Solusi Persamaan Dirac Untuk Potensial Manning Rosen Hiperbolik

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922
SOLUSI PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL MANNING ROSEN
HIPERBOLIK PLUS TENSOR TIPE COULOMB PADA SPIN SIMETRI
MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI
Kholida Ismatulloh*, Suparmi, Cari
Jurusan Ilmu Fisika Program Pascasarjana
Universitas Sebelas Maret, Surakarta
Email: [email protected]*
ABSTRAK
Energi relativistik dan fungsi gelombang untuk potensial Manning Rosen hiperbolik dengan potensial
tensor tipe Coulomb pada kasus Spin Simetri diperoleh dari penyelesaian persamaan Dirac menggunakan metode
Polinomial Romanovski. penyelesaian persamaan Dirac dengan polinomial Romanovski dilakukan dengan cara
mereduksi persamaan diferensial orde dua menjadi persamaan tipe hipergeometri melalui substitusi variabel dan
fungsi gelombang yang sesuai. Dengan membandingkan persamaan tipe hipergeometