TEOREMA TITIK TETAP BANACH UNTUK MENDAPATKAN

La Ode Muhammd Umar Reky Rahmad R, et al.// Paradigma, Vol. 17 No. 1, April 2013, hlm. 51-60
TEOREMA TITIK TETAP BANACH UNTUK MENDAPATKAN SYARAT
KEKONVERGENAN METODE JACOBY
La Ode Muhammad Umar Reky Rahmad R1), La Ode Safrudin 2)
1)
Staf Pengajar Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Haluoleo, Kendari 93231
2)
Alumni Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Haluoleo, Kendari 93231
ABSTRAK
Tulisan ini membahas tentang Teorema Titik Tetap Banach (teorema kontraksi) dan
aplikasinya untuk mendapatkan syarat umum kekonvergenan metode Jacoby untuk menyelesaikan
sistim persamaan linear. Dengan merekonstrksi satu barisan iteratif ( n) pada ruang metrik (X,d), kita
dapat menunjukan bahwa limit barisan tersebut merupakan satu-satunya titik tetap dari pemetaan
T:X→X. Dengan menggunakan Teorema Titik Tetap Banach dapat diperoleh syarat kekonvergenan
suatu metode iterasi suatu sistim persamaan linear seperti dicontohkan pada metode Jacoby.
Kata kunci: Teorema Titik Tetap Banach, sistim persamaan linier, konvergen, Metode Jacoby.
Diterima: Desember 2012
Disetujui untuk dipublikasikan: Maret 2013
1. PENDAHULUAN
Sistim persamaan linier yang ditemui pada bidang aplikasi teknik dan fisika tidak
selalu mudah diselesaikan menggunakan metode langsung. Sebagai contoh diskritisasi
persamaan differensial Poisson dan Laplace 2D menggunakan metode beda hingga
menghasilkan sistim persamaan linier berukuran besar, sehingga dibutuhkan memory
komputer yang sangat besar untuk menyelesaikannya. Tetapi bentuk matriknya mempunyai
struktur yang teratur dan elemennya kebanyakan nol, sehingga
penyelesaian sistim
persamaan linier selanjutnya dipilih metode iterasi [1].
Metode iterasi mempunyai kekurangan yakni bisa saja gagal mendapatkan solusi
(tidak konvergen). Dengan demikian kajian mengenai syarat kekonvergenan metode iterasi
menjadi penting sebelum memumutuskan menggunakan suatu metode iterasi.
Salah satu metode iterasi yang sering digunakan untuk menyelesaikan sistim
persamaan linier adalah metode Jacoby. Pada tulisan ini akan dibahas mengenai Teorema
Titik Tetap Banach untuk mendapatkan syarat kekonvergenan metode iterasi Jacoby.
Teorema Titik Tetap Banach untuk Mendapatkan Syarat Kekonvergenan Metode Jacoby
52
2. TEOREMA TITIK TETAP BANACH [2]
Teorema 1. Teorema Titik Tetap Banach (Teorema Kontraksi)
Misalkan X=(X,d) adalah suatu ruang metrik, dimana X ≠ Ø. Misalkan juga X merupakan
ruang metrik yang lengkap dan pemetaan T:X→X adalah suatu kontraksi pada ruang metrik
X. Maka pemetaan T mempunyai tepat satu titik tetap.
(i). Pilih ∝ ϵ (0,1) sedemikian hingga d(T((,T(y)) ≤∝ (, Bukti:
Untuksetiap, ϵ X,
ambil x0 ϵ X sebarang,
ambil barisan iteratif (xn) di X yang didefinisikan sebagai
x0,x1 = T(x0),x2 = T(x1) T2(x0), … , xn = T(xn-1) = Tn(x0), … ………………(1)
(ii). Akan ditunjukan bahwa barisan (xn) yang di definisikan diatas
merupakan barisan Cauchy.
Ambil ε > 0 sebarang. Klaim untuk n>m, n, m ϵ N berlaku
d (xm, xn)≤ (∝ 1−∝d(x0,x1) …….………………………………..(2)
Pilih k ϵ N, k ≥∝ log( (1−∝/( , Maka untuk setiap m>n, n, n ϵ k berlaku
d(xm,xn) ≤ ∝!
