algoritma tree berhirarki untuk komputasi partikel - Digilib

ALGORITMA TREE BERHIRARKI UNTUK KOMPUTASI
PARTIKEL FISIKA
Slamet Santosa*, Aminus Salam*
ABSTRAK
ALGORITMA TREE BERHIRARKI UNTUK KOMPUTASI PARTIKEL FISIKA.
Simulasi partikel N-Bodi telah banyak digunakan untuk mempelajari berbagai sistem fisika seperti
fisika plasma, fisika akselerator, sistem dinamika molekuler dan astrofisika yang menggunakan
interaksi antar partikel sebagai dasar komputasinya. Walaupun perkembangan teknologi komputer
memungkinkan untuk mensimulasi banyak partikel yang berinteraksi secara elektrostatik ataupun
gravitasi, tantangan untuk mengembangkan algoritma dari komputasi tersebut masih terbuka. Telah
dikembangkan metode tree berhirarki yang lebih baik daripada metode titik jala sehingga orde
komputasinya mencapai O
(N log N). Pada makalah ini dibahas implementasi yang efisien dari
algoritma tree berhirarki menggunakan teknik quick-sorting untuk penpartisi domain partikel pada
pembentukan tree dan penjejakan tree dengan metode Breath First Search dalam menghitung gaya pada
tiap partikel.
ABSTRACT
HIERARCHICAL TREE ALGORITHM FOR PARTICLE PHYSICS COMPUTATION.
N-Body simulations have been used to study a wide variety of physical system such as plasma physics,
accelerator physics, molecular dynamics and astrophysics where a large number of interacting particles
are the basic of such simulations. Although computer technologies have made the particle simulations
feasible, this type of N-Body problems including those of electrostatic or gravitational forces still
present a challenge. The hierarchical tree method offers the possibility of computing the interaction
between N particles in a time O(N log N) without using a grid. The efficient implementation of the
algorithm using a divide-and-conquer technique based on a quick-sorting technique in the building tree
and the tree traversal based on Breath First Search for force calculations are discussed.
PENDAHULUAN
Komputasi partikel fisika merupakan basis dari simulasi komputer di bidang
fisika plasma, astrofisika, akselerator dan sistem dinamik molekuler [1, 2]. Komputasi
yang dimaksud adalah penyelesaian algoritmik dari lintasan banyak partikel pada
*
Pusat Penelitian dan Pengembangan Teknologi Maju - BATAN
sistem fisika klasik dan dikenal sebagai masalah N-Body, di mana diberikan suatu
domain yang memuat banyak partikel yang saling berinteraksi secara elektrostatik
ataupun medan gravitasi. Persamaan gerak dari lintasan banyak partikel sangat
sederhana akan tetapi tidak mempunyai penyelesaian analitik yang efisien sehingga
hanya efektif apabila dilakukan komputasi dengan komputer berkecepatan tinggi.
