Himpunan (matematika)
advertisement
Himpunan (matematika)
Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap
sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika
himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika
modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori
himpunan, sangatlah berguna.
Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn
Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan
bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan
sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika
modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua
aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.
Notasi Himpunan
Hubungan di antara 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn
Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B,
sementara elemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini
adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis
dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan
yang umum dipakai.
Notasi
Himpunan
Huruf besar
Contoh
S
Elemen himpunan Huruf kecil (jika merupakan huruf) a
Kelas
Huruf tulisan tangan
Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat,
dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.
Bilangan Asli Bulat Rasional Riil Kompleks
Notasi
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:
Simbol
{} atau
,
AC
,
,
Arti
Himpunan kosong
Operasi gabungan dua himpunan
Operasi irisan dua himpunan
Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan
sejati
Komplemen
Himpunan kuasa
Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:
Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak
tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).
Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan
sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap elemen himpuan tersebut.
Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah
himpunan berikut:
Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota
yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana
mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.
Himpunan kosong
Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga,
dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6.
Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun.
Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.
Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:
Relasi antar himpunan
Subhimpunan
Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat
himpunan-himpunan lain yang elemen-elemennya adalah diambil dari himpunan tersebut.
{apel, jeruk}
{jeruk, pisang}
{apel, mangga, pisang}
Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah
juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai subhimpunan atau
himpunan bagian dari A. Jadi dapat dirumuskan:
B adalah himpunan bagian dari A jika setiap elemen B juga terdapat dalam A.
Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka
juga subhimpunan dari A.
Untuk sembarang himpunan A,
Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A
sendiri.
Untuk sembarang himpunan A,
Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai subhimpunannya
sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A,
tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.
Subhimpunan sejati dari A menunjuk pada subhimpunan dari A, tetapi tidak mencakup
A sendiri.
Superhimpunan
Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar
yang mencakup himpunan tersebut.
Kesamaan dua himpunan
Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya,
setiap anggota B adalah anggota A.
atau
Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah
sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa B
adalah subhimpunan A.
Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang
terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A. Notasinya adalah
Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka
.
:
{ { },
{apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang},
{apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang},
{jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang},
{apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga,
pisang}, {jeruk, mangga, pisang},
{apel, jeruk, mangga, pisang} }
Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat
banyaknya anggota A.
Kelas
Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut
terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan
adalah sebuah keluarga himpunan.
Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya,
adalah sebuah keluarga himpunan.
Contoh berikut,
yang bukan himpunan.
bukanlah sebuah kelas, karena mengandung elemen c
Kardinalitas
Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya elemen
yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya elemen himpunan
{apel,jeruk,mangga,pisang} adalah 4. Himpunan {p,q,r,s} juga memiliki elemen
sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan
memiliki kardinalitas yang sama.
Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi
korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Karena dengan mudah kita membuat
fungsi
yang memetakan
satu-satu dan kepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan tersebut memiliki
kardinalitas yang sama.
Himpunan Denumerabel
Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka
himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut
sebagai kardinalitas .
Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena
memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan
asli, yang dinyatakan oleh
.
Himpunan Berhingga
Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka
himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.
Himpunan Tercacah
Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.
Himpunan Non-Denumerabel
Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari
himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini
disebut sebagai kardinalitas . Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat
menggunakan pembuktian diagonal.
Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas , karena terdapat
korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil,
yang salah satunya adalah
.
Fungsi Karakteristik
Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah elemen terdapat dalam sebuah
himpunan atau tidak.
Jika
maka:
χA(apel) = 1
χA(durian) = 0
χA(utara) = 0
χA(pisang) = 1
χA(singa) = 0
Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa
dengan himpunan dari
semua fungsi karakteristik dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan
sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah elemen dalam
himpunan tersebut.
Representasi Biner
Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S, maka setiap
himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga
bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap
posisi bit dikaitkan dengan masing-masing elemen S, sehingga nilai 1 menunjukkan
bahwa elemen tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa elemen tersebut tidak ada.
Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan
tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B =
{b, c, d, f}, maka:
Himpunan
---------------------------S = { a, b, c, d, e, f, g }
A = { a,
c,
e, f
}
B = {
b, c, d,
f
}
-->
-->
-->
Representasi Biner
------------------a b c d e f g
1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 0
0 1 1 1 0 1 0
Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasioperasi himpunan, seperti union, interseksi, dan komplemen, karena kita tinggal
menggunakan operasi bit untuk melakukannya.
Operasi gabungan
setara dengan A or B
Operasi irisan
setara dengan A and B
Operasi komplemen AC setara dengan not A
Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-kompiler Pascal dan
juga Delphi.
