pusing guys

STATISTIKA INFERENSIAL
“REGRESI DAN KORELASI “
( Dosen Pengampu :Febrian, S.Pd., M.Sc / Puji Astuti, S.Pd., M.Sc )
Disusun Oleh:
Dio Deri L
170384202011
Sri Rejekina
170384202031
Sabrina Putri
170384202045
Nurul Hafizah
170384202061
UNIVERSITAS MARITIM RAJA ALI HAJI
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PENDIDIKAN MATEMATIKA
2019
REGRESI DAN KORELASI
Pendahuluan

Untuk mengetahui hubungan antara dua buah variabel atau lebih:
 Pengamatan data curah hujan dibandingkan dengan pengamatan data debit sungai
dari suatu DPS yang bertujuan untuk kepentingan peramalan,
 Jumlah pupuk yang digunakan , banyak hujan , cuaca akan berpengaruh pada
produksi padi,
 Menemukan hubungan debit sungai dari dua lokasi pos duga air untuk pengisian
data kosong , memperbaiki atau mengecek data dan memperpanjang lama
pencatatan data runtut waktu ,
 Menentukan hubungan antara debet sedimen dengan debet aliran sungai , luas
DPS dan luas hutan atau variabel lainnya.

Hubungan antara dua atau lebih variabel dapat dinyatakan secara matematika
sehingga merupakan suatu model yang dapat digunakan untuk berbagai keperluan
analisis, misalnya: peramalan (prediction), perpanjangan (extension), perbaikan atau
pengecekan ketelitian data, atau pengisan data pada priode kosong untuk kasus
hidrologi.

Analisis regresi adalah analisis yang membahas hubungan fungsional dua variabel
atau lebih disebut. Analisis korelasi ( correlation analisys) adalah analisis yang
membahas tentang derajat hubungan dalam analisis regresi disebut.

TIK: Diharap Saudara dapat menganalisis hubungan fungsional dua variabel atau
lebih, dengan analisis statistik secara komputerisasi.
Bagaimana memformulasikan
Hubungan Fungsional ?

Tentukan variabel bebas (X) dan variabel tak bebas (Y).
 Variabel bebas (X) yaitu biasanya variabel yang mudah didapat atau yang
tersedia, untuk keperluan analisis variabel bebas dinyatakan dengan X1, X2, X3,
…, Xk k  1 ,
 Variabel tak bebas atau variabel respon (Y).
Contoh: Untuk fonemena antara debet sedimen dengan debet aliran sungai, luas
DPS dan luas hutan, sebaiknya diambil variabel tak bebas debet sedimen= Y dan
variabel bebas debet aliran sungai= X1, luas DPS= X2 dan luas hutan= X3. Tetapi
untuk dua variabel yaitu curah hujan dibandingkan dengan pengamatan data debit
sungai dari suatu DPS, maka salah satu bisa dsi ambil sebagai variabel bebas.

Buat model persamaan regresi untuk populasi secara umum:
Y  f  X 1 , X 2 ,..., X k / 1 , 2 ,..., m 
Dimana  1 , 2 ,..., m parameter-parameter yang terdapat dalam regresi itu. Regresi
yang sederhana untuk populasi dengan sebuah variabel bebas yang dikenal
dengan regresi linier dengan model: Y   1   2 X , 1 dan  2 parameternya.

Untuk satu variabel bebas (regersi linier):
 1 dan  2 dari sebuah sampel acak dapat ditaksir oleh a dan b maka persamaan
regresinya adalah Y  a  bX

Untuk fonemena dua variabel bebas ( regersi non linier):
 Parameter-parameternya 1 ,  2 dan  3 dari sebuah sampel acak dapat ditaksir
oleh a, b dan c maka persamaan regresinya berupa parabola yaitu
Y  1   2 X   3 x 2

Tentukan persamaan regresinya, dapat dilakukan dengan metode tangan bebas dan
metode kuadrat terkecil. Disini hanya dijelaskan dengan metode kuadrat terkecil.
Bagaimana Menentukan Regresi Linier Sederhana
Secara Metode Kuadrat Terkecil ?

