File

PANGKAT RASIONAL DAN BENTUK AKAR
A. Pangkat Bulat Positif
Bila suatu bilangan nyata 𝑎, dikalikan dengan bilangannya sendiri, maka
hasilnya merupakan perpangkatan dari 𝑎, misalnya:
𝑎 × 𝑎 = 𝑎2
𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × = 𝑎5
𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎= 𝑎𝑛
Pada penulisan 𝑎𝑛 𝑎 ∋ B = {bilangan bulat} dan 𝑛 ∋ A = {bilangan asli}, 𝑎
disebut basis dan 𝑛 disebut eksponen (pangkat).
Contoh:
a. 43
=4x4x4
= 16 x 4
= 64
5
b. 10
= 10 x 10 x 10 x 10 x 10
= 100 x 10 x 10 x 10
= 1.000 x 10 x 10
= 10.000 x 10
= 100.000
Berikut ini merupakan sifat-sifat dari bilangan berpangkat, yaitu:
1. 𝑎𝑚 x 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
Contoh:
a) 𝑎2 x 𝑎3 = 𝑎5
b) 𝑏 2 x 5𝑏 8 = 5𝑏10
c) 36 x 36 = 312
2. 𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
Contoh:
a) 𝑧 3 : 𝑧 2 = z
b) 8𝑏 5 : 2b = 4𝑏 4
c) 2𝑑2 : 2𝑑2 = d
3. (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛
Contoh:
a) (𝑦 2 )3 = 𝑦 6
b) (𝑧 3 )5 = 𝑧15
c) (𝑥 4 )4 = 𝑥16
B. Pangkat Bulat Negatif dan Nol
 Pengertian dari 𝒂𝟎
Telah kita ketahui bahwa:
𝑎0 x 𝑎0 = 𝑎0+𝑛
= 𝑎𝑛
= 𝑎0 : 𝑎𝑛
=1
Untuk setiap a bilangan bulat yang tidak nol, kata artikan bahwa: 𝒂𝟎 = 1

Pengertian dari 𝒂−𝒏
Demikian pula menurut sifat perkalian bilangan berpangkat yaitu:
𝑎𝑛 x 𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛−𝑛
= 𝑎0
=1
𝟏
Maka, 𝒂−𝒏 = 𝒂𝒏
Contoh:
1. 𝑎0 = 1
2. 100 = 1
3. 20 = 1
4. 3−2 =
1
32
1
5. 2−1 = 2
1
6. 10−2 = 102
C. Pangkat Pecahan dan Akar
1. Menyebutkan contoh bilangan rasional dan irasional
 2x-10=4 hasilnya x=7 (bilangan bulat positif)
 4x+12=4 hasilnya x=-2 (bilangan bulat negatif)

1
6x+5=8 hasilnya x=2 (bilangan pecahan)
1
Hasil-hasil nilai 7, -2, 2 yang dapat dinyatakan dalam bentuk
𝑝
𝑞
dengan p dan
q bilangan bulat dan q≠0 disebut bilangan rasional.
Sekarang perhatikan 2x2+1=5, maka dihasilkan x= ± √2 dengan √2 bukan
𝑝
bilangan rasional karena tidak dapat dinyatakan dengan 𝑞 dengan 𝑝 dan 𝑞
bilangan bulat dan 𝑞≠0 ini disebut bilangan irasional.
Bilangan irasional lain misalnya 𝜋=3,141592654… log 2=0,301029995…
2. Memahami pengertian bentuk akar
Pada bilangan ini dibicarakan salah satu bilangan irasional yaitu bilangan
yang bertanda akar atau bilangan yang berada dalam tanda akar.
Bilangan-bilangan ini adalah akar-akar bilangan rasional tetapi bukan
bilangan irasional.
3
Contoh : √2, √0,35 , √4 dan seterusnya.
Adanya tanda akar belum tentu merupakan bilangan bentuk akar yang
dimaksud.
Misalnya: √100= 10, sebab √100= √102
3
3
3
√8= 2, sebab √8 = √23
3
Jadi √100, √8 termasuk bilangan rasional.
