Medan Listrik Hukum Gauss

Medan Listrik DanHukumGauss.
2-1.
Medan Listrik
Medan listrikseringjuga di pakai istilah kuat medan listrik atau intensitas medan listrik. Kuat
medan listrik di suatu titik adalah gaya yang di derita oleh suatu muatan percobaan yang di
letakkan di titik itu dibagi oleh besar muatan percobaan. Gaya yang di derita oleh muatan-muatan
positif percobaan q di berbagai titik akibatmuatan Q dapat dilihat dalam Gambar 2-1.
r
+Q
.
+Q
b
>
Fb
,c
GamlJar 2-1
23
Kuat medan listrik tersebut adalah :
E=-F
q
-
=~~!r
41tEor
q
=~
~r
41tEor
(2-1)
Persamaan(2-1) adalahpersamaanmedan listrik yang di timbulkanoleh satu muatan titik. Jika
di dalam ruang terdapat n muatan titik. maka medan listrikdi suatu titik di dalam ruang itu
adalah :
n
E= El + E2+
+ En= LEi
;=1
(2-2)
di sini
adalah medan listrik yang di timbulkan olch muaLankc i.
Jika muatannya terbagi sccara kontinyu. maka mcdan listrik yang ditimbulkan olch elemen
muatan dQ adalah :
dE=~
dQ"
-r
(2-3)
41tEo r r
1
dQ "
J-rr
41tEo r
adalah besar medan listrik di titik itu.
d
an
2-2.
E=-
(2- 4)
Gerak Partikel Bermuatan Dalam Medan Listrik.
Partikelbermuatanq dalam medan listrik E mengalamigaya F scperti dinyatakandalam persamaan (2-1).
F=qE
(2-1)
Arah gaya F di sini di tentukan oleh muatan q. Jika muaLan q positi C,gaya F sejajar dengan medan
listrik E dan sebaliknya jika negatiC. arah gaya F akan bcrlawanan.
24
Menurut hukum Newton, partikel bermuatan dalam medan listrik tersebut akan memperoleh
percepatan sebesar
:
F qE
a=-=m m
2-3.
(2-5)
Hukum Gauss.
Sebelum membicarakan hukum Gauss ini, lebih dahulu kita masukkan pengertian Fluks
Iistrik. Dalam Gambar 2-2, Q menyatakanjumlah aljabar muatan-muatan (positif dan negatif)
yang terdistribusi ke seluruh ruang. Garis putus-putus menunjukkan suatu pcrmukaan S dalam
ruang yang melingkupi seluruh muatan Q. Auks listrik yang menembus elemen luas ds di defini-
sikan sebagai:
dcp=E.ds(N.m2/C)
Auks listrik total yang menembus permukaan S keluar adalah :
(2-6)
disini
ds
=~d s adalah clemen
vektor luas di P dan simbol
rfJ. menyatakan integral pada
seluruh permukaan tertutup S. Auks listrik yang menembus suatu bidang tepat sarna dengan
jumlah garis gaya yang melalui permukaanbidang itu, makajumlah garis gaya N adalah :
N=<I>
(2-7)
E
An
Gambar 2-2
Hubungan antara Auks listrik yang menembus suatu pcrmukaan tertutup dcngan muatan Q
di dalarnnya, di nyatakan olch hukum Gauss sebagai :
(2-8)
25
Dengan demikian, Auks lisu-ik total yang kcluar suatu permukaan tertutup dalam ruang
sebandingdenganmuatanlistrik ncuodi dalamnya.
Contoh Penyelesaian 80al
2-1.
Hitunglahrnedan lisu-ikdi titik A dan B dalam Gambar 2-3
x
Gambar 2-3
Jawab :
(a) Medan lisu-ikdi A akibat muatanQ. dan Q2adalatlEA1dan EA2'bcsarnya sarnadengan :
9
2
Thl0-6c
E At = 10.,10Nm IC ) ___HO
\7"
to.rom)2'
-6
9
2 2. Thl0 C
EA2
=(9x10Nm
Medan lisu-ik total di A bcsarnya
IC)
:
o
=I
6
2Sxl0 N/C
6
'tA.__'" = 5.0x1O N/C
EA = {(EAJ2~+1EA7
6
EAx = EAt COO
30 = I,IxlO r«:
EAy = EA2
Maka
- EAt
!om300 = 4.4x]({'N/C
6
6
EA = v'(1, I)Z + {4,4)T x 10 N,C = 4,5 x 10 NIC
44
0
Arah E Atcrhadap, surnbu x adalah: Q =arc.tg.fr. =76
26
(b) Medan listrik di B akibat Qt dan Q2bcsarnya sarna
9
EDt
2 2. 50x10-6c
=ED2 =~1O Nm!:.}
HI A{\~\2
6N
=2,8x 10 C
Dari gambar 2-3, sudut antara EDdan sumbu x adalah e, maka :
6N
ED =EDtCa;9+ED2Ca;9
(5,6x 10 C.)Q1\8
=
= (5,6x 106~) ~:~
= 3,6x 106~
Arah EDdengan sumbu x adalah scarah karcna EIIIdan EII2Simclri.
2-2.
Scbuah dndn lipis mempanyaijari-jari a dan mualan Q, lcrdislribusisccara homogen.
Tentukan medan listrik di lilik P pada sumbunya, pada jarak x dari pusal Gambar 2-4.
x
----9
---r
dEx
= dE Cas e
Gambar 2-4
Jawab:
Akibat clemcn dl yang mualannya dQ, bcsar mcdan lislrik di
P adalatl
:
1 dQ
dE = 41tEo
Qdl
dQ =21ta '
7
disini
maka
karcna simClri, maka dalam arah sumbu y mcdan lislriknya nol, maka :
27
disini,
X
ilia
2
2.
=r,dlnr =(x +a )lfJ.,
maka di pcrolch
Untuk x » a, maka :
E=~Q
41t£oX
-,:
2-3.
