STANDART PROBLEM SOLVING MAKALAH Untukmemenuhitugasmatakuliah KajianPembelajaranMatematika Yang diampuolehBapak Prof. Dr. GatotMuhsetyo, M.Sc Oleh Kresentia Peppy Rahayu (190311867235) Muhammad AwwalulIkhtiar (190311767268) Ni Putu Gita Arilaksmi (190311867238) Offering F UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA SEPTEMBER 2019 A. Definisi Problem Solving atau Pemecahan Masalah Babak Masyarakat Ekonomi ASEAN (MEA) telah dimulai. Persaingan di segala aspek dimulai. Bidang ekonomi merupakan salah satu aspek yang terpenting dari era MEA ini. Selain bidang ekonomi, aspek pendidikan juga memberikan andil dalam ranah persiapan menghadapi MEA. Peran pendidikan dalam menyambut datangnya pasar tunggal ASEAN sejatinya menyiapkan sumber daya manusia yang terampil, peka dan kritis. Terampil bekerja, peka permasalahan dan kritis dalam berperan. Keterampilan dalam berperan merupakan aspek yang seharusnya dimiliki oleh setiap individu. Kemampuan ini diintegrasikan melalui pemecahan masalah pada kegiatan pembelajaran matematika di sekolah. Pemecahan masalah merupakan salah satu tujuan dalam proses pembelajaran ditinjau dari aspek kurikulum. Pentingnya pemecahan masalah dalam pembelajaran juga disampaikan oleh National Council of Teacher of Mathematics (NCTM). Menurut NCTM (2000) proses berfikir matematika dalam pembelajaran matematika meliputi lima kompetensi standar utama yaitu kemampuan pemecahan masalah, kemampuan penalaran, kemampuan koneksi, kemampuan komunikasi dan kemampuan representasi. Rendahnya kemampuan ini akan berakibat pada rendahnya kualitas sumber daya manusia, yang ditunjukkan dalam rendahnya kemampuan pemecahan masalah.Hal ini dikarenakan selama ini pembelajaran kurang memberikan kesempatan kepada siswa untuk mengembangkan kemampuannya dalam memecahkan masalah. Problem solving adalah suatu kegiatan penyelesaian permasalahan yang metode solusinya tidak diketahui sebelumnya. Problem solving menuntut siswa untuk menemukan solusi dengan menggunakan pengetahuan yang mereka miliki. Melalui proses itu mereka akan sering mengembangkan dan menggali pemahaman matematika baru. Memecahkan masalah bukan hanya tujuan belajar matematika tetapi juga sarana utama untuk melakukannya. Siswa harus sering memiliki kesempatan untuk merumuskan, bergulat dan memecahkan masalah kompleks yang memerlukan sejumlah besar upaya dan kemudian harus didorong untuk merenungkan pemikiran mereka. Dengan mempelajari pemecahan masalah dalam matematika, siswa harus memperoleh cara berpikir, kebiasaan kegigihan dan rasa ingin tahu, dan kepercayaan diri dalam situasi asing yang akan melayani mereka dengan baik di luar kelas matematika. Pemecahan masalah adalah bagian integral dari semua pembelajaran matematika, dan karena itu tidak boleh menjadi bagian yang terisolasi dari program matematika. Pemecahan masalah dalam matematika harus melibatkan semua lima bidang konten yang dijelaskan dalam standar ini. Konteks masalah dapat bervariasi dari pengalaman akrab yang melibatkan kehidupan siswa atau hari sekolah hingga aplikasi yang melibatkan sains atau dunia kerja. Masalah yang baik akan mengintegrasikan banyak topik dan akan melibatkan matematika yang signifikan. Berdasarkan yang telah terurai di atas disebutkan bahwa pemecahan masalah adalah bagian integral dari matematika. Bersumber pada hal itu, siswa yang akan dan telah memasuki kelas menengah harus memiliki pandangan bahwa matematika merupakan suatu ilmu yang melibatkan pemeriksaan pola, membuat dugaan tentang kemungkinan generalisasi, dan mengevaluasi dugaan. Pada tahap kelas 6-8, siswa harus mempertajam dan memperluas keterampilan penalaran mereka dengan memperdalam evaluasi mereka terhadap pernyataan dan dugaan mereka dan menggunakan penalaran induktif dan deduktif untuk merumuskan argumen matematika. B. Tahapan Problem Solving Tahapan penggunaan metode problem solving dalam Djamarah (2013) adalah sebagai berikut : 1) Ada masalah yang jelas untuk dipecahkan. Masalah ini harus tumbuh dari siswa sesuai dengan taraf kemampuannya. 