Contoh soal:
Fungsi
Grafik contoh sebuah fungsi,
Baik domain maupun kisaran dalam gambar adalah himpunan bilangan riil di antara -1
dan 1,5
Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan
(dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai
kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai seharihari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep
dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta",
"transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.
Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain),
namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh
sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang
menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar.
Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.
Notasi
Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.
Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen
himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang
memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut
tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.
atau
Fungsi sebagai relasi
Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur
pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.
Domain dan Kodomain
Pada diagram di atas, X merupakan domain dari fungsi f, Y merupakan kodomain
Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah
daerah hasil
Jenis-jenis fungsi
Fungsi injektif
Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk
sebarang a1 dan a2
dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama dengan
f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).
Fungsi surjektif
Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk
sebarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga
berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan
kisarannya (range).
Fungsi bijektif
Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b
dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada
anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah
sekaligus injektif dan surjektif.
Contoh soal:
Relasi
Hubungan/relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu pemasangan
anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.
A. SEBUAH RELASI R TERDIRI DARI:
1. Himpunan A
2. Himpunan B
3. Sebuah kalimat terbuka P(x,y) yang menyatakan hubungan antara himpunan
A dengan himpunan B.
Dimana x bersesuaian dengan a A dengan y bersesuaian dengan b B.
Bila P(a,b) betul maka a berelasi dengan b. Ditulis a R b
Bila tidak demikian maka a R b
B. SEBUAH RELASI DAPAT DINYATAKAN DENGAN:
1.
2.
3.
4.
Himpunan Pasangan Berurutan (a,b)
Kalimat terbuka P(x,y)
Diagram cartesius ( diagram A x B )
Diagram panah
bila R adalah sebuah relasi, maka himpunan dari relasi ini adalah:
R = {(a,b) a A; b B; P(a,b) adalah betul}
Ket: Jika A=B, maka P(x,y) mendefinisikan sebuah relasi di dalam A.
contoh :
R = (A,B, P(x,y))
A = {2,3,4}
B = {3,4,5,6}
P(x,y) menyatakan x pembagi y
Himpunan penyelesaian relasi ini adalah
a. Himpunan pasangan berurutan
R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}
b. Diagram cartesius
c. Diagram panah
5.
RELASI INVERS
Setiap Relasi dari A ke B, mempunyai relasi R-1 dari B ke A yang didefinisikan
sebagai
R-1 = {(b,a) (a,b) R}
contoh:
A = {1,2,3}; B = {a,b}
R = {(1,a), (1,b), (3,a)} relasi dari A ke B
R-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)} relasi invers dari B ke A
DOMAIN DAN RANGE
Domain (daerah asal) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen pertama dari
pasangan berurutan elemen R.
Domain = { a a A, (a,b) R }
Range (daerah hasil) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen kedua dari
pasangan berurutan elemen R.
Range = {b b B, (a,b) R}
Contoh soal:
A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c}
R = {(2,a) ; (4,a) ; (4,c)}Domain = {2,4}
Range = {a,c}
Bila V = {-2,-1,0,1,2}
g : V R; R = riil
g(x) = x² + 1
Tentukan range !!!
Jawab:
Domain = {-2, -1, 0, 1, 2}
Image dari g adalah :
g(-2) = 5
g(-1) = 2
g(0) = 1
g(1) = 2
g(2) = 5
maka range = {1, 2, 5}
Tentukan domain dan range dari y = (x - 1)
syarat : (x - 1) 0
Jawab :
D = { x x 1}
R = { y y 0}
Tentukan range dari f(x) = x² pada domain [1, -4]
Jawab:
Domain : f(x) = x²
-1 x 4
0 x 16
0 y 16
Range : [0, 16]
Bila V = {-2,-1,0,1,2}
g : V R; R = riil
g(x) = x² + 1
Tentukan range !!!
Jawab:
Domain = {-2, -1, 0, 1, 2}
Image dari g adalah :
g(-2) = 5
g(-1) = 2
g(0) = 1
g(1) = 2
g(2) = 5
maka range = {1, 2, 5}
Tentukan domain dan range dari y = (x - 1)
syarat : (x - 1) 0
Jawab :
D = { x x 1}
R = { y y 0}
Tentukan range dari f(x) = x² pada domain [1, -4]
Jawab:
Domain : f(x) = x²
-1 x 4
0 x 16
0 y 16
Range : [0, 16]
STATEMEN TERSTRUKTUR
Pendahuluan
- Statemen dapat dikatakan sebagai satuan terkecil suatu program.
- Statemen dapat digolongkan menjadi dua kelompok, yaitu :
1. Statemen Sederhana
2. Statemen Terstruktur
- Statemen sederhana adalah Statemen yang tidak berisi statemen
yang lain, dan hanya terdiri dari satu baris statemen, terdiri dari
statemen penugasan (assignment statement) dan statemen
fungsi:
Statemen Penugasan
- Statemen penugasan digunakan untuk mengubah nilai suatu
peubah dengan nilai baru atau untuk menentukan suatu
ungkapan yang nilainya bisa diperoleh dari fungsi yang
digunakan.