Tentukan besar medan liSLrikdi lilik P pada jarak Xdari kawal bcrmuatan yang sangat
panjang. Disini dianggap jarak x jauh Ichih kecil dibandingkan dengan panjang kawat dan A.
adalah mualan per saluan panjang (Gambar 2-5).
dEy
z
Gambar 2-5
Jawab :
Elcmen kawat sepanjang dy, mcmpunyai muatan dQ=A.dy, mcnimbulkan mcdan liSLrikdi P
sebesar :
_ 1
Ady
- 41t£()(x2+ /)J/l
Komponcn-komponcn vcklor dE adalah dE. = dE ens a dan dEy = dE sin a.
Komponen vcklor mcdan lisLrikEpada sumbu y bcsarnya: Ey = f dE sin e = 0
vcktor mcdan lisLrik E pada sumbu x bcsarnya : E. = f
maka:
E ~f
co;8dy
41tEo ,"(2+ /)
disini y = Xlg e alau dy = X sin 2 e da= x2 da/cos 2 a
Komponen
28
dEcos e = 0
dan
X
2
r=-alaur
ca;e
maka
41t£o x
atau
.2m:0
2
2
.2
e.
"'2
E =~
E=~
2
=x +y =x /ca;
f
cel>
"'2
11/2
e de =-~
41tEo
(<;in
e)
-11/2
x
2-4.
Suatu bidang bcrmuatanlistrik secara uniform,berbemuk bujur sangkardengan sisi L,
mempunyaimuatanpersatuanluas s. Hilunglahmedanlislrik di lilik P padajarak Z di atas pusat
bidang, di sini Z « L (Gambar2-6).
z
"I
+
+
+
+
x
Gambar 2-6
Jawab:
Kita ambil clemen luas dA= Ldy, mempunyaimuatandQ, maka (J =dQ/Ldy alau dQ= (J L dy.
Setiap clemen luas dA dapat juga dianggap scbagai mualan garis dcngan muawn per satuan
panjang
29
Seperti dalam contoh 2 - 3, karena Z < < L maka,
dE - 1
A.
_ 1
0 dy
- 21tEori2 + /)1/2.- 2m:o (1.2+ y)I/2.
Karena simetri komponen mendatar medan lislrik saling menghilangkan, maka hanya komponen
kearah sumbu Z yang ada,
Z
=dE .~
(I. + y)I/2.
dEz=dE~e
Medan listrik total E besamya
y =L/2
1./2
E-JdE__oZ
-
Z - 21tEo
f
dy
_
w (22+ /)1/2.-
oZ
It-1y
21t E" (z g T) Iy = -L/2
Untuk Z < < L, dapat di anggap balas-balas y adalah y =:t LI2 -> :t
maka
E -
0
-~ 1t~n
~'
(1t + 1t _
0
)
L-2£
2
- di bandingkan dengan Z,
0
2- 5. Tentukan medan listrik di amara dua pclal paralel yang luas dan bermuatan listrik.
Muatan listrikdalam pclat di anggap uniformdcngankcrapalanmuatan masing-masing+ 0 dan
- 0, terpisahpad;ljarakd. Jarakd di anggapjauh lebih kedl di bandingkanukuranpclat (Gambar
2-7).
+
E
+(
.
)
I:
E
,- I E = E+ + E
=0
E; 1=
E
+
E = E++ E_= 0
I:
E=E + +E
0
1
:1
+1
=2(-)
--
0
2Eo
2Eo
Gambar
30
.
E
2-7
1
E+(
)
Jawab :
Dalam comoh 2-4. di perolchmcdan lislrikdari bidang bermualanadalah E = i: crf2 Eo
Di amara dua pelal. bcsar mcdan lislriknya
CJ
E=E++E.=-+-=2E"
Besar mcdan listrik di luar pial bcrmualan
:
CJ
CJ
2fn
En
:
CJ
CJ
E =E++E_=---=U
2E"
2E"
Perlu di ingal bahwa pcrhilungan ini hanya herlakllllnlllkjarak djallh \chih keeil dari pada ukuran
pelal. dan lClaknya lidak lcrlalu dekal dcngan pcnnukaan pela!.
Scbuah clcklron (m = 9.] x ]() -31kg) di pcn:cpal dalam mcdan lislrik uniform E (E =
di amara dua pelal bcrmllatan scjajar. Jarak antara dua pelal 1,5 em. Elcklron di
percepat dari kcadaan diam dckal pelal bcnnllalan ncgalif dan mcncmbus Icwallobang kccil di
pclal posilif. (Gambar 2-8).(a). Bcrapa kcecpalan clcklron .saal mcninggalkan lobang (b).
Tunjukkan bahwa gaya gravilasi dapal diabaikan.
+
+
2-6.
2.0 X 104 NfC)
E
e
1+
+
+
--~
I++ I
+
+
+
+
Jawab:
(a). Gaya yang bckcrja pada clcklron bcsarnya :
arahnya bcrlawanan dcngan arah E
Percepatan yang dipcrolch clcklron besarnya :
v
Gambar 2-8.
F =qE=cE
_ F _ cE _ (1,6x 1O-I'JC)(2,Ox
lO~NG
a-----m m
9, I x )(f3Ikg
IS
;
= 3,5x 10 m/s
Kecepatan clcktron saal meninggalkan lobang
3]
2-7.
Misal elektron dari eontoh soal n0!!lor 2-6 bergerak dengan keeepatan v0=1,0 X107
em/s masuk dalam medan listrik E dalam arah tegak lurns seperti terlihat dalam
gambar 2-9. Jelaskan gerak elektron dalam medan listrik tersebut
y
----E
Vo
+ + + +1+
+ + + + + + + +
Gambar 2-9
Jawab:
Jika elektron masuk medan listrik E pada x=y=O,dengan kecepatan voidalam arah
sumbu x. Disini elektron bergcrak dengan lintasan parabola. Pereepatan elektron
dalam arab sumbu y :
~
FeE
a =-=-Y
m
m
Posisi elektron dalam arah vertikal dinyatakan dengan
1
y=-ayt2=--t2
2
eE
2m
Posisi horizontalnya dinyatakan dengan
Karena ax= O. Dengan mengeliminasi t ke dalam kedua persamaan diperoleh
hubungan
Y =-
eE
2mvo
2
X
2
Persamaan ini menunjukkan lintasan parabola.
2-8.