Untuk fenomena yang terdiri dari sebuah variabel bebas X dengan persamaan
regresinya : Y  a  bX
 Data hasil pengamatan sebaiknya dicatat dalam bentuk seperti tabel di bawah ini.
Tabel 8.1
Variabel Tak
Bebas (Yi)
Variabel
Bebas (Xi)
Y1
X1
Y2
.
X2
.
.
.
.
.
Yn
Xn
Pasangan X dan Y dan n, menyatakan ukuran sampel.
 Koefisien-koefisien regresi a dan b untuk regresi linier, dapat dihitung dengan:
 X  X    X  XY 
a
n X   X 
2
2
2
dan b 
n XY   X  Y 
n X 2   X 
2
 Atau dengan cara menghitung terlebih dahulu b, maka a dapat dihitung dari
: a  Y  bX , X
dan Y masing-masing rata-rata dari veriabel X dan Y. Rumus
diatas digunakan untuk menghitung koefisien-koefisien regresi Y atas X.
 Untuk menghitung koefisien-koefisien regresi X atas Y, rumus yang sama dapat
digunakan tetapi harus dipertukarkan tempat untuk simbul-simbul X dan Y.

Koefisien korelasi (R), yang menunjukan derajat hubungan antara Xi dan Yi
ditentukan dari: R 

n X
n XY   X  Y
2

  X  n Y 2   Y 
2
2

Koefisien diterminasi (R2), yaitu menunjukan perbedaan varian dari data pengukuran
Yi dan varian dari nilai pada garis regresi untuk nilai Xi, ditentukan dari R.

Contoh 1:
Tabel dibawah ini, menunjukan data curah hujan (Xi) dalam satuan mm dari DPS
Cimanuk-Leuwigoong dan debit alirannya (Yi) dalam m3/det, pada rata-rata bulanan
dari tahun 1978-1982. Tentukan:
(a)
Persamaan regresi, koefisien korelasi dan determinasi data itu ?
(b)
Apa Artinya koefesien determinasi tersebut ?
No.
Bulan
Curah Hujan (mm)-Xi
Debit air (m3/det)-Yi
1.
Januari
229
32
2.
Februari
205
31
3.
Maret
271
38
4.
April
304
40
5.
Mei
145
28
6.
Juni
154
24
7.
Juli
98
21
8.
Agustus
69
13
9.
September
71
14
10.
Oktober
96
12
11.
November
184
28
12.
Desember
280
37
Jawab.
a. Dengan menggunakan calculator Casio fx-3600 misalnya, didapat:
X  175,5 ,
 X  2106 ,  X
2
 445942 , S X2  6939,91
Y  318 , Y  9492 , S = 96,82 dan  XY  64510 sehingga:
n XY   X  Y  12(64510)  (2106)(318) 104412
b


 0,113
12(445942)  (2106)
916068
n X   X 
Y  26,5 ,
2
2
2
y
2
2
a  Y  b X =26,5-(0,113)(175,5)=6,669
didapat persamaan regresinya:
Y  6,669  0,113 X , dapat digunakan untuk:
 Meramal data debit berdasarkan data curah hujan.
 Koefsien arah (b) menyatakan perubahan rata-rata variabel Y untuk setiap
perubahan variabel X sebesar satu satuan. Dengan demikian dapat dikatakan,
bahwa terjadi perubahan curah hujan satu satuan, maka diharapkan terjadi
perubahan debit rata-rata bulanan sebesar 0,113 m3/det.
 Bila data curah hujan pada Range data di atas ( 69  X  304 ), maka dapat
diramalkan debit di antara kedua batas tersebut, disebut dengan interpolasi debit.
Sebaliknya, jika mensubstitusikan variabel X di luar Range data tersebut,
misalnya X=500 mm maka didapat Y=74,46 m3/det, disebut ekstrapolasi debit.
b. Koefien korelasi adalah:
R
R
n X
n XY   X Y

  X  nY 2  Y 
2
2
2

(12)(64510)  (2106)(318)
12(445942)  (2106) (12)(9492)  (318) 
2
2
 0,9649
 Korelasi positif (R=0,9649) antara debit (Y) dengan curah hujan (X), berarti
semakin besar curah hujan semakin besar pula debit DPS Cimanuk-Leuwigoong.
 Koefisien determinasi (R2)=0,9312=93,12%, artinya bertambah atau menurunnya
debit air (Y) sebesar 93,12% dapat dijelaskan oleh hubungan linier antara curah
hujan dan debit dengan persamaan Y=0,669+0,113X, sedangkan sisanya 6,88%
disebabkan faktor lain yang tidak termasuk dalam analisis ini.
Bagaimana Menentukan Batas Daerah
Kepercayaan Garis Regresi ?

