distribusi kontinu - FMIPA Personal Blogs

DISTRIBUSI KONTINU
•
•
•
Uniform
Normal
Gamma & Eksponensial
MA3181 Teori Peluang
3 November 2014
Utriweni Mukhaiyar
2
Distribusi Uniform
• Distribusi kontinu yang paling sederhana
• Notasi: X ~ U (a,b)
• f.k.p:
f(x)
 1
, a xb

f(x) =  b  a
0
, x lainnya
Rataan :
Variansi :
a
b
ba
2
(b - a) 2
Var ( X ) 
12
E[ X ] =
3
Distribusi Normal (Gauss)
Karl Friedrich Gauss
1777-1855
• Penting dipelajari
• Notasi: X ~ N ( , 2)
- Banyak digunakan
- Aproksimasi Binomial
- Teorema limit pusat
rataan
• f.k.p:
1
f ( x) 
e
 2
 = 3.14159…
1  x 
 2   
2
, - < x < 
Simpangan baku
/standar deviasi
e = 2.71828…
• N(0,1) disebut normal standar (baku)
4
Kurva Normal
Modus tunggal
Titik belok
Titik belok
Total luas
daerah di
bawah kurva =1
Simetri
terhadap
x=
http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/normal_curve.gif
Peluang X di
sekitar 1, 2,
dan 3
5
Pengaruh  dan 
Kurva normal
dengan 
yang sama
1 < 2 < 3
1
2
Kurva normal
dengan  yang
sama
3
 parameter
skala

1 < 2 < 3
 parameter
lokasi
1
2
3
6
Luas di bawah kurva Normal
P(  X  )  1
X ~ N(,2)

P(a < X < b)
Z=
X ~ N(,2)
P (z1 < Z < z2)
X -m
s
Z ~ N(0,1)
0
z1
a
z2
b
7
Menghitung Peluang Normal
Sulit !!!
Harus dihitung
secara numerik
2.
1. Cara langsung
b
1
P ( a  X  b)  
e
2
a
1  x 
 2   
2
dx
Dengan tabel normal standar P (Z  z)
Z
X 

N(0,1)
8
Arti Tabel Normal
• Misal Z ~ N(0,1) dan z  R, -3,4  z  3,4
z
P( Z  z ) 


P(Z  z )
1
2
e
 x2 / 2
dx
P(Z  z) DITABELKAN
untuk -3.4  z  3.4
9
Membaca Tabel Normal
P(Z  1,24 )
10
Hitung P (0  Z  1,24 )
P(0  Z  1,24 ) = P(Z  1,24 ) - P(Z < 0 )
= 0,8925 – 0,5 = 0,3925
P(Z  0 )
P(Z  1,24 )
11
Contoh 1
Suatu perusahaan listrik
menghasilkan bola lampu yang
umurnya berdistribusi normal
dengan rataan 800 jam dan
standar deviasi 40 jam.
http://ismailfahmi.org/wp/wpcontent/uploads/2007/07/light-bulb.jpg
Hitunglah peluang suatu bola lampu
dapat menyala antara 778 dan 834 jam
http://www.nataliedee.com/101906/nightshift-atthe-factory-factory.jpg
12
Jawab
Misal X : umur bola lampu
X ~ N (800,402)
X -m
Dengan transformasi Z =
:
s
834  800 
 778  800
P(778  X  834)  P 
Z

40
40


 P (0,55  Z  0,85)
 P (Z  0,85)  P (Z  0,55)
 0,8023  0, 2912
 0,5111
13
Contoh 2
Suatu pabrik dapat memproduksi
voltmeter dengan kemampuan
pengukuran tegangan, rataan 40 volt
dan standar deviasi 2 volt. Misalkan
tegangan tersebut berdistribusi normal.
Dari 1000 voltmeter yang
diproduksi, berapa voltmeter
yang tegangannya melebihi
43 volt?
14
Jawab
Misal X : tegangan voltmeter
X ~ N (40, 4)
X -m
Z
=
Dengan transformasi
s
43  40 

P( X  43)  P  Z 

2


 P ( Z  1,5)
 1  P ( Z  1,5)
 1  0,9332
 0, 0668
Banyaknya voltmeter yang
tegangannya lebih dari 43
volt adalah
1000 unit x 0,0668
 66 unit
15
Aproksimasi Binomial dengan Normal
Jika n   maka B(n,p)  N (,2)
dimana  = np dan  2=np(1-p)
np(1  p)
B (6;0,2)
B (15;0,2)
Semakin besar n, binomial semakin dekat
ke normal
16
Contoh 3
Misal peluang seorang pasien
sembuh dari suatu penyakit
demam berdarah adalah 0,4.
http://www.bratachem.com/abate/imag
es/demam.jpg
Bila diketahui ada 100 pasien demam
berdarah, berapa peluangnya bahwa yang
sembuh
a. tepat 30 orang
b. kurang dari 30 orang
17
Jawab
Misal X : banyaknya pasien yang
sembuh
X ~ B(n,p) , n = 100 ; p = 0,4
Rataan:  = np = 100 x 0,4 = 40
St.Dev:   np(1  p)  40  0, 6  4,899
a. Peluang bahwa
banyaknya pasien
yang sembuh tepat
30 orang adalah:
P( X  30)  P(29,5  X  30,5)
30,5  40 
 29,5  40
 P
Z
4,899 
 4,899
 P (2,14  Z  1,94)
 P (Z  1,94)  P (Z  2,14)
 0, 0262  0, 0162
 0, 01
18
Jawaban lanjutan
b. Peluang bahwa banyaknya
pasien yang sembuh akan
kurang dari 30 adalah:
29,5  40 

