statistik temu 11 - apriliatna

TUGAS STATISTIK 1
Materi Pertemuan XI
Kelompok 5 :
Sesi 11
1.
2.
3.
4.
5.
Agatha Dilla Maralisa
Asri
Ayu Apriliatna
Orisa Elfath
Treatment M. Kabanga
201466072
201466029
201466044
201466075
201466176
FAKULTAS FISIOTERAPI
UNIVERSITAS ESA UNGGUL
2016
Temu XI
KONSEP DISTRIBUSI SAMPLING
A.
Pendahuluan
1
Di dalam statistik deskriptif telah dibicarakan bagaimana mendapatkan deskripsi
dari data yang diolah atau sengaja dikumpulkan untuk mendapatkan informasi yang
terkandung di dalamnya. Di dalam statistik inferens kita akan membicarakan bagaimana
menggeneralisasi informasi yang telah didapatkan.
Sebagai contoh, dari suatu rapid survei yang dilakukan di Tangerang dengan mewawancarai
sebanyak 210 orang ibu yang mempunyai balita (sampel) didapatkan bahwa yang
melakukan pemeriksaan sampai KA sebanyak 20%. Hasil yang didapatkan ini adalah
informasi dari 210 ibu balita. Sebenarnya maksud kita melakukan suatu pengumpulan data
tersebut adalah ingin mengetahui berapa sebenarnya yang melakukan pemeriksaan sesuai
KA di Kabupaten Tangerang. Data dari pengumpulan sebanyak 210 ibu tersebut ingin kita
perlakukan menjadi informasi untuk (Tangerang). Untuk itu akan dipakai metode statistik
inferens.
2
Jadi, statistik inferens adalah semua cara metode yang dipergunakan untuk
menggeneralisasi hasil dari suatu sampel menjadi hasil populasi.
Dasar-dasar di dalam statistik inferens ini adalah “distribusi sampling”. Dengan demikian,
sebelum membicarakan materi estimasi dan uji hipotesis perlu memahami apa yang disebut
distribusi sampling.
Distribusi sampling adalah distribusi dari mean-mean sampel yang diambil secara berulang
kali dari suatu populasi. Untuk itu perlu kita ketahui suatu ketentuan yang dapat
membedakan beberapa ukuran antara sampel dan populasi.
Ukuran-ukuran untuk sampel dan populasi adalah sebagai berikut.
Sampel
1
2
Populasi
Nilai (karakteristik)
Statistik
Parameter
Mean (rata-rata hitung)
x
µ
Standar deviasi
S

Jumlah Unit
N
N
Sutanto Priyo Hastono dan Luknis Sabri, Statistik Kesehatan (Jakarta: PT Rajawali Persada, 2010) hal. 75
Sutanto Priyo Hastono , ibid hal. 76
Misalnya kita mempunyai suatu populasi yang mempunyai mean = µ dengan N elemen dan
standar deviasi  .
1. Dilakukan pengambilan sampel random besarnya n (X1,X2, ...Xn), dihitung rata-rata x
dan simpangan baku s. Sampel yang diambil berulang kali ini akan menghasilkan
bermacam-macam nilai rata-rata. Dari sampel satu sampai satu sampai sampel ke m
didapatkan rata-rata hitung X 1........... X
m
2. Mean atau rata-rata dari sampel-sampel ini ( X 1........... X
m)
kalau disusun akan
membentuk suatu distribusi. 3Distribusi dari nilai mean-mean sampel inilah yang disebut
distribusi sampling harga mean.
POPULASI
X1,X2, ...Xn
Mean = µ Standar deviasi = 
Sampel 1
Sampel 2
Sampel 3
Sampel m
X1,...Xn
X1,...Xn
X1,...Xn
X1,...Xn
(n observasi)
(n observasi)
(n observasi)
(n observasi)
X
X
X
X
1
2
Distribusi Sampling
3
Sutanto Priyo Hastono , ibid hal. 77
3
m
B.
Sifat-sifat Distribusi Sampling
Sifat distribusi sampling ini disebut Central Limit Theorem (teorema limit pusat). Sifat inilah
yang mendasari teori inferens. Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut.
Sifat 1
Apabila sampel sampel random dengan n elemen masing-masing diambil dari suatu populasi
normal, yang mempunyai mean = µ variasi  2, distribusi sampling harga mean akan
mempunyai mean sama dengan µ dan varian  2/n atau standar deviasi  / .n. 4Standar
deviasi distribusi sampling harga mean ini dikenal sebagai "Standar Error" (SE).
Sifat 2
Apabila populasi berdistribusi normal, distribusi sampling harga juga akan berdistribusi
normal. Maka, berlaku sifat seperti persamaan di bawah ini (z Score adalah nilai deviasi
relatif antara nilai sampel dan populasi = nilai distribusi normal standar):
𝑍=
X − µ
𝑆𝐸
Sifat 3
Walaupun populasi berdistribusi sembarang, kalau diambil sampel sampel berulang kali
secara random, distribusi harga meannya akan membentuk distribusi normal.
Contoh :
Dipunyai populasi lima orang penderita penyakit "D" yang masa inkubasinya sebagai
berikut.
4
Sutanto Priyo Hastono , ibid hal. 78
µ
No Pasien
Masa Inkubasi (hari)
1
2
2
3
3
6
4
8
5
11
= 6 hari berasal dari 2+3+6+8+11/15
2
= 10,8 hari berasal dari