Titik taksiran rata-rata Y dengan mudah dapat diketahui yaitu dengan jalan
mensubstitusi harga X kedalam persamaan regresi.

Interval taksiran yang taksiran Y untuk X diketahui, dengan rumus:
Y  t 12 1  sY  Y  Y  t 12 1  sY

 Y Y

dimana S y  
 n 1

 
2


1
2

atau s y  s y 1  R 2

1
2

Sebaliknya kesalahan standar perkiraan untuk meramal X jika Y diketahui adalah:

sx  sx 1  R 2

1
2
Contoh 2.
Dari contoh 1, tentukanlah batas daerah kepercayaan garis regresi tersebut pada derajat
kepercayaan 95% ?
Jawab:

Jadi dari contoh 1 di atas, n=12, X  175,5 , S X2  6939,91, Y  26,5 , S y2 = 96,82
,   0,95 , dan R =0,9649 .akibatnya didapat Sy=9,84 dan R2=0,93, maka :

sy  sy 1  R2

1
2
= 9,841  0,93
1
2
 2,6
Untuk t 12 1   2,23 , didapat:
(Y  t 12 1 sY  Y  Y  t 12 1 sY ) = (Y  (2,23)( 2,6)  Y  Y  (2,23)( 2,6)
= Y  5,80

Gambar 8.1, memperlihatkan jumlah titik (X<Y) yang berada di dalam batas
kepercayaan adalah sebanyak
buah dari 12 titik.tetapi harus diingat bahwa,
gambar itu didapat dari suatu sampel (1978-1982).

Apabila dipilih 100 sampel secara berulang, maka akan diperoleh 100 batas
daerah kepercayaan serupa dan diharapkan 95% dari daerah kepercayaan
mencakup garis regresi populasinya.
6,669
-59,02
Gambar 8.1 Perkiraan Debet (X) Berdasarkan Data Hujan (Y) DPS

Perkiraan Debet Rata-rata Bulanan DPS Cimanuk-Leuwigoong dengan Model
Linier Sederhana adalah:
Curah Hujan (mm)
Debet rata-rata Bulanan (m3/det)
Rata-rata
Batas Daerah Kepercayaan
50
12,32
6,52 –18,12
100
17,97
12,17–23,77
150
23,62
17,82-29,42
200
29,27
23,67-35,27
250
34,92
29,12-40,72
300
40,57
34,77-46,37
350
46,22
40,42-52,02
400
51,87
46,07-57,67
450
57,52
51,72-63,32
500
63,17
57,37-68,97
550
68,82
63,03-74,62
600
74,47
68,67-80,27
Bagaimana Menguji Koefisien Korelasi ?

Pengujian koefisien korelasi menggunakan rumus sebelumnya, dapat menduga nilai
koefisien korelasi populasi (RR).

Sampel lain yang mengambil dengan n buah walaupun di ambil dari populasi yang
sama akan menghasilkan nilai koefisien sampel (R) yang berbeda.

Apabila R dekat ke nol, maka RR cendrung= 0. Akan tetapi nilai R dekat ke +1 atau –
1, maka RR  0. Masalahnya sekarang bagaimana menguji nilai R berada cukup jauh
dari nol atau R  0. Pengujian dilakukan dengan rumus: t 
R n2
1  R2
Contoh 4.
Dari contoh 1, diperoleh R=0,96 dan n= 12. Tentukanlah apakah nilai koefisien tersebut
berbeda nyata terhadap R = 0.
Jawab.

Untuk menjawab pernyataan tersebut dapat dikemukan hopotesis:
Ho : R  0
Ho : R  0
dari rumus (8.13) didapat:
t

R n2
1 R
2

0,96 10
1  0,96
2
 10,83
Melihat hipotesis ( H o : R  0 ), berarti pengujian dua sisi., untuk   0,05
didapat tt  tdk ,1 12   t10;0,975  2,23 .