Kesimpulan: √𝑝 ialah sbg akar pangkat dua yg nonnegatif dari p, dengan
p≥0 Contoh: √36=6, bukan -6
3. Mengubah bilangan dengan pangkat pecahan menjadi bentuk akar
𝟏
Pengertian dari 𝐚𝟐
Dengan menggunakan sifat yang telah kita ketahui bahwa:
1
1
1 1
𝑎 2 x 𝑎 2 = 𝑎 2 +2
= 𝑎1
=𝑎
1
Dengan demikian arti dari 𝑎𝑛
1
1
1
1
1
1
𝑎𝑛 x 𝑎𝑛 x 𝑎𝑛 x … = 𝑎𝑛+𝑛+𝑛+⋯
𝑛
= 𝑎𝑛
= 𝑎1
=𝑎
𝟏
𝒏
Jadi 𝒂𝒏 = √𝒂
𝒎
𝒏
Pengertian dari 𝒂 𝒏 adalah √𝒂𝒎
3
Contoh : Hitunglah 22 , bila √2 = 1,414
3
1
Jawab: 22 = 21+2
1
= 2 x 22
= 2√2
= 2,828
4. Menyederhanakan bentuk akar
Gunakan kalkulator untuk menghitung √2 x √8 maka akan didapat hasilnya
yaitu 4
Hal itu dapat dijabarkan sebagai berikut :
√2x √8 = √2 x √23
= √2 x 2√2
=2x2
=4
Dari contoh di atas dapat disimpulkan suatu sifat:
√𝑎
𝑎
√𝑎 x √𝑏 = √𝑎𝑏 dan √𝑏 = √𝑏
Misalnya: √20 = √4𝑥5 = √4 x √5 = 2√5
D. Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar
1. Menjumlahkan dan mengurangi bentuk akar.
Contoh :
a) 2√3 + 4√3 = (2+4)√3 = 6√3
b) 5√2 - 2√2 = (5-2)√2 = 3√2
2. Menentukan hasil kali bentuk akar.
Contoh :
a) √2 (3+√2 ) = 3√2 + √4 = 3√2 + 2
b) √3(√2+√3) = √6 + √9 = √6 + 3
3. Sifat operasi aljabar dalam bentuk akar.
Pada bagian ini akan disajikan beberapa sifat:
a. Sifat komutatif pada perkalian dan penjumlahan
Contoh: √2 + √3 = √3 + √2
√5 x √7 = √7 x √5
b. Sifat asosiatif terhadap penjumlahan dan perkalian
Contoh: √2 + (√3 + √5) = (√2 + √3)√5
√2 (√3 x √5) = (√2 x √3)x√5
c. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Contoh :
√2 (√3 + √5 + √11) = (√2 x √3) + (√2 x √5) + (√2 x√11)
E. Merasionalkan Penyebut
1. Perkalian dua bilangan bertanda akar hasilnya adalah bilangan rasional.
√𝑎 dikalikan dengan ± √𝑎
(b) 𝑎 +√𝑏 dikalikan dengan 𝑎 - √𝑏 atau -𝑎 +√𝑏
(a)
√𝑎 + √𝑏 dikalikan dengan √𝑎 - √𝑏 atau -𝑎 +√𝑏
(d) 𝑎√𝑏 + 𝑐√𝑑 dikalikan dengan 𝑎√𝑏 – 𝑐√𝑑 atau –𝑎√𝑏 + 𝑐√𝑑
2. Merasionalkan Penyebut Suatu Pecahan Bilangan Bertanda Akar.
Contoh:
(c)
1.
1
√2
=
=
2. 4+
2
√11
1
√2
√2
√2
=
=2
x
=
√2
√2
1
2
√2
2
4− √11
4+ √11
x 4−
√11
(4− √11)
16 −11
2
= 5 (4 - √11)
F. Pangkat Pecahan
1) Definisi :
Bila a,b є R dan n ≥ 2, n bilangan asli,sehingga dipenuhi an = b, dikatakan
𝑛
akar pangkat n dari b dan ditulis: 𝑎 = √𝑏  an = b
Penjelasan lebih lanjut: 2 adalah b є akar pangkat dua dari 4,sebab: 2² = 4
Demikian pula dengan (-2)³ = -8 ini berarti bahwa -2 adalah akar pangkat
tiga dari -8 ditulis = 3√(−8) - 2
Secara umum untuk notasi an= b, bila n bilangan ganjil dan a bilangan
negatif maka akan menghasilkan bilangan b yang negatif; bila n bilangan
genap dan a bilangan positif, maka akan menghasilkan bilangan b yang
positif,akan tetapi bila n bilangan genap untuk bilangan a yang negatif,ini
tidak mungkin atau tak terdefinisi.
Contoh:
(a) √4 = 2
3
(b) √−27 = -3
2) Sifat-sifat umum yang berlaku pada operasi bilangan dengan pangkat
pecahan hampir sama dengan sifat-sifat pada operasi aljabar lainnya.
a. sifat komutatif pada perkalian dan penjumlahan.
𝑝
𝑟
𝑝
𝑟
Misalnya: 𝑥 𝑞 + 𝑥 𝑠 = 𝑥 𝑠 + 𝑥 𝑞
𝑝
𝑟
𝑟
𝑝
𝑥𝑞 x 𝑥𝑠 = 𝑥𝑠 x 𝑥𝑞
b. sifat asosiatif terhadap tambah dan kali
𝑎
𝑐
𝑝
𝑎
𝑝
𝑐
Misalnya: (𝑥 𝑏 + 𝑥 𝑑 ) + 𝑥 𝑞 = 𝑥 𝑏 (𝑥 𝑑 + 𝑥 𝑞 )
𝑎
𝑐
𝑝
𝑎
𝑐
𝑝
= 𝑥 𝑏 (𝑥 𝑑 x 𝑥 𝑞 ) = (𝑥 𝑏 x 𝑥 𝑑 ) x 𝑥 𝑞
c. sifat distributif perkalian pada panjumlahan
𝑎
𝑝
𝑐
𝑎
𝑐
𝑎
𝑝
Misalnya: 𝑥 𝑏 (𝑥 𝑑 + 𝑥 𝑞 ) = (𝑥 𝑏 x 𝑥 𝑑 ) + (𝑥 𝑏 x 𝑥 𝑞 )
3) Mengubah bilangan dengan pangkat negatif menjadi bilangan dengan
pangkat positif.