= 10,8 = 3,29 hari
5
 ( X  )
2
n 1
Diambil sampel dengan besar n = 2.
Dari Populasi di atas kemungkinan sampel yang terjadi 52 = 25 sampe-sampel tersebut
seperti tertera di dalam tabel di bawah ini.
5
Sampel
Pasien yang terpilih
Masa inkubasi
Mean
1
1;1
2;2
2
2
1;2
2;3
2,5
3
1;3
2;6
4
4
1;4
2;8
5
5
1;5
2;11
6,5
6
2;1
3;2
2,5
7
2;2
3;3
3
8
2;3
3;6
4,5
9
2;4
3;8
5,5
10
2;5
3;11
7
11
3;1
6;2
4
12
3;2
6;3
4,5
13
3;3
6;6
6
14
3;4
6;8
7
Sutanto Priyo Hastono , ibid hal. 79
6
15
3;5
6;11
8,5
16
4;1
8;2
5
17
4;2
8;3
5,5
18
4;3
8;6
7
19
4;4
8;8
8
20
4;5
8;11
9,5
21
5;1
11;2
6,5
22
5;2
11;3
7
23
5;3
11;6
8,5
24
5;4
11;8
9,5
25
5;5
11;11
11
Dari distribusi sampling (Data pada kolam 4) didapatkan:
XX 
2 + 2,5 + 4  ...s/d.... .. 11
 6......  
25
varian (SE2) =
(X  X )
n 1
= 5,4 nilai ini tidak lain,
adalah =  2/n, = 10,8/2 = 5,4
SE =
6
5.4 = 2,32 hari.
Sutanto Priyo Hastono , ibid hal. 80
Distribusi sampling harga mean dari kedua puluh lima sampel yang diperoleh dari lima
populasi di atas kalau digambarkan dalam bentuk kurva akan membentuk kurva yang
simetris (kurva normal umum).
sampling, maka sifat-sifat kurva normal dapat diperlakukan.
Contoh Soal
Selama ini diyakini bahwa kadar haemoglobin (Hb) orang sehat (µ) = 12 gr % dan (  ) =
2,5 gr %. Seorang mahasiswa telah mengambil sebanyak 25 orang pengunjung suatu
Puskesmas. Hitunglah probabilitas dari rata-rata Hb sampel tadi.
a)
> 13 gr %
b)
Antara 11 sp 13,5 gr %
7
Penyelesaian
a)
µ = 12 gr %
 = 2,5 gr %
n = 25
SE =
Z=