Sehingga –2,23<t<2,23, berarti tolak hipotesis H o , artinya dapat disimpulkan
bahwa terima hipotesis H o : R  0 , dengan kata lain dapat diputuskan bahwa
debet rata-rata bulanan (Y) dan curah hujan rata-rata bulanan (X) dari DPS
Cimanuk-leuwigoong berhubungan linier.
Bagaimana Menguji Koefisien Regresi ?

Persamaan regresi Y  a  bX , parameter a satu lebih penting di analisa dari
parameter b. Apabila a = 0, maka garis regresinya mendatar, artinya pengurangi dan
penambahan X tidak mempengaruhi Y. Oleh karena itu perlu dilakukan pengujian
terhadap a = 0 atau tidak.

Metode statistik uji t (t student) dapat digunakan untuk melakukan pengujian tersebut:
t
aA
, untuk S a 
Sa
Sy
 X  X  
2
1

2
Sy
n  1S x2
dimana:
t = nilai uji t dengan derajat kebebasan (dk) = n-2
a = koefisien regresi
A = koefsien regresi yang telah diketahui
Sa = devisi koefisien regresi
Sy = kesalahan standar dari perkiraan nilai Y

Pendugaan nilai a dapat menggunaakan interval kepercayaan:
(a  t 12 1 sY  Y  a  t 12 1 sY )
Contoh 3.
Lakukan
pengujian
dan
pendugaan
nilai
koefisien
regresi
Y  6,669  0,113 X pada tingkat kepercayaan 95%.
Jawab.
 Dari contoh 1 didapat:
n=12, a =0,113 , Y  26,5 , S X2  6939,91 dan s y  2,6 maka:
Sa 
Sy
n  1S
2
x

2,6
 0,000034
(12  1)6939,91
 Selanjutnya dapat dibuat hipotesis,
Ho : a  0
Ho : a  0
 Uji statistik :
t
a  A 0,113  0

 3323,53
Sa
0,000034
pada
contoh
1:
 Dengan
pengujian
dua
sisi
( H o : a  0 ),
didapat
tt
=
t( dk ,112  )  t(10;0,975)  2.23 .Oleh sebab itu, t jatuh pada daerah tolak H o ,
kesimpusan menerima hipotesis alternatif: H o : a  0 .
 Keputusan adalah terdapat hubungan linier antara debet rata-rata bulanan (Y) dan
curah hujan rata-rata bulanan (X) dari DPS Cimanuk-leuwigoong. Dengan kata
lain variabel curah hujan (X) dapat mempengaruhi debit (Y) dengan model regresi
tersebit di atas.
 Pendugaan a dengan menggunakan derajat kepercayaan 95% diterima
diperkirakan dari:
(a  t 12 1 sY  Y  a  t 12 1 sY ) =
0,113  2,230,000034  a  0,113  2,230,000034=0,99992<a<1,000076
 Artinya, koefisien regresi mempunyai batas bawah 0,99992 dan batas atas,
1,000076.
Apa dan Bagaimana Koefisien Korelasi Peringkat ?

Koefisien korelasi yang telah dibahas, adalah berdasarkan asumsi bahwa pasanganpasangan data (X,Y) mengikuti distribusi normal.

Jika pasangan itu tidak demikian, dilakukan pengujian koefisien korelasi peringkat
(rank correlation coefficient), pembahasannya dikenal dengan statistika bebas
distribusi atau statistika non parametrik.

Prosedurnya:
 Dengan cara menyusun peringkat pasangan data tersebut dari urutan tertinggi.
 Maka koefisien korelasinya dihitung dengan rumus korelasi Spearman (The
Spearmant rank correlation coefficient), sebagai berikut:
n
RP  1 
6 PX i  PYi 
i 1


n n2  1
dimana:
RP = Koefisien peingkat
PXi= Peringkat variabel X ke-I
PYi= Peringkat variabel Y ke-I
n = jumlah data
 Dengan kriteria pengujian:

R p  N k , maka hipotesis menyatakan tidak ada hubungan antara variabel X
dan Y harus ditolak.

R p  N k , maka hipotesis menyatakan tidak ada hubungan antara variabel X
dan Y harus diterima.