Pada sistem dengan N buah partikel yang diketahui masing-masing posisinya,
massa dan kecepatan awalnya akan bekerja gaya elektrostatik atau gaya gravitasi
sehingga tiap-tiap partikel akan bergerak pada lintasannya. Lintasan partikel-partikel
dapat dimodel dengan persamaan diferensial (PD) yang dapat diselesaikan dengan
mengintegrasikan untuk tiap selang waktu tertentu. Sehingga pada tiap selang waktu
selama simulasi dapat dihitung posisi dan parameter-parameter yang lain. Gaya pada
tiap partikel f i akibat adanya n buah partikel disekelilingnya dihitung sebagai berikut:
fi =
n
∑f
i, j
untuk i ≠ j
j =1
Akibat adanya gaya yang bekerja pada sistem, apabila posisi awal suatu partikel
xi ( t 0 ) = X 0 maka pada saat t posisi partikel tersebut berpindah dan dapat dihitung
dengan persamaan:
xi' ( t ) = f ( t , xi ( t 0 ))
Algoritma untuk menyelesaikan komputasi tersebut, dengan N = jumlah partikel,
t = 0 dan dt = selang waktu tertentu adalah sebagai berikut:
while t < tsimulasi
for i = 1 to N
f (i ) =
∑
N
j =1
j ! = i , f (i , j )
call (integrator)
update (posisi)
end for
t = t + dt
end while
Dengan demikian jelaslah bahwa komputasi tersebut berorde O(N2). Untuk
mempercepat proses komputasi telah dikembangkan metode PIC (Particles In Cell), di
mana dibentuk titik-titik jala pada domain partikel yang kemudian pada setiap titik jala
dihitung potensial dari partikel yang dilingkupi sehingga dengan harga-harga potensial
pada tiap titik jala dapat dihitung gaya-gaya dari tiap partikel. Metode PIC ini
mempunyai orde komputasi O(N + M log M) dengan M = jumlah titik-titik jala dan N
= jumlah partikel pada sistem. Sehingga metode ini mempunyai efisiensi yang tinggi
untuk N yang sangat besar dan distribusi partikel serba sama.
Algoritma Barnes and Hut (BH) [3] menghitung langsung gaya-gaya pada N
buah partikel pada sistem 3D menggunakan struktur data tree berhirarki dan
mempercepat komputasi sehingga berorde O(N log N). Teknik yang dipakai pada
algoritma ini adalah divide and conquer, yaitu membagi domain partikel menjadi
delapan apabila terdapat dua buah partikel berada pada domain yang sama. Sehingga
apabila total domain partikel adalah sebagai root dari tree maka masing-masing
subdomain adalah subtree. Pembagian domain dilakukan secara rekursif hingga pada
tiap-tiap leaf dari tree terdapat sebuah partikel dan kemudian gaya pada tiap partikel
dihitung dengan cara menjejaki oct-tree yang terbentuk.
Pada makalah ini dibahas implementasi sekuensial dari algoritma BH tree
berhirarki yang meliputi pembentukan tree dan teknik divide and conquer
menggunakan metode yang berbasis pengurutan cepat (quick-sorting), penjejakan octtree yang terbentuk dengan metode Breath First Search (BFS) dan analisis
kompleksitas orde komputasi. Untuk memudahkan pembahasan, dibahas untuk sistem
2D dimana tree yang terbentuk adalah quad-tree.
LANDASAN TEORI
Pada sistem dengan N buah partikel, Xi = <xi, yi, zi>, Vi = <V1, V2, …, VN> dan
mi = <m1, m2, …, m3> akan bekerja gaya-gaya pada tiap partikel, F = m * A sehingga
tiap partikel akan bergerak dan berpindah posisi dari X1(t = 0) ke X2 (t ≠ 0) dengan
dX
dV
laju perubahan
dan laju kecepatan gerak
. Hubungan antara X(t) dan V(t)
dt
dt
menyatakan bahwa sistem adalah merupakan PD rangkap, dan apabila diberikan suatu
harga awal X(t0) = X0, penyelesaiannya dapat dituliskan sebagai berikut:
X ' ( t ) = f ( t , X (t )),
d ( t , X (t ))
= A; X (t 0 ) = X 0
dt
Pada masalah medan gravitasi [5] yang dipergunakan untuk uji masalah dalam
implementasi algoritma ini, gaya yang bekerja pada satu partikel mengikuti hukum
gravitasi, sehingga percepatan yang diderita oleh partikel tersebut adalah:
Ai =
N
X j − Xi
G
*
mj *
mi j =1, j ≠i
r 3i , j
∑
merupakan fungsi percepatan derivatif yang mempunyai dua buah argumen massa dan
posisi. Dengan demikian harga ini harus dihitung sebelum proses update posisi untuk
setiap step waktu berikutnya.
Untuk menghitung fungsi kecepatan derivatif dipergunakan sebuah integrator.
