Hamburan Partikel Berspin-0 dan Berspin

!
Hamburan Partikel Berspin-0 dan Berspin- pada Energi Tinggi
!
Muzakkiy Putra Muhammad Akhir
Departemen Fisika, FMIPA, Universitas Indonesia, Depok 16424, Indonesia
[email protected]
Abstrak
Hamburan partikel berspin 0 dan!! dikerjakan secara teoretis pada energi tinggi.
Interaksi yang ditinjau adalah model pertukaran meson berbasis potensial
Yukawa dengan penambahan suku spin orbit. Persamaan Lippmann-Schwinger
untuk matriks T hingga beberapa suku hamburan ulang dan juga yang
mengandung semua suku diselesaikan secara numerik dengan menggunakan
teknik 3D. Penampang lintang diferensial serta besaran-besaran spin dihitung
dari matriks T. Efek-efek proses hamburan ulang dan juga kinematika relativistik
pada besaran-besaran tersebut ditunjukkan.
Kata kunci: Hamburan, teknik 3D, kinematika relativistik, hamburan ulang.
Abstract
Scattering of Spin-0 and Spin-!!Particles at Higher Energies. Scattering of
spin 0 and spin!! particles is calculated at higher energy. The interaction being
considered is a meson exchange model based on Yukawa potential including spin
orbit terms. Lippmann-Schwinger equation for T-matrix up to a few lowest order
terms as well as one with full term is solved by means of a 3D technique.
Differential cross section and spin observables are calculated from the T-matrix.
Effects of rescattering process and relativistic kinematics on those observables is
shown.
Keywords:Scattering, 3D Technique, relativistic kinematics, rescattering.
1 Hamburan partikel..., Muzakkiy Putra Muhammad Akhir, FMIPA UI, 2013
1. Pendahuluan
Bagi fisikawan di bidang few-body problem, hamburan partikel telah
menjadi topik yang banyak diteliti. Proses hamburan bermula dengan bergeraknya
dua partikel secara relatif satu tehadap yang lain dari arah yang saling berlawanan.
Jarak antara dua partikel pada awalnya sangat besar dibandingkan dengan ukuran
kedua partikel tersebut. Setelah bertumbukan, kedua partikel akan terhambur. Dari
proses hamburan itu banyak fenomena fisis yang dapat dipelajari. Dengan
meneliti hamburan partikel, kita dapat semakin baik memahami struktur
subatomik hingga yang paling elementer serta interaksi yang terjadi.
Hampir semua pengetahuan mengenai interaksi antar partikel didapat
melalui fenomena hamburan. Sampai saat ini, masih banyak pertanyaan seputar
interaksi antar partikel yang belum terjawab dengan sempurna, diantaranya
mengenai interaksi kuat antar hadron. Sesungguhnya interaksi kuat terjadi antarquark yang merupakan partikel penyusun hadron. Namun, Interaksi kuat juga
dapat ditinjau pada level hadron dengan model pertukaran meson (meson
exchange model). Penelitian ini bertujuan untuk mengamati efek hamburan ulang
dan kinematika relativistikpada hamburan partikel berspin-0 danberspin-!! dengan
model pertukaran meson. Selanjutnya, penelitian ini bisa diaplikasikan pada
hamburan kaon dan nukleon.
Penampang lintang diferensial dan besaran-besaran spin dihitung dengan
menyelesaikan persamaan Lippmann-Schwinger untuk matriks T. Teknik yang
biasa digunakan fisikawan nuklir dalam menyelesaikannya adalah teknik
gelombang parsial. Namun, pada energi tinggi, teknik gelombang parsial tidak
lagi mudah direalisasikan karena sangat banyaknya jumlah momentum angular
yang harus diperhitungkan untuk mencapai hasil yang konvergen. Untuk
mengatasi masalah ini, diperkenalkan suatu teknik yang dinamakan dengan teknik
tiga dimensi (3D) dengan menggunakan state vektor momentum sebagai basis
tanpa harus menggunakan dekomposisi gelombang parsial.
2 Hamburan partikel..., Muzakkiy Putra Muhammad Akhir, FMIPA UI, 2013
2. Metode
Hamburan partikel berspin-0 dan berspin-!! dimodelkan dengan pertukaran
meson dan diamati pada energi tinggi secara teoretis dengan menyertakan faktor
kinematika relativistik [1]. Potensial input yang digunakan berbasis pada potensial
yukawa sebagai fungsi radial [2], dengan penambahan suku spin orbit sederhana.
Sebagian parameter potensial kami tentukan dengan mengacu pada [3].
Persamaan Lippmann-Schwinger untuk matriks T hingga beberapa suku
hamburan ulang (rescattering term) dan juga yang mengandung semua suku
diselesaikan dengan menggunakan teknik 3D [4] secara numerik hingga
dihasilkan matriks T. Penampang lintang diferensial dan besaran-besaran spin
dihitung dari matriks ini.
