Conditional Probability Bayes Theorem And Independence

Conditional Probability
Bayes Theorem
And Independence
MACAM-MACAM EVENT
TWO EVENTS
A and B
NOT MEE
P( A B)  P( A)  P(B)  P( A B)
MEE
P( A
P( A
B)  0
B)  P( A)  P(B)
DEPENDENT
P(A B)  P(A) P(B A)
P(B) P(A B)
INDEPENDENT
P(A B)  P(A) P(B)
2
Conditional Probability
Definisi :
Peluang bersyarat, P(B│A), menyatakan bahwa
peluang B akan terjadi dengan syarat A telah
terjadi, didefinisikan sebagai
P A  B 
PB A 
P( A)
; P( A)  0
Conditional Probability
Contoh :
Tentukan peluang bahwa sebuah dadu diundi satu kali
akan menghasilkan angka yang kurang dari 4 jika
a. Tidak diberikan informasi lain
b. Diketahui lemparan tersebut menghasilkan angka
ganjil
Conditional Probability
Pemecahan :
a. Misalkan B menyatakan kejadian “kurang dari 4”,
maka
1 1 1 3
P( B)  P(1)  P(2)  P(3)    
6 6 6 6
b. Misalkan A menyatakan kejadian “bilangan ganjil”,
maka
1 1 1 3 1
P( A)  P(1)  P(3)  P(5)     
6 6 6 6 2
1 1 2 1
P( A  B)  P(1)  P(3)    
6 6 6 3
Conditional Probability
Sehingga
PB A 
P( A  B) 1 3 2


P( A)
12 3
Jadi, informasi tambahan bahwa pengundian
tersebut menghasilkan angka ganjil membuat nilai
peluangnya naik dari 1/2 menjadi 2/3
Conditional Probability
Sifat-sifat peluang bersyarat :
1. P(B│A) > 0
2. P(Ω│A) = 1
3. Jika B1 ∩ B2 = Φ, maka
PB1  B2 A  PB1 A  PB2 A
4. Hukum komplemen
PB A 1  PB A
5. Hukum perkalian
P A  B  P A PB A  PB PA B
Contoh:
Dalam peristiwa pelemparan sekeping mata
uang sebanyak 3x, misalkan:
A= muncul sisi M sebanyak 2x
B= muncul sisi B pada lemparan ke-3
A  MMB, MBM , BMM 
B  MMB, BBB, MBB, BMB
3
8
4
P( B) 
8
P ( A) 
1
P( A  B) 
8
maka:
A  B  MMB
P  A  B
P( A B ) 
P( B)
1
1
 8 
4 4
8
Contoh
Dalam audisi Indonesian Idol diketahui bahwa 32%
peserta berhasil dari tes pertama, sedangkan 20%
peserta berhasil dari tes pertama dan kedua. Gayus
adalah salah satu peserta yang berhasil dari tes
pertama. Berapa peluang dia berhasil juga dari tes
kedua?
P ( I )  0.32
P( I  II )  0.20
P( I  II )
0.20
P( II I ) 

 0.625
P( I )
0.32
Contoh:
Sebuah kotak berisi 10 bola berwarna merah
dan 40 bola berwarna biru, jika dua bola
diambil tanpa pengembalian, tentukan
peluang bola pertama adalah merah, bola
kedua adalah biru:
10 40
P(M  B)= P(M ).P( B M )  50 . 49
Independent Events
Jika 2 events tidak berhubungan, dimana muncul
(atau tidak munculnya) salah satu event tidak akan
mempengaruhi kemungkinan event lainnya, maka
events tersebut dinamakan independent.
Secara matematis, event A dan B dikatakan
independent, jika dan hanya jika
P A  B  P A PB
Independent Events
Jika kita kombinasikan dengan hukum perkalian
peluang bersyarat :
P A  B  P A PB A
Dan event A dan B independent, maka
PB A  PB 
Dengan cara yang sama diperoleh
PA B   P A
Independent Events
 Teorema :
Jika A dan B independent, maka event berikut
juga independent
A dan B
A dan B
A dan B
 Definisi : jika A, B, dan C independent, maka
P A  B  C   P A PB PC 
Independent Events
 Terdapat kecenderungan untuk menyamakan makna
“mutually exclusive” dan “probabilistically independent”
 Mutually exclusive tidak akan pernah menjadi
probabilistically independent, atau sebaliknya
 Sebagai ilustrasi, misalkan A dan B adalah events
dengan P(A) = 0.3 dan P(B) = 0.4
 Jika A dan B mutually exclusive, maka A ∩ B = Φ dan
P(A ∩ B) = P(Φ ) = 0
 Dilain pihak, jika A dan B probabilistically independent,
maka
P(A ∩ B) = P(A) P(B) = (0.3) (0.4) ≠ 0
Example on Independence
E1: Drawing Ball 1 P(E1): 1/3
E2: Drawing Ball 2 P(E2):1/3
E3: Drawing Ball 3 P(E3): 1/3
1
2
3
p A  B   p A   p B 
Case 1: Drawing with replacement of the ball
The second draw is independent of the first draw
1 1 1
p  E 1  E 2      p  E 1  p  E 2 
3 3 9
Case 2: Drawing without replacement of the ball
The second draw is dependent on the first draw
1 1 1
p  E 1  E 2      p  E 1  p  E 2 
3 2 6
p  E 1  E 2 
1
2
Contoh: Law of Total Probability
Misalkan B1, B2, … Bn merupakan bagian (partition)
dalam sample space S, dan A adalah event dalam S
B1
A
B2
Bn
Disini kejadian A dapat dipandang sebagai paduan kejadian-kejadian B1
 A, B2  A . . . Bn  A yang saling terpisah satu sama lain ; dengan kata
lain
A = (B1  A )  (B 2  A )  . . .  (Bn  A )
P(A) = P(B1  A )  P(B 2  A )  . . .  P(Bn  A ))
P(A) = P(B1) x P(A/B1) + P(B2) x P(A/B2) + . . . + P(Bn ) x P(A/Bn)
Contoh: Law of Total Probability
Sample Space
Partisi
Event/Kejadian
B 1  {1,5}
S  {1, 2,3, 4,5,6,7}
B 2  {2,3, 6}
B 3  {4,7}
A  {3}
Law of Total Probability
p  A   p {3}  p  A  B1   p  A  B 2   p  A  B 3 
 0  p {3}  {2,3,6}  0  p {3}
Bayes Theorem
Misalkan B1, B2, … Bn merupakan bagian (partition)
dalam sample space Ω, dan A adalah event dalam Ω
B1
A
Bn
B2
Prior
maka
Posterior
P Bi  P  A Bi 
P  A  Bi 
P Bi A 