P( X  30)  P  Z 

4,899


 P ( Z  2,14)
 0, 0162
19
Distribusi Gamma
• Observasi kontinu dan selalu non-negatif sering dianggap
mengikuti distribusi gamma dengan parameter >0 dan β>0.
• Notasi X ~ Gamma(,)
• f.k.p
1
𝛼−1 −𝑥 𝛽
𝑥
𝑒
,0 < 𝑥 < ∞
𝛼
𝑓(𝑥) = 𝛤(𝛼)𝛽
0
, 𝑥 lainnya
𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0
• () disebut fungsi gamma

( )   y  1e  y dy
0
dimana (1) = 1 dan () = ( -1)!, jika  > 1
• E[X] =  dan Var(X) = 2
• Digunakan untuk memodelkan waktu tunggu
• Keluarga Gamma(,): distribusi eksponensial, khi kuadrat,
Weibull, dan Erlang
(n)  (n  1)!
20
Bukti
( )  e x
x
 1 
0

  e  x (  1)x  2dx
0

 (  1) e  x x  2dx  (  1)(  1)
0
• Untuk =1,

(1)   e x dx  1
0
sehingga jika kita ambil >1, tulis n= didapat persamaan
rekursif:
(n)  (n  1)!
21
Bukti
E[ X ]  

0

x
1
 1 
x
x
e dx

( ) 

1  x  
x

e dx , misal y 



( ) 0   


x
1   y

y e dy

( ) 0
(  1)

 
( )
• Dengan cara yang sama kita juga bisa menentukan E[X2]
, sehingga kita bisa mendapatkan Var(X) = 2
Page 22
Contoh
• Radioactive particles passing by a counter follow a
poisson process with an average of 4 particles per
millisecond. What is the probability that up to 2
millisecond will elapse until 3 particles have passed the
counter?
• Analisis Kasus:
• Misalkan X : waktu yang diperlukan untuk suatu partikel
melewati counter
• X ~ Gamma( , )
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu
Jawab
Page 23
24
Distribusi Eksponensial
• Keluarga distribusi gamma
(1, 1/)
• Notasi: X ~ Exp ()
• f.k.p
 e   x
f ( x)  
0
,0  x  
, x lainnya
• E[X] = 1/ 
• Var(X) = 1/ 2
• Digunakan untuk memodelkan waktu antar kedatangan
25
Contoh 4
Misalkan lama pembicaraan telepon
dapat dimodelkan oleh distribusi
eksponensial, dengan rataan 10
menit/orang.
http://www.beritajakarta.com/images/foto/antri-pasar-muraha.jpg&imgrefurl=http://pdpjaktim.blogspot.com/2007/09/
Bila seseorang tiba-tiba
mendahului anda di suatu
telepon umum, carilah
peluangnya bahwa anda harus
menunggu:
a. lebih dari 10 menit
b. antara 10 sampai 20 menit
26
Jawab
Misalkan X : lama pembicaraan telepon
Dik. X ~ exp(1/10) sehingga
f ( x)  101 e x /10
Tapi lama pembicaraan setara dengan waktu
menunggu .
Jadi,
a. P( X  10)  1  P( X  10)
10
 1   101 e x /10 dx  1  0,368  0, 632
0
20
b.
P(10  X  20) 

10
1
10
e x /10 dx  0, 233
Page 27
Distribusi Chi-Square
• X ~ χ2(r)
• Kasus distribusi Gamma dengan =r/2 dan β=2,
r
1
−1
2 𝑒 −𝑥
𝑥
𝑓(𝑥) = 𝛤(r/2)2𝑟/2
0
2
,0 < 𝑥 < ∞
, 𝑥 lainnya
• Dengan f.p.m untuk t < ½,
𝑀 𝑡 = 1 − 2𝑡
•  =  = r
• σ2 = 2 = 2r
−
𝑟
2
Distribusi - t
• Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak
khi-kuadrat dengan derajat kebebasan . Bila Z dan V
bebas, maka distribusi peubah acak T, bila
Z
T
V 
diberikan oleh,
   1 2  t 2 
h t  
1  

  2   
  1 2
,  t  
Ini dikenal dengan nama distribusi-t dengan derajat
kebebasan .
Distribusi F
• Misalkan U dan V dua peubah acak bebas masing-
masing berdistribusi khi kuadrat dengan derajat
kebebasan 1 dan 2. Maka distribusi peubah acak,
U 1
F
V 2
• Diberikan oleh,
 1  2  2
h f  
 1 2   2 2
1
1  1
2 
1 2
f 1
2 1
1 2 
2 f 2 
2
,
0f 
Ini dikenal dengan nama distribusi-F dengan derajat
kebebasan 1 dan 2.
30
Referensi
 Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu
Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4,
Bandung: Penerbit ITB, 1995.
 Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and
Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall.
 Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.