dan ulangi dari step 3 sampai kondisi di nomor 4 atau 5 terpenuhi. E. Listing Program Listing 1. Listing Program untuk pencarian akar dengan metode newton raphson x = 4 #Nilai Tebak for i in range(100): xnew = x - (3/(5-x)**2 - 5/x**2 + 6/(8-x)**2 2/(x+1)**2)/(6/(5-x)**3 + 10/x**3 + 12/(8-x)**3 + 4/(x+1)**3) if abs (xnew-x) < 0.000001: break #Nilai toleransi x=xnew print ("Hasil akar adalah %f pada iterasi ke %d" %(xnew, i)) IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam Praktikum ini, praktikan diberikan sebuah sistem elektrostatika dengan empat buah muatan. Dengan nilai Q1 = 3C, Q2 = 5C, Q3 = 6C, Q4 = 2C. Dengan titik P berada sejauh x meter dari muatan Q2 . Tugas FIG. 3. Grafik plot nilai tebak Menurut plot grafik tersebut, praktikan memutuskan nilai tebaknya adalah: 4 D. Alogaritma Program Sebelum membuat source code sebuah program, perlu terlebih dahulu membuat alogaritma dari program tersebut, agar nantinya program dapat berjalan lancar. Berikut adalah alogaritma dari program: 1. Temukan nilai f 0 (x) kemudian tulis persamaan Newton-Raphson. FIG. 4. Ilusstrasi dari sistem elektrostatika untuk praktikan adalah mencari nilai x (posisi titik p) yang membuat nilai medan listrik di titik P adalah nol. Setelah mengetahui nilai f (x) dan f 0 (x) seperti pada metode percobaan, serta setelah melakukan plot grafik dari fungsi f (x) praktikan dapat menentukan nilai iterasi pertama yaitu x = 4.0. setelah itu, kemudian praktikum mulai melakukan / menjalankan program. Program yang pertama, praktikan memilih nilai toletransi sebesar 1.0e− 1. hasil yang didapatkan adalah nilai x sebesar 2.744081 4 V. KESIMPULAN Dari praktikum yang sudah dilakukan, maka dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut: 1. Jarak dari titik P terhadap Q2 adalah sebesar 2.744081 meter 2. Jika Kita menetapkan nilai toleransi sebagai variable bebas, maka hal tersebut akan berpengaruh terhadap jumlah iterasi yang dijalankan. FIG. 5. Hasill Running program dengan nilai toleransi sebesar 1.0e− 1 Program yang kedua, praktikan memilih nilai toletransi sebesar 1.0e− 4. hasil yang didapatkan adalah nilai x sebesar 2.744081 FIG. 6. Hasill Running program dengan nilai toleransi sebesar 1.0e− 4 Program yang ke tiga, praktikan memilih nilai toletransi sebesar 1.0e− 6. hasil yang didapatkan adalah nilai x sebesar 2.744081 FIG. 7. Hasill Running program dengan nilai toleransi sebesar 1.0e− 6 5 [1] Pengertian Fungsi Dalam Matematika, https://dwideasi.com/2014/05/18/pengertian-fungsidalam-matematika/, diakses pada 13 April 2020 Pukul 22.00 WIB. [2] DeVries, Paul L. 1994. A First Course In Computationan Physics, Miami University: Ohio. [3] Nurwantoro, Pekik. 2001. Petunjuk Praktikum Fisika Komputasi, Universitas Gadjah Mada: Yogyakarta