(, "∝
≤
∝∝ #$%(
= 0(1
&('(∝
)*+,, +' -
"∝
( , /( "∝ 0(1, ,1' "∝
, ,1' = Karena > 0 sebarang maka (3 merupakan barisan Cauchy di X karena X
lengkap dan (3 Cauchy di X , maka barisan (3 konvergen di X, sebut
(iii).
3 → .
Akan ditunjukan bahwa x merupakan titik tetap dari pemetaan T.
Dari definisi kontraksi dan ketidaksamaan segitiga diperoleh
(, 5( ≤ (, + ( , 5( = (, + (5(" , 5(.
La Ode Muhammd Umar Reky Rahmad R, et al.// Paradigma, Vol. 17 No. 1, April 2013, hlm. 51-60
≤ (, +∝ (" , .
Ambil > 0 sebarang,
53
pilih 789 sedemikian hingga (, < ; dan (" , < ;
maka *, 5(- < + = .
/
;
/
;
/
/
Karena > 0 sebarang, maka *, 5(- = 0, maka menurun sifat metrik
= 5(. Jadi, x adalah titik tetap pemetaan T.
(iv).
Akan ditunjukan bahwa merupakan satu-satunya titik tetap pemetaan T.
Misalkan x dan y adalah tetap pemetaan T,
maka, 5( = dan 5( = .
Menurut definisi kontraksi,
(, = *5(, 5(- ≤∝ (, = 0.
Karena 0 <∝< 1, maka(, = 0, akibatnya, menurut sifat metrik, x = y.
Jadi, x adalah satu-satunya titik tetap pemetaan T.
Dari definisi kontraksi dan barisan iteratif (3 di> diperoleh
Bukti Klaim
(? , = *5( , 5(" - ≤∝ (? , =∝ *5(" , 5("; - ≤∝; (" , "; … ≤∝ ( , Dengan menggunakan sifat ketidaksamaan segitiga dan jumlah deret geometri
maka untuk A > 7 berlaku
( , ≤ ( , ? + ( , ?; + ⋯ + (3" , 3 ≤ (∝ +∝? + ⋯ +∝3" ( , Teorema Titik Tetap Banach untuk Mendapatkan Syarat Kekonvergenan Metode Jacoby
≤∝ C
"∝D(!
E ( , "∝
54
Karena 0 <∝< 1,maka pembilang 1 −∝3" < 1.
Akibatnya,
( , ≤
∝
( , .
1−∝
Akibat (Iterasi dan error bounds)
Bila kondisi Teorema Titik Tetap Banach (Teorema Kontraksi) dipenuhi, maka
barisan iteratif (1) untuk sebarang 8> konvergen ke titik tetap x yang unik
dan pemetaan T. Error estimates adalah prior estimate
( , ≤
∝!
( , "∝
……………………………(3)
dan posterior estimate
( , 3 ≤
∝!
( , "∝
dengan mengambil A → ∞, maka 3 → ,
maka
( , ≤
∝!
( , "∝
(v). Akan ditunjukan bahwa posterior estimate, memenuhi
( , ≤
∝!
("
"∝
, Dari ketidaksamaan Prior Estimate, dengan mengambil 7 = 1 menuliskan untuk dan untuk , diperoleh
La Ode Muhammd Umar Reky Rahmad R, et al.// Paradigma, Vol. 17 No. 1, April 2013, hlm. 51-60
( , ≤
∝
( , "∝
55
.
Dengan menetapkan
= " , maka = 5( = 5(" = 1
maka diperoleh
( , ≤
∝
(" , 1−∝
3. SISTIM PERSAMAAN LINIER DAN BARISAN [3]
Pada bagian ini dibahas tentang sistim persamaaan linier yang diubah kedalam
skema ieratif sehingga dihasilkan barisan bilangan real. Barisan bilangan tersebut dapat
konvergen atau tidak ke solusi sistim persamaan linier.