32
Pada sudut berapa, elektron dalam soal 2-7 akan meninggalkan medan listrik uniform
di ujung pelat sejajar P
Anggap panjang pelat 6,0 em dan E= 5,0 x 103N/e
Jawab :
Di' P, komponen kecepatan elektron dalarn arab sumbu Y :
\~
vy
\
I
=V 2ayY = V ( -
2eE
01
eE x2
) ( 2m v 2 )
o
=
e EX
01 V 0
sedangkan
v" = vo= konstan
maka arab elektron meninggalkanmedan listrik di P adalah
tga=~=-
=
v
e Ex
v"
mv20
(1,6 x 1O-19C)(5,0 x 103N/C) (6,0 x 10"201)
= 0,53
(9,1 x 10-31kg) (1,0 X 101mJs>2
atau
a = 280 di bawah horizontal
2-9.
Sebuab bola tipis berjari-jari ro' mempunyai muatan total Q terdistribusi keseluruh
pennulaan secara uniform. Tentukan medan listrik di titik (a) diluar bola dan (b)
di dalarn bola
Gambar 2-10
33
Jawab :
Distribusi muatan simetri maka medan listrik juga simetri
Arah medan listrik radial keluar untuk muatan positif dan ke dalam untuk muatan
negatif. Mcdan listrik disini besamya sarna di semua titik dalam pennulaan gauss.
Disini pennulaan gauss digambarkan dengan garis patak-patak berjari-jari r
Arah E tegak lurns dengan pennukaan, maka dengan menggunakan hukum Gauss
-
o E, d
A
=E
(41tr2)
=-
Q
Eo
atau
1
E=-
Q
(r > rJ
41tEo
Di dalam bola arah E juga simetri, dan muatan dalam nol, maka hukum Gauss
menjadi
-
o E. dA = E (4m2) = 0
atau
E
=0
(r < ro)
2-10. Muatan listrik Q, terdistribusi sccara unifonn ke selurnh bagian bola pejal yang
mempunyai jari-jari rooTentukan besar medan listrik di (a) dalam bola (r < rJ, dan
(b) luar bola
(r > rJ. Gambar 2-11.
Gambar 2-11
Jawab :
(a). Dibuat bidang Gauss AJ~berupa bidang bola khayal yang jari-jarinya r > ro'
kemudian digunakan H1\..Gauss.
Q
atau
34
E=
-.......
Q.
(r > rJ
r
(b) Dibuat bidang Gauss A2 dengan jari-jari r < ro' maka
o E. dA = E (4m2)
dan muatan yang dilingkupi bidang bola A2 adalah :
(3/4 nr3)
. Q
=
Q
(4/3 n03)
sehingga HK. Gauss menjadi :
r3
=-
E (4nr)
Q
ro3
atau
E=
1
-r
.4nrE 0
Q
(r < rJ
ro3
Dcngan demikian, dalam bola pejal bermuatan, medan listrik bertambah secara
linier dengan r hingga r = ro' Kemudian menurnn dengan 1/[2sepeni digambarkan
dalam Gambar 2-12.
r
Gambar 2-11
2-11. Suatu kawat lurns sangat panjang, mempunyai muatan per satuan panjang A..
Hitunglah medan listrik di sekitar kawat jauh dari ujung-ujungnya (Gambar 2-13).
Gambar 2-13.
35
_
Jawab :
Di sini arah medanlistrik E simetri radial ke luar. Untuk ini dibual bidan;
~mnQtI oenganjaIi.jari r d:mpmjm~ 1,l{6n~~ntris
terhadapkawat.
Ga.U&&
Dengan menggunakan HK Gauss diperoleh
_ _
o E, dA
= E(2xrl) = -
Q
=-
Eo
atau
E=-
1
21tE0
A.I
Eo
A.
r
Bandingkan dengan contoh soal nomor 2-3; dengan HK Gauss persoalan dapat
diselesaikan lebih sederhana.
2-12. Suatu muatan terdistribusi secara uniform dalam permukaan bidang dengan kecepatan
muatan o. Jika permukaan bidang di anggap sangat luas, hitunglah medan listrik
di titik-titik dekat permukaan (Gambar 2-14)
Gambar 2-14.
Jawab:
Kita buat permukaan Gauss, bernpa permukaan sHindertenutup .!ecil, sumbu sHinder
tegak lurns bidang. Karena simetri, maka arah medan listrik E tegak lurns kedua
permukaan bidang HK Gauss menjadi :
Q
o E. dA = 2 EA = -=Eo
atau
E=~
2Eo
36
oA
Eo
2-13. Hitunglah bcsar medan listrik, tepat diluar suatu permukaan konduktor yang baik
Gambar 2-15
Jawab :
Sepeni dalam soal 2-12, kita buat bidang Gauss. Disini diambil tinggi sHinder
sedemikian keeilnya sehingga permukaan atasnya tepat diatas konduktor dan
permukaan lainnya berada dibawah konduktor (Gamabr 2-15)
Karena medan listrik di dalam konduktor adalah nol, maka HK Gauss menjadi
_ _
Q
crA
Eo
Eo
0E.dA=EA=-=atau
E=~
Ini berlaku pada setiap permukaankonduktor.
2-14. Dalam susunan salib sumbu sepeni ditunjukan Gambar 2-16, g::60J,tedan x=50
em, y=60 em,z=80 em. Tentukan besar dan arah medan listrik E di titik P
Jawab :
Besar medan listrik E adalah :
1
q
1
q
E=--=47tEo
r2
47tEo
x2 + y2 + Z2
(60 x 1O-6C)
= (9
x 109 N.m2/C) (O,5m)2 + (0,6m)2 + (0,8)2
= 4,32 x IOs N/C
37
z
E
/
y
/
I
/
I
I
/
I
/
- -
/
X
/
y
x
Gambar 2-16
Arah medan listrik E terhadap sumbu x,y dan z dinyatakan dengan:
x
Cos a
=-
0,50
=
r
y
Cos
= 0,4472
VI,25
= 0,5367
0,60
~= ~ = VTJ3
0 80
z
Cos
,
_
a = ---;- = \f1I5
= 0,7155
2-15. Mengulangi soal 2-14, hitunglah medan listrik E di titik yang di tempati
rnuatan q, jika gaya total yang bekerja pada muatan q = 8 X 1O-6C adalah: F =
3,36 i + 8,46 + 0,66'k N
J
Jawab :
_
Medan listrik E
=-
F
,.
