Pertemuan 5 - Binus Repository

Pertemuan 23
Diferensial Parsial
Tujuan
Mahasiswa dapat menggunakan Diferensial
parsial untuk mencari niali ekstrim suatu
fungsi
Nilai Ekstrim
Nilai ekstrim dari sebuah fungsi yg
mengandung lebih dari satu variabel
bebas dpt dicari dgn pengujian sampai
derivatif kedua-nya.
Untuk y =f(x,z), mk y mencapai ekstrim
jika y/x = 0 dan y/z = 0, sedang utk
menentukan maks & min adalah :
maks , bila ²y/x² < 0 & ²y/z² < 0
min,
bila ²y/x² > 0 & ²y/z² > 0
Nilai Ekstrim(2)
Contoh : Selidiki jenis ekstrim dari fungsi
y = -x² + 12x - z² + 10z – 45 ?
y/x=-2x+12
; y/z =-2z +10
-2x+12=0 x=6
-2z+10=0 z=5
y = -(6)²+12(6)-(5)²+10(5)-45 = 16
2y/x2 = - 2 <0 dan 2y/z2 = - 2 <0
Maka ttk ekstrim maksimum, ymaks = 16
Optimisasi Bersyarat
Suatu optimisasi dimana fungsi yang
hendak dioptimumkan menghadapi suatu
kendala (constraint).
Perhitungan nilai ekstrim sebuah fungsi
yg menghadapi kendala berupa sebuah
fungsi lain, dapat diselesaikan dengan
metoda : pengganda lagrange dan kuhntucker..
Pengganda Lagrange
• Mis fungsi yg dioptimumkan z=f(x,y)
dan syarat yg dipenuhi u=g(x,y) , maka
fungsi Lagrangenya :
– F(x,y, ) = f(x,y) +  g(x,y), nilai ekstrim
dpt dicari dgn memformulasikan masing2
derivatif parsial pertamanya sama dgn nol.
Fx(x,y, ) = fx + gx = 0
Fy(x,y, ) = fy +  gy = 0;
=pengganda lagrange = var. tak tentu.
Contoh: Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi
z=2x+2y dgn syarat x² + y² = 8, &
jenisnya?
F.Lagrange F = 2x + 2y + (x² + y² - 8)
= 2x + 2y + x² + y² - 8 
Agar F ekstrim, F’ = 0,
Fx =2 + 2 x = 0   = -1/x
………… a)
Fy =2 + 2 y = 0   = -1/y
………… b)
x² + y² = 8  y² + y² = 8  y² =4 y = -2
&2
Dan x = -2 & 2 Shg z =2x+2y = -8 & 8.
Penyelidikan nilai ekstrim:
Utk x=2 & y=2, =-1/2 Fxx = 2 = -1 <0
Fyy =2 = -1 <0
Maka ekstrim maksimum, dgn zmaks = 8 .
Utk x=-2 & y=-2, =1/2 Fxx = 2 = 1>0
Fyy =2 = 1 >0
Maka ekstrim minimum, dgn zmin = -8 .
Metoda Kuhn-Tucker
Adapun prosedurnya adalah :
Z/x - (g/x) = 0
Z/y - (g/x) = 0
Uji :>0 berarti nilai x dan y yang
mengoptimumkan persamaan berlaku juga
untuk pertidaksamaan (binding).
 < 0, berarti fungsi kendala tidak mengikat ( non binding)
 = 0, maka lakukan pengujian terhadap nilai x dan y yang
mengoptimumkan
(tergantung
tujuan
apakah
minimalisasi atau maximalisasi)