Metode Euler adalah integrator sederhana yang menghitung X n +1 = X n + h(t , X n )
dimana h dapat diperoleh menggunakan deret Taylor. Metode lain adalah metode
Runge-Kutta, yang merupakan perluasan metode Euler dan dapat menghitung dengan
dX
lebih teliti. Metode ini menggunakan step penambahan kecil pada fungsi derivatif
dt
untuk menghitung harga X n+1 . Standar metode Runge-Kutta menggunakan empat buah
step penambahan kecil k1, k2, k3 dan k4 sebagai parameter-parameter yang digunakan
untuk menghitung harga X n+1 dengan persamaan:
1
X n +1 = X n + ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 )
6
Dalam hal persamaan gerak partikel pada program yang dibuat, percepatan
d (t , X ( t ))
A=
adalah fungsi Accel(mj, Xj) dengan mj = massa partikel-partikel lain
dt
dengan posisi Xj dan harga-harga k1, k2, k3 dan k4 dihitung sebagai berikut:
k 1 = h( t n , X n ) = Vn
k 2 = h (t n +
k
h
h
, X n + 1 ) = Vn + * Accel ( m j , X j )
2
2
2
k 3 = h (t n + h , X n +
k2
h
h
) = Vn + * Accel ( m j , X j + * Vn )
2
2
2
h
h
* Vn + * Accel ( m j , X j ))
2
2
Pada distribusi partikel yang tidak serba sama, akan didapati relatif kumpulan
partikel, yang dibenarkan pada saat menghitung gaya, dianggap sebagai partikel
tunggal apabila jaraknya relatif jauh dari partikel yang ditinjau [4]. Algoritma BH
menggunakan cara tersebut dan dengan teknik open-test faktor ketelitian θ untuk
menghitung gaya-gaya pada setiap partikel sebagai berikut. Pada sistem 2D, domain
k 4 = h(t n + h, X n + k 3 ) = Vn + h * Accel( m j , X j +
D
, D = panjang sel dan r = jarak
r
dari partikel yang ditinjau ke pusat sel lebih kecil dari faktor ketelitian θ , maka
partikel-partikel yang ada di dalam sel adalah partikel tunggal berposisi di pusat sel,
dengan massa sama dengan total massanya.
Proses pembentukan struktur tree berhirarki dari algoritma BH pada sistem 2D
adalah sebagai berikut. Dibangkitkan partikel secara random pada domain partikel
yang didefinisikan, apabila pada sektor yang sama terdapat dua buah partikel, sektor
tersebut dibagi empat subsektor yang masing-masing sebagai “anak” pada struktur
tree. Dengan demikian setiap struktur sektor adalah node dari tree yang terbentuk.
Proses tersebut diulang secara rekursif sehingga pada setiap sektor terdapat satu buah
partikel. Pada struktur sektor dilengkapi empat buah pointer, sehingga terbentuk
struktur tree berhirarki, dimana root adalah domain yang memuat seluruh partikel. Jika
sebuah node adalah v, maka *p(v) adalah subset dari node v, sehingga
* p(v ) = U ki =1 p( vi ) untuk tiap-tiap k = 2-4. Gambar 1 memperlihatkan divide and
conquer dari struktur oct-tree dari algoritma BH untuk sistem 3D. Untuk menghitung
gaya pada setiap partikel dilakukan penjejakan struktur tree (tree traversal) dengan
mengikuti pointer pada tiap sektor.
partikel dibagi menjadi banyak sel, apabila rasio
Gambar 1. Hasil Divide and Conquer pada Sistem 3D
METODOLOGI
Pada algoritma BH secara implisit menjelaskan bahwa pembentukan tree dimulai
dengan didefinisikan domain partikel berupa kubus besar yang cukup memuat partikel
dari sistem. Partikel kemudian dibangkitkan secara acak dan dimasukkan satu persatu,
jika ada dua buah partikel menempati bidang yang sama, bidang tersebut dibagi
delapan dan diaktifkan root pointer menunjuk delapan subbidang tersebut dan
seterusnya.