=
I'
q
= 0,42
38
A
~
3,36 i + 8,46 j + 0,66 k N
,..,
""
i + 1,06 j + 0,082 k MN/C
2-16. Di titik P(x,y,z) Gambar 2-17, bekerja medan listrik:
"
,..
"
,..A"
"
,.. "
E3= 3i - 4j - 6k
E2 = 6i + 3j +' 7k
E)
-7i - 6j + 8k
=
diakibatkan oleh muatan listrik yang tidak dig~barkan.
(a) Hitung besar dan arah medan listrik total E di P
(b) Hitung gaya pada muatan q = 5 X 1O-9C,yang ditempatkan di titik P:
z
P(x,y,z)
y
Gambar 2-17
Jawab
:
(a) -Dalam gambar
- terlihat:
Elota.= E)
+ ,...E2 +,...E3
"
= 2i - 7j + 9k N/C
=
Besar medan listrik E loLa
1
Elotal = V (2)2 + (_7)2+
(9)2
= 11,576
Arah medan listrik total ElOla1terhadap
sumbu x,y dan z :
Cos a = x = 2 = 0,1728 Cos ~= y = 0,6047 Cos
11,576
r
r
a =0,7775
(b). -Gaya- pada muatan q di P,...adalah:
""
'"
F
= E = (5 x 1O-9C)(2i - 7J' +
= (Hfi - 35j + 45k) x 1O-9N
lola
.
9k N/C)
39
2-17. Sebuah taU beban konduktor yang sangat panjang ab, dimuati secara uniform
dengan muatan + A.C/m. Tali ab membentang sepanjang sumbu x (Gambar2-18)
Hitung besar dan arah medan listrik pada muatan q, pada posisi sepeni dalam
gambar 2-18
<IF
IY
dq=
a------_
+ +1 ~ + + +
dx
+ +
x
x
o
Gambar 2-18
Jawab :
Karena simetri, maka resultangaya F hanya pada arah sumbu y saja. dinyatakan
dengan
q (Adx)
Cose =
dF y =
maka
F
= Fy =
q A.Yo
J
-
dx
=
41tE 0 rz - - (x2 + Yo2)3!l 41t EoYo
=
qA.
Medan listrik di q besamya :
F
=
E=
q
40
21tEoYo
x
qA.
(
)
(x2 + Yo2)lfl--
b
2-18. Dua buah tali bukan konduktor yang sangat panjang, membentang sepanjang sumbu
x dan y seperti ditunjukan gambar 2-19. Kedua buah tali di muati dengan muatan
masing-masing Ax dan Ay. Hitung besar dan arah medan listrik di titik P, jika
x = 3m, y = 4m, Ax= 5J.LC/mdan Ay= 8J.LC/m
y r:y
- - --
r-
- - - J; E
I
I
I
I
I
,
1/
PI
Ex
I
I
I
+
+
+
-+
+ +1
+
+
+
+
x
°1
Gambar 2-19
Jawab :
Dengan menggunakan hasil soal no 2-17 di peroleh
Ay
2AY
1
2 (8 X 10-6C)
E=
=-(-)=
x
X
3m
41tE 0
= 4,8 x 1()4N/C = 48 kV/m
E =
y
2A
x (
y
= 2,25
1
)=
41tEo
x 1()4N/C
2 (5 x lQ-6C)
(9
X
109N.m2/C)
4m
= 22,5 kV/m
Sehingga medan listrik di P :
E = ( E x2 + Ey2) 112 = 5 , 30 x 1()4NC
Arahnya
Sin e
=
Ey
E
= 0,4245
atau
e = 25,120
41
2-19. Dua buah bola keeil, mempunyai muatan +q dan -q, terdistribusi seeara uniform.
panjang
Ke dua bola di hubungkan dengan batang tipis bukan konduktor mempunyai
I, sehingga membentuk dipole listrik. Dipole listrik ini berada dalam medan listrik
uniform E, searah sumbu x dan dipole berada dalam bidang xy (Gambar 2-19).
Jika diberikan q=4J.lC,E=5xIOSN/C dan 1=20 em, hitunglah medan dipole listrik
p dan momen gaya (torsi) 't
y
p =ql
F=qE
.
x
..
Gambar 2-19
Jawab :
Medan yang menimbulkan suatu torsi pada dipole listrik. dinyatakan dengan:
I
_
1_
t = - x qE + (- - ) x ( -qE ) = ql x E = P x E
2
2
Vektor dipole p adalah
-
p = ql = (4 x lOo6C)(20 x 1O-2m)(i Cos 8
/'
= (0.80 x 10-6) (i Cos 8 + j Sin 8) Cm
'"
+ j Sin 8)
""'\
maka momen gaya atau torsi:
-
t = P x E = (0.80
"
A
X
= (0,40 Sin 8) (-k) N-m
42
......
10-6)G Cos 8 + j Sin 8) x (5 x 1()5N/C)i
2-20. Dua buah bola keeil dihubungkan satu sama lain dengan batang tipis bukan
konduktor, dimuati dengan muatan masing-masing +q2dan -q). Muatan ketiga +q,
ditempatkan pada pusat sumbu (Gambar 2-20).
Hitunglah gaya netto pada sistem tersebut.
Diketahui:
q)=40j.LC
q2=50j.LC
q =60j.LC
x)=2m
x2=3,5m
y
FI
/
'-"
-q I
Y2
I
I
I YI
I
x
+q
Gambar 2-20
Jawab:
Disini hanya medan listrik akibat +q saja yang perlu diperhitungkan. Besar medan
listrik di (x),y) dan (x2,y2):
r-
/'
q
E=-
x)
41tE 0
)
i + y) j
= (3,291
"
"
i + 4,114 j) x 1()4N/C
(X)2 + y 12)312
q
r./:-.
x2 1 + Y2J
41tEo
(x/ + y/)312
E) = -
"
/'
= (1,259 i + 1,438 j) x 1()4 N/C
Gaya-gaya yang bekeIja:
F)
= -q)E) = -1,316i
F2 = +q2E2
- 1,6461 N
= 0,6921 + 0,719]
N
Gaya total:
-
F
A;"o.