3. Pembahasan
Kami mengamati hamburan elastis dimana struktur internal partikel yang
bertumbukan tidak berubah setelah terhambur. Hamburan partikel dapat diamati
dalam dua kerangka acuan, yaitu laboratorium dan pusat massa. Pada eksperimen,
hamburan dilakukan dalam kerangka acuan laboratorium sedangkan secara
teoretis, perhitungan kinematika hamburan biasanya dilakukan dalam kerangka
acuan pusat massa. Misalkan !! dan !! adalah massa partikel proyektil dan
target. Besaran-besaran kinematik dalam kedua kerangka acuan tersebut dapat
dihubungkan satu sama lain. Hubungan antara momentum dalam kedua kerangka
acuan adalah
! = dengan
!adalah
momentum
!
! , (1)
!! !
relatif
dalam
kerangka
acuan
pusat
massa,!! adalah momentum proyektil dalam kerangka acuan laboratorium, dan !
adalah massa tereduksi,
!=
!! !!
. (2)
!! + !!
3 Hamburan partikel..., Muzakkiy Putra Muhammad Akhir, FMIPA UI, 2013
Hubungan energi dalam kerangka acuan pusat massa !!" dengan energi dalam
kerangka acuan laboratorium !!"# adalah
!!" =
!
! , (3)
!! !"#
Sudut hambur dalam kedua kerangka acuan dapat dihubungkan dengan
tan !!"# =
sin !!"
cos !!" +
!! , (4)
!!
dimana!!"# adalah sudut hambur partikel proyektil dalam kerangka acuan
laboratorium dan !!" adalah sudut hambur dalam kerangka acuan pusat massa.
Seluruh informasi mengenai fenomena hamburan terkandung dalam suatu
matriks yang dinamakan matriks-T yang didapat dengan menyelesaikan
persamaan Lippmann-Schwinger untuk matriks-T [5, 9],
! = ! + !!!! ! !, (5)
dengan ! adalah potensial interaksi dan !!! ! adalah free propagator,
1
. (6)
!→! ! + !" − !!
!!! ! = lim
Teknik yang biasa digunakan di dalam fisika nuklir untuk menyelesaikan
persamaan Lippmann-Schwinger untuk matriks-T adalah teknik gelombang
parsial. Teknik ini mengharuskan kita memperhitungkan setiap nilai momentum
angular hingga perhitungan konvergen. Hal ini tidak menjadi masalah pada energi
rendah sebab kita hanya memerlukan sedikit nilai momentum angular saja.
Namun, pada energi tinggi, teknik gelombang parsial ini tidak lagi mudah
direalisasikan karena sangat banyaknya jumlah momentum angular yang harus
diperhitungkan untuk mencapai hasil yang konvergen. Untuk mengatasi masalah
ini, kami menggunakan teknik tiga dimensi (3D)yang tanpa harus menggunakan
dekomposisi gelombang parsial.Keadaan basis teknik 3D terdiri dari bagian
momentum dan bagian spin yang terkuantisasi pada arah z,
|!! = ! !! . (7)
Basis ini memiliki sifat ortogonalitas
!′!′|!! = !!! !! |! |!! = ! !! − ! !!!! (8)
dan relasi kelengkapan
|!! !! = 1. (9)
!
4 Hamburan partikel..., Muzakkiy Putra Muhammad Akhir, FMIPA UI, 2013
Persamaan Lippmann-Schwinger untuk mtriks-T dalam basis 3D untuk sistem
partikel berspin-0 dan berspin-½ adalah [4],
!
!
!
!!! ! ! , !, !
!
!
!
!
= !!! ! ! , !, ! + 2! lim
!→!
!!
!
! !! !!
!
!
!!
!!!
!
!
!! + !" − !!! !
! cos ! !! !!!! !!! !! , !!! , ! ! , ! !! !!!! ! !!! , !, ! !! (10)
!!
dengan relasi simetri,
!!!! ! ! , !, ! ! = −
!! !!
!!!!,!! ! ! , !, ! !
!!!! ! ! , !, ! ! = −
!! !!
!!!!,!! ! ! , !, ! !
!!!!!!! ! ! , ! !! , ! ! , ! !! = −
!! !!!!
!!
! !! ! !!
!!!
. (11)
! ,!!!! ! , ! , ! , !
Potensial input yang kami gunakan adalah potensial yukawa dengan
penambahan suku spin orbit yang dalam ruang konfigurasi berbentuk,
! ! = !!
! !!!!
! !!!!
+ !!
! ∙ !. (12)
!
!