Pada implementasi algoritma BH ini, pembentukan tree dikembangkan dan
dimulai dengan mendefinisikan domain partikel dan semua partikel dari sistem
dimasukkan ke dalamnya sebelum pembagian domain partikelnya. Hal ini ternyata
mempercepat proses pembentukan tree karena dapat dipakai teknik pengurutan cepat.
Pembentukan Tree
Didefinisikan P adalah sejumlah partikel dari sistem pada Rd dengan d adalah
konstanta yang menyatakan dimensi. Untuk d = 2, sistem adalah 2D, sebuah sektor
pada sembarang level h = i adalah produk Cartesian s = [ x i , yi ] ∈ R 2 yang memuat
sejumlah partikel. S[P] adalah root dengan level h = 0. Domain root didefinisikan
dengan l x [ P ] dan l y [ P] yang masing-masing adalah panjang bidang x dan y. Titik
sudut kiri bawah dari tiap-tiap sektor didefinisikan sebagai (xl, yl) sehingga jumlah
partikel termuat dalam suatu sektor dapat dicari dengan (xl, yl, xl + lx[P], yl + ly[P]).
Teknik divide and conquer membagi tiap sektor melalui titik tengah sektor, karena
pada program yang dibuat ditentukan lx[P] = ly[P] maka titik-titik tengah tiap sektor
adalah c[ s] = ( x l , y l ) + l[ P ] / 2 .
Data partikel disimpan pada sebuah array. Data posisi partikel disamakan
dengan domain partikel dengan cara memetakan setiap partikel dengan
memproyeksikan data posisi melalui variabel-variabel domain partikel. Proses
selanjutnya adalah melakukan pengurutan secara parsial pada data partikel dengan cara
membandingkan setiap koordinat partikel dengan titik tengah sektor c[s] dari sektor
yang ditinjau. Dengan demikian dapat ditentukan segmen-segmen pemisah pada array
yang menentukan subsektor1 sampai dengan subsektor4, yang masing-masing
dinyatakan sebagai s[p1], …, s[p4]. Dengan didapatkannya subsektor-subsektor
tersebut, masing-masing dapat ditentukan kondisi node-nya dengan cara tes kondisi
yaitu dengan menghitung jumlah partikel yang termuat pada subsektor tersebut sebagai
berikut:
• Jika subsektor tidak memuat partikel maka subsektor adalah node = Nill
• Jika subsektor memuat tepat satu partikel maka subsektor adalah node = leaf
•
Jika subsektor memuat banyak partikel maka subsektor adalah node yang padanya
harus dilakukan pembagian lebih lanjut.
Struktur node yang dipergunakan pada program adalah sebagai berikut:
struct NODE {
stuct NODE *subsnodes[4];
int num_subnodes;
/* other data */
};
Gambar 2 adalah menyatakan quad-tree yang terbentuk.
Gambar 2. Struktur Quad-tree
Penjejakan Tree
Ada beberapa metode yang efisien untuk menjejaki struktur tree untuk mencari
node-node pada tree, antara lain metode Depth First Search (DFS) dan medode BFS.
Untuk masalah komputasi partikel seperti pada algoritma BH, metode BFS lebih efisien
daripada metode DFS karena node-node yang dicari dan memenuhi kriteria faktor
ketelitian θ hanya akan dijejaki tepat satu kali, sehingga dengan DFS akan
menimbulkan langkah balik yang tidak diinginkan.
Prinsip kerja metode BFS untuk menghitung gaya pada tiap partikel dengan
faktor ketelitian θ adalah sebagai berikut. Dimulai dengan meninjau root tree, jika
root mempunyai subnode yang dinyatakan pada pointernya, ditinjau masing-masing
subnode. Pada tiap-tiap subnode yang ditinjau dilakukan tes kriteria θ , jika dipenuhi
maka subnode adalah sebagai partikel tunggal dan penjejakan dihentikan. Sebaliknya,
jika kriteria tersebut tidak dipenuhi, penjejakan dilanjutkan pada subnode yang lain.