-
= F)
+ F2
= -0,687
i - 0,927j
43
2-21. Dalarn gambar 2-21, sebuah bola keeil bermuatan +Q ditempatkan pada pusat bola
metal berongga yang besar. Hitunglah dengan HK Gauss medan listrik E di titik
PI dalarn rongga, di titik Pzdalarn bola metal dan di titik P3 di luar bola.
Gambar 2-21
Jawab :
Permukaan rongga bagian dalarn bola bermuatan -Q dan permukaan luar bola
bermuatan +Q.
Permukaan Gauss yang berjari-jari rlmelingkupi muatan +Q, maka:
0EI, ds
Q
= 41trlz
EI
=Eo
atau
EI
=
Q
Dengan eara yang sarna,
Q
44
2-22. Dalam garnbar 2-22 adalah pandangan atas dari dua buah sHinder panjang yang
konsentris dan masing-masing berjari-jari a dan b. SHinder dalam berrnuatan -A
dan sHinder luar berrnuatan +A persatuan panjang suatu partikel berrnuatan q dan
massanya m berputar pada lingkaran dengan jari-jari r pada ruang di antara dua
buah sHinder. Hitung kecepatan partikel dinyatakan dengan besaran-besaran yang
ada.
Gambar 2-22
Jawab:
Buat perrnukaan Gauss berupa sHinder dengan jari-jari r,
o E.dS
=
-Al
=E
Eo
(2ml )
.atau
E=
I
21t E 0
A
r
Tanda minus artinya arah medan E, radial ke dalam. Gaya yang diterima partilel:
y2
F = qE = m -
r
atau
A
q.
y2
=m -
21t Eo r
r
Sehingga kecepatan partikel
y=
V 21tqA
Eo r
45
2-23. Sebuah cakram tipis yang berjari-jari a dimuati merata dan mempunyai muatan
persatuan luas 0. Carilah kuatmedanlistrik padasumbucakramdanberjarakr
dari pusat cakram tersebut.
<Ix
Gambar 2-23
Jawab:
p2 = r2 + x2
dA = 21tx dx
dq = crdA
1
dE=--cos
41tEo
dq
e
p2
cos e = rip = r I (fl + .X2)l12
maka
1
cr 21t X dx
r
dE=41tE 0
dE=-
cr r
2E 0
(r2 + x2)
x dx
(fl + X2)312
t
x=O
46
xdx
(fl + X2)312
--
crr
t
X=o
4EO
---
1
crr
d(rl + X2)
(r2 + X2)31l
1
4Eo (-112)
a
I
(r2 + X2)11lx=O
crr
=--{
2EO
crr
1
1
E=--{--
°
2E
r
cr
}=-{1-
(r2 + a2)11l
2E °
2-24. Sebuah dipol listrik yang terdiri-dari dua muatan berlawanan yang besamya
q = 2,0 xlO-6Cterpisah oleh jarak d=I,Scm. Dipollistrik tersebut ditaruh dalam
suatu medan listrik luar yang besamya adalah 3,Sx106N/C. Ditanyakan :
a) Berapa torsi terbesar yang dilakukan oleh medan listrik pada dipol tersebut?
b) Bila referensi orientasinya Go=a>,maka berapa usaha yang harus dilakukan oleh
medan terhadap dipol agar dipol berputar 4So.
Jawab:
a)
=p
xE
Besamya torsi A. = p E sin G
A.max = P E sin 90° = q d E
A.
A.max
b)
W
= (2,0 X 10-6C) (1,S x 1O-2m)(3,S x 1()6N/C)
= 1,5 X 10-1N . m
=
- Uoo
= -(pE cos 4S0) - (-pE cos 0°)
U450
mempunyai arah yang sarna, maka tak dapat saling meniadakan. Apabila diletakkan di sebelah kanan titik C, gaya tarik oleh muatan -SJ.lCakan selalu lebih
besar dari pada gaya tolak oleh muatan +3J.lC.Karena itu mustahil-lah gaya resultan q akan nol, bila diletakkan di daerah ini. Hanya apabila diletakkan daerah di
sebelah kiri titik B akan terjadi bahwa kedua gaya itu saling meniadakan. Dapatkah
Anda tunjukkan bahwa ini benar juga pada q bertanda negatif?
Dengan q diletakkan seperti pada gambar dimana gaya resultan adalah nol,
berlahi F3=F5'maka (dengan jarak diukur dalam meter) kita peroleh
47
q (3 x to-6C)
k
q (5 'x to-6C)
=k
(0,4 + d)2
k, q dan faktor 1Q-6C dapat dieoret di kedua ruas. Kita peroleh
5d 2
seterusnya:
= 3(0,4
+d )2 or
d 2
- 1,2d - 0,24
-b _+ V'fi'2_ 4ac
d=
-
2a
1,2:t V 1,44 + 0,96 = 0,6 :t 0,775 m
2
Diperoleh d1= 1,375 m; dan d2= -0,175 m. Yang tepat adalah d1; sedangkan
d2 tidak memenuhi syarat, karena menghasilkan titik dalam selang BC, dim ana
kedua gaya itu memang sarna besar narnun tidak saling meniadakan karena searah.
2.25 Hitung(a) intensitas medan listrik E di suatu titik pada,jarak 30 em dari muatan
titik ql = 5 X 10-9C dalam udara (b) gaya pada muatan q2 = 4 X 10-10C yang
diletakan pada jarak 30 em dari ql; dan (c) gaya pada muatan q3 = -4 X lO-lOC
terlctak pada jarak 30 em dari ql. (tetapi q2 sudah ditiadakan)
Jawab :
ql
(a)
E
=k-
= (9
5 X to-9 C
x to
= 500
9 N.m2/C)
r2
N/C
(0,3 m)2
menjauhi muatan ql
(b) F
= Eq2 = (500
N/C)(4 x to-lOC) = 2 x 10-7N
menjauhi muatan ql
(e) F
=E
q3
= (500 N/C)(-4 x
to-IOC)
= -2 X 10-7 N
menuju muatan ql
2-26. Perhatikan gambar 2-24 dan tentukanlah (a) intensitas medan E di titik P; (b) gaya
pada muatan -4 x 10-8 C di titik P;(e) di mana intensitas medan adalah nol?