Dengan melakukan transformasi fourier, kita bisa mendapatkan bentuk potensial
ini dalam ruang momentum,
! !! , ! =
!!
1
!! (!! ∙ !)
+
!
!
!
!
!
(! − !)! + !!!
2! (! − !) + !!
!
−
2!! ! ! ! ! ∙ !! ! ∙ !
. (13)
! ! !! − ! ! + !!!
Kami mengasumsikan tiga meson yang mungkin dipertukarkan; !, !, !.
Parameter-parameter potensial kami dapatkan dengan membandingkan secara
kasar dengan model interaksi melalui pertukaran meson dalam paper Buttgen [1],
Besaran-besaran spin yang kami hitung dalam penelitian ini adalah
penampang lintang diferensial spin rata-rata atau spin averaged differential cross
section (I0) yang menyatakan peluang terjadinya hamburan atau luas efektif
interaksi yang melibatkan spin, polarisasi arah y (Py) yang menggambarkan
kemungkinan
proses
hamburan
menyebabkan
partikel
yang
terhambur
terpolarisasi dari yang sebelumnya tidak terpolarisasi, dan depolarisasi x’x (Dx’x)
serta depolarisasi z’x (Dz’x) yang memberikan informasi mengenai kemungkinan
terjadinya perubahan arah polarisasi spin dari keadaan awal x ke keadaan akhir x’
atau z’. Adapun depolarisasi y’y bernilai 1, depolarisasi x’z bernilai minus dari
depolarisasi z’x, sedangkan depolarisasi z’z bernilai sama dengan depolarisasi
x’x. Seluruh besaran ini dapat dihitung dari matriks-T.
5 Hamburan partikel..., Muzakkiy Putra Muhammad Akhir, FMIPA UI, 2013
Tabel 3.1: Parameter-parameter potensial
Meson !! (MeV)
!! (MeV)
!! (MeV/c2)
!! (MeV/c2)
!
12,503
10,002
600,0
600,0
!
-2,193
47,388
769,0
769,0
!
-8,013
12,727
782,6
782,6
4. Hasil dan Diskusi
Penelitian ini kami lakukan menggunakan metode numerik. Semua
observable kami hitung menggunakan program Fortran 90 dan kami sajikan
dalam bentuk grafik. Perhitungan observable menggunakan metode numerik
membutuhkan sejumlah titik points dan bobot weight mengingat observable
dihitung dari matriks-T yang berupa integral bola tiga dimensi pada ruang
momentum. Kami menggunakan kuadratur Gauss-Legendre [6] dalam mencari
points dan weights, sekaligus sebagai metode perhitungan integral. Penentuan
jumlah titik, baik momentum (!"), sudut ruang (!" atau !"), maupun sudut
azimut (!" atau !"), sangat berpengaruh pada pencapaian konvergensi
perhitungan secara numerik. Oleh karena itu, kami mencoba menentukan berapa
jumlah titik (np, nx, dan nv) yang dinilai cukup untuk mendapatkan hasil yang
konvergen. Kami melakukannya dalam dua tahap. Tahap pertama adalah ketika
ekspresi potensial input yang kami gunakan tidak menyertakan faktor bentuk atau
form factor, sedangkan tahap kedua menyertakan form factor.
Ketika potensial input tanpa form factor, konvergensi sulit dicapai. Kami
memandang bahwa susahnya konvergensi dikarenakan ekor potensial untuk
momentum yang besar masih berpengaruh. Kami berkesimpulan bahwa untuk
mengatasi masalah ini, struktur potensial harus memiliki form factor yang
membatasi potensial bernilai signifikan hanya dalam range momentum terbatas.
Kami membuktikannya dengan mencoba mencari konvergensi pada kondisi batas
atas integrasi momentum bukan tak berhingga, melainkan hingga nilai momentum
tertentu, misal 40 fm-1 dan 200 fm-1, Ternyata, konvergensi mudah dicapai. Selain
karena masalah ekor potensial untuk momentum yang besar, sulitnya mencapai
konvergensi juga disebabkan oleh suku spin-orbit (! ∙ !) pada potensial yukawa
6 Hamburan partikel..., Muzakkiy Putra Muhammad Akhir, FMIPA UI, 2013
yang mengandung momentum di numerator (pembilang). Konsekuensinya,
potensial kernel tidak dapat turun (drop) dengan cepat. Kami membuktikannya
dengan mencoba menghilangkan suku spin-orbit ini dalam struktur potensial yang
kami gunakan (!! = 0). Ternyata, konvergensi sangat mudah dicapai. Hal ini
menguatkan kesimpulan kami bahwa potensial harus memiliki form factor.