Teorema 2. Teorema Sistim Persamaan Linear
Bila suatu sistim
= ∁ + H, *∁= *∁I,J -, H = *KI -diberikan- …………………………… (4)
dari A persamaan linear dengan A variabel , ; , … , 3 yang tidak diketahui
(merupakan komponen- komponen x) yang memenuhi
∑3JO ⎹∁I,J ⎹ < 1; R = 1,2, …, A, …………………………………………(5)
Maka sistem persamaan tersebut tepat mempunyai solusi untuk x. Solusi ini
merupakan limit barisan iteratif * ( , ( , (; , … -, dimana ( ditetapkan
sebarang dan
(?
= ∁ ( + H, 7 = 0,1,2, … ……………………………………….... (6)
Batas errornya adalah
Teorema Titik Tetap Banach untuk Mendapatkan Syarat Kekonvergenan Metode Jacoby
* ( , - ≤ C
∝
E * (" , ( "∝
≤C
∝!
E ( , "∝
56
………………. (7)
Bukti
Tuliskan: = ( , ; , … , 3 , = ( , ; , … , 3 ,T = (T , T; , … , T3 seterusnya.
Misalkan X adalah semua himpunan n-tuple (n pasangan terurut) bagian real.
Definisikan matrik di X dengan
(, T = maxV ⎹I , TI ⎹ ……………………………..………. (8)
Klaim X=(X,d) lengkap
Definisikan T:X→X di X dengan
= 5( = ∁ + H………………………………………… (9)
Tuliskan definisi (9) dalam bentuk komponennya. Maka diperoleh
IO∑DWX' YIJ J + KI , R = 1,2, … , A …………………………… (10)
Tetapkan Z = *ZI - = 5(T.
Maka dari definisi (8) dan (9) diperoleh
(, Z = *5(, 5(T- = maxV ⎹yV − wV ⎹ = maxV ⎹IO∑
Y (J − TJ ⎹
D
IJ J
WX'
≤ maxV ⎹I , TI ⎹ = maxV ⎹ ∑^]O ⎹YV,] ⎹ = (, T)∑^
]O ⎹YV,] ⎹ …....…(11)
Pertidaksmaan (11) dapat di tuliskan sebagai (, Z ≤∝ (, T dimana
∝= maxV ⎹ ∑^]O ⎹YV,] ⎹ karena 0 <∝ 1, …......…………... (12)
La Ode Muhammd Umar Reky Rahmad R, et al.// Paradigma, Vol. 17 No. 1, April 2013, hlm. 51-60
57
maka menurut Teorema Titik Tetap Banach, persamaan mempunyai solusi yang
unik di X. Solusi ini merupakan limit dari barisan iteratif * ( , ( , (; , … - di
mana ( 8> sebarang dan (?
= ∁ ( + H, 7 = 0,1,2, ….
Bukti klaim
Akan di tujukan bahwa X=(X,d)lengakap di mana X=Rn dan metrik d didefinisikan
(, T = maxV ⎹I , TI ⎹ dimana = ( , ; , … , 3 ,danT = (T , T; , … , T3 .
Ambilah sebarang barisan cuachy ( di_3
Tuliskan ( = ( , ; , … , 3 .
Karena ( cuachy, maka untuk setiap > 0
Terdapat suatu `89sedemikian hingga
Untuk setiap 7, a ≥ `, 7, a89 berlaku
( , b = maxV ⎹I , TI ⎹ < …………………… (13)
Maka untuk j tertentu, 1 ≤ R ≤ A, barisan
(I , I , I , … . merupakan barisan-barisan cuachy bilangan real. barisan ini
( (;
(c
konvergen di R, sebut I
Maka bila7 → ∞,
(
→
(∗
, ;
(
(
→ I bila7 → ∞
(∗
→ ; , … , 3
(∗
(
→ 3
(∗
Definisikan ∗ = ( ∗ , ;∗ , c∗ , … , 3∗ maka
∗ 8_ 3 . Dari …… (4.2.10), untuk a → ∞,
Teorema Titik Tetap Banach untuk Mendapatkan Syarat Kekonvergenan Metode Jacoby
( , b = ( , ∗ = maxI ⎹I
(
Maka ∗ merupakan limit dari ( 58
− I∗ ⎹ < Karena untuk sebarang barisan cuachy ( di _ 3 konvergen, maka _ 3 merupakan
ruang metirik yang lengkap.