n

2,5
25
= 0,5 gr %
13  12
 2  tabel = 0,47772
0,5
13 gr % ) = 0,5 - 0,47772 = 0,0228.
b)
Z1 
Z1 
11  12
 2,0  tabel = 0,47772
0,5
13,5  12
 3,0  tabel = 0,4987 +
0,5
0,975
9 p(  gr < X < 13,5 gr %) = 0,9759
A.
7
TEKNIK PENENTUAN JUMLAH SAMPEL
Sutanto Priyo Hastono , ibid hal. 81
8
Untuk menentukan banyaknya sampel yang dapat diambil dari suatu populasi yang
berukuran tertentu digunakan perhitungan sebagai berikut.
1.
Untuk Pengambilan sampel dengan Pengembalian
Pengambilan sampel disebut dengan pengambilan jika anggota yang telah diambil untuk
dijadikan sampel disatukan kembali dengan anggota populasi lainnya sehingga masih ada
kesempatan untuk dipilih kembali. Jika dari populasi berukuran N diambil sampel berukuran
dengan pengembalian maka banyaknya sampel yang mungkin diambil adalah
Nn
Contoh:
9
Untuk populasi berukuran 4 dengan anggota-anggotanya A, B, C, D, dan sampel yang
diambil berukuran 2 maka banyaknya sampel yang mungkin dapat diambil adalah 42 = 16
buah, yaitu:
sampel 1 : AA
sampel 9 : CA
sampel 2 : AB
sampel 10 : CB
sampel 3 : AC
sampel 11 : CC
sampel 4 : AD
sampel 12 : CD
sampel 5 : BA
sampel 13 : DA
sampel 6 : BB
sampel 14 : DB
sampel 7 : BC
sampel 15 : DC
sampel 8 : BD
sampel 16: DD
8
Ir. M. Iqbal Hasan,M.M., Pokok-Pokok Materi Statistik 2(Statistik Inferensif) (Jakarta: PT Bumi Aksana,
2003) hal. 92
9
Ir. M. Iqbal Hasan,M.M., ibid , hal.93
Secara teoretis, populasi berhingga yang dikenali sampling dengan cara pengembalian dapat
dianggap sebagai populasi tak berhingga. Hal itu disebabkan berapapun banyaknya sampel
yang diambil, populasi tidak akan pernah habis.
2.
Untuk Pengambilan sampel Tanpa Pengembalian
Pengambilan sampel disebut tanpa pengembalian jika anggota populasi yang telah diambil
untuk dijadikan sampel tidak disatukan dengan anggota populasi lainnya. Jika dari populasi
berukuran N diambil sampel berukuran n tanpa pengembalian maka banyaknya sampel yang
mungkin dapat diambil adalah
C
N
n

N!
n!( N  n)!
Contoh:
Untuk populasi berukuran 5 dengan anggota-anggotanya A. B, D, E, dan sampel yang
diambil berukuran 2 maka banyaknya sampel yang mungkin dapat diambil adalah
C
5
2

