Tentukan fungsi probabilitas massa dari fungsi

Variabel Acak Diskrit dan
Distribusinya
Tujuan
• Menentukan probabilitas dari fungsi-fungsi probabilitas
massa dan kebalikannya.
• Menentukan probabilitas dari fungsi distribusi kumulatif
dan fungsi distribusi kumulatif dari fungsi probabilitas
massa, dan kebalikannya.
• Menghitung rat-rata dan varians dari variable-variable
acak diskrit.
• Mengerti asumsi-asumsi dari masing-masing distribusi
probabilitas diskrit.
• Memilih distribusi probabilitas diskrit untuk menghitung
probabilitas yang sesuai pada aplikasi khusus.
• Menghitung probabilitas, menentukan rata-rata dan
varians untuk tiap-tiap distribusi probabilitas diskrit.
Contoh
• Pada proses pembuatan semikonduktor, dua wafer dari satu lot produksi
dites. Tiap wafer digolongkan sebagai gagal (fail) atau lulus(pass).
Diasumsikan bahwa bahwa probabilitas lulus adalah 0,8 dan wafer-wafer
adalah independen. Sebagai contoh, karena independen, probabilitas
bahwa wafer pertama lulus dan wafer kedua gagal tes, yang dilambangkan
sebagai pf, adalah
• Variabel acak X didefinisikan sebagai sama dengan jumlah wafer yang lulus.
Kolom terakhir menunjukkan nilai X yang merupakan hasil dari eksperimen.
Distribusi Probalitas dan
Fungsi Massa Probabilitas
• Distribusi probabilitas dari sebuah variable acak X adalah sebuah diskripsi
dari probabilitas dikaitkan dengan nilai-nilai yang mungkin dari X.
Contoh: ada kemungkinan bahwa sebuah bit yang dilewatkan sebuah saluran transmisi
digital akan menerima error. Misalkan X adalah sama dengan jumlah bit error dalam
empat bit yang dilewatkan. Nilai yang mungkin untuk X adalah {0, 1, 2, 3, 4}.
Berdasarkan sebuah model, probabilitas untuk nilai-nilai ini adakan ditentukan. Misalkan
bahwa probabilitasnya adalah:
Distribusi probabilitas dari X
dinyatakan oleh nilai-nilai yang
mungkin bersama-sama
dengan masing-masing
probabilitasnya.
Definisi
• Untuk sebuah variable acak diskrit X dengan nilai-nilai yang mungkin x1, x2,
… , xn, sebuah fungsi probabilitas massa adalah sebuah fungsi sehingga
Dari contoh sebelumnya:
Dimana jumlah keseluruhannya adalah 1.
Fungsi distribusi kumulatif
Fungsi distribusi kumulatif dari sebuah variable acak diskrit X adalah:
Fungsi tersebut mempunyai sifat-sifat:
Pada contoh sebelumnya, kemungkinan bahwa tiga atau kurang bit akan
mengalami error dapat dinyatakan sbb:
Contoh
Tentukan fungsi probabilitas massa dari fungsi distribusi kumulatif berikut ini
Dari gambar, titik-titik yang mempunyai probabilitas tidak nol adalah -2, 0, and 2.
Fungsi probabilitas massa pada tiap titik adalah perubahan dari fungsi distribusi
kumulatif pada titik tersebut. Sehingga
Rata-rata dan varians dari sebuah
variabel acak diskrit
Rata-rata:
Varians:
Standar deviasi:
Contoh
Contoh: ada kemungkinan bahwa sebuah bit yang dilewatkan sebuah saluran transmisi
digital akan menerima error. Misalkan X adalah sama dengan jumlah bit error dalam
empat bit yang dilewatkan. Nilai yang mungkin untuk X adalah {0, 1, 2, 3, 4}.
Berdasarkan sebuah model, probabilitas untuk nilai-nilai ini adalah:
(rata-rata)
(varians)
Distribusi binomial
Sebuah experimen acak terdiri dari n buah percobaan bernoulli sehingga
(1) Percobaan adalah independen
(2) Setiap percobaan mempunyai dua kemungkinan hasil yaitu “sukses” dan
“gagal”
(3) Probabilitas sebuah sukses dalam setiap percobaan, dilambangkan p, adalah
tetap konstan.
Variable acak X yg merupakan jumlah percobaan yang sukses, mempunyai
variable acak binomial dengan fungsi distribusi massa
adalah jumlah total percobaan dengan x buah sukses dan n-x gagal
Contoh distribusi binomial
Contoh
Setiap contoh/sampel air mempunyai kemungkinan 10% mengandung pollutant organic.
Asumsikan sample air adalah independent terhadap hadirnya polutant. Berapakah
probabilitas bahwa 18 buah sampel berikutnya akan terdapat tepat 2 sampel yang
mengandung polutant.
Misalkan X adalah jumlah sampel yang mengandung polutant pada 18 buah sampel
berikutnya yang dianalisa. Sehingga X adalah sebuah variabel binomial dengan p=0,1
dan n= 18. Sehingga
Probabilitas bahwa paling tidak 4 sampel mengandung polutant.