N k = nilai batas daerah kritis.
Contoh 5.
Tentukan niali koefisien korelasi peringkat contoh 1 pada derajat kepercayaan 95% ?
Jawab.
 Tabel dibawah ini menunjukan perhitungan peringkat variabel curah hujan (X)
dan debet (Y) dari DPS Cimanuk-leuwigoong.
No.
PXi
Debit
(X)
(Y)
1.
229
32
4
4
0
0
2.
205
31
5
5
0
0
3.
271
38
3
2
1
1
4.
301
40
1
1
0
0
5.
145
28
8
6,5
1,5
2,25
6.
154
24
7
8
-1
1
8.
98
21
9
9
0
0
9.
71
14
11
10
1
1
10.
96
12
10
12
-1
1
11.
184
28
6
6,5
0.5
0.25
12.
280
37
2
3
-1
1
Jumlah
-
-
PYi
-
PXi-PYi
(PXi-PYi)2
Curah Hujan
-
11,25
n
 Didapat RP  1 
6 PX i  PYi 
i 1


n n 1
2
 1
611,25
 0,9597
12(144  1)
 Untuk   0,05 , dari tabel E untuk n=12 didapat Nk =0,504. Jadi ( RP  0,9597 )>
(Nk=0,504). Kesimpulan kita menolak hipotesis yang menyatakan tidak ada
hubungan anatar curah hujan dan debet DPS Cimanuk-leuwigoong.
 Keputusan yang dapat dieberikan dari analisis tersebut adalah terjadi hubungan
antara curah hujan dan debet DPS Cimanuk-leuwigoong pada tingkat signikan 5%
adalah pernyataan yang dapat diterima.
 Dengan demikian, penggunaan koefisien korelasi peringkat (RP) mempunyai
keuntungan jika dibandingkan dengan penggunaan koeefisien korelasi
(R):
Perhitungan lebih sederhana dan tepat.

Tidak perlu menganggap variabel X dan Y mengikuti distribusi normal.

Juga tidak perlu mengganggap bahwa hubungan antara variabel X dan Y
harus linier.

Hubungan tidak linierpun, misalnya adanya hubungan kurvilinier, maka
koefisien korelasi dapat diduga dengan koefisien korelasi peringkat.
Regresi Non Linier ?

Berdasarkan penegujian kelinieritasan regresi, mungkin saja ditemukan bahwa regresi
itu tidak linier (regresi non linier).

Regersi non linier disini hanya akan dibicarakan beberapa regresi yang lazim
digunakan dalam ilmu teknik, di antaranya:
(1) Regresi eksponensial
Y = b eaX
(2) Regresi kuadratik
Y = a + bX + cx2
(3) Regresi Logarimatik
Y = b + a log X
(4) Regresi Polonomial
Y = a + bX +cX2 +…+ bnXn
Regresi eksponensial ?

Pasangan variabel (Xi,Yi) untuk i=1,2,3,…n apabila dihitung dengan persamaan
regersi eksponensia, maka diperoleh modelnya: Y = a ebX disebut regresi
eksponensial Y terhadap X, merupakan variabel tak bebas. Untuk:
X = Variabel bebas
a,b= parameter
e = bilangan pokok nolaritma asli = 2,7183 dan Yi>0.

Persamaan Y = b eaX, ditransformasi menjadi persamaan linier fungsi (ln) menjadi
ln Y = ln aebX
ln Y = lna+bXlne karena lne=1, maka:
ln Y = lna +bX, merupakan persamaan fungsi semi logaritmik antara lnY dan X, dan
merupakan persamaan garis dengan lurus gradien b dan memotong sumbu lnY di lna.
Perhatikan gambar :
Y=beaX
LnY=lnb+aX
Gambar 8.2 Transformasi Fungsi eksponensial

Sederhanakan lnY = lna +bX, dan dilakukan transformasikan :
P=lnY, B=b, X =X, dan A=lna
Sehingga ln Y = lnb +aX menjadi : P=A+ BX
yaitu persamaan linier dalam P, identik dengan Y = A + BX,

Seperti halnya pada regresi linier sederhana, maka nilai A dan B dapat dihitung
dengan:
 X  X    X  XP
n X   X 
n XY   X  P 
B
n X   X 
2
A
2
2
2
2