Demikian seterusnya secara rekursif dilakukan penjejakan pada tiap-tiap subnode yang
kriteria θ -nya belum dipenuhi sampai dengan dicapai leaf dari tree. Pada penjejakan
tree dengan metode BFS untuk menghitung gaya-gaya pada tiap partikel diaktifkan tiga
buah List yang fragmen programmnya dapat dijelaskan sebagai berikut:
Function BFS((*KriteriaBH)(subnode *));
copy root ke input_work_List;
while (!Empty (input_work_List)) {
for (each daughter node) {
if (KriteriaBH (daughter node)) {
copy (daughter node (interaction_List));
else
copy (daughter node (output_work_List));
}
}
input_work_List = output_work_List;
};
Total gaya pada suatu partikel dapat dihitung dengan mengevaluasi gaya-gaya dari
partikel-partikel pada interaktion_List.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Proses pembentukan tree pada implementasi algoritma BH ini mempunyai orde
komputasi O(N log N) dengan N = jumlah partikel pada sistem, yang dicapai pada
kondisi paling buruk (worst-case), yaitu dicapai pada saat distribusi partikel serba
sama. Hal tersebut pada sistem 2D, jumlah node yang terbentuk adalah 4 h , dimana h
= level dari tree yang terbentuk.
Proses penjejakan tree untuk menghitung gaya-gaya pada tiap partikel, untuk
harga-harga faktor ketelitian θ yang tidak nol, dapat dianalisis menggunakan
Gambar 3. Distribusi Speris Partikel Berhirarki
pendekatan distribusi partikel speris seperti pada gambar 3. Kerapatan distribusi
partikel pada sistem dapat dihitung dengan persamaan:
4π 3
n= N /(
R )
3
dimana R adalah radius dari domain partikel yang didefinisikan. Dengan
mengorganisasi distribusi partikel di dalam sel-sel berhirarki, maka jumlah interaksi
pada satu partikel adalah:
nint = n0 +
j .sel
∑
i =0
i
n subsel
= n0 +
4πri3θ
24
= n0 + 2
4π 3 3
θ
ri θ / 8
3
dimana n0 = jumlah interaksi langsung partikel-partikel yang dekat dengan partikel yang
ditinjau. Untuk N jumlah partikel pada sistem yang besar, maka jumlah interaksi pada
satu partikel dapat dihitung sebagai berikut:
nint =
24 log(θ ( 3 N / 4π ) 3 ) 4π 1
N
*
+
≈ log 2
2
3
log(
1
+
θ
)
3
θ
θ
θ
Dengan demikian, untuk kondisi paling buruk (worst-case) waktu yang diperlukan oleh
CPU untuk menghitung gaya pada satu partikel dalam sistem adalah berorde O(log N),
yang berarti jumlah operasi untuk menghitung gaya-gaya pada sistem dengan N buah
partikel adalah O(N log N).
Hasil eksekusi program untuk N = 104 jumlah partikel, dengan berbagai harga
faktor ketelitian θ dan dibandingkan dengan algoritma interaksi langsung (PP)
diberikan pada gambar 4.
Gambar 4. Eksekusi Program dengan Berbagai Harga θ
Dari gambar tersebut dapat dilihat transisi sekala dari orde komputasi O(N2) ke orde
komputasi O(N) pada saat harga θ bertambah, yang menyatakan bahwa metode tree
berhirarki akan lebih efisien apabila diaplikasikan untuk θ yang diperbesar.
KESIMPULAN DAN SARAN
Dengan menggunakan teknik pengurutan cepat pada pembentukan tree dan tiaptiap segmen pembagi dapat digunakan sebagai sentinel pada program, maka eksekusi
program lebih efisien dan menjadi lebih cepat. Akan tetapi karena masih menggunakan
empat buah pointer pada struktur data node yang dipakai, maka diperlukan jumlah
memori yang lebih besar untuk mengalokasi data partikel yang termuat pada tiap node.