San
.
+20x IOJIC
P
)C.
Scm
Gambar 2-24
48
.
-s' X 10-1C
Jawab:
(a) Muatan uji positif di titik P akan dtiolak ke arah lanan oleh muatan positif itu
dan ditarik juga ke kanan oleh muatan yang negatif. 'Karena E, dan E2searah,
maka akan dijumlahkan seeara aljabar untuk mendapatkan kuat medan resultan:
Iq,1
E
= E, +
=k
E2
-
Iq21
+ k
r2,
-
r22'
k
=-
(lq,1 + Iq21)
r2
denganr, = r2 = 0,05 m dan q, serta q2 adalah harga mutlak q, dan q2'
Maka
9 X 109
E
=
(25
10-8)
X
=9 x
lOSN/C
(0,05)2
arah ke kanan
(b) Muatan qdi titik P menderita gaya Eq, hingga
F
= Eq = (9 xlOSN/C)(-4
x 10-8C)
= -0,036 N
Tanda minus berarti bahwa arah F adalah ke kiri , Ini tepat, karena medan
listrik adalah gaya pada muatan positif. Gaya pada muatan negatif arahnya
berlawanan dengan arab E
.
(e) Dengan penalaran seperti pada soal 24-8 dapat disimpulkan bahwa medan
adalah nol di suatu titikdi sebelah kanan muatan -5 x l0-8C, Kalau jarak dari
muatan -5 x 10-8C ke titik tersebut adalah d maka di titik itu E,- E2 = °
karena medan yang ditimbulkan muatan positif berarah ke kanan, sedangakan
medan disebabkan muatan yang negatif berarah ke kiri. Hingga
v
Iq,1
k (-
r/
Iq21
- -
)
= (9 x
r/
20 x 10-8
5 X 10-5
109) [
]
=°
(d + 0,1)2
atau
3d
2
- 0,2 d - 0.01 = °
yang menghasilkand, = 0,10 m dan d2 = 0,03 m
yang terpakai adalah yang memiliki tanda positif, maka d
= 0,10 m; titik yang
terletak 10 em sebelah kanan muatan yang negatif.
49
2-27.
Gambar
2-25
menunjukan dua keping logam dalain vakum yang diberi muatan.
Jarakantaraduakeping15 em,danmedanlistrik antarakeduakepingbersifat
homogen sebesar E =3000 N/C. Sebuah elektron (q = -e, m =9, I x 1O-31kg)
dilepas
tanpa kecepatan awal di titik P tepat di luar keping yang bermuatan negatif. (a)
Berapa waktu elektron mencapai keping yang bermuatan positif! (b) Berakah laju
elektron sesaat sebelum mencapai keping itu?
+
E
_._--
+
+
+
+
=3000
N/C
.
---------
A
P
.
.
+.
1_
15cm
-I
Gambar 2-25
Jawab :
Garis gaya listrik menggambarkan arah gaya pada muatan positif (muatan positif
akan ditolak keping positif sedangkan ditarik keping negatif). Elektron, sebagai
partikel bermuatan negatif, mengalami gaya dalam arah berlawanan, hingga berarah
kekiri. Besar gaya itu ialah:
E
= Iq I E = (1,6 x
1O-19C)(3000N/C)
= 4,8
x 1O-16N
Karena gaya ini, elektronmengalamipercepatanke kiri sebesar:
F
4,8 x 10-16 N
a=-=
m
9,1 X 10-31kg = 5,3 X 1014m/s2
Pada gerak elektron ini berlaku ketentuan :
x
(a) Maka x
= vol +
= 0,15 m
(b) v
50
= Vo +
5,3 X 1014m/s2
at
=0
= 5,3
x 1014m/s2
1/2 at2menghasilkan
(2)(0,15 m)
t=~= a
a
= a = 2,4 x 10-8S
+ (5,3 x 1014m/s2)(2,4 x 1O-8s)= 1,30 x 107 m/'
Dalam bab 43 nanti akan kita lihat bahwa efek-efek relativitas mulai terasa
pada keeepatan di atas keeepatan 1,30 x 107m/s ini. Karena itu, eara menghitung
keeepatan partikel harns dimodifikasi bila diterapkan pada partikel yang
berkecepatan sangat tinggi.
Misalkan dalam situasi seperti tampak gambar 24-5, elektron ditembakan
vertikal ke atas dari titik P dengan keeepatan 5 x 1O6m/s. Pada jarak berapa
terhitung dari titik A, elektron akan mengenai keping positif?
Persoalan ini ialah persoalan gerak peluru, dan karena gaya gravitasi jauh
lebih keeil daripada gaya listrik, kita akan mengabaikan. Satu-satunya gay yang
bekeIja pada elektron setelah ditembakan ialah gaya listrik, yang berarah horizontal.
Pada soal 24-11 telah ditemukan bahwa waktu yang diperlukan elektron agar
meneapai keping positif (dinamai'time of flight') ialah 2,4 x 10 -8S.Dalam waktu
ini jarak vertikal yang ditempuh elektron ialah (5 x 10 6 m/s)(2,4 x lO-8s)=0,12 m.
Jadi elektron mengenai keping positif pada titik 12 em di atas. titik A.
SOAL-SOAL TAM BAHAN
2-28. Tentukan besar dan arah gaya pada muatan 6J.lCdalam gambar 2-2
z
0--~'
I
I
:52 em
I
I ~
I , JOan
- -45';;'- - ..Y
I
I
I
185cm
I
I
I
'
I
'
y
I
/55 em
I /
- - - - - - 65~- - - - - - ~
/
Gambar
2-26
Gambar 2-27
51
2-29. Suatu dipol listrik, dengan muatan momen dipol p: dalarn medan listrik serba
sarna. Arab momen dipol
cos <X=0,462
Ii terhadap
sumbu x, y dan z sebagai
cos a
cos B = -0,580
=0,671
dan komponen-komponen medan listrik E adalah:
Ex = 40 kV/m
Ey = 45 kV/m
Dengan menggunakan hubungan vektor, hitunglah (a) torsi pada dipol, (b) energi
potensial dipol relatif terhadap simetri tegak lurns pad a E. (Gambar 2-27)
y
.....