5!
2!(5  2)!
= 10 buah sampel
Ke-10 buah sampel itu adalah
sampel 1 : AA
sampel 6 : BD
sampel 2 : AC
sampel 7 : BE
sampel 3 : AD
sampel 8 : CD
sampel 4 : AE
sampel 9 : CE
sampel 5 : BC
sampel 10 : DE
B.
PENGERTIAN DISTRIBUSI SAMPLING
10
Distribusi sampling adalah distribusi dari besaran-besaran statistik. Seperti rata-rata,
simpangan baku, proporsi (persentase) yang mungkin muncul dari sampel-sampel.
Distribusi dari rata-rata sampel disebut distribusi sampling rata-rata atau distribusi rata-rata
sampel, distribusi dari distribusi dari proporsi sampel disebut distribusi sampling proporsi
atau distribusi proporsi sampel, dan sebagainya.
Contoh:
Jika besar populasi adalah 3 (N = 3), misalkan A, B, C, kemudian diambil sampel berukuran
2 (n = 2)maka akan diperoleh 3 sampel, yaitu AB, BC, AC (sampelnya tanpa pengembalian).
Dari ke-3 sampel tersebut dihitung rata-ratanya, maka didapatkan 3 rata-rata sampel. Tiga
rata-rata sampel tersebut membentuk suatu distribusi, disebut distribusi sampling rata-rata
atau distribusi rata-rata sampel. Demikian pula dengan perhitungan simpangan baku,
varians, proporsi sampel akan membentuk distribusi simpangan baku, distribusi vanans, dan
distribusi proporsi.
C.
11
JENIS-JENIS DISTRIBUSI SAMPLING
Berdasarkan besaran statistik yang digunakan, dikenal beberapa jenis distribusi dan
sampling, yaitu distribusi sampling rata-rata, proporsi, beda dua rata-rata, dan beda dua
proporsi.
1.
Distribusi Sampling Rata-Rata
Distribusi sampling rata-rata atau distribusi rata-rata sampel adalah distribusi dari besaran
rata-rata yang muncul dari sampel-sampel.
Contoh soal:
10
11
Ir. M. Iqbal Hasan,M.M., ibid , hal.94
Ir. M. Iqbal Hasan,M.M., ibid , hal.95
sebuah populasi berukuran 6 yang anggotanya adalah 2, 3, 5, 6, 8, 9 dan sampelnya
berukuran 2. Buatlah distribusi sampling rata-ratanya jika pengambilan sampelnya
dilakukan tanpa pengembalian!
Penyelesaian:
Sampel berukuran 2 (n = 2) dengan rata-ratanya yang dapat dibentuk dari populasi berukuran
6 (N = 6) dengan anggota 2, 3, 5. 6, 8. 9 adalah
sampel 1 : 2;3 dengan rata-rata = 2,5
sampel 2 : 2;5 dengan rata-rata = 3,5
sampel 3 : 2;6 dengan rata-rata = 4
sampel 4 : 2;8 dengan rata-rata = 5
sampel 5 : 2;9 dengan rata-rata = 5,5
sampel 6 : 3;5 dengan rata-rata = 4
sampel 7 : 3;6 dengan rata-rata = 4,5
sampel 8 : 3;8 dengan rata-rata = 5,5
sampel 9 : 3;9 dengan rata-rata = 6
sampel 10 : 5;6 dengan rata-rata = 5,5
sampel 11 : 5;8 dengan rata-rata = 6,5
sampel 12 : 5;9 dengan rata-rata = 7
sampel 13 : 6;8 dengan rata-rata = 7
sampel 14 : 6;9 dengan rata-rata = 7,5
sampel 15 : 8;9 dengan rata-rata = 8,5
Distribusi sampling rata-ratanya diperlihatkan dalam tabel berikut ini.
TABEL 3.3 DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA
X
ƒ
Probabilitas
2,5
1
0,07
3,5
1
0,07
4
2
0,13
4,5
1
0,07
5
1
0,07
5,5
3
0,20
6
1
0,07
6,5
1
0,07
7
2
0,13
7,5
1
0,07
8,5
1
0,07
Jumlah
15
1,00
Pada distribusi sampling rata-rata berlaku hal-hal berikut ini.
a.
Pemilihan sampel dari populasi terbatas
Bila populasi terbatas yang berukuran N dan berdistribusi normal dengan rata-rata µ dan
simpangan baku  , rata-rata sampel X yang didasarkan pada sampel random berukuran n
dan dipilih dari populasi di atas, akan memiliki distribusi normal dengan rata-rata dan
simpangan baku seperti ini.
1)
Untuk pengambilan sampel tanpa pengembalian atau
n
> 5%
N
X = µ
X 
2)
12

n
N n
N 1
Untuk pengambilan sampel dengan pengembalian atau
n
≤ 5%
N
X = µ
X 

n
Contoh soal:
Toko UNDUR UNDUR memiliki 5 karyawan, yaitu A, B, C, D E dengan upah per jam
(nbaan napiah) 2, 3, 3, 4, 5. Jika upah yang diperuleh itu dianggap sebagai populasi,
tentukan:
12
Ir. M. Iqbal Hasan,M.M., ibid , hal.96
a)
rata-rata sampel dari 2 unsur (upah dari dua karyawan),
b)
rata-rata dari rata-rata sampel,
c)
simpangan baku dari rata-rata sampel!
Pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian
Penyelesaian:
Banyaknya sampel yang mungkin adalah
C
5
2

5!
2!(5  2)!
= 10 buah
Ke-10 buah sampel itu ialah:
1. 2;3
6. 3;4
2. 2;3
7. 3,5
3. 2;4
8. 3;4
4. 2;5
9. 3;5
5. 3;3
10. 4;5
a.
Rata-rata sampelnya ialah:
sampel 1 = 2,5
sampel 6 = 3,5
sampel 2 = 2.5
sampel 7 = 4
sampel 3 = 3
sampel 8 = 3,5
sampel 4 = 3,5
sampel 9 = 4
sampel 5 = 3
sampel 10 = 4,5
b.