2) Mencari data atau keterangan yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah yang muncul. Misalnya dengan jalan membaca buku-buku, meneliti, bertanya, dan berdiskusi. 3) Menetapkan jawaban sementara dari masalah tersebut. Dugaan jawaban tentu saja didasarkan kepada data yang telah diperoleh, pada langkah kedua di atas. 4) Menguji kebenaran jawaban sementara tersebut. Dalam langkah ini peserta pelatihan harus berusaha memecahkan masalah sehingga betul-betul yakin bahwa jawaban tersebut betul-betul cocok. 5) Menarik kesimpulan. Artinya siswa harus sampai pada kesimpulan terakhir tentang jawaban dari masalah tadi. C. Kelebihan dan Kekurangan Problem Solving Dalam buku yang dibuat oleh Tabrani (2008) kelebihan metode problem solving dapat diidentifikasikan sebagai berikut : 1) Metode pemecahan masalah memungkinkan menghubungkan pengajaran dengan kehidupan sehari-hari, karena masalah-masalah yang diangkat dalam kegiatan belajar bias diambil dari kehidupan sehari-hari, atau dari apa yang dialaminya. 2) Metode ini dapat merangsang kemampuan intelektual dan daya pikir peserta didik, karena dalam berfikir menggunakan problem solving mereka menyoroti permasalahan dari berbagai segi. 3) Metode ini dapat melatih dan membiasakan peserta didik untuk menghadapi dan memecahkan masalah secara cermat. 4) Metode ini mampu melatih peserta didik untuk berfikir secara sistematis dan menghubungkannya dengan masalah-masalah lainnya. Adapun kekurangan metode problem solving dalam Djamarah, (2013) yaitu sebagai berikut : 1) Menentukan suatu masalah yang tingkat kesulitannya sesuai dengan tingkat berpikir siswa, tingkat sekolah dan kelasnya serta pengetahuan dan pengalaman yang telah dimiliki siswa, sangat memerlukan kemampuan dan keterampilan guru. Sering orang beranggapan keliru bahwa metode pemecahan masalah hanya cocok SLTP, SLTA dan PT saja. Padahal, untuk siswa SD sederajat juga bisa dilakukan dengan tingkat kesulitan permasalahan yang sesuai dengan taraf kemampuan berpikir anak. 2) Proses belajar mengajar dengan menggunakan metode ini sering memerlukan waktu yang cukup banyak dan sering terpaksa mengambil waktu pelajaran lain. 3) Mengubah kebiasaan siswa belajar dengan mendengarkan dan menerima informasi dari guru menjadi belajar dengan banyak berpikir memecahkan permasalahan sendiri atau kelompok, yang kadang-kadang memerlukan berbagai sumber belajar, merupakan kesulitan tersendiri bagi siswa. D. Contoh Permasalahan Problem Solving dalam Matematika 1. Fungsi Kuadrat a) Konsep Fungsi Kuadrat Sebarang fungsi yang dapat dituliskan dalam bentuk π π = πππ + ππ + π di mana π, π, π ∈ β dan π ≠ 0 disebut sebagai fungsi kuadrat. Bentuk fungsi kuadratπ π₯ = ππ₯ 2 + ππ₯ + π juga dapat diubah menjadi bentuk π π = π π−π π +π di mana di mana π, π π ∈ β dan π ≠ 0 dan (π, π) merupakan koordinat titik puncak. Grafik dari fungsi kuadrat disebut sebagai grafik parabola. Untuk memahami grafik fungsi kuadrat, terdapat beberapa istilah-istilah penting yang dapat diamati dalam Gambar 1.1 berikut : Grafik fungsi kuadrat memiliki suatu titik yang disebut sebagai titik puncak/titik balik (vertex), dinotasikan dengan(π, π). Titik puncak tersebut dapat menjadi titik minimum jika grafik parabola terbuka ke Gambar 1.1 atas, dan dapat menjadi titik maksimum jika grafik terbuka ke bawah. Untuk mendeteksi apakah suatu grafik fungsi kuadrat terbuka ke atas atau ke bawah, dapat dilakukan dengan melihat nilai dari koefisien π₯ 2 yaitu nilai dari π. Jika π > 0 maka grafik terbuka ke atas, dan jika π < 0 maka grafik terbuka ke bawah. Sebagai contoh dapat dilihat pada Gambar 1.2 berikut : Pada Gambar 1.2 disketsakan grafik π π₯ = π₯ 2 , dengan π = 1 dan π π₯ = −π₯ 2 dengan π = −1. Dari gambar dapat terlihat bahwa grafik π π₯ = π₯ 2 terbuka ke atas dan grafik π π₯ = −π₯ 2 tebuka ke bawah. Gambar 1.2 Sumbu simetri(axis of symmetry) adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang sama. Sumbu simetri pada fungsi kuadrat dapat dikatakan sebagai garis sumbu yang melewati titik