Hal tersebut dapat diatasi secara dinamik dengan menempatkan sementara data partikel
pada linked-list sehingga pada struktur data node cukup menggunakan satu buah
pointer.
Secara umum lama waktu eksekusi dari algoritma BH ini juga bergantung pada
faktor ketelitian θ yang digunakan sebagai open-test pada perhitungan gaya pada tiap
partikel, dimana θ adalah fungsi dari aplikasi apa algoritma ini akan digunakan.
Pada saat distribusi partikel pada sistem tidak serba sama, pada level yang sama
dari tree yang terbentuk akan terdapat node kosong. Sehingga pada pembentukan tree
perlu dioperasikan teknik koleksi sampah (garbage collection) tertentu.
DAFTAR PUSTAKA
1. GIBBON, P., A Hierarchical Tree Code for Quantum Molecular Dynamic
Simulations, IBM Technical Report TR: 75.92.21 (1992)
2. LARS HERNQUIST, Hierarchical N-Body Methods, Computer Physics
Communications 48 (1988) p. 107 – 115
3. BARNES, J. and HUT, P., A Hierarchical O(N log N) Force-Calculation
Algorithm, Nature 324 (1987) p. 446 – 449
4. HANSEN, J.P., Computer Simulation of Basic Plasma Phenomena, Scottich
Summer School Proceeding (1989) p. 433 – 496
5. BARNES, J. and LARS HERNQUIST, Computer Models of Colliding Galaxies,
Physics Today (1993), p. 54 - 61
DISKUSI
SARIFUDDIN MADENDA
1. Dalam pencarian tree, Bapak menggunakan BFS, informasi apa yang dipakai
untuk menentukan solusi untuk menentukan node yang dicari? (apakah jarak
terdekat atau gaya terbesar?)
2. Bagaimana bila digunakan metode beam search?
SLAMET SANTOSA
1. Informasi acuan yang dipakai pada penjejakan tree dengan metode BFS adalah
kriteria D/r ≤ θ, dimana D = lebar sektor (node) dan r = jarak dari partikel yang
dihitung gayanya ke pusat node. Penjejakan dilakukan dari root, apabila kriteria
tersebut belum dipenuhi, penjejakan dilakukan terus sampai node yang memenuhi
atau sampai leaf. Dibandingkan dengan metode DFS (Depth First Search) metode
BFS lebih efisien dan tidak mengalami penjejakan ulang (back tracking).
2. Terima kasih atas informasi tentang adanya metode beam search yang
penjejakannya level demi level seperti halnya metode BFS, akan saya pelajari lebih
lanjut tentang kapasitas memori yang digunakan untuk kedua metode tersebut.
Kalau metode beam search adalah level demi level, dan pada prinsipnya juga tidak
mengalami penjejakan ulang.
DAFTAR RIWAYAT HIDUP
1. Nama
: SLAMET SANTOSA
2. Tempat/Tanggal Lahir
: Kebumen, 23 Februari 1958
3. Instansi
: P3TM - BATAN
4. Pekerjaan / Jabatan
: Staf. Bidang Akselerator
5. Riwayat Pendidikan
: (setelah SMA sampai sekarang)
• PAT-UGM, (D3) (1984)
(D3)
• ITS, (1990)
(S1)
• Univ. of Gifu (Japan) (1995)
(S2)
6. Pengalaman Kerja
:
• 1979- 1986 : Teknisi Bidang Fisika (Instrumentasi Nuklir)
•
7. Organisasi Professional
1990– sekarang : Staf Peneliti Bidang Akselerator
:
• ICMI Orsat Jepang Tengah
• Himpunan Fisika Indonesia Cabang Yogyakarta
HOME
KOMPUTASI DALAM SAIN DAN TEKNOLOGI NUKLIR X