Diberikan sistim persamaan linear
e = Y …………………………………………(14)
dengan A adalah matriks bujursangkar berukuran n x n, detA ≠ 0, x adalah matriks
kolom = *I -, 1,2, … , AdanY adalah matriks kolom Y*fI -, R = 1,2, … , A.
Dalam menyelesaian persamaan (14) secara iteratif, matriks A dituliskan
sebagai A=B-G, dimana B merupakan matriks non-singular, persamaan (14)
menjadi
g = h + Y
= g " (h + Y
= g " h + g" Y.
maka sesuai persamaan (4), diperoleh
∁= g " hdanH = g " Y …..…………………………….. (15)
4. METODE ITERASI JACOBY
Salah satu metode iterasi yang sering di gunakan untuk mencari solusi sistim
persamaan linear adalah metode Jacoby. Metode Jacoby didefinisikan sebagai:
La Ode Muhammd Umar Reky Rahmad R, et al.// Paradigma, Vol. 17 No. 1, April 2013, hlm. 51-60
I
(? =
ijj
59
(f − ∑3JO kIJ 7J R = 1,2, … , A ………………(16)
(
Bila dituliskan dalam bentuk komponennya, diperoleh
(? =
i''
(f − (k ; ; k c c
(
(
+ ⋯ + k 3 3 (
;
=
ill
(f − (k;; ; k;c c
+ ⋯ + k;3 3 3
=
iDD
(f − (k3; ; A c c
+ ⋯ + k3" 3" (? (
⋮
(? (
(
(
(
⋮
….. (17)
(
Bila untuk I? di kalikan oleh factor ajj, maka persamaan (17) menjadi
k (? k;; ;
(? = f − (k ; ; k c c
(? (
(
(
+ ⋯ + k 3 3 (
= f − (k;; ; k;c c
⋮
k33 3
(
= f − (k3; ; A c c
k
0
0
k;;
Misalkan n = o
⋮ ⋮
0 0
0
−k;
Maka −(e − n = o
⋮
−k3
(
+ ⋯ + k;3 3 (
(
⋮
…….. (18)
+ ⋯ + k3" 3" (
… 0
… 0
q …….........…………………………...…. (19)
⋱
⋮
… k33
−k
0
⋮
−k3;
Dari (18), (19), dan (20) diperoleh
… −k 3
… −k;3
q ……….......…………………. (20)
⋱ ⋮
… 0
Teorema Titik Tetap Banach untuk Mendapatkan Syarat Kekonvergenan Metode Jacoby
n
(? (?
60
= −(e − n + Y
= n " r−(e − n ( + Ys = −n" (e − n ( − n " Y ……........ (21)
Dari (21) dan teorema sistim persamaan linear diperoleh
∁= n " (e − n, H = n " Y ………………………………… (22)
Bila syarat teorema sistim persamaan linear di terapkan pada (22), maka diperoleh
syarat umum kekonvergenan iterasi Jacoby yaitu,
∑3JO t jW t < 1 atau ∑3JO vkIJ v < vkII v …………………………….… (23)
i
JuI
i
jj
JuI
5. KESIMPULAN
Syarat kekonvergenan iterasi Jacoby untuk menyelesaikan sistim persamaan linier
Ax=c, dimana A adalah matriks bujursangkar berukuran n x n, dengan detA ≠ 0, aij (entri
matik A), adalah
∑3JO t jW t < 1 atau ∑3JO vkIJ v < vkII v.
i
JuI
i
jj
JuI
DAFTAR PUSTAKA
[1]
[2]
[3]
La Ode Muhammad Umar Reky Rahmad, R. ,2011., Menyelesaiakan Masalah Syarat
Batas Persamaan Differensial Poisson 2D, Paradigma Vol. 15 No. 2, FMIPA,
Universitas Haluoleo,Kendari, http://fmipa.uho.ac.id.
Royden,H.L., 1989,Real Analysis, Macmillan Publishig Company, New York.
La Ode Muhammad Umar Reky Rahmad, R. 2006.,Solusi Numerik Persamaan
Differensial Eliptik, Thesis S2, Jurusan Matematika, FMIPA, UGM, Jogjakarta.