Persamaan regresinya dengan rumus
R

n X
n XP   X  P
2

  X  n P 2   Y 
2
2

Batas daerah kepercayaan dengan rumus: P  t 12 1  s P  P  P  t 12 1  s P

Dimana : s P  s P 1  R 2

1
2

Sebaliknya kesalahan standar perkiraan untuk meramal X jika Y diketahui adalah:

sx  sx 1  R 2

1
2

untuk s X  s X 1  R
2

1
2
Contoh 6.
Tabel dibawah ini menunjukan data pengukuran debet dan sedimen melayang DPS
Citarum – Nanjung pada bulan Maret 1981. Tentukanlah besarnya koefisien korelasi,
persamaan eksponensialnya dan uji ?
Debet
Sedimen Melayang
Debet
Sedimen Melayang
(m3/det)-X
(juta m3/det)-Y
(m3/det)-X
(juta m3/det)-Y
35
1,73
119
10,44
39
2,45
88
16,36
43
3,31
95
27,47
54
6,83
105
29,06
56
6,99
112
33,96
Jawab.
 Buat tabel pembentu seperti:
No.
Debet (m3/det)-
Sedimen Melayang
X
3
P= ln Y
(juta m /det)-Y
XY
1.
35
1,73
0,55
19,25
2.
39
2,45
0.90
35,10
3.
43
3,31
1,20
51,60
4.
54
6,83
1,92
103,68
5.
56
6,99
1,94
108,64
6.
88
10,44
2,35
206,80
7.
95
16,36
2,79
265,05
8.
105
27,47
3,31
347,55
9.
112
29,06
3,37
377,44
10
119
33,96
3,53
420,07
746
21,46
 Di dapat: P  2,186 ,
 P  21,86 ,  P
2
 58,083 , SP =1,096
 X  746 ,  X  65146 , SX= 32,48 dan  XY  1935,18 sehingga:
 P  X    X  XP  2,18665146  7461935,18  0,018
A
1065146  746
n X   X 
n XY   X  Y 
P  A 2,186   0,018
B
atau B 

 0,0296
74,6
X
n X   X 
X  74,6 ,
2
2
2
2
2
2
2
A=lna atau –0,018=lna maka a=0,98 dan B=b maka b=0,0295.
 Jadi persamaan regresi eksponensialnya adalah:
Y = a ebX= 0,98e0,0295X
persamaan ini dapat menaksir sedimen melayang jika debetnya diketahui, misalnya:
Untuk X = 40, maka Y=0,98e0,0295(40) = 3,19
Untuk X = 100, maka Y=0,98e0,0295(100) =18,72
Dengan membuat koordinat (40;3,19) dan (100;18,72 ) maka kurva garis lurusnya
pada kertas semi logaritmik dapat kita gambar.
 R
n XP   X  P
n X
2

  X  n P  P 
2
2
2

=
(10)(1935,18)  (746)( 21,86)
1065146  746 1058,083  21,86 
2
2

3074,24
 0,9832
9776421,658
R= 98,32%, hal ini menyatakan hubungan linier yang baik antara debit dan sedimen
melayang di lokasi pos duga air Nanjumg dari DPS Citarum
 Kesalahan standar perkiraannya:

sP  sP 1  R 2

1
2
= 1,096 1  0,98  0,179
2
karena lnY=P, maka lnSP=SP=0,179, didapat SP=1,196 m3/hari
 Batas daerah kepercayaannya:
P  t 12 1  s P  P  P  t 12 1  s P  2,186  1,153(1,196)  P  2,186  1,153(1,196) 
 2,186  1,379  Y  1,379

Berikut ini disajikan perkiraan sedimen melayang apabila debit diketahui: Y = a ebX=
0,98e0,0295X
No.
Debit
Sedimen
Batas daerah kepercayaan
(m3/det)
(juta m3/hari)
(juta m3/hari)
1.
40
3,19
1,73 - 4,51
2.
60
4,37
3,00 - 5,76
3.
80
12,74
14,12 -16,88
4.
100
18,72
15,96 - 18,72
5.
120
37,32
35,94 - 38,70
Apa dan Bagaimana Menganalisis
Regresi Kuadratik ?