.....
Q
x
d
Gamba, 2-28
2-30. ~ua buah cincin bermuatan C) dan Cz, sejajar dan coaxial dalam sumbu x (garnbar
2-28). Titik P berada diantara kedua cincin dalarn sumbu x, (a) tentukan medan
listrik di cr akibat muatan C) ;(b) dengan earn-yang sarna, hitunglah medan listrik
akibat Cz;(c) hitung medan listrik resultannyao (d) Jika q) =8J.lC,,) = 0,5 m, qz =
4J.lC"z= 0.3 m, dan d= 1,5 mm, buktikan bahwa resultan medan listrik pada x =
0,85 m dalarn sumbu x adalah no1.
2-31. Sebuah sHinder pejal dan panjang, mempunyai muatan yang uniform dengan
kerapatan T
= 5J.lCfm3.Jika jari-jari
silinder,R = 200 mm, titik p) di dalarn sHinder
pada posisi ,) =150 mm dan Pz di luar sHinder pada 'z
medan listrik di titik p) dan Pzo
52
= 300
mm, hitunglah
2-30. Sebatang tongkat isolator yang panjangnya I dimuati seeara merata oleh muatan
sebesar Q. Carilah kuat medan listrik di titik P yang beIjarak y terhadap tongkat
itu dan terletak pada garis bisektor, yaitu garis yang melalui titik tengah tongkat
itu dan tegak lurns padanya. Untuk 1 yang panjang sekali berapa besar kuat medan
2-33. Sebatang tongkat isolator yang panjangnya semi tak terhingga mempunyai muatan
persatuan panjang A.yang konstan. Tunjukkan bahwa kuat medan listrik di ti.tikP
seperti yang ditunjukan pada gambar dibawah ini membuat sudut 45° terhadap
batang tadi (Gambar 2-29)
_x_ - .
I
I
CD
.
Idx I
-----------
r
x
E
Iy
Gambar 2-29
2-34. Muatan +61tC di suatu tempat mengalami gaya 2 x 10-3N dalam arah sumbu x
positif. (a) Berapakah kuat medan listrik di tempat itu, sebelum muatan +/= C
diletakan ditempat tersebut? (b) Bagaimana kalau muatan sebesar -21lC yang
dipakai?
2-35. Muatan titik sebesar -3 x 10-5C diletakkan pada x
x=5m
= O. Tentukan
E di titik
2-36. Pada keempat sudut bujur sangkar (sisi 20 em) diletakkan empat buah muatan
yang sarna (4IlC). Tentukan kuat medan listrik di pusat bujur sangkar: (a) jika
keempat muatan itu positif, (b) jika tanda muatan berselang-seling (positif dan
negatit) apabila kita berkeliling bujur sangkar itu. (e) jika tanda muatan adalah
sebagai berikut: plus - plus - minus - minus.
53
2-37. Hitung pereepatan yang dialami sebuah poton (q = +e;m = 1,67 x 10-27kg) dalam
ruang di mana kuat medannya 500 N/C. Tentukan perbandingan pereepatan ini
dengan percepatan gravitasi.
2-38. Bola keeil, 0,60 g diberi muatan 81lC,dan menggantung diujung benang. Muatan
ini ditempatkan dalam medan listrik yang arahnya ke bawah sebesar 300 N/C.
Berapakah tegangan dalam tali, kalau (a) muatan bola itu positif? (b) negatif?
2-39. Bola yang dimaksud pada soal 2-38 sekarang dimasukan dalam ruang di mana
terdapat medan listrik dengan arah horisontal sebesar 700 N/C. Bola berada dalam
keadaan seimbang pada posisi yang ditunjukan gamoar 2-30. Berapa besar dan
tanda muatan bola?
E = 700 N/C
..
..
..
..
Gambar 2-30
2-40. Sebuah elektron (q = e ;m =9,1 x 10-31kg) ditembakkan sejajar medan listrik yang
berarah dalam arah sumbu x. Keeepatan awal elektron 3 x 106m/s dan temyata
setelah menempuh jarak 45 em dalam medan, elektron berhenti. Tentukan besar
medan hstrik itu.
2-41. Dalam ruang di mana terdapat medan listrik E berarah ke bawah, ditembakan
partikel (massa m1muatan -e) dalam arah horisontal dengan keeepatan v. Tentukan:
(a) komponen pereepatan ax (horisontal) dan ay (vertikal); (b) komponen
perpindahan x (horisontal) dan y (vertikal) setelah t. (c) persamaan lintasannya.
2-42. Suatu benda keeil yang membawa suatu muatan -5 x 10-9eoul mengalami suatu
gaya ke bawah sebesar 20 x 10-9n apabila ditaruh dalam suatu titik tertentu dalam
suatu medan listrik. (a) Berapakah intensitas listrik pada titik itu? (b) Berapakah
besar dan arah gaya yang bekerja pada partikel a yang ditempatkan pada titik itu?
2-43. Berapakah seharusnya muatan pada suatu partikel yang massanya 2 gm untuk
membmit dia stationer di ruangan apabila di tempatkan dalam suatu medan listrik
yang mengarah ke bawah yang intensitasnya 500 r/eoul?
54
fO
~~_
_ __~_
4 em-.I
~~m__
12 em __ _5_
Gambar 2-31
2-44. Dalam gambar 25-18, sebuah elektrondiproyeksikansepanjangsumbudi tengahtengah antara papan-papan suatu tabung sinar katoda dengan suatu kecepatan awal
2 x107m/det.Medanlistrikyangseragamantarapapan-papanmempunyaiintensitas
20,000 n/coul dan arahnya keatas. (a) Berapakah jauh dibawah sumbu elektron itu
bergerak apabila dia mencapai ujung papan-papan? (b) Dengan sudut berapakah
dengan sumbu dia bergerak ketika dia meninggalkan papan-papan? (c) Berapakah
jauh dibawah sumbu dia akan mencapai lajar flouresen S ?