Hamburan dengan model interaksi pertukaran meson berlaku pada interaksi
kuat, yaitu antar partikel hadron. Contoh sistem hamburan yang kami pilih adalah
hamburan antara kaon dan proton (mengingat kaon adalah partikel berspin-0 dan
proton adalah partikel berspin-½. model ini menganggap interaksi kuat terjadi
pada level hadron dengan menganggap hadron sebagai partikel titik. Namun, pada
kenyataannya kaon dan proton, serta partikel hadron yang lainnya, tersusun dari
partikel yang lebih elementer lagi, yaitu quark. Artinya, di dalam kaon dan proton
terdapat distribusi partikel bermuatan.
Quantum Chromodynamics atau QCD adalah teori dasar yang menjelaskan
interaksi kuat. Interaksi antar hadron sepenuhnya ditentukan oleh dinamika
interaksi quark, sebagai partikel elementer yang berinteraksi kuat, dan gluon,
sebagai partikel perantara interaksi kuat.Sayangnya, pengetahuan kita mengenai
mekanisme tersebut secara spesifik dan kuantitatif sangat terbatas. Selain itu,
dalam fenomena fisika nuklir, interaksi kuat masih relevan ditinjau pada level
hadron. Oleh karena itu model pertukaran meson sudah cukup mewakili, hanya
saja perlu ditambahkan suatu faktor pada masing-masing verteks yang
menggambarkan adanya reaksi multiquark yang kompleks, dinamakan dengan
faktor bentuk atau form factor. Seperti yang dijelaskan pada Ref. [1], potensial
yang mengandung form factor menggambarkan struktur di dalam hadron. Karena
QCD sangat kompleks pada energi rendah, penurunan formula form factor sulit
dilakukan. Oleh karena itu, form factor secara sederhana diparametrisasi
mengarah pada reduksi ke pertukaran meson. Meskipun pada dasarnya form
factor bergantung pada seluruh momentum-4 yang terlibat dalam verteks, form
factor cukup dapat dibuat dengan bentuk yang sederhana bergantung hanya pada
momentum-3 partikel yang dipertukarkan, yang pada penelitian ini adalah!, !, !,
!! !!! =
!!! − !!!
!!! + !!!
!!
. (14)
7 Hamburan partikel..., Muzakkiy Putra Muhammad Akhir, FMIPA UI, 2013
Tabel 4.1: Parameter-parameter cut-off
Meson
Tabel 4.2: Parameter-parameter numerik
pp-meson
KK-meson
Energi (MeV)
np
nx
nv
(MeV/c2)
(MeV/c2)
100
6
12
10
!
1700
1400
500
8
16
10
!
1400
2250
1000
8
16
10
!
1500
1250
1500
10
20
10
2000
10
20
10
Untuk verteks KK-meson, !! bernilai 1 sedangkan untuk verteks pp-meson,
!! bernilai satu atau dua tergantung meson yang dipertukarkan. parameterparameter cut-off!! ditentukan pada Tabel 4.1. Setelah menyertakan form factor,
kami mendapatkan parameter numerik yang ditampilkan pada Tabel 4.2.
Tampak bahwa untuk mencapai konvergensi, hanya dibutuhkan jumlah np,
nx, dan nv yang relatif sangat kecil. Kami menduga, nilai np yang sangat
mengejutkan (dengan batas dari nol sampai tak hingga hanya membutuhkan
sedikit titik) dikarenakan meson yang dipertukarkan memiliki massa yang relatif
menengah sampai besar (!, !, !), yang seluruhnya disertai form factor dengan
parameter cut-off masing-masing. Lebih dari itu, pangkat pada form factor untuk
! dan ! bukan 1, melainkan 2, sehingga membuat potensial menjadi sangat shortrange. Dugaan ini kami uji dengan mengganti meson ! dengan meson ! yang
massanya jauh lebih ringan, kurang dari sepertiga dari massa !, tak lupa kami
sesuaikan form factor dan parameter cut-off nya.. Hasilnya, konvergensi dicapai
pada np=24. Ini menguatkan dugaan kami tersebut. Karena meson yang
dipertukarkan merupakan meson berat, ekor potensial pada daerah momentum
yang tinggi menjadi sangat teredam sehingga tidak diperlukan jumlah titik
momentum yang besar. Mengenai nilai nx yang juga relatif sangat kecil, menurut
kami, sebabnya adalah bentuk potensial yang sederhana (tipe Yukawa) yang
memiliki struktur angular yang tidak rumit. Adapun mengenai nilai nv,
penyebabnya adalah karena kami meringkas batas integrasi terhadap ! dari yang
seharusnya nol hingga 2! menjadi hanya hingga !/2 sehingga 10 titik kami rasa
sangat cukup.