13
13
Rata-rata dari rata-rata sampel adalah
233 45
5
Ir. M. Iqbal Hasan,M.M., ibid , hal.97
= 3,4
 X = µ = 3,4
c.
Simpangan baku dari rata-rata sampel

(2  3,4) 2  (3  3,4) 2  (3  3,4) 2  (4  3,4) 2  (5  3,4) 2
5
= 1,02
X 


n
N n
N 1
1,02 5  2
 0,62
2 5 1
b.
Untuk pemilihan sampel dari populasi yang tidak terbatas
Bila populasi memiliki ukuran yang tidak berhingga dan secara normal dengan rata-rata u
dan simpangan baku  , maka rata-rata sampel X yang didasarkan pada sampel random
yang berukuran n dan yang dipilih dengan pengembalian atau tanpa pengembalian dari
populasi tersebut akan memiliki distribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku:
 X = µ dan  X 
c.

n
Daftar distribusi normal untuk distribusi sampling rata-rata
Penggunaan daftar distribusi normal untuk distribusi sampling rata-rata, dapat digunakan
rumus:
Z
X 
X
14
1)
Z
2)
Untuk populasi terbatas atau
Z
atau

n
X 
X
n
> 5%, berlaku :
N
X 
N 
N 1
Untuk populasi tidak terbatas atau
Z
X 
X
atau
Z
n
≤ 5%, berlaku :
N
X 

n
Pada umumnya, normalitas dari distribusi sampling rata-rata disebut teori limit sentral dan
dinyatakan sebagai berikut.
1) Jika populasi cukup besar dan berdistribusi secara normal maka distribusi sampling rataratanya akan normal.
2) Jika tidak normal maka distribusi samping rata-ratanya akan mendekati normal, apabila
jumlah sampel cukup besar, biasanya 30 atau lebih (n ≥ 30).
3) Distribusi normal dan rata-rata sampel memiliki rata-rata yang sama dengan rata-rata
harapan E( X ) dan simpangan baku  X , Nilai-nilai itu dapat dihitung dan rata-rata
populasi (µ) dan simpangan baku pagulus (  ).
Contoh soal:
Upah per jam para pekeria PT GEBYAR memiliki tingkat upah rata-rata Rp500,00 per jam
dan simpangan baku Rp60,00. Berapa probabilitas bahwa upah rata-rata 50 orang pekeria
yang merupakan sampel random akan berada di antara Rp510,00 dan Rp520,00?
Penyelesaian:
14
Ir. M. Iqbal Hasan,M.M., ibid , hal.98
Jika ukuran populasi tidak diketahui maka dianggap sebagai populasi tidak terbatas.
µ = 500,  = Rp60; n = 50; X = 510 dan 520
Dengan demikian:

X 

n
60
Z
50
 8,485
X 
X
Untuk X = 510 maka Z =
510  500
 1,18
8,485
Untuk X = 520 maka Z =
520  500
 2,36
8,485
Didapat: P (1.18 < Z < 2.36)
P (1.18 < Z < 2.36) = P (0 < Z < 2,36) - P (0 < Z < 1,18)
= 0,4909 - 0,3810
= 0,1099
Jadi, probabilitas bahwa upah rata-rata dan sampel berada di antara Rp510,00 dan Rp520,00
adalah 0,1099 atau 10,99% atau 11%.
2.
Distribusi sampling Proporsi
Proporsi dari populasi dinyatakan dengan P =
dengan P =
X
dan proporsi untuk sampel dinyatakan
N
X
N
Distribusi sampling proporsi adalah distribusi dan proporsi (persentase) yang diperoleh dari
semua sampel sama besar yang mungkin dari satu populasi.
Distribusi sampling proporsi juga memiliki arti yang penting seperti halnya distribusi
sampling rata-rata. Distribusi sampling proporsi dapat digunakan untuk mengetahui
persentase atau perbandingan antara dua hal yang berkomplemen (peristiwa binomial),
seperti perokok dan bukan perokok, persentase pemilih dan bukan pemilih di suatu pemilu,
dan perbandingan antara pemakai dan bukan pemakai hasil produksi tertentu.
Contoh:
Sebuah populasi yang beranggotakan 6 orang, 3 di antaranya perokok dan yang lainnya
bukan perokok. Apabila diambil sampel yang beranggotakan 3 orang, proporsi atau
banyaknya sampel untuk ke-3 anggota sampel perokok, 2 perokok dan 1 bukan perokok , 1
perokok dan 2 bukan perokok dan ke-3 nya bukan dapat diketahui (pemilihan sampel tanpa
pengembalian), misalnya, anggota populasi adalah A, B, C untuk perokok dan K L M untuk
bukaa perokok. Banyaknya sampel yang dapat diambil adalah
C
6
3