puncak. Untuk menentukan sumbu simetri suatu grafik fungsi kuadrat dapat dilihat melalui bagian absis dari koordinat titik puncak. Berikut ini merupakan cara menentukan koordinat titik puncak dari suatu fungsi kuadrat dengan menggunakan konsep melengkapkan kuadrat : π π₯ = ππ₯ 2 + ππ₯ + π π π π₯ = π π₯2 + π₯ + π π π π2 π2 π π₯ = π π₯2 + π₯ + 2 + π − π 4π 4π 2 2 π 4ππ − π π π₯ =π π₯+ + 2π 4π Dari uraian di atas diperoleh koordinat titik puncak yakni π 4ππ − π2 π, π = − , 2π 4π π dengan sumbu simetri adalah π₯ = − 2π b) Contoh SoalProblem Solving Berkaitan dengan Fungsi Kuadrat Seorang petani, memiliki jaring kawat sepanjang 120 π. Ia ingin memagari pekarangan di samping rumahnya yang berbentuk persegi panjang, namun hanya tiga sisi yang dapat dipagari karena sisi yang lain dibatasi oleh sungai. Tentukan panjang dan lebar dari pagar yang dibuat oleh petani tersebut sehingga luasnya menjadi maksimum. Menjawab sesuai langkah-langkah problem solving: 1) Ada masalah yang jelas untuk dipecahkan. Masalah yang harus dipecahkan siswa adalah menentukan ukuran panjang dan lebar dari pagar yang dibuat oleh petani tersebut sehingga luasnya menjadi maksimum 2) Mencari data atau keterangan yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah yang muncul. Siswa dapat mengumpulkan data pendukung untuk menyelesaikan masalah tersebut. Dari soal diketahui panjang kawat yang dimiliki adalah 120 π serta pekarangan rumahnya berbentuk persegi panjang, namun hanya tiga sisi yang dapat dipagari karena sisi yang lain dibatasi oleh sungai. Dari data tersebut, siswa dapat mengambar ilustrasi untuk memudahkan dalam berpikir. Perhatikan Gambar 1.3 di samping. Gambar di samping mengilustrasikan data yang telah diperoleh siswa. Panjang kawat adalah 120 π, dan pekarangan berbentuk persegi panjang. Gambar 1.3 Lebar pekarangan dinotasikan dengan varibel π₯ sehingga panjang pekarangan dinotasikan dengan 120 − π₯. 3) Menetapkan jawaban sementara dari masalah tersebut. Pada tahap ini, siswa mulai menyusun agurmen untuk menetapkan jawaban sementara. Argumen disusun dari data-data yng diperoleh dari langkah sebelumnya, serta berdasarkan konsep yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Berdasarkan konsep luas, luas persegi panjang diperoleh dengan : πΏ π₯ = panjang × lebar πΏ π₯ = 120 − 2π₯ π₯ πΏ π₯ = −2π₯ 2 + 120π₯ Fungsi πΏ(π₯) merupakan suatu fungsi kuadrat dengan π = −2, π = 120, dan π = 0. Sesuai dengan konsep sebelumnya, saat π < 0 maka grafik fungsi kuadrat terbuka ke bawah, sehingga titik puncaknya merupakan titik maksimum. Untuk mendapatkan nilai π₯ agar luas pekarangan maksimum, dapat menggunakan konsep sebelumnya yaitu : π₯=− π 120 =− = 30 2π 2 −2 Sehingga panjang dan lebar pekarangan agar luasnya maksimum adalah : Panjang = 120 − 2π₯ = 120 − 2 30 = 60 π Lebar = π₯ = 30 π 4) Menguji kebenaran jawaban sementara tersebut Pada tahap ini, siswa menguji jawaban sementara yang telah didapatkan pada langkah sebelumnya. Pengujian dapat dengan menggunakan konsep- konsep fungsi kuadrat atau dengan mecocokan dengan unsur yang diketahui pada soal. Dalam menguji titik puncak yang diperoleh dalam langkah sebelumnya dapat dilihat dari nilai π yang negatif, yang menunjukkan grafik terbuka ke bawah sehingga titik puncaknya merupakan titik maksimum, dan tidak ada titik yang lain yang nilainya fungsinya lebih besar dari titik puncak tersebut. Pada langkah sebelumnya juga diperoleh panjang dan lebar kawat agar luasnya maksimum berturut-turut adalah 60π dan 30 π (ingat hanya 3 sisi pekarangan yang dipagari), sehingga jika dijumlah sesuai dengan panjang kawat yang dimiliki yakni 120 π. 5) Menarik kesimpulan. Dari langkah-langkah yang telah dilakukan sebelumnya maka siswa dapat menarik kesimpulan untuk menjawab permasalahan di atas yakni panjang dan lebar pekarangan agar luasnya maksimum adalah :panjang 60 π dan lebar 30 π 2. Luas Bangun Datar Lingkaran a) Konsep Luas Bangun Datar Lingkaran Lingkaran adalah himpunan titik-titik pada bidang datar yang memiliki jarak yang sama dari suatu