8 Hamburan partikel..., Muzakkiy Putra Muhammad Akhir, FMIPA UI, 2013
Terlihat bahwa nilai np dan nx meningkat sebanding dengan peningkatan
energi. Nilai np yang semakin meningkat seiring dengan peningkatan energi
disebabkan oleh potensial dan matriks-Tyang dominan pada momentum on-shell
dan sekitarnya. Ketika energi dinaikkan, momentum on-shell juga bergerak naik.
Hal ini menyebabkan kerapatan gauss point juga melebar sehingga cukup rapat di
daerah momentum on-shell yang makin meninggi sehingga dibutuhkan lebih
banyak gauss point, yaitu np. Meskipun begitu, penambahan titik np yang
dibutuhkan pun sedikit dan tidak memberikan pengaruh yang berarti pada
lamanya perhitungan numerik. Kami melakukan pengecekan pada energi 10 GeV,
jumlah np yang dibutuhkan hanya 24 titik. Pada grafik-grafik hasil yang
ditampilkan, kami menggunakan np=12. Mengenai nx yang juga ikut meningkat,
menurut kami, penyebabnya adalah bahwa dengan makin melebarnya daerah
momentum yang dihitung, karena momentum on-shell bergerak naik, maka makin
besar pula daerah yang perlu dihitung sifat angularnya. Plot grafik distribusi
angular dengan jumlah nx yang sedikit akan menghasilkan grafik yang "patahpatah". Grafik akan semakin halus (smooth) jika titik-titik data cukup rapat. Maka,
meskipun jumlah nx yang sedikit saja sudah cukup untuk memberikan hasil yang
konvergen, grafik-grafik yang kami tampilkan di sini menggunakan jumlah nx
yang jauh lebih besar. Meskipun demikian, interpolasi terhadap grafik dengan
jumlah nx yang kecil pun dapat dilakukan.
Selanjutnya kami tampilkan grafik hasil perhitungan seluruh observable
untuk beberapa nilai energi, yaitu 500 MeV, 1000 MeV, 1500 MeV, dan 2000
MeV.(Gambar 4.1 –4.4). Kami hanya menghitung hingga energi 2000 MeV agar
hasil yang didapat realistis mengingat energi tertinggi yang dicapai eksperimen
hamburan kaon-nukleon di dunia baru mencapai 2650 MeV. Terlihat bahwa
semakin besar nilai energi, grafik penampang lintang diferensial akan memiliki
titik (nilai) puncak yang semakin tinggi dan pada sudut yang lebih kecil. Artinya,
probabilitas terhamburnya proyektil pada sudut-sudut kecil atau sudut-sudut maju
(forward angles) semakin besar. Hal ini disebabkan ketika energi semakin tinggi,
proyektil bergerak semakin cepat dan makin sulit dibelokkan sehingga sudut
defleksi akibat interaksi yang terjadi semakin kecil.
9 Hamburan partikel..., Muzakkiy Putra Muhammad Akhir, FMIPA UI, 2013
Gambar 4.1. Penampang Lintang diferensial untuk
Gambar 4.2. Polarisasi untuk beberapa nilai energi
beberapa nilai energi
Gambar 4.4. Depolarisasi z’x untuk beberapa nilai energi
Gambar 4.3. Depolarisasi x’x untuk beberapa nilai energi
Ketika partikel bergerak dengan energi tinggi, partikel tersebut dikatakan
bergerak secara relativistik. Artinya, efek kinematika relativistik memiliki
pengaruh yang tidak lagi bisa diabaikan. Efek ini muncul dari relasi energi dan
momentum yang dikemukakan Einstein,
! ! = ! ! + ! ! , (15)
serta transvormasi Lorentz !(!) dari kerangka acuan laboratorium ke kerangka
acuan pusat massa yang merupakan fungsi dari kecepatan kerangka acuan pusat
massa relatif terhadap kerangka acuan laboratorium [7]. Berbekal momentum-4
dari masing-masing partikel dalam kerangka acuan laboratorium,
!
!! = !!,!"# , ! ! , (16)
Sehingga dalam kerangka acuan pusat massa,
!
!
!! = ! ! !! . (17)
10 Hamburan partikel..., Muzakkiy Putra Muhammad Akhir, FMIPA UI, 2013
Dengan adanya efek ini, hubungan antara momentum dalam kedua kerangka
acuan menjadi,
! = !!
! , (18)
!! !
dengan !! adalah massa invarian,
!! ≡
!!! + !!! + 2!! !! . (19)
Hubungan antara energi (kinetik) dalam kedua kerangka acuan menjadi,
!!,!" =
!!! + !!! + 2 !!,!"# + !! − !! + !! , (20)
dan hubungan antara sudut hambur dalam kedua kerangka acuan menjadi,
tan !!"# =
sin !!"
! cos !!" +
!=
1
1 − !!
!!,!"
, (21)
!!,!"
