segitiga harmonik leibniz

SEGITIGA HARMONIK LEIBNIZ
Sumardyono, M.Pd.
Di sekolah terutama pada jenjang Sekolah Menengah Pertama (SMP) atau Sekolah
Menengah Atas (SMA), telah dibelajarkan atau telah dikenal apa yang dinamakan “Segitiga
Pascal”. Segitiga tersebut merupakan susunan koefisien bentuk ekspansi dari binomial (a+ b)n
dengan n = 0, 1, 2, 3, ... . Pada artikel kali ini, akan dibahas mengenai “Segitiga Harmonik
Leibniz” atau “Segitiga Leibniz”. Segitiga Leibnitz juga merupakan susunan bilangan dalam
bentuk segitiga dengan sifat tertentu. Leibniz sendiri adalah matematikawan Jerman bernama
lengkap Gottfried Wilhem Leibniz dan terkenal dengan sumbangsihnya terutama pada ilmu
kalkulus, bersama-sama sumbangan Newton.
Gottfried Wilhem Leibniz (1646-1716)
Sumber: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg
Berikut ini Segitiga Leibniz.
Aturan untuk menyusunnya adalah sebagai berikut:
•
Semua bilangan di bagian paling kiri dan paling kanan adalah pecahan Mesir atau
kebalikan dari bilangan asli: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ....
•
Setiap bilangan lainnya adalah jumlah dua bilangan tepat di bawahnya. Misalnya
1/12 = 1/20 + 1/30.
Beberapa sifat Segitiga Leibniz sebagai berikut.
•
Sama seperti Segitiga Pascal, Segitiga Leibniz juga memiliki sifat simetris.
•
Berikut ini barisan penyebut bilangan-bilangan pada Segitiga Leibniz:
1, 2, 2, 3, 6, 3, 4, 12, 12, 4, 5, 20, 30, 20, 5, 6, 30, 60, 60, 30, 6, 7, 42, 105, 140, 105,
42, 7, 8, 56, 168, 280, 280, 168, 56, 8, 9, 72, 252, 504, 630, 504, 252, 72, 9, 10, 90,
360, 840, 1260, 1260, 840, 360, 90, 10, 11, 110, 495, 1320, 2310, 2772, 2310, 1320,
495, 110, 11, ...
•
Setiap bilangan pada Segitiga Leibniz dapat dihitung menggunakan rumus sebagai
berikut. Bilangan pada baris ke-r dan suku ke-k (dengan k ≤ r) adalah
L(r, k) =
1
atau
r.C (r − 1, k − 1)
L(r, k) =
1
k .C (r , k )
C notasi untuk kombinasi, yakni. C(r,k) =
•
r!
k!.(r − k )!
Hubungan bilangan pada Segitiga Leibniz dengan bilangan pada Segitiga Pascal,
sebagai berikut.
Setiap bilangan pada setiap baris Segitiga Leibniz adalah hasil bagi bilangan
pertama pada baris Segitiga Leibniz tersebut dengan bilangan yang
bersesuaian pada Segitiga Pascal. L(r, k) = L(r,1)/P(r,k)
Contoh.
1/6 adalah bilangan pada Segitiga Leibniz di baris ke-3 suku ke-2, atau L(3,2)
= 1/6. Pada baris ke-3 Segitiga Leibniz, bilangan pertama adalah 1/3.
Bilangan pada Segitiga Pascal di baris ke-3 suku ke-2 adalah P(3,2) = 2.
Maka, L(3,2) = L(3,1)/P(3,2) = (1/3)/2 = 1/6.
•
Bilangan pada Segitiga Leibniz juga dapat dinyatakan dengan rumus rekursif sebagai
berikut.
L(r,1) = 1/r
dan
L(r,k) = L(r−1,k−1) − L(r,k−1)
•
Jumlah seluruh penyebut pada baris ke-r adalah r.2r – 1 .
Contoh. Untuk baris ke-4: 4 + 12 + 12 + 4 = 32 = 4.23
•
Berikut ini jumlah bilangan pada setiap baris: 1, 1, 5/6, 2/3, 8/15, 13/30, 151/420, ...
Barisan pembilangnya:
1, 1, 5, 2, 8, 13, 151, 32, 83, 73, 1433, 647, 15341, 28211, 10447,
1216, 19345, 18181, 651745, 1542158, 1463914, 2786599,
122289917, 29229544, 140001721, 134354573, 774885169,
745984697, 41711914513, 80530073893, 4825521853483, ...
Barisan penyebutnya:
1, 1, 6, 3, 15, 30, 420, 105, 315, 315, 6930, 3465, 90090, 180180,
72072, 9009, 153153, 153153, 5819814, 14549535, 14549535,
29099070, 1338557220, 334639305, 1673196525, 1673196525,
10039179150, 10039179150, 582272390700, 1164544781400, ...
•
Penyebut pada bilangan suku kedua setiap baris merupakan bilangan pronic yaitu
hasil kali dua bilangan asli berurutan: 1.2, 2.3, 3.4, 4.5, 5.6, ....
•
Setiap bilangan pada baris ke-r Segitiga Leibniz merupakan koerfisien dari turunan
pertama polinomial yang koefisiennya adalah bilangan pada baris ke-r Segitiga
Pascal.
Perhatikan contoh di bawah ini.
Sumber: http://2.bp.blogspot.com
Daftar Pustaka dan Bacaan
Bogomolny, A. Leibniz and Pascal Triangles. Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Combinatorics/LeibnitzTriangle.shtml, Diakses 22
February 2013
Dan MacKinnon. 2009. Harmonic Denominator Number Triangle . dalam
http://www.mathrecreation.com/2009/10/harmonic-denominator-number-triangle.html
Sloane, N.J.A. 2007. A003506. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Sloane, N.J.A. 2013. A046879. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Sloane, N.J.A. 2013. A046878. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Toni Beardon. 2012. “The Harmonic Triangle and Pascal's Triangle”. nrich enriching mathematics .
dalam http://nrich.maths.org/4781
Weisstein, Eric W. 2013. "Leibniz Harmonic Triangle." MathWorld--A Wolfram Web Resource.
http://mathworld.wolfram.com/LeibnizHarmonicTriangle.html
Wikipedia. 2013. Leibniz harmonic triangle., the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_harmonic_triangle