- Contoh statemen penugasan:
D = B*B – 4*A*C;
Sinus = sin(x/y);
Statemen Fungsi
- Statemen fungsi adalah statemen yang digunakan untuk
memanggil suatu fungsi.
- Jika fungsi yang dipanggil berisi sederetan parameter formal,
maka dalam statemen fungsi juga harus berisi parameter
aktual yang sesuai.
- Parameter dalam deklarasi fungsi disebut parameter formal,
dan dalam statemen fungsi atau pemanggil fungsi disebut
dengan parameter aktual).
- Contoh statemen fungsi:
Invers_matriks(Matriks_A, Matriks_B);
Baca_data;
Statemen Terstruktur
Statemen terstruktur adalah statemen yang tersusun dari
sejumlah statemen lain yang akan dieksekusi:
1. Secara berurutan (statemen majemuk dan statemen with),
2. Secara terkendali (statemen kendali) atau
3. Secara berulang (statemen perulangan).
Statemen Majemuk
- Statemen majemuk (compound statement) adalah statemen
yang terdiri dari sejumlah statemen yang akan dieksekusi
dengan urutan yang sama dengan urutan cara penulisan
statement-statemen tersebut.
- Komponen statemen ini diperlakukan sebagai satu statemen.
- Statemen majemuk ditandai dengan tanda kurung kuraval buka
({) dan diakhiri dengan tanda kurung kuraval tutup (}).
- Contoh statemen majemuk:
{
a = a + 1;
b = a * c;
d = b – a;
};
Statemen Kendali
- Statemen kendali digunakan untuk mengambil suatu keputusan
atau memilih bagian program yang akan dikerjakan sesuai
dengan kondisi atau syarat yang diberikan.
- Bahasa C menyediakan beberapa statemen kendali, seperti:
o Statemen if
o Statemen if-else, dan
o Statemen switch
- Statemen-statemen di atas memerlukan suatu kondisi atau
syarat sebagai dasar pengambilan keputusan.
- Salah satu kondisi yang umum digunakan adalah berupa
keadaan benar atau salah (true or false).
- Bahasa C menyediakan beberapa jenis operator untuk
mendukung pembentukan kondisi benar atau salah.
Operator Relasi.
-
Operator relasi (hubungan) biasa digunakan untuk
membandingkan dua buah nilai. Hasil pembadingan berupa
keadaan benar atau salah.
- Operator relasi yang dapat digunakan dalam pemrograman
disajikan pada tabel 4.1 berikut.
Tabel 4.1 Operator Relasi.
Operator
>
>=
<
<=
==
!=
Makna
Lebih dari
Lebih dari atau sama
dengan
Kurang dari
Kurang dari atau sama
dengan
Sama dengan
Tidak sama dengan
Statemen Majemuk
- Statemen majemuk (compound statement) adalah statemen
yang terdiri dari sejumlah statemen yang akan dieksekusi
dengan urutan yang sama dengan urutan cara penulisan
statement-statemen tersebut.
- Komponen statemen ini diperlakukan sebagai satu statemen.
- Statemen majemuk ditandai dengan tanda kurung kuraval buka
({) dan diakhiri dengan tanda kurung kuraval tutup (}).
- Contoh statemen majemuk:
{
a = a + 1;
b = a * c;
d = b – a;
};
Statemen Kendali
- Statemen kendali digunakan untuk mengambil suatu keputusan
atau memilih bagian program yang akan dikerjakan sesuai
dengan kondisi atau syarat yang diberikan.
- Bahasa C menyediakan beberapa statemen kendali, seperti:
o Statemen if
o Statemen if-else, dan
o Statemen switch
- Statemen-statemen di atas memerlukan suatu kondisi atau
syarat sebagai dasar pengambilan keputusan.
- Salah satu kondisi yang umum digunakan adalah berupa
keadaan benar atau salah (true or false).
- Bahasa C menyediakan beberapa jenis operator untuk
mendukung pembentukan kondisi benar atau salah.
Aljabar Boolean
Aljabar Boolean adalah struktur aljabar yang "mencakup intisari" operasi logika AND,
OR dan NOR dan juga teori himpunan untuk operasi union, interseksi dan komplemen.
Penamaan Aljabar Boolean sendiri berasal dari nama seorang matematikawan asal
Inggris, bernama George Boole. Dialah yang pertama kali mendefinisikan istilah itu
sebagai bagian dari sistem logika pada pertengahan abad ke-19.
Boolean adalah suatu tipe data yang hanya mempunyai dua nilai. Yaitu true atau false
(benar atau salah).
