Matematika peminatan

BAB 4
PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK, PECAHAN, DAN
IRASIONAL
\
NAMA : LAI JUNIAWATI
KELAS : 10 MIA 2
REMEDIAL KETERAMPILAN
A. PERTIDAKSAMAAN LINEAR
DAN KUADRAT

SIFAT- SIFAT URUTAN :
Misalkan a, b, dan c bilangan – bilangan
real.
1. Jika a > b dan b > c maka a > c
2. Jika a > b maka a + c > b + c
3. Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc
4. Jika a > b dan c ˂ 0 maka ac ˂ bc
a > b didefinisikan sebagai berikut.
a > b ⇔a – b > 0
1. Interval dan penyelesaian
pertidaksamaan.

Interval atau selang merupakan himpunan – himpunan bagian
dari himpunan bilangan real R.
Dapat digambarkan dengan ruas garis atau segmen garis pada garis
bilangan. Bagian yang menunjukan selang atau interval digambarka
dengan garis yang lebih tebal.

Ujung – ujung ruas garis yang digambarlan dengan
bulatan berlubang (∘) menunjukn bahwa ujung – ujung itu tidak
termasuk dalam interval. Ujung – ujung ruas garis yang
digambarkan dengan bulatan tertutup atau noktah (•) menujukan
bahwa ujung- ujung tersebut termask interval.
tanda panah kekanan menyatakan selang menuju kearah
positif tak hingga sedangkan kiri negatif tak hingga. Selang yang
terletak diantara 2 bulatan (∘) disebut selang terbuka sedangkan
jika diantara 2 noktah (•) disebut selang tertutup
Perhatikan contoh gambar berikut:

a
b
a≤x≤b
a
a˂x˂b
a
a
x≤a
x˃b
b
a
b
a˂x≤b
2. Pertidaksamaan linear

Pertidaksamaan yang memuat satu variabe berderajat 1 disebut
pertidaksamaan linear satu variabel. Ada 4 macam bentuk
bakunya :
a. ax + bx ˂ 0
c. ax + b > 0
b. ax + bx ≤ 0
d.ax + b ≥ 0
Dengan a dan b bilangan real dan a ≠ 0
Sebuah pertidaksamaan memiliki nilai yang sama apabila
dilakukan operasi bilangan sebagai berikut :

1. Jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurangi
dengan bilangan yang sama, tanda pertidaksamaan tetap.
2. Jika kedua ruas pertidaksamaan dibagi atau dikali
bilangan positif, tanda pertidaksamaan tetap.
3. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi
bilangan negatif, tanda pertidaksamaan berubah.
Contoh soal

Tentukan himpunan pertidaksamaan berikut, kemudian
gambarkan himpunan penyelesaian itu dalam garis bilangan.
2x + 8 > 0
penyelesaian

2x + 8 > 0
⇔ 2x > -8.................( kedua ruas dikurangi 8)
⇔ x > - 4 ..................(kedua ruas dibagi 2)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{ x | x > - 4, x ∈ R }
Secara geometris
-4
{ x|x > 4, x ∈ R }
3. Pertidaksamaan kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan variabel
berderajat dua, dengan bentuk umum:
a. ax2 + bx + c ˂ 0
b. ax2 + bx + c ≤ 0
c. ax2 + bx + c > 0
d. ax2 + bx + c ≥ 0
Dengan a, b, dan c bilangan
real dan a≠0

Pertidaksamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan:
a. Sketsa grafik fungsi kuadrat
b. Garis bilangan
a. Menyelesaikan pertidaksamaan dengan
grafik fungi kuadrat

Untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan kuadrat dengan memakai
grafik fungsi kuadrat, lakukan langkah – langkah berikut:
1) Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c.
Kemudian tentukan perpotongannya dengan sumbu X (jika ada)
2) Berdasarkan grafik yang diperoleh pada langkah 1, tentukan
interval yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat tersebut.

