Pertidaksamaan - I Wayan Widana

Kelas X semester 1
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
STANDAR KOMPETENSI
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan
sistem persamaan linear dan pertidaksamaan
satu variabel
KOMPETENSI DASAR


Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang
melibatkan bentuk pecahan aljabar
Merancang model matematika yang berkaitan
dengan pertidaksamaan satu variabel
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
INDIKATOR
1. Menjelaskan pengertian dan notasi pertidaksamaan
2. Menjelaskan pengertian interval
3. Menentukan penyelesaian dari pertidaksamaan linier
4. Menentukan penyelesaian dari pertidaksamaan
kuadrat dengan garis bilangan
5. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan bentuk
pecahan
6. Menyelesaian pertidaksamaan bentuk akar
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
I. Pengertian pertidaksamaan
Pertidaksamaan didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang
dihubungkan dengan notasi / lambang <, >, ≤ atau ≥.
Contoh 1 :
a. x + 5 < 12
c. 2x2 – 3x + 5 ≥ 0
b. (x – 2)(x + 3)2(x + 4) ≤ 0
d. √(10 – 2x) > x + 5
Sebelum kita bahas lebih jauh tentang pertidaksamaan, masih
ingatkah kamu tentang pengertian interval / selang ?
Contoh 2 :
Nyatakan suatu himpunan penyelesaian yang merupakan
himpunan bilangan real yang memenuhi :
a. x > 4
c. 2 ≤ x ≤ 5
b. x ≤ -2
d. x ≤ -1 atau x > 4
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
4
-2
5
2
-1
SK / KD
4
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
Sifat-sifat pertidaksamaan
1.
2.
Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika penambahan atau
pengurangan suatu bilangan yang sma dilakukan pada kedua ruas
pertidaksamaan tersebut.
Misal :
x+3 < 5
↔ x+3–3 <5–3
↔ x < 2
Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika perkalian atau
pembagian suatu bilangan positif dilakukan pada kedua ruas
pertidaksamaan tersebut
Misal :
2x ≥ 18
↔ 2x . ½ ≥ 18 . ½
↔ x ≥ 9
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
3.
Tanda pertidaksamaan akan berubah jika perkalian atau
pembagian suatu bilangan negatif dilakukan pada
kedua ruas pertidaksamaan tersebut.
Bukti :
Misalnya : a < b dan k < 0
karena a < b maka a – b = n , dimana n < 0
sehingga : k ( a – b ) = kn
↔ ka - kb = kn > 0
↔ ka > kb
Contoh :
- 4x < 12
↔ - 4x . – ¼ > 12 . - ¼
↔ x > -3
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
II. Pertidaksamaan Linier
Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan yang memuat
variabel dengan pangkat tertinggi adalah satu
Contoh 3 :
Tentukan HP dari pertidaksamaan berikut ini :
a. 2x – 5 < 13
b. 3x + 2 ≥ 5x – 22
c. 3 < x + 4 < 7
d. 3x + 1 ≤ 2x – 6 ≤ x – 5
Jawab :
a.
2x – 5 < 13
↔ 2x < 13 + 5
↔ x < 18
18
HP = { x / x < 18 }
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
b. 3x + 2 ≥ 5x – 22
↔ 3x – 5x ≥ - 22 – 2
↔ - 2x ≥ -24
↔
x ≤ 12
HP = { x / x ≤ 12 }
c. 3 < x + 4 < 7
↔ 3–4< x <7–4
↔ -1 < x < 3
HP = { x / -1 < x
< 3}
d. 3x + 1 ≤ 2x – 6 ≤ x – 5
↔ 3x + 1 ≤ 2x – 6
↔ 3x – 2x ≤ -6 - 1
↔
x ≤ -7
atau :
2x – 6 ≤ x – 5
↔ 2x – x ≤ -5 + 6
↔
x ≤ 1
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
12
3
-1
Materi
Contoh
Latihan
atau :
3x + 1 ≤ x – 5
↔ 3x – x ≤ -5 – 1
↔
2x ≤ -6
↔
x ≤ -3
hasilnya
-7
1
-3
-7
HP = { x / x ≤ - 7 }
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
III. Pertidaksamaan Kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang
memuat variabel dengan pangkat tertinggi adalah dua.
Ada 2 cara menyelesaiakan pertidaksamaan kuadrat yaitu :
a. dengan metode garis bilangan
b. dengan metode sketsa grafik
A.
Dengan metode garis bilangan
Contoh 4 :
Tentukan HP dari pertidaksamaan kuadrat berikut ini
dengan metode garis bilangan :
a. (x – 1)(x + 3) > 0
c. 3x2 + 5x – 1 ≤ 2x2 + 5x +
15
b. x2 – 5x + 6 ≤ 0
d. –x2 + 3x – 4 < 0
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
Jawab :
a.
(x – 1)(x + 3) > 0
- - - - - - -
+ + + +
+ + + +
1
-3
Jadi HP = { x / x < -3 atau x > 1 }
b. x2 – 5x + 6 ≤ 0
↔ (x – 2)(x – 3) ≤ 0
- - - - - - -
+ + + +
- - - - - - 2
3
Jadi HP = { x / x ≤ 2 atau x ≥ 3 }
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
c. 3x2 + 5x – 1 ≤ 2x2 + 5x + 15
↔ 3x2 – 2x2 + 5x – 5x – 1 – 15 ≤ 0
↔ x2 – 16 ≤ 0
↔ (x – 4)(x + 4) ≤ 0
- - - - - - -
+ + + +
-4
+ + + +
4
Jadi HP = { x / -4 ≤ x ≤ 4 }
d. –x2 + 3x – 4 < 0
x(-1)
↔ x2 – 3x + 4 > 0
↔ (x – 1)(x + 4) > 0
- - - - - - -
+ + + +
+ + + +
1
-4
Jadi HP = { x / x < -4 atau x > 1 }
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
B. Metode sketsa grafik
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan
menggunakan metode sketsa grafik fungsi kuadrat
seperti yang telah kita pelajari pada kompetensi
dasar grafik fungsi kuadrat yang lalu. Grafik fungsi
kuadrat berbentuk parabola. Hal yang perlu
diperhatikan sebelum kita menggambar parabola y
= ax2 + bx + c adalah a dan D (diskriminan = b2 –
4ac) . Perhatikanlah hal yang berikut ini :
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
Jika
a > 0 (Mempunyai nilai
balik minimum).
D > 0 (memotong sb x di 2
titik yang berlainan).
a.
a
>0
D=0 (menyinggung sb
x/terdapat 1 titik persekutuan).
b.
a
>0
D < 0 (tidak
memotong/menyinggung sb x).
c.
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan

d.



e.


f.
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
a < 0 (mempunyai nilai
balik maksimum)
D > 0 (memotong sb x
di 2 titik yang
berlainan).
a<0
D = 0 (menyinggung sb
x, mempunyai 1 titik
persekutuan).
a<0
D < 0 (tidak
memotong/menyinggun
g sb x)
Materi
Contoh
Latihan
Hal yang perlu diperhatikan dalam menggambar sketsa grafik fungsi
kuadrat yaitu :
a. Titik potong dengan sumbu X syaratnya y = 0
b. Titik potong dengan sumbu Y syartanya x = 0
c. Sumbu simetri yaitu x = -b/2a
d. Titik Puncak yaitu P( -b/2a , -D/4a)
Contoh 5 :
Tentukan HP dari pertidaksamaan kuadrat x2 – x < 3x dengan
menggunakan sketsa grafik.
Jawab :
x2 – x < 3x
↔ x2 – x - 3x < 0
↔ x2 – 4x < 0
Kita harus menggambar grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x dan
setelah itu kita tentukan daerah penyelesaiannya yang berada
dibawah sumbu X.
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
a.Titik potong dengan sumbu X syaratnya y – 0
y = x2 – 4x
0 = x2 – 4x
0 = x ( x – 4)
x = 0 atau x = 4
b. Titik potong dengan sumbu Y syaratnya x = 0
y=3
Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah (3,0)
c. Sumbu simetri x = -b/2a
x = - (-4) / 2.1
x=2
d. Puncak P(-b/2a , -D/4a)
P ( 2, -(b2 – 4ac) /4a )
P ( 2, -((-4)2-4.1.0 / 4.1)
P ( 2, -16/4)
P (2 , -4)
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
Sketsa grafiknya adalah sebagai berikut :
Y
Himpunan penyelesaiannya
adalah daerah yang terletak
diantara 0 dan 4 yang berada
dibawah sumbu X ( karena
tanda pertidaksamaannya < 0 )
Jadi HP = { x / 0 < x < 4 }
X
0
2
4
-4
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
IV. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan
Contoh 6 :
Tentukan himpunan penyelesaian
dari pertidaksamaan :
x2
 0 , x  1
x 1
Jawab :
x2
0
x 1
Faktor pembuat nol adalah x  2 dan x  1
- - - - - - - - -
+ + + +
+ + + +
-1
2
Jadi HP = { x / -1 < x < 2 }
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
Contoh 7 :
Tentukan nilai x yang memenuhi
pertidaksamaan
2x 1
1, x3
x 3
++++
- - - - - - - - - - 3
-2
Jawab :
++++
2x 1
HP = { x / x ≤ -2 atau x > 3 }
1 x  3
x 3
2x 1
1  0
x 3
2x 1
x 3

0
x 3
x 3
x2
 0 dengan x  3
x 3
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
Contoh 8 :
Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
x 2  5x  6
 0 , x  2 atau x  5
2
x  7 x  10
Jawab :
x 2  5x  6
0
2
x  7 x  10
( x  2)( x  3)
0 +++++++ - - - - - - - - - - +++++++
( x  2)( x  5)
5
3
( x  3)
0
( x  5)
Jadi HP = { x / 3 ≤ x ≤ 5 }
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
V. Pertidaksamaan Bentuk Akar
Contoh 9 :
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan bentuk akar berikut :
2x  5  1
Jawab :
syarat pertidaksamaan :
( 2 x  5 ) 2  (1) 2
(2 x  5)  1
2x  6
x3
syarat bentuk akar :
2x  5  0
2x  5
5
x
2
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
Syarat bentuk akar
5/2
Syarat pertidaksamaan
3
hasilnya
3
5/2
Jadi HP = { x / 5/2 ≤ x ≤ 3 }
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
Contoh 10 :
Tentukan HP dari
Jawab :
2 x  6  3x  12
syarat pertidaksamaan :
2 x  6  3x  12
syarat bentuk akar :
(1) 2 x  6  0
( 2 x  6 ) 2  ( 3x  12 ) 2
2x  6
(2 x  6)  (3x  12)
2 x  3x  12  6
x3
(2) 3x  12  0
 x  6
3x  12
x 6
x 4
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
Syarat pertidaksamaan
6
Syarat bentuk akar (1)
3
Syarat bentuk akar (2)
4
hasilnya
6
Jadi HP = { x / x > 6 }
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
LATIHAN 2
1.
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut
ini dengan menggunakan metode garis bilangan :
a. x2 – 2x – 3 < 0
b. x2 + x – 12 > 0
c. x2 + 3x – 10 ≤ 0
d. x2 – x + 2 ≥ 0
e. 3x2 + 2x + 2 < 2x2 + x + 8
f. (x – 1)(x – 2) ≤ 0
g. (2x – 1 )(x + 1) ≥ 0
h. (3 – 2x)(x + 4) < 0
i. (x – 1)2 ≥ 4x2
j. (x – 1)(x + 2) > x (4 – x)
k. 3x < x2 + 2
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
2. Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut ini
dengan menggunakan metode sketsa grafik :
a. (x – 3)(x – 5) > 0
b. (x + 1 )(x – 2) < 0
c. 2x2 + 9x + 4 ≤ 0
d. 2x2 – 11x + 5 ≥ 0
e. –x2 + 3x – 4 < 0
f. 3 + 3x – 4x2 ≤ 4x2 – 2x
g. 2x2 > 15 – 7x
h. x2 + 3x ≥ 2 (x +3)
i. 3x2 + 4x + 18 > 4x2 + 3x – 2
j. 12 – 4x – x2 < 0
k. x2 – 25 ≥ 0
l. 9x – 6x2 ≤ 3 – 2x
m. 2x2 – x > 3 – 6x
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
2. Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut ini
dengan menggunakan metode sketsa grafik :
a. (x – 3)(x – 5) > 0
b. (x + 1 )(x – 2) < 0
c. 2x2 + 9x + 4 ≤ 0
d. 2x2 – 11x + 5 ≥ 0
e. –x2 + 3x – 4 < 0
f. 3 + 3x – 4x2 ≤ 4x2 – 2x
g. 2x2 > 15 – 7x
h. x2 + 3x ≥ 2 (x +3)
i. 3x2 + 4x + 18 > 4x2 + 3x – 2
j. 12 – 4x – x2 < 0
k. x2 – 25 ≥ 0
l. 9x – 6x2 ≤ 3 – 2x
m. 2x2 – x > 3 – 6x
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan
LATIHAN 3
1.Tentukan HP dari pertidaksamaan berikut ini :
3x  2
a.
 0, x  0
x
x6 x2
b.

x  3 x 1
2
3
c.

x 3 x  2
4  x2
d.
 0, x0
2
x
( x  1)( 2 x  4)
e.
0
2
x 4
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
x2  9
f. 2
0
x  4x  3
x
g.
x
2x  3
x 1 x  3
h.

x2 x4
x 2  5x  6
i.
 ( x  2)
x 1
x2  x  2
j.
1
2
x 4
Materi
Contoh
Latihan
Referensi


1001 Soal Matematika, Erlangga
Matematika Dasar, Wilson
Simangunsong
SK / KD
Indikator
UJI KOMPETENSI
Materi
Contoh
Latihan