Telah kita ketahui pada bilangan berpangkat bulat
1
𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛 dengan a ≠ 0 dan n bilangan bulat.
𝑎
Sejalan dengan itu, maka berlaku pula: 𝑎−𝑏 =
1
𝑎
𝑎𝑏
atau
1
𝑎
−
𝑎 𝑏
𝑎
= 𝑎𝑏
Contoh:
3
81−4 =
1
3
814
=
1
(
=
4
√81)3
1
4
1
3
( √34 )
1
= 33 =27
4) Persamaan berpangkat ( persamaan eksponen
Contoh:
Hitunglah nilai x yang memenuhi persamaan 52x =
√5
5
1
2x
maka 5 =
√5
5
5 =
2x
52
5
1
2
52x= 5
1
1
2x = − 2  x = -4
G. Tambahan
Pada bagian yang terdahulu, telah kita bahas tentang bilangan rasional dan
irasional. Ada ungkapan baru tentang bilangan rasional yang akan dijelaskan
oleh suatu teorema (dalil).
Teorema:
Pecahan desimal yang berakhir,atau kalau bentuk desimal itu periodikmaka
bilangan itu adalah suatu bilangan rasional. Sebaliknya pecahan desimal yang
tidak berakhir atau tidak periodik adalah bilangan irasional
Sifat:
a. Jumlah atau selisih antara bilangan rasional dan bilangan irasional hasilnya
bilangan irasional
Q bilangan rasional
I bilangan irasional
Bila : S = Q + I, maka S bilangan irasional
b. Hasil kali antara bilangan rasional dan bilangan irasional, hasilnya bilangan
irasional
Q bilangan rasional
I bilangan irasional
Bila P =IQ, maka P bilangan irasional
H. Rangkuman
a. Untuk dapat menggunakan aturan dan rumus-rumus bentuk pangkat bilangan
bulat positif,nol dan rasional, pahami rumus-rumus berikut ini:
1. 𝑎𝑚 x 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
2. 𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
𝑛
3. (𝑎𝑚) = 𝑎𝑚 . 𝑛
4. (𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏 𝑛
5. 𝑎𝑜 = 1, a ≠ 0
𝑎 𝑛
𝑎𝑛
𝑎 −𝑛
𝑏𝑛
𝑏 𝑛
6. (𝑏) =
7. (𝑏)
;𝑏 ≠ 0
= (𝑎) , a, b ≠ 0
1
8. 𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛 , 𝑎 ≠ 0
b. Selanjutnya pengoperasian bentuk akar dalam matematika seperti:
penjumlahan, pengurangan dan merasionalkan penyebut sebuah pecahan
yang mengandung bentuk akar paling tidak harus memahami rumus-rumus
sebagai berikut:
1
𝑛
9. 𝑎𝑛 = √𝑎
𝑚
𝑛
10. 𝑎 𝑛 = √𝑎𝑚 =( 𝑛√𝑎)
𝑚
11. 𝑎− 𝑛 =
1
𝑚
𝑎𝑛
𝑛
𝑛
atau
𝑚
𝑚
1
𝑚
−
𝑎 𝑛
= 𝑎𝑛
𝑛
12. √𝑎 x √𝑏 = √𝑎𝑏
𝑛
13.
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛
𝑎
= √𝑏
𝑚
𝑛
14. √ √𝑎 =
𝑚.𝑛
√𝑎
I. Soal Latihan
1) Diketahui x = 2, dan y = -2. carilah nilai dari 3𝑥 2 - 4y
2) Hitunglah dengan menghilangkan tanda kurung!
a) 𝑡 2 (𝑡 4 + 𝑡 7 ) b) 𝑥 3 (𝑥 2 + 𝑥 4 )
3) Tuliskan hasilnya dalam bentuk yang paling sederhana!
a)
23 𝑥 28
26
b)
34 𝑥 36
35
4) Manakah pernyataan dibawah ini yang termasuk
bilangan irasional?
a. √12 c. √50
b. √18 d. √28
5) Sederhanakan soal berikut :
a. √12 b. √18 c. √50
6) Sederhanakanlah:
a) √5 + 2√5 - 3√5
b) 2√8 - 2√2
c) 2 √20 – √80
7) Selesaikan soal – soal di bawah ini dengan
merasionalkan penyebutnya :
a)
9
√3
=…
b)
12
√32
=…
c)
√3
√5
=…