Matematika Keuangan “ANUITAS DIMUKA”

Matematika Keuangan
“ANUITAS DIMUKA”
Due-Annuity
 Nilai sekarang suatu anuitas akhir = present value dari
masing-masing pembayaran.
 Present value pembayaran 1 rupiah di awal periode
pertama adalah 1.
 present value pembayaran 1 rupiah yang dilakukan pada
awal periode ke dua adalah v .
 Proses ini berlanjut sampai present value dari
pembayaran 1 rupiah pada awal periode ke n adalah vn-1.
 Nilai total dari present value sama dengan jumlahan
dari present value tiap-tiap pembayaran, yaitu
an  1     2  ...   n 1
1  n
1
1 
1  n

d
 Nilai Akumulasi
 Nilai akumulasi dari pembayaran 1 rupiah pada awal
periode pertama pada akhir tahun ke n adalah (1+i)n.
 Nilai akumulasi dari pembayaran 1 rupiah pada awal
periode kedua pada akhir tahun ke n adalah (1+i)n-1.
 Proses ini berlanjut sampai pada nilai akumulasi
pembayaran 1 rupiah saat periode terakhir n, yang sama
dengan 1+i.
 Nilai akumulasi total anuitas akhir sama dengan
jumlahan dari nilai akumulasi pembayaran tiap-tiap
periode.
Sn  1  i   ...  1  i   1  i 
n2
1 i  1

 1  i 
1  i   1
n
1

i
1



n
d
n
S n  an 1  i 
n
1  vn
n

1  i 
d
1 i


d
n
1
ANUITAS DI MUKA UNTUK
NILAI SEKARANG
PV
=
i
n
A
=
=
=
present value atau nilai di awal periode
atau nilai sekarang
tingkat bunga per periode
jumlah periode
anuitas atau pembayaran per periode
PV  Aan
6
Contoh
Hitunglah nilai sekarang dari Rp 2.000.000 yang
diterima setiap bulan selama 5 kali mulai hari ini
jika tingkat bunga yang relevan adalah 18% p.a.
atau 1,5% per bulan.
 (1  1, 015 ) 
PV  
 2
 0, 015 /1, 015 
 Rp 9, 708769
5
7
Contoh
Alya meminjam Rp 20.000.000 dengan bunga 12%
p.a. Jika pinjaman harus dilunasi dalam 24 kali
cicilan bulanan mulai hari ini, berapa besar cicilan?
20.000.000
A
 Rp 932.147,96
24
 1  1, 01 
 0, 01/1, 01 


8
Contoh
Seorang karyawan yang sudah bekerja selama
30 tahun harus purnabakti dan mendapatkan
uang pensiun sebesar Rp 200.000.000
sekaligus. Dia memutuskan untuk mengambil
sebesar Rp 6.000.000 setiap 3 bulan mulai
hari ini dan menyimpan sisanya dalam
deposito 3 bulanan dengan bunga sebesar 6%
p.a. Dalam berapa tahun depositonya akan
habis?
9
Jawab. Karena uang pensiun pertama sebesar Rp 6.000.000
akan langsung diambil dari Rp 200.000.000 maka PV = Rp
194.000.000 dengan i = 1,5% per 3 bulan, A = Rp 6.000.000
 PV  i 
 194  0, 015 
log 1 
log 1 


A
6

 


n
log (1  i )
log (1  0, 015)
n  44,570 periode  11,14 tahun
10
Contoh 6.6
Sebuah perhiasan berharga tunai Rp 30.000.000 bisa
dibeli dengan 12 kali angsuran bulanan masing-masing
sebesar Rp 2.758.973 dimulai pada hari pembelian.
Berapa tingkat bunga yang dikenakan?
Jawab:
Karena pembayaran pertama adalah pada tanggal
transaksi jual beli maka soal tersebut dapat
disederhanakan menjadi utang Rp 27.241.027 (Rp
30.000.000 – Rp 2.758.973) dibayar dengan 11 kali
cicilan bulanan sebesar Rp 2.758.973 mulai bulan
depan.
11
Sehingga mencari i pada kasus ini sama seperti
mencari i pada kasus anuitas biasa.
(1  v 11 )
Rp 27.241.027 
 2.758.973
i
(1  (1  i ) 11 ) Rp 27.241.027

 9,8736
i
Rp 2.758.973
Dengan trial and error, diperoleh i = 1,85% per
periode atau 22,2% p.a.
12
ANUITAS DI MUKA UNTUK
NILAI AKAN DATANG
Sn
=
i
n
A
=
=
=
future value atau nilai di akhir periode ke-n
atau nilai akan datang
tingkat bunga per periode
jumlah periode
anuitas atau pembayaran per periode
Sn i
 (1  i ) n  1) 

A
d


13
Contoh
Seseorang ingin memiliki uang sebesar Rp 1 milyard
pada saat ia pensiun nanti, tepatnya 20 tahun lagi.
Untuk tujuan itu, dia akan menyisihkan gajinya setiap
bulan untuk ditabung mulai hari ini karena hari ini
adalah hari gajian selama 20 tahun ke depan.
Berapa besar tabungan bulanan yang harus ia
sisihkan jika tingkat bunga 9% p.a.?
Jawab :
A 
Rp 1.000.000.000
 (1  0,0075)  1  

1  
0,0075(1,0075)


240
14
 Rp 1.486.113,70
Contoh 6.12
Seorang pedagang kecil berencana untuk menabung
Rp 1.000.000 setiap bulan untuk bisa mendapatkan
uang sebesar Rp 20.000.000. Jika tingkat bunga yang
bisa didapatnya adalah 6% p.a., berapa lama waktu
yang diperlukan?
15
Jawab:

FV  i 

log 1 
A(1  i) 

n 
log (1  i)

Rp 200 .000 .000  0 ,005 

log 1 
Rp 1 .000 .000 (1  0 ,005 ) 

n 
log (1  0 ,005 )
n  19 ,02 bulan  19 bulan
16
Contoh
Delapan kali setoran masing-masing Rp 350.000 mulai hari ini
menjadi Rp 3.342.500 pada akhir bulan ke-8. Berapa tingkat
bunga per periode?
FV
A
 (1  i) n  1) 

 (1  i)
i


Rp 3 .342 .500  (1  i) 8  1) 

 (1  i)
Rp 350 .000
i


9,55
 (1  i) 8  1) 

 (1  i)
i


Dengan trial and error, kita akan mendapatkan i = 3,92%
17
Soal A-10 PAI 2013
 Suatu perpetuitas tahunan di awal tahun 2012
membayar 40 pada tahun-tahun genap (2012,2014,...)
dan membayar 70 di tahun ganjil (2013,2015,...).
Hitunglah nilai sekarang dari perpetuitas tersebut
pada tingkat bunga efektif 5%.
 Dihitung nilai d=iv = 0,047619
Present value tahun ganjil = 1+v2+v4+... = 1/(1-v2)
Present value tahun genap = v+v3+v5+..=v/(1-v2)
Present value total =
40. 10,7561 + 70. 10,2439 = 1147,317
 Amanda menabung sebesar 10 juta di setiap awal
tahun dimulai hari ini untuk 10 tahun ke depan.
Setelah 25 tahun dari sekarang, dia berharap
mendapatkan pembayaran tahunan yang sama dan
berlanjut selamanya. Berapakah besarnya
pembayaran tersebut ?
 Jawab : solusi dilihat 25 tahun dari sekarang
 (1  i )10  1 
1
(1  i ) 
.10

X
.

d
d


15

X  10. (1  i ) 25  (1  i )15