titik tertentu, yang disebut sebagai titik pusat lingkaran. Segmen garis yang terbentuk dari titik pusat ke titik pada lingkaran disebut sebagai jari-jari. Seperti pengertian luas pada umumnya, yang dimaksud luas lingkaran adalah area yang meliputi bagian dalam lingkaran. Jika keliling lingkaran mewakili panjang lintasan bagian tepi maka luas lingkaran mewakili luas areanya. Untuk menemukan luas lingkaran, digunakan rumus πΏ = ππ 2 dengan π adalah jari-jari lingkaran. b) Contoh Soal Problem Solving Berkaitan dengan Luas Bangun datar Lingkaran Suatu ladang rumput berbentuk persegi dengan panjang sisi 42 π. Seekor kambing yang akan merumput, diikat dengan tali pada salah satu sudut kebun seperti yang disketsakan pada gambar (tampak atas). Jika panjang tali yang digunakan untuk mengikat kambing 28 π, perkirakan berapa luas ladang maksimum yang dapat dijangkau kambing tersebut. 1) Ada masalah yang jelas untuk dipecahkan. Masalah yang harus dipecahkan siswa adalah menentukan berapa luas ladang yang dapat dijangkau kambing jika panjang tali yang digunakan untuk mengikat kambing 28 π 2) Mencari data atau keterangan yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah yang muncul. Siswa dapat mengumpulkan data pendukung untuk menyelesaikan masalah tersebut. Dari soal diketahui panjang tali yang digunakan untuk mengikat kambing 28 πserta ladang rumput berbentuk persegi dengan panjang sisi 42 π. Dari data tersebut, siswa dapat mengambar ilustrasi untuk memudahkan dalam berpikir. Perhatikan Gambar 143 di samping. 42 π Gambar di samping mengilustrasikan data yang telah diperoleh siswa. 42 π Panjang kawat adalah 28π, dan pekarangan berbentuk persegi dengan panjang sisi 42 π Gambar 1.4 3) Menetapkan jawaban sementara dari masalah tersebut. Pada tahap ini, siswa mulai menyusun agurmen untuk menetapkan jawaban sementara. Argumen disusun dari data-data yng diperoleh dari langkah sebelumnya, serta berdasarkan konsep yang berkaitan dengan luas lingkaran. Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan membayangkan jangkauan wilayah ladang yang dapat dicapai oleh kambing akan berbentuk seperempat lingkaran dengan jari-jari sepanjang tali yaitu 28 π . Sehingga untuk mengetahui luas ladang rumput yang dapat dijangkau oleh kambing tersebut adalah dengan menghitung luas daerah berbentuk seperempat lingkaran yang diuraikan sebagai berikut : 1 ππ 2 4 1 πΏ = π 28 2 4 1 πΏ = 784 π 4 πΏ= πΏ = 196ππ2 4) Menguji kebenaran jawaban sementara tersebut Pada tahap ini, siswa menguji jawaban sementara yang telah didapatkan pada langkah sebelumnya. Pengujian dapat dilakukan dengan mempertimbangkan bahwa untuk mencapai luas maksimum, maka jarak terjauh jangkauan kambing harus sama dengan panjang tali pengikat. Kemudian, jika jarak dari titik asal (tempat kambing diikat) hingga ke titik terjauh di semua daerah ladang sama (yakni panjang tali) maka panjang tali dapat direpresentasikan sebagai jari-jari lingkaran dan daerah yang terbentuk berupa seperempat lingkaran. 5) Menarik kesimpulan. Dari langkah-langkah yang telah dilakukan sebelumnya maka siswa dapat menarik kesimpulan untuk menjawab permasalahan di atas yaitu jika panjang tali yang digunakan untuk mengikat kambing 28 π, maka luas ladang maksimum yang dapat dijangkau kambing tersebut adalah 196ππ2 DAFTAR PUSTAKA Djamarah, SyaifulBahri. 2013. StrategiBelajarMengajar. CetakanKelima. Jakarta: PT. RinekaCipta. Kaufmann, Jerome E.& Schitters, Karen L. 2011 . Algebra for College Students 9th Edition. Belmont : Nelson Education Lencher, George. 2005. Creative Problem Solving in School Mathematics 2nd Edition. New York : Mathematical Olympiads for Elementary and Middle Schools Tabrani, Rusyan.2008. CaraPembelajaranMatematika SeriI. Semarang:PTBengawanIlmu. NCTM. 2000. Principles and Standards for School Mathematics. United States of America : The National Council of Teachers of Mathematics, Inc. Prihatini, Elfrieda Yapita. 2018. PengembanganAsesmen Higher Order Thinking Skill Berbasis Problem Solving padaSiswaKelas X IPA. Tesis.