Secara umum dapat dikatakan:
1) Penyelesaian pertidaksamaan ax2 + bx + c > 0 adalah sebuah
interval didalam variabel x, yang menunjukan bagian grafik y
= ax2 + bx + c berada diatas sumbu X
2) Penyelesaian pertidaksamaan ax2 + bx + c ˂ 0 adalah sebuah
interval dalam variabel x, yang menunjukan grafik y = ax2 + bx
+ c berada dibawah sumbu X
Contoh soal

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
x2 + x – 2 ≤ 0
penyelesaian

Skestsa grafik fungsi kuadrat dengan rumus
f(x) = x2 + x – 2
-2 -1 0
-1
-2
1
2
Perpotongan grafik f(x) dengan sumbu x adalah
x2 + x – 2
⇔ (x – 1)(x + 2)
⇔ x = 1 atau x = -2
b. Menyelesaikan pertidaksamaan
kuadrat dengan garis bilangan

1) Tentukan pembuatan nol ruas kiri pertidaksamaan
(bagian yang memuat bentuk kuadrat)
2) Lukislah nilai – nilai pembuatan nol diatas sebuah garis
bilangan
3) Ujilah salah satu titik anggota interval, misal x = 0,
diperoleh penyelesaian negatif. Berilah tanda negatif
pada interval yang memuat nol. Berilah tanda positif atau
negatif pada daerah interval yang lain dengan catatan
setiap melompati pembuat nol maka tanda berganti
4) tentukan nilai interval yang sesuai dengan daerah yang
diminta.
Contoh soal

Tentukan himpunan penyelesaian
-x2 + 4x – 3 = 0
penyelesaian

-x2 + 4x – 3 = 0
⇔ (-x + 3)(x – 1)
⇔x = 3 atau x = 1
1
−
3
+
1
−
3
+
1
3
−
−
B. PERTIDAKSAMAAN PECAHAN

Pertidaksamaan memiliki 4 bentuk baku
1.
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
˂0
2.
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
≤0
3.
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
>0
4.
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
≥0
Fungsi untuk f(x) dan g(x)

𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
> 0 ⇔ f(x) > 0 dan g(x) > 0 atau f(x) ˂ 0 dan g(x) ˂0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
˂ 0 ⇔ f(x)˂0 dan g(x) > 0 atau f(x) > 0 dan g(x) ˂ 0
Untuk
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
≥ 0 dan
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
≤0
≥ 0 ⇔ f(x) ≥ 0 dan g(x) > 0 atau f(x)≤ 0 dan g(x) ˂ 0
≤ 0 ⇔ f(x) ≥ 0 dan g(x) ˂ 0 atau f(x)≤ 0 dan g(x) > 0
Contoh soal

Carilah penyelesaian pertidaksamaan berikut:
𝑥 −2
𝑥+3
>0
𝑥 −2
𝑥+3
penyelesaian

> 0 ⇔ 𝑥 − 2 > 0 dan 𝑥 + 3 > 0 atau
𝑥 − 2 ˂ 0 dan 𝑥 + 3 ˂ 0
Dalam hal ini, 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3
+
−
X˃2
-2
X ˃ -3
-3
Daerah yang sama sama
terkena arsiran adalah X ˃ 2
X˂2
2
-3

X ˂ -3
Daerah yang sama - sama terkena
arsiran adalah X ˂ -3
Dengan demikian penyelesaian dari
{x | x ˃ 2 atau x ˂ -3}
𝑥 −2
𝑥+3
> 0 adalah
C. PERTIDAKSAMAAN
BENTUK AKAR

Pertidaksamaan bentuk akar memiliki 8 bentuk:
1.
𝑢 𝑥 <𝑎
5. 𝑢 𝑥 <
2.
𝑢 𝑥 ≤a
6. 𝑢 𝑥 ≤ 𝑣 𝑥
3.
𝑢 𝑥 >a
7. 𝑢 𝑥 > 𝑣 𝑥
4.
𝑢 𝑥 ≥a
8. 𝑢 𝑥 ≥ 𝑣 𝑥
𝑣 𝑥
Dengan a ≥ 0, a ∈ R ( a bilangan real positif atau nol)
Jika p dan q ∈ R dengan 0 <p < q maka p 2 < q2

Langkah – langkah menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar:
1. Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan itu (tada
ketidaksamaan tetap). Kemudian selesaikan
2. Tentukan syarat bahwa bentuk akar dimasing – masing ruas
terdefinisi atau bernilai real, yaitu bilangan dibawah tanda aka
bernilai positif atau nol
3. Tentukan interval yang memenuhi penyelesaian pada langkah
pertama dan kedua (cari irisannya)
Contoh soal

Carilah himpunan enyelesaian pertidaksamaan
irasional berikut
𝑥+5 <4
penyelesaian
𝑥+5 <4
1) Kedua ruas dikuadratkan
x + 5 ˂ 16
⇔ x ˂ 11.............................................(1)
2) Syarat u(x) ≥ 0
x+5≥0
⇔ x ≥ -5..............................................(2)
3)Penyelesaian yang memenuhi dari (1)dan(2) irisan kedua
interval itu. Jadi, penyelesaiannya -5 ≤ x ˂ 11.

11
-5
Dengan demikian himpunan
penyelesaiannya adalah
{ x | -5 ≤ x ˂ 11, x ∈ R }
D. PERTIDAKSAMAAN NILAI
MUTLAK

Nilai mutlak dari suatu bilangan real x
dilambangkan dengan |x|, nilai itu merupakan nilai tak negatif
dari bilangan x itu.
Untuk setiap bilangan real x, nilai mutlak x, ditulis |x|
diartikan:
|x| = { x untuk }x ≥ 0
-x untuk x ˂
|x|˂ a , untuk
a ≥ 0 ⇔ x2 ˂ a2
0
|x|> a , untuk a ≥ 0 ⇔ x2 ˃ a2

Untuk a ≥ 0
Jika a ∈ R dan a ≥ 0 maka
1.
a. |x|˂ a ⇔ -a ˂ x ˂ a
b. |x|≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a
c. |x|> a ⇔ x ˂ -a atau x > a
d.|x|≥ a ⇔ x ≤ -a atau x ≥ a
2. |x|= √𝑥 2
Contoh soal

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan:
|3x – 7 | = ≤ 8
penyelesaian

|3x – 7 | = ≤ 8
⇔ -8 ≤ 3x – 7 ≤ 8
⇔ -8 + 7 ≤ 3x ≤ 8 + 7
⇔ -1 ≤ 3x ≤ 15
⇔
1
− ≤
3
x≤5
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
{x|
1
−
3
≤ x ≤ 5, x ∈ R}
E. PERTIDAKSAMAAN
POLINOMINAL (PENGAYAAN)

Bentuk polinominal adalah
anxn + an-1 x n-1 + an-2 xn-2 +....+ a1x + a0
Langkah-langkah menyelesaikan polimonominal
1. Faktorkan suku banyak itu
2. Tentukan pembuat nol suku banyak
3. Gambarkan garis bilangan yang memuat pembuat nol
4. Tentukan interval daerah positif dan negatif
5. Tentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaan
polinominal yang diminta
Cara menyelesaikan pertidaksamaan polinom bentuk hasil bagi
1.
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
˂ 0 ⇔ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ˂ 0
2.
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
≤ 0 ⇔ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ≤ 0, 𝑔(𝑥) ≠ 0
3.
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
> 0 ⇔ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) > 0
4.
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
≥ 0⇔ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ≥ 0, 𝑔(𝑥) ≠ 0

Contoh soal

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan
𝑥2(𝑥 – 2)(𝑥 + 3) ≤ 0
penyelesaian

𝑥 (𝑥 – 2)(𝑥 + 3) ≤ 0
2
Pembuat nolnya adaah 𝑥 = 0, 𝑥=2, dan 𝑥= -3
Kita tentukan tanda positif atau negatif daerah interval, dengan
memasukan salah satu nilai 𝑥.
Misalkan untuk 𝑥=1 maka (12)(1 – 2)(1 + 3)=-4˂0
Penyelesaiannya adalah daerah negatif (sesuai nol). Jadi
penyelesaiannya -3 ≤ 𝑥 ≤ 2; 𝑥≠0
Penyelesaiannya itu dapat juga ditulis dengan cara -3 ≤ 𝑥 ˂ 0
atau 0˂ 𝑥 ≤ 2
F. MERANCANG MODEL MATEMATIKA
YANG BERKAITAN DENGAN
PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL

Langkah – langkahnya:
1. Menentukan variabel dari besaran – besaran yang ada
2. Merumuskan odel pertidaksamaan
3. Menyelesaikan pertidaksamaan
4. Menafsirkan hasil yang diperoleh
Contoh soal

Sebuah sepeda melaju dijalan raya dengan persamaan
lintasan jarak tempuh s(t) = t2 – 10t + 39. jika s dalam
meter dan t dalam detik, tentukan interval waktu agar
sepeda itu telah berada sekurang – kurangnya 15 meter
dari garis start`
penyelesaian

Sepeda itu dapat berada sekurang – kurangnya 15
meter, artinya s(t) ≥ 15. jadi, model matematika nya
adalah t2 – 10t + 39 ≥ 15.
t2 – 10t + 39 – 15 ≥ 0
⇔t2 – 10t + 24 ≥ 0
⇔(t – 6)(t – 4) ≥ 0
⇔t ≤ 4 atau t ≥ 6
Dengan demikian interval waktu agar sepeda itu telah
berada sekurang – kurangnya 15 meter dari garis start
adalah t ≤ 4 detik atau t ≥ 6 detik