. (22)
Gambar 4.5. Penampang lintang diferensial energi 500 MeV
Gambar 4.6. Polarisasi pada energi 500 MeV
Gambar 4.7. Depolarisasi x’xpada energi 500 MeV
Gambar 4.8. Depolarisasi x’xpada energi 500 MeV
11 Hamburan partikel..., Muzakkiy Putra Muhammad Akhir, FMIPA UI, 2013
Gambar 4.9. Penampang lintang diferensial energi 2000 MeV
Gambar 4.10. Polarisasi pada energi 2000 MeV
Gambar 4.11. Depolarisasi x’x pada energi 2000 MeV
Gambar 4.12. Depolarisasi z’x pada energi 2000 MeV
Gambar 4.13. Penampang lintang diferensial energi 10 MeV
Gambar 4.14. Polarisasi pada energi 100 MeV
12 Hamburan partikel..., Muzakkiy Putra Muhammad Akhir, FMIPA UI, 2013
Gambar 4.15. Faktor ruang fase pada energi 500 MeV
Gambar 4.16. Faktor matriks-T pada energi 500 MeV
Gambar 4.17. Faktor ruang fase pada energi 2000 MeV
Gambar 4.18. Faktor matriks-T pada energi 2000 MeV
Gambar 4.19. Faktor ruang fase pada energi 10 MeV
Gambar 4.20. Faktor ruang fase pada energi 100 MeV
13 Hamburan partikel..., Muzakkiy Putra Muhammad Akhir, FMIPA UI, 2013
Setelah menerapkan kinematika relativistik, kami kembali menghitung
semua observable. Hasilnya kemudian kami bandingkan dengan perhitungan nonrelativistik (Gambar 4.5 – 4.12). Kami dapati bahwa efek kinematika relativistik
sudah sangat signifikan pada energi 500 MeV untuk seluruh observable. Terdapat
selisih nilai relativistik dan non-relativistik hingga 140% pada penampang lintang
diferensial dalam kerangka acuan laboratorium untuk sudut kecil. Ketika energi
semakin tinggi, efek relativistik makin signifikan. Pada energi 2000 MeV,
perbedaan hasil perhitungan penampang lintang diferensial relativistik dan nonrelativistik dalam kerangka acuan laboratorium untuk sudut kecil sangat ekstrim
hingga mencapai 900%. Melihat efek yang sudah sangat signifikan pada energi
500 MeV, kami menyelidiki pada energi berapa efek ini mulai muncul. Kami
dapati bahwa untuk penampang lintang differensial, efek ini mulai terlihat pada
energi 10 MeV (Gambar 4.13) dengan selisih perbedaan kurva relativistik dengan
non-relativistik hingga 2,5%. Sedangkan pada polarisasi, efek ini mulai terlihat
pada energi 100 MeV (Gambar 4.14). Pada penampang lintang differensial, Efek
kinematika relativistik menaikkan tinggi puncak kurva non-relativistik dan
menggeser kurva tersebut ke sudut yang lebih kecil. Hal ini akan semakin terlihat
jelas ketika energi dinaikkan. Berbeda dengan polarisasi dan depolarisasi, efek
kinematika relativistik cenderung hanya menggeser kurva non-relativistik ke
sudut yang lebih kecil. Namun, ketika energi semakin tinggi, akan terlihat ada
juga perbedaan ketinggian antara kedua kurva pada sudut-sudut tertentu.
Untuk mengetahui lebih jauh mengenai efek kinematika relativistik pada
penampang lintang differensial dalam kerangka acuan laboratorium, kami
menghitung faktor komponen matriks-T (I0) dan faktor ruang fase atau phase
space (Π) dari penampang lintang diferensial tersebut. (Gambar 4.15 – 4.18).
Kami juga menghitung I0pada energi 10 MeV (Gambar 4.19) dan Πpada energi
100 MeV (Gambar 4.20). Terlihat bahwa faktor ruang fase menaikkan tinggi
puncak kurva non-relativitistik. Pada energi tinggi, efek kinematika relativistik
menyebabkan momentum partikel melebihi massa diamnya sehingga besar energi
relativitik bertambah dari energi non-relativistik. Hal inilah yang menyebabkan
perbedaan ketinggian antara pucak kurva penampang lintang diferensial antara
non-relativistik dengan relativistik. Perbedaan ketinggian tersebut makin
14 Hamburan partikel..., Muzakkiy Putra Muhammad Akhir, FMIPA UI, 2013
signifikan ketika energi makin tinggi karena momentum partikel makin
melampaui massa diamnya. Di sisi lain, faktor komponen matriks-T menyebabkan
kurva non-relativistik bergeser ke sudut yang lebih kecil. Hal ini sesuai dengan
logika sederhana bahwa karena efek relativistik menambah besar energi nonrelativistik, partikel makin sulit dibelokkan. Sebenarnya, komponen matriks T
juga menyebabkan kenaikan tinggi kurva non-relativistik, hanya saja pada energi
rendah seperti 100 MeV, perbedaan ini tidak terlalu tampak jelas. Ketika energi
semakin tinggi, seperti pada 2000 MeV, akan semakin jelas perbedaan tersebut.