P  A
 P Bi  P  A Bi 
i
TEOREMA BAYES
P B k A 
B2
B1
A
Bi
Bk
P Bk A  
P B k  P A B k 
n

i 1
P B i  P A B i 
19
PROBABILITAS DIAGRAM POHON
DEFINISI : Probabilitas diagram pohon melukiskan events atau
serangkaian event sebagai cabang dari suatu pohon
Diagram ini digunakan sebagai peraga untuk menyatakan gambaran
mengenai kondisi probabilitas.
Coba analisa, probabilitas diagram pohon dibawah ini :
20
PELUANG DIAGRAM POHON DUA TAHAP
A1
P (A2)
A2
P( R | A1)
P( R | A2)
R
A3
TAHAP I
3
P( R | A3)
R
R
R
TAHAP II
P(R)   P( A1 )P(R A1 )
i 1
EVENT
PROBSBILITAS
A1 R
P (A1) P( R | A1)
A2 R
P (A2) P( R | A2)
A3 R
P (A3) P( R | A3)
P (A1), P (A2), P(A3)
Disebut prior probabilities
P(A1|R ), P(A2|R ), P(A3|R )
Disebut posterior probabilities
P(A1 ), P(R A1 )
P(A1 R) 
; i  1,2,3
P( R)
21
Contoh
Pada suatu kotak terdapat 4 kelereng kuning dan 3 kelereng merah. Akan
dilakukan pengambilan secara acak beberapa kali, dimana setelah suatu
pengambilan dilakukan kelerengnya tidak dikembalikan.
1. Pada pengambilan pertama:
p(kuning) = 4/7
p(merah) = 3/7
2. Bila pengambilan pertama didapat kelereng kuning, maka untuk
pengambilan kedua:
p(kuning)=3/6
p(merah)=3/6
3. Bila pengambilan pertama didapat kelereng merah, maka untuk
pengambilan kedua:
p(kuning)=4/6
p(merah)=2/6
Kondisi ini bisa digambarkan sbb….
22
23
SOAL
No.1
Sebuah pabrik VCR membeli salah satu microchip-nya dari 3
perusahaan yang berbeda. 30% microchip tersebut dibeli dari
erusahaan X, 20% dari perusahaan Y, dan 50% dari perusahaan Z.
Berdasarkan pengalaman, 3% microchip perusahaan X cacat, 5%
microchip perusahaan Y cacat, dan 4% microchip perusahaan Z
cacat. Pada saat microchips tersebut sampai di pabrik, mereka
langsung menempatkannya dalam kotak tanpa inspeksi atau
mengidentifikasi asal microchip terlebih dahulu. Seorang pekerja
mengambil sebuah microchip secara acak dan ternyata cacat.
Berapa peluang bahwa microchip tersebut berasal dari perusahaan
Y?
No.2
DIAGRAM BINARY SYMMETRIC COMMUNICATION SYSTEM
P(B1)=0,6
B1
0,9
P ( A1 | B1 )
A1
0,1
P ( A2 | B1 )
P ( A1 | B2 )
0,1
B2
P(B2)=0,4
0,9
P ( A2 | B2 )
A2
CARILAH
1. Probabilitas sinyal dengan syarat yang
dikirimkan benar pada sisi penerima A1
dan A2 dengan menggunakan teorema
bayes
2. Probabilitas sinyal dengan syarat yang
dikirimkan salah pada sisi penerima A1
dan A2 dengan menggunakan teorema
bayes
No.3
 Suatu generator telekomunikasi nirkabel mempunyai 3
pilihan tempat untuk membangun pemancar sinyal yaitu
didaerah tengah kota, daerah kaki bukit dikota itu dan
derah tepi pantai, dengan masing-masing mempunyai
peluang 0.2; 0.3 dan 0.5. Bila pemancar dibangun
ditengah kota, peluang terjadi ganguan sinyal adalah
0.05. Bila pemancar dibangun dikaki bukit, peluang
terjadinya ganguan sinyal adalah 0.06.Bila pemancar
dibangun ditepi pantai, pelaung ganguan sinyal adalah
0.08.
 A. Berapakah peluang terjadinya ganguan sinyal?
 B. Bila diketahui telah terjadinya gangguan pada sinyak
pada sinyal, berapa peluang bahwa operator tsb
ternyata telah membangun pemancar di tepi pantai?
27