6!
= 20 buah
3!(6  3)!
Ke-20 buah sampel itu ialah
1. ABC
6. ACL
11. BCK
16. BLM
2. ABK
7. ACM
12. BCL
17. CKL
3. ABL
8. AKL
13. BCM
18. CKM
4. ABM
9. AKM
14. BKL
19. CLM
5. ACK
10. ALM
15. BKM
20. KLM
Distribusi sampling proporsinya (X = perokok, n = 3) adalah
TABEL 3.4 DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI
(X)
X
Proporsi Sampel  
N
ƒ
Prob.
X = 3 (3(p), 0 (bp))
1
1
0,05
X = 2 (2(p), 1 (bp))
0,67
9
0,45
X = 1 (1(p), 2 (bp))
0,33
9
0,45
X = 0 (0(p), 3 (bp))
0
1
0,05
20
1,00
Sampel yang mungkin
Jumlah
Catatan:
-
P = perokok dan bp = bukan perokok
-
3(p), 0(bp) = ABC
2(p), 1(bp) = ABK, ABL, ABM, ACK, ACL, ACM, BCK, BCL, BCM
i (p), 2(bp) = AKL, AKM, ALM, BKL, BKM, BLM, CKL CKM, CLM
0(p), 3(bp) = KLM
Pada distribusi sampling proporsi, berlaku hal-hal sebagai berikut.
1) Untuk pengambilan sampel dengan pengembalian atau jika ukuran populasi besar
N
dibandingkan dengan ukuran sampel, yaitu   ≤ 5%, memiliki rata-rata dan
n
simpangan baku:
p  p
p 
P(1  P)

n
PQ
n
Keterangan:
P = proporsi kejadian sukses
Q = proporsi kejadian gagal (l - P)
2)
Untuk pengambilan sampel tanpa pengembalian atau jika ukuran populasi kecil
N
dibandingkan dengan ukuran sampel, yaitu   > 5%, memiliki rata-rata dan simpangan
n
baku:
p  p
p 
P(1  P)

n
p 
PQ
n
N n
N 1
N n
N 1
Contoh soal:
Sebuah toko memiliki 6 karyawan, misalkan A, B, C untuk yang senang membaca dan X,
Y, Z untuk yang tidak senang membaca. Jika dari 6 karyawan tersebut diambil sampel yang
beranggotakan 4 karyawan (pengambilan sampel tanpa pengembalian), tentukan:
a.
banyaknya sampel yang mungkin diambil,
b.
distribusi sampling proporsinya.
c.
rata-rata dan simpangan baku sampling proporsinya!
Penyelesaian :
a.
Banyaknya sampel yang mungkin adalah:
C
6
4
6!
= 15 buah sampel
4!(6  4)!

Ke-15 buah sampel itu ialah:
1)
1 senang membaca dan 3 tidak :
C
2)
C
3
3
= 3 X 1 = 3, yaitu: AXYZ BXYZ CXYZ
C
3
2
= 3 X 3 = 9 yaitu: ABXY, ABXZ, ABYZ, ACXY, ACXZ, ACYZ, BCXZ, BCYZ
3 senang membaca dan 1 tidak :
X
b.
X
2 senang membaca dan 2 tidak :
X
3)
3
1
C
3
1
= 1 x 3 = 3, yaitu: ABCX, ABCY, ABCZ
Jika X = senang membaca dan n = jumlah sampel maka distribusi sampling
proporsinya adalah
TABEL 3.5 DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI
(X)
X
Proporsi Sampel  
N
ƒ
Prob.
1
0,25
3
0,2
2
0,50
9
0,6
3
0,25
3
0,2
15
1,0
Sampel yang mungkin
Jumlah
c.
Proporsi populasi untuk peristiwa sukses (senang membaca) adalah
P=
Jadi :
µp = P
= 0,5
1
=0,5
2
p 
p 
P(1  P )