Terakhir, kami menyelidiki efek proses hamburan ulang atau rescattering
process. Persamaan Lippmann-Schwinger untuk matriks-T dapat dinyatakan
dalam deret tak hingga dari !,
! = ! + !!!! ! ! + !!!! ! !!!! ! ! + !!!! ! !!!! ! !!!! ! ! + !!!! ! !!!! ! !!!! ! !!!! ! ! + ⋯ (23)
Mari kita sebut suku ! sebagai suku utama (leading term) atau suku aproksimasi
Born pertama (1st Born approximation), dan suku-suku setelahnya merupakan
suku hamburan ulang (rescattering term), dengan suku !!!! ! ! merupakan
suku hamburan ulang pertama (1st rescattering term) atau suku aproksimasi Born
kedua (2nd Born approximation), suku !!!! ! !!!! ! ! merupakan suku
hamburan ulang kedua (2nd rescattering term) atau suku aproksimasi Born ketiga
(3rd Born approximation), dan begitu pula selanjutnya. Walaupun interaksi kuat
memiliki coupling constant yang nilainya lebih dari satu sehingga persamaan
Lippmann-Scwhinger cenderung divergen, Struktur potensial yang kami gunakan
juga memiliki komponen-komponen yang diharapkan bisa menjadikan persamaan
tersebut konvergen seperti nilai momentum pada denominator dan form factor.
Oleh karena itu, ada pertentangan antara besaran-besaran yang terkandung pada
matriks-T. Besaran momentum pada bagian numerator dan coupling constant
memperbesar nilai matriks-T sehingga cenderung menjadikannya divergen
sedangkan suku form factor dan momentum pada bagian denominator
memperkecil nilai matriks-T sehingga cenderung menjadikan deret tersebut
konvergen.
Diharapkan, pada suatu nilai energi dan suku tertentu, nilai-nilai yang
menyebabkan matriks-T konvergen akan semakin dominan sehingga deret akan
konvergen. Konsekuensinya, kita tidak perlu menghitung matriks-T secara
keseluruhan, tetapi cukup hingga suku hamburan ulang kesekian saja sehingga
15 Hamburan partikel..., Muzakkiy Putra Muhammad Akhir, FMIPA UI, 2013
perhitungan diharapkan akan menjadi lebih efektif dan efisien.Kami telah
menghitung penampang lintang diferensial hingga kontribusi suku hamburan
ulang keempat (4th rescattering term) atau suku aproksimasi Born kelima (5th Born
approximation) untuk energi 2000 MeV (Gambar 4.21) kemudian kami
bandingkan dengan hasil perhitungan keseluruhan (full term). Ternyata hasil yang
didapatkan tidak konvergen. Bahkan, pada energi10000 MeV (Gambar 4.22) pun
perhitungan masih belum konvergen. Tidak hanya itu, waktu yang dibutuhkan
untuk menghasilkan data pun malah jauh lebih lama dibandingkan perhitungan
matriks-T secara full term. Hal ini dikarenakan loop numerik yang dilakukan
untuk menghitung matriks-T hingga suku aproksimasi Born keempat jauh lebih
banyak sedangkan perhitungan full term hanya membutuhkan sedikit loop saja.
Perhitungan yang kami harapkan seharusnya lebih efisien, ternyata sama sekali
tidak efisien dari segala sisi. Meskipun begitu, kami melihat adanya pola yang
semakin rapat dari garis-garis kurva ketika energi semakin tinggi. Mungkin saja
pada energi yang jauh lebih tinggi dan pada suku aproksimasi born kesekian
perhitungan akan konvergen. Namun, karena efisiensi justru makin tambah buruk,
kami tidak melakukannya. Melihat hasil seperti ini, menghitung matriks T secara
kesuluruhan menjadi satu-satunya pilihan. Tidak perlu khawatir tentang masalah
efektifitas dan efisiensi, teknik 3D sendiri memang sudah dirancang sangat ampuh
untuk perhitungan ini.
Gambar 4.21 Penampang lintang diferensial energi 1000 MeV
Gambar 4.22 Penampang lintang diferensial energi 10000 MeV
16 Hamburan partikel..., Muzakkiy Putra Muhammad Akhir, FMIPA UI, 2013
5. Kesimpulan
Kami telah mengerjakan persamaan Lippmann-Schwinger untuk matriks-T
dan menghitung observables pada energi tinggi menggunakan teknik 3D. Ketika
struktur potensial tidak menyertakan form factor, konvergensi sulit dicapai.