Regresi kuadratik merupakan regersi polinomial orde ke-2, dengan persamaan umum

Y  a  bX  cX 2
a, b dan c harus ditentukan berdasarkan pengamatan, secara:
Y
 XY
X Y
2

na 

a X 
b X 
c X 2
b X 2  c  X 3
 a  X 2  b X 3  c  X 3
Contoh 7.
Pengukuran debit dari sungai Way Seputih-Segala Mider tahun 1980 menghasikan
hubungan antara tinggi muka air (X) dan debeit (Y) seperti tabel di bawah ini. Debet dari
sungai Way Seputih-Segala Mider tahun 1980 menghasikan hubungan antara tinggi muka
air (X) dan debeit (Y)
No.
Tinggi Muka Air
(X)/(m)
Debit (Y)/(m3/det)
1.
1,50
26
2.
1,60
29
3.
1,70
33
4.
1,80
37
5.
1,90
43
6.
2,00
49
7.
2,10
52
8.
2,20
57
9.
2,30
63
10.
2,40
71
11.
2,50
79
Dengan menggunakan model kuadratik, tentukan persamaan data tersebut ?
Jawab.
 Persamaan tersebut bukan persamaan linier sederhana ataupun eksponensial
(silahkan anda lakukan pengujian sendiri). Data (X,Y) akan lebih cendrung
berbentuk kuadratik,
 Buat tabel pembantu seperti di bawah ini:
X
Y
X2
X3
X4
XY
X2Y
1.
1,50
26
2,25
3,375
5,0625
39,00
58,50
2.
1,60
29
2,56
4,096
6,5536
46,40
74,24
3.
1,70
33
2,89
4,913
8,3520
56,10
95,37
4.
1,80
37
3,24
5,832
10,4976
66,60
119,88
5.
1,90
43
3,61
6,859
13,0321
81,70
155,23
6.
2,00
49
4,00
8,000
16,0000
98,00
196,00
7.
2,10
52
4,41
9,261
19,4481
109,20
229,32
8.
2,20
57
4,84
10,648
23,4256
125,40
275,88
9.
2,30
63
5,29
12,167
27,9841
144,90
333,27
10.
2,40
71
5,76
13,824
33,1776
170,40
4408,96
11.
2,50
79
6,25
15,625
39,0625
197,50
493,75

22,00
539
45,10
94,60
202,5958
1.135,20
2440,40
No.
 Didapat: X  2,0 dan
X2 
45,10
dan:
11
539

11a 
22b 
45,10c
1135

22a 
45,10b 
94,60c
2440,40  45,10a  94,60b  202,59c
 Menggunakan matriks atau substitusi eliminasi di dapat:
a=27,32; b=-32,44 dan c=21,11. Seningga diperoleh persamaan regresi kudratik

Y  27,32  32,44 X  21,11X 2
 Kesalahan perkiraan standarnya yaitu:
1
 2 
 

  Y  Y  
 
S y   

 , dengan menggunakan tabel seperti:
n 1




2



X
Y
Y
Y Y
(Y  Y ) 2
1.
1,50
26
26,15
-0,15
0,0225
2.
1,60
29
19,45
-0,45
0,2025
3.
1,70
33
33,10
-0,10
0,0100
4.
1,80
37
37,32
-0,32
0,1024
5.
1,90
43
41,89
1,11
1,2321
6.
2,00
49
46,88
2,12
4,4944
7.
2,10
52
52,59
-0,29
0,0841
8.
2,20
57
58,12
-1,12
1,2544
9.
2,30
63
64,37
-1,37
1,8769
10.
2,40
71
71,05
-0,05
0,0025
11.
2,50
79
78,15
0,85
0.7225
22,00
539
-
0,32
10,0043
No.

 2 
 

Y

Y
 

 
Didapat: S y    


n 1




1
2
 10,0043 
 

 10 
1
2
 1,00m 3 / det
 Untuk derajat kepercayaan 95% dan dk = n-2 =9 untuk penggujian dua sisi didapat
tt=2,262.
Dengan

demikian
didapat
batas

(a  t 12 1 sY  Y  a  t 12 1 sY )  Y  2,262m3 / det
merupakan dua garis sejajar dalam persamaan regresi.
daerah
kepercayaan:
 Perkiraan Debit DPS Way Seputih Di Pos Duga Air Segala Mider
Batas Daerah Kepercayaan
Tinggi Muka air (m)
Debit (m3/det)
1.
0,80
14,80
1,61 – 17,06
2.
1,00
15,99
13,73 – 18,25
3.
1,50
26,15
23,89 – 28,41
4.
2,00
46,88
44,62 – 49,14
5.
2,50
78,15
75,89 – 80,41
6.
3,00
119,99
117,73– 122,25
7.
3,50
235,32
233,06– 237,58
No.
(m3/det)