n
N n
N 1
0,51  0,5
64
6 1
4
 p  0,158
3) Daftar distribusi normal untuk distribusi sampling proporsi dapat ditentukan sebagai
berikut.
a)
Z
b)
Z
Jika n besar maka nilai Z adalah
pP
p
Jika n sangat kecil maka nilai Z adalah
p
1
P
2n
p
Keterangan :
1
= faktor koreksi kontinuitas
2n
Contoh soal:
Toko mainan anak BONEKA bermaksud mengadakan pertunjukan sulap secara tetap
seminggu sekali atau sebulan sekali. Pimpinan toko memperkirakan bahwa pengunjung akan
mencapai 40% dari seluruh Pengunjung toko dalam interval waktu yang sama. Jika dari hasil
sampel, diketahui probabilitas proporsi yang mengikuti acara sulap itu hanya 15% atau lebih
di bawah rata-rata populasi maka acara itu diadakan sebulan sekali. Untuk itu, setiap
pengunjung diberi kuesioner dan dari jawabannya diambil 500 sebagai sampel. Hasil sampel
menunjukkan 175 pengunjung mengikuti acara tersebut. Menurut pendapat anda, sebaiknya
acara sulap itu diadakan seminggu sekali atau sebulan sekali?
Penyelesaian:
P = 40% = 0,4
n = 500
p=
175
 0,35
500
Karena sampel kecil maka digunakan faktor koreksi.
Z

p
1
P
2n
p
1
 0,4
1.000
 2,55
(0,4)(0,6)
600
0,35 
Didapatkan P (-2,55 < Z < 0)
P (-2,55 < Z < 0) = P (-2,55 < Z < 2,55)
= 0,4946
Jadi, probabilitas proporsi sampel yang mengikuti acara tersebut adalah 0,4946 atau 49,46%
yang berarti lebih dari 15% di bawah rata-rata sampel. Dengan demikian, acara pertunjukkan
sulap tersebut diadakan sebulan sekali.
3.
Distribusi Sampling yang Lain
a.
Distribusi sampling beda dua rata-rata
Distribusi sampling beda dua rata-rata adalah distribusi dari perbedaan dua besaran rata-rata
yang muncul dari sampel-sampel dua populasi.
Misalkan, dua populasi normal N1, N2, memiliki rata-rata masing µ1 dan µ2 dan simpangan
baku masing-masing  2 , dan  2 , Dari kedua populasi N1 dan N2, tersebut, diambil sampel
random, yaitu n1 dan n2, dengan rata-rata masing-masing X 1 dan X 2 , lalu dari kedua ratarata itu dihitung semua bedanya. Dari semua beda rata-rata yang diperoleh akan membentuk
suatu distribusi, yaitu distribusi sampling beda rata-rata.
Pada distribusi sampling beda dua rata-rata, untuk N1 dan N2, cukup besar berlaku hal-hal
sebagai berikut.
1)
X
Rata rata
1X 2
 1   2
2)
simpangan baku:
X
 
1X 2
3)

2
2
1
2
n1
n2
Untuk n1 dan n2, dengan n1 dan n2 > 30, distribusi sampling rata-rata akan mendekati
distribusi nomal. dengan variabel tandom standar yang beda rumus Z-nya:
Z
X
1

 X 2  1   2 
X
1X 2
Contoh soal:
Misalkan, rata-rata pendapatan manajer dan karyawan biasa per hari, masing-masing adalah
Rp50.000,00 dengan simpangan baku Rp15.000,00 dan Rp12.000,00 dengan simpangan
baku Rp1.000,00. Jika diambil sampel random manajer sebanyak 40 orang dan karyawan
biasa sebanyak 150 orang.
tentukan :
a)
beda rata-rata pendapatan sampel
b)
simpangan baku rata-rata pendapatan sampel.
c)
probabilitas beda rata-rata pendapatan manajer dan karyawan biasa lebih dari
Rp35.000.00!
Penyelesaian:
µ1 = 50.000
µ2 = 12.000
 1 = 15.000
 2 = 1.000
n1 = 40
n2 = 15
X
a.
1X 2
 1   2
= 50.000 12.000
= 38.000
Z
b.