Setelah menyertakan form factor, konvergensi dengan mudah kami capai bahkan
dengan jumlah np, nx, dan nv yang relatif sedikit. Semakin tinggi energi,
dibutuhkan jumlah np dan nx yang lebih banyak. Namun, perhitungan numerik
tidak akan menjadi sangat jauh lebih lama jika kita menentukan np dan nx yang
lebih banyak agar lebih konvergen dan grafik yang dihasilkan lebih smooth.Energi
yang makin tinggi juga menyebabkan penampang lintang differensial menjadi
dominan pada sudut-sudut kecil atau forward angle. Selain itu, efek relativistik
juga semakin dominan. Efek relativistik menaikkan tinggi puncak kurva nonrelativistik dan menggesernya ke sudut yang lebih kecil. Penyebab kenaikan
tinggi kurva didominasi oleh faktor komponen ruang fase sedangkan penyebab
pergeseran kurva ke sudut yang lebih kecil didominasi oleh faktor matriksT.Kami menduga bahwa ketika energi semakin tinggi, kita tidak perlu menghitung
matriks-T secara full term, tetapi cukup hingga beberapa suku hamburan ulang
(rescattering term) saja. Setelah menghitung hingga suku hamburan ulang
keempat atau suku aproksimasi born kelima, ternyata konvergensi tidak atau
belum tercapai. Bahkan perhitungan numerik menjadisangat jauh lebih lama dan
tidak efisien. Menghitung matriks-T secara full term menjadi pilihan yang tepat
dan teknik 3D sudah dirancang ampuh untuk perhitungan ini. Kami berharap ada
pekerjaan lanjutan dari penelitian ini, yaitu dengan menggunakan struktur
potensial yang lebih realistik dan melakukan fitting terhadap data eksperimen.
Ucapan Terima Kasih
Penulis bersyukur kepada Allah ‘Azza wa Jalla atas nikmat tak terhitung
yang telah Ia berikan, kepada Rasulullah shallallahu ‘alaihi wasallam sebagai
teladan, dan kepada Buya Muhammad Akhir dan Ummi Erni Setiawati, orang tua
paling hebat di dunia. Kemudian penulis mengucapkan terima kasih yang kepada
17 Hamburan partikel..., Muzakkiy Putra Muhammad Akhir, FMIPA UI, 2013
Bapak Dr. Agus Salam dan Dr. Imam Fachruddin yang membimbing
penulismengerjakan penelitian ini, kepada Bapak Prof. Dr. Terry Mart dan Dr.
Anto Sulaksono atas diskusi-diskusi yang semakin menyempurnakan pengerjaan
penelitian ini, Kepada Bapak Dr. LT. Handoko dan Kak Handhika Satria
Ramadhan, Ph.D yang telah mengizinkan penulis menghuni lab Teoriminimal 9
jam dalam sehari dan 5 hari dalam sepekan, dan kepada teman-teman lab Teori
dari seluruh angkatan, khususnya Ihda Husnayani sebagai partner yang baik
dalam pengerjaan penelitian ini.
Daftar Acuan
[1]
R. Buttgen, K. Holinde, A. Muller Groeling, J. Speth, and P. Wyborny, "A
Meson Exchange Model for K+N Interaction", Nuclear Physics A506(1990)
586-614.
[2]
I. Fachruddin and A. Salam, "Scattering of a spin-1/2 particle off a spin-0
target in a simple three-dimensional basis", Few-Body Systems (2012),
DOI: 10.1007 / s00601-012-0353-y.
[3]
I. Abdurachman and I. Fachruddin, "A formulation without partial wave
decomposition for scattering of spin-1/2 and spin-0 particles", Mod. Phys.
Lett. A24, 843, 2009.
[4]
R. A. Malfliet and J. A. Tjon, "Solution of the Faddeev equations for the
triton problem using local two particle interactions", Nucl. Phys. A127, 161168 (1969).
[5]
Glockle, The Quantum Mechanical Few-Body Problem, Springer Verlag,
Berlin, 1983.
[6]
W. H. Press, et. al., Numerical Recipes in Fortran, Cambridge University
Press, New York, 1992.
[7]
R. Fong and J. Sucher, J. Math. Phys. 5, 456 (1964).
[8]
Elster, Ch., Thomas, J.H., Glockle, W.: Few-Body Systems 24, 55-79, 1998.
[9]
Davydov A. S., Haar D. T., Quantum Mechanics, Pergamon Press, New
York, 1976.
18 Hamburan partikel..., Muzakkiy Putra Muhammad Akhir, FMIPA UI, 2013