Sumber: Hasil Perhitungan dengan Y  27,32  32,44 X  21,11X 2
Contoh:
Berdasarkan hasil pengambilan sampel secara acak tentang pengaruh lamanya belajar (X)
terhadap nilai ujian (Y) adalah sebagai berikut :
(nilai ujian)
X (lama belajar)
X2
XY
40
4
16
160
60
6
36
360
50
7
49
350
70
10
100
700
90
13
169
1.170
ΣY = 310
ΣX = 40
ΣX2 = 370
ΣXY = 2.740
Dengan menggunakan rumus di atas, nilai a dan b akan diperoleh sebagai
berikut
:
a = [(ΣY . ΣX2) – (ΣX . ΣXY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2]
a = [(310 . 370) – (40 . 2.740)] / [(5 . 370) – 402] = 20,4
b
=
[N(ΣXY)
–
(ΣX
.
ΣY)]
/
[(N
.
ΣX2)
–
(ΣX)2]
b = [(5 . 2.740) – (40 . 310] / [(5 . 370) – 402] = 5,4
Sehingga
persamaan
regresi
sederhana
adalah
Y=20,4+5,2
X
Berdasarkan hasil penghitungan dan persamaan regresi sederhana tersebut di atas, maka
dapat diketahui bahwa :
1. Lamanya belajar mempunyai pengaruh positif (koefisien regresi (b) = 5,2)
terhadap nilai ujian, artinya jika semakin lama dalam belajar maka akan semakin
baik atau tinggi nilai ujiannya;
2. Nilai konstanta adalah sebesar 20,4, artinya jika tidak belajar atau lama belajar
sama dengan nol, maka nilai ujian adalah sebesar 20,4 dengan asumsi variabelvariabel lain yang dapat mempengaruhi dianggap tetap. Analisis Korelasi (r) :
digunakan untuk mengukur tinggi redahnya derajat hubungan antar variabel yang
diteliti. Tinggi rendahnya derajat keeratan tersebut dapat dilihat dari koefisien
korelasinya. Koefisien korelasi yang mendekati angka + 1 berarti terjadi
hubungan positif yang erat, bila mendekati angka – 1 berarti terjadi hubungan
negatif yang erat. Sedangkan koefisien korelasi mendekati angka 0 (nol) berarti
hubungan kedua variabel adalah lemah atau tidak erat.
Dengan demikian nilai koefisien korelasi adalah – 1 ≤ r ≤ + 1. Untuk koefisien
korelasi sama dengan – 1 atau + 1 berarti hubungan kedua variabel adalah sangat erat
atau sangat sempurna dan hal ini sangat jarang terjadi dalam data riil. Untuk mencari nilai
koefisen korelasi (r) dapat digunakan rumus sebagai berikut :
r = [(N . ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / √{[(N . ΣX2) – (ΣX)2] . [(N . ΣY2) – (ΣY)2]}
Contoh
:
Sampel yang diambil secara acak dari 5 mahasiswa, didapat data nilai Statistik dan
Matematika sebagai berikut :
Sampel
X (statistik)
Y (matematika)
XY
X2
Y2
1
2
3
6
4
9
2
5
4
20
25
16
3
3
4
12
9
16
4
7
8
56
49
64
5
8
9
72
64
81
Jumlah
25
28
166
151
186
r = [(N.ΣXY) – (ΣX.ΣY)] / √{[(N . ΣX2) – (ΣX)2] . [(N . ΣY2) – (ΣY)2]}
r = [(5 . 166) – (25 . 28) / √{[(5 . 151) – (25)2] . [(5 . 186) – (28)2]} = 0,94
Nilai koefisien korelasi sebesar 0,94 atau 94 % menggambarkan bahwa antara
nilai statistik dan matematika mempunyai hubungan positif dan hubungannya
erat, yaitu jika mahasiswa mempunyai nilai statistiknya baik maka nilai
matematikanya juga akan baik dan sebaliknya jika nilai statistik jelek maka nilai
matematikanya juga jelek.