2-45. Dalam sistem koordinat tegak lurns sebuah muatan 25 x 10-9coul ditempatkan
pada pusat koordinat,dan sebuahmuatan-25 xlO-9cow ditempatkanpada titik x=
6 m, y = O. Berapakah intensitas listrik pada (a) x = 3 m, y = 4 m? 25-5. Suatu
muatan 16 x 1O-9coultetap pada pusat koordinat, suatu muatan kedua yang besamya
tak diketahuipada x =3 m, y = 0, dan sebuahmuatanketigabesamya 12 x
1O-9coul
pada x = 6 m, y = O. Berapakah besarnya muatan yang tak diketahui itu jika
perpaduan muatan pada x = 8 m, y = 0 ialah 20.25 n/coul kearah kanan.
2-46. Berapakah banyaknya kelebihan elektron hams ditambahkan pada s\!atu penghantar
berbentuk bola yang diisolasikan yang garis tengahnya 10 em untuk menghasilkan
suatu medan tepat diluar permukaan yang intensitasnya ialah 1,3 x 10-3 n/coul?
2-47. Papan-papan dalam tabung sinar katoda dari soal3 mempunyai lebar 3 cm.Berapakah
jumlahgaris-garis gaya antara ke dua papan itu. Abaikanlah efek-efek ujung.
2-48. Sebuah penghantar yang berbentuk bola yang bermuatan merata garis tengahnya
0,4 m mempunyaikepadatan muatan permukaan 8 ~coul/m2.Berapakahjumlah .
garis-garis gaya yang meninggalkan permukaan bola itu?
Gambar 2-32
55
2-49. Kepadatan muatan pada pennukaan suatu bola penghantar ialah 8.85 x 10-7coull
mZ,dan intensitas listrik 2 m dari pennukaan bola ialah 3,6 x 1()4n/coul. Tentukanlah
jari-jari bola itu?
2-50. Sebuah kawat lurns yang panjang tak.terhingga mempunyai muatan positif yang
merata
A.
per satuan panjang (a) Berapakah medan dq pada elemen yang panjangnya
dx dalarn gambar 2-32? (b) Berapakah intensitas listrik dE yang ditimbulkan pada
titik P oleh muatan ini? (c) Buktikan dengan integrasi bahwa besamya perpaduan
intensitas listrik pada titik P ialah
E = 'A/l:1teor.
(d) Turunkan hasil bagian (c) dengan menggunakan hukum Gauss. Ambilah
sebagai pennukaan Gauss suatu sHinder yang koaxial dengan kawat, panjang I dan
jari-jari r.
2-51. Buktikanlah bahwa medan listrik diluar penghantar berbentuk sHinder yang
panjangnya tak terhingga dengan muatan pennukaan yang merata adalah sarna,
seolah-olah semua muatan ada pada sumbu. Misalkan R menyatakan jari-jari sHinder
dan ambilah sebagai pennukaan Gauss suatu silinder koaxial dengan jari-jari r
dimana r >R
2-52. Suatu kabel koaxial terdiri atas penghantar sebelah dalarn berbentuk silinder
dengan jari-jari Rl dan sHinder koaxial sebelah luar dengan jari-jari dalam sarna
dengan Rz. SHinder sebelah dalarn mempunyai muatan positif yang merata A. per
satuan panjang dan silinder sebelah luar mempunyai muatan negatif yang sarna.
Dengan memakai hukum Gauss, hitunglah intensitas listrik (a) pada setiap titik
antara dua sHinder itu dan (b) pada setiap titik sebelah luar. Umparnakan kabel itu
panjang tak terhingga.
2-53. Suatubintik minyakdenganmassa 3 x 10-11
gm danjari-jari 2 x 10-4em membawa
10 kelebihan elektron. Berapakah kecepatan akhir (a) apabila jatuh dalarn suatu
.daerah dimana tak ada medan listrik yang intensitasnya 3 x 105 n/coul yang
mengarah ke bawah? Viskositas udara ialah 180. x 10-7n.detikjmz. Abaikanlah
gaya keatas (bouyancy) dari udara.
2-54. Sebuahbola kecHyangmassanya0.1 gm membawasuatumuatan 3 x lO-lOcouldan
menempel pada satu ujung benang sutera yang panjangnya 5 em. Ujung lain dari
benang itu menyangkut pada papan penghantar venikal yang luas yang mempunyai
muatan pennukaan 25 x 1O-6couVm3.Carilah sudut yang dibuat oleh benang dengan
garis vertikal.
56
2-55. Sebuah cincin jari-jarinya 10 cm mempunyai muatan positif q sarna dengan
5 x 10-9coui. (a) Hitunglah intensitas listrik pada titik-titik pada sumbu cindn,
pada jarak-jarak dari pusatnya 0,5, 8, 10 dan 15 cm. Tunjukanlah hasilnya dalarn
grafik. (b) Dengan menggunakan jari-jari R dari dncin,. pada jarak axial berapa
dari pusa! cincin yang bermuatan itu intensitasnya maksimum? Bandingkanlah
dengan grafik dalam bagian (a).
y
d
-q I-HI
b
x
'-1-1- r -I
Gambar 2-33
2-56. Suatu "electric doublet" atau "electric dipole" terdiri atas sepasang muatan listrik
yang sarna besamya dan berlawanan tandanya, seperti dalarn garnbar 2-33. (a)
Buktikanlah bahwa intensitas listrik yang ditimbulkan oleh doublet pada titik a
paralel dengan sumbu x dan
1
ql
E=-
41tEo
r3
kira-kira, apabila r »l.
(b) Buktikanlah bahwa intensitas listrik pada b juga
paralel dengan sumbu x dan kira-kira
I
2ql
E=-
41tEo
r3
apabila r >> = l.
2-57. Misalkan bahwa muatan positif dibagikan merata pada suatu volume berbentuk
bola dengan jari-jari R,muatan per satuan volume ialah p .(a) Gunakanlah hukum
Gauss untuk membuktikan bahwa intensitas listrik di dalarn bola itu, pada jarak r
dari pusat ialah
pr
E=-
3Eo
(b)
Berapakah intensitas listrik pada titik diluar bola pada jarak rdari
Bandingkanlah jawaban-jawaban (a) dan (b) apabila r = R.
pusat? (c)
57