X
1

 X 2  1   2 
X
1X 2
35.000  38.000
2.373,11
= -1,26
P( X 1 - X 2 , > 35.000) = P(Z > 1.26)
= 0,5 + 0,3962
= 0,8962
b.
Distribusi sampling beda dua proporsi
Distribusi sampling beda dua proporsi adalah distribusi dari perbedaan dua besaran proporsi
yang muncul dari sampel dua populasi. Misalkan, terdapat dua populasi N1, N2, (2 populasi
binomial). kemudian diambil sampel random, yaitu n1 dan n2, dengan P1 dan P2, maka beda
antara kedua sampel proporsi (P1 - P2) akan membentuk suatu distribusi, yaitu distribusi
sampling beda proporsi.
Pada distribusi sampling beda dua proporsi berlaku hal-hal berikut.
1)
Rata-rata:
 p  p  p1  p 2
1
2
2)
Simpangan baku:
 p p 
1
2
p1 (1  p1 ) p2 (1  p2 )

n1
n2
Jika n1 dan n2 (n1, n2 ≥ 30) cukup besar, distribusi sampling beda proporsi akan
3)
mendekat distribusi normal, dengan variabel random standar yang rumus Z-nya:
Z
 p1  p 2    p1  p 2 
 p p
1
2
Catatan:
P1 - P2 =
X1 X 2

n1 n2
Contoh soal:
Sebanyak 35% dari pelamar kerja diterima bekerja di Bank UNGGUL. Mereka tahun
sebelumnya pernah melamar, tetapi tidak diterima sebanyak 30% dari pelamar kerja yang
belum pernah melamar di tahun sebelumnya, tahun ini diterima di bank tersebut. Apabila
diambil sampel random sebanyak 250 pelamar, baik yang belum pernah melamar maupun
yang pernah melamar, berapa probabilitas bahwa beda proporsi yang pernah melamar dan
akhirnya diterima tahun ini dengan yang belum pernah melamar yang juga diterima tahun
ini adalah kurang dari 2%?
Penyelesaian:
P1 = 30% = 0,35
P2 = 35% = 0,3
n1 = 250
n2 = 250
P1 - P2 = 2% = 0,02
Z
 p1  p 2    p1  p 2 
 p p
1

2
0,02  (0,35  0,3)
(0,35)(0,65) (0,3)(0,7)

250
250
= -0,71
Didapat: P(Z < -0,71) = 0,5 - 0,2612
= 0,2388 atau 23,88%
Dasar – dasar di dalam statistik inferens ini adalah “distribusi sampling”. Dengan demikian sebelum
membicarakan materi estimasi dan uji hipotesis perlu memahami apa yang disebut distribusi
sampling.
Distribusi sampling adalah distribusi dari mean-mean sampel yang diambil secara berulang kali dai
suatu populasi. Untuk itu perlu kita ketahui suatu ketentuan yang dapat membedakan beberapa
ukuran antara sampel dan populasi.
Ukuran-ukuran untuk sampel adalah sebagai berikut.15
Nilai (karakteristik )
Mean (rata-rata hitung)
Standar deviasi
Jumlah Unit
Sampel
Statistik
X
s
n
Populasi
Parameter
µ
σ
ɴ
SIFAT – SIFAT DISTRIBUSI SAMPLING
Sifat distribusi sampling ini disebut Central Limit Theorem (teorema limit pusat). Sifat inilah yang
mendasari teori inferens. Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut.
Sifat 1
Apabila sampel-sampel random dengan n elemen masing-masing diambil dari suatu
populasi normal, yang mempunyai mean = µ varian σ2 , distribusi sampling harga mean akan
mempunyai mean sama dengan µ dan varian σ2 /n atau standar deviasi σ / √.n. Standar deviasi
distribusi sampling harga mean ini dikenal sebagai “Standar Error” (SE).
Sifat 2
Apabila populasi berdistribusi normal, distribusi sampling harga mean juga akan
berdistribusi normal. Maka berlaku sifat seperti persamaan di bawah ini (z score adalah nilai deviasi
relatif antara nilai sampel dan populasi = nilai distribusi normal standar):
Z= 𝜒−𝜇
𝑆𝐸
Sifat 3
Walaupun populasi berdistribusi sembarang, kalau diambil sampel-sampel berulang kali
secara random, distribusi harga meannya akan membentuk distribusi normal. 16
15
16
Sutanto Priyo Hastono, Statistik Kesehatan, Rajawali Pers, Jakarta, 2013, Hlm. 75
Ibid. Hlm. 77