Pengenalan Matriks - Departemen Statistika

ANALISIS PEUBAH GANDA
(MULTIVARIATE ANALYSIS)
PENGENALAN MATRIKS
DEPARTEMEN STATISTIKA
DR. IR. I MADE SUMERTAJAYA, MSI
 Definisi Matriks
Susunan angka-angka di dalam kotak yang
dibagi ke dalam baris dan kolom.
Misalkan terdiri dari n baris dan p kolom,
maka matriks tersebut berdimensi n x p.
contoh :
3
1

12

5
4
9
0
5
5
2

7

10 
 Matriks Putaran
Diperoleh dengan cara menukar baris dan
kolomnya, dinotasikan dengan A’.
contoh :
1
A  3
5
2
4
6
1 3 5 
A'  

2
4
6


 Matriks Simetrik
Jika A = A’ maka A adalah matriks simetrik
1
2


5
2
7
9
5
9

0

 Matriks Diagonal
Jika matriks n x n yang semua unsur
nondiagonalnya bernilai nol, disebut
matriks diagonal.
5
0

0
0
0
0
0
0
7 
 Matriks Khusus
- matriks identitas
- matriks nol
- matriks segitiga
 Kebebasan Linier
Sekumpulan vektor kolom atau baris tak nol
dikatakan bebas linier jika tidak ada satupun
yang bisa dituliskan sebagai kombinasi linier
dari vektor lainnya.
1 3
9 4


10 11
 Pangkat Matriks
Banyaknya baris atau kolom pada
matriks itu yang bersifat bebas linier.
pada matriks di atas berpangkat r(A)=2
 Matriks Singular dan Nonsingular
Matriks A n x n dikatakan singular jika
semua baris atau kolomnya saling bebas
linier.
 Kebalikan Matriks
Untuk matriks persegi A, jika berlaku
AB = BA= I, maka B adalah matriks
kebalikan dari A, dinotasikan A-1.
1
A
9
3
4
 4


A1   23
9

 23
3 
23 
1
 
23 
 Normal Vektor Euclidian
Sebuah vektor a berukuran n x 1 memiliki
panjang yang didefinisikan sebagai :
a' a
Dan vektor normal dari a =a/√a’a
memiliki norma √22+12+22 =3
 2
a  1
2
2
3
2
1
1 
b
1   

3
3

2

2

3

 Jarak Euclid antar Dua Vektor
Jika dua buah vektor a dan b berukuran n
x 1 maka jarak euclid:
d ( a, b) 
5 
a  3
2
6 
b  1 
4
( a  b)' ( a  b)
d (a, b)  (5  6) 2  (3  1) 2  (2  4) 2  3
 Vektor dan Matriks Ortogonal
Dua buah vektor berukuran n x 1 dikatakan
ortogonal satu sama lain jika a’b=0.
 1
b   0 
 1 
5

a
9
 

5

Sebuah matriks A berukuran n x n adalah
matriks ortogonal jika A’A=AA’=I.



A




1
3
1
3
1
3
1
2
1

2
0
1 

6
1 

6
2 

6 

Akar Ciri dan Vektor Ciri
Untuk matriks A berukuran n x n
maka
pasangan-pasangan
(λ1,x1),…,(λn,xn) dikatakan sebagai
pasangan akar ciri dan vektor ciri
yang ortonormal jika berlaku:
Ax1= λ1x1
:
:
Axn= λnxn
Atau memenuhi det(Ax – λIx)=0
 Penguraian Spektral dari Sebuah Matriks Simetrik
A=PΛP’
dengan A adalah matriks simetrik n x n, P adalah
suatu matriks ortogonal dan Λ adalah matriks
diagonal. P=(x1|x2|…|xn) dan Λ=diag(λ1,…, λn)
 Determinan Matriks
yaitu perkalian dari seluruh akar ciri dari matriks
persegi n x n A, |A|= λ1x….x λn
 Teras Matriks
teras dari matriks A n x n, tr(A) adalah
penjumlahan semua akar cirinya.
tr(A)= λ1+ ….+λn , yang sebanding dengan
jumlah dari semua unsur diagonal utamanya.
 Bentuk Kuadratik
Misal A adalah matrik berukuran n x n dan
x adalah vektor peubah berukuran n x 1
n
n
maka:
x ' Ax 
a
i 1
j 1
ij
xi x j
 a11x12  ...  ann xn2  (a12  a21 ) x1 x2  ...  (an 1,n  an ,n 1 ) xn 1 xn
Bentuk itu adalah bentuk kuadratik dari x.
Contoh:
1 2 3
A  4 2 1
1 1 1
 x1
x   x 2
 x3
maka
x' Ax  x12  2 x22  x32  6 x1 x2  4 x1 x3  2 x2 x3
 Matriks Definit dan Semidefinit Positif
Matriks simetrik berukuran n x n bersifat:
-definit positif jika
x’Ax > 0
untuk sembarang vektor x ≠
0
-semidefinit positif jika
x’Ax ≥ 0
untuk sembarang vektor x ≠
0
Akar Kuadratik Matrik Semidefinit
Positif
A=matrik semidefinit positif,
diperoleh matriks ∆ atas U sehingga
A=U’U
(penguraian Cholesky)
Akar kuadrat dari matrik simetrik:
A=PΛP’=(PΛ1/2P’)(PΛ1/2P’)=A1/2A1/2
dimana P matrik ortogonal dan Λ
matriks diagonal.
Perkalian Kronecker
Perkalian Kronecker C denganD
dinotasikan
CD
Yaitu dengan mengalikan setiap unsur
matriks C dengan matriks D, dan
kemudian membuat matriks
gabungannya.
0
3
4 
1
3
0
9
12 
contoh:




1 0 3 4 
C  0 4 1  1
1 1  3 2 
1 
D  3
7
7

0
C  D  0

0
1

3
7

0
21
4
1
12
3
28
7
1
3
3
9
7
 21
28

 1
 3

 7
2 

6 
14 

MATRIKS DALAM MULTIVARIATE
Untuk banyaknya pengamatan
(observasi)
sebesar
n
dan
banyaknya peubah sebesar p,
matriks datanya dituliskan
 x11
x
21
X 
 :

 xn1
x12
...
x22
...
:
...
...
...
x1 p   x1 ' 
x2 p   x2 '
 
:   : 
  
xnp   xn '
 x1 
 x11
x 
x
1
2
21
x  
 :  n :
 

x
 p 
 x p1
1
x  X '1
n
 s11

S :
 s1 p

x22
:
x p2
s12
...
:
...
s2 p
...
12
( p p )


 






1 2

D

( p p )




1
s11
s11
0
...
0
s22
...
:
:
...
0
0
:
0 

0 
: 

s pp 
0
...
:
1
...
s22
: ...
0
0
0
 s11

 s11 s11
R :
 s1 p

 s11 s pp
s1 p 

: 
s pp 
1
1


X '  I  11'  X
n 1 
n

S
D
... x1n  1
... x2 n  1

... :   : 
 
... x pn  1
x12
...
s12

0 

0 


: 
1 
s pp 
...
s11 s22
:
...
s2 p
...
s22 s pp


s11 s pp   1 r12 ... r1 p 


...    : : ... : 
s pp  

 r1 p r2 p ... 1 
s pp s pp 

s1 p
R = D-1/2SD-1/2 atau
S = D1/2RD1/2
Jika vektor a dikalikan terhadap X sehingga
membentuk kombinasi linier dari X, maka
Rataan (a’X) = a' x
Ragam (a’X) = a’Sa
Ragam (a’X dan b’X) = a’Sb
Partisi Matriks
 x1 
 : 


 xq   x (1) 

 

x          
( px1)
 xq 1   x ( 2 ) 


 
 : 
 x 
p


 s11 ... s1q | s1,q 1 ... s1 p 
 :

...
:
|
:
...
:


 sq1 ... sqq | sq ,q 1 ... sqp 


Sn                
( pxp)
 sq 1,1 ... sq 1,q | sq 1,q 1 ... sq 1, p 


...
:
|
:
...
: 
 :
s

...
s
|
s
...
s
pq
p , q 1
pp 
 p1
q
q  s11
pq
| s12 
  |   



pq s
 21 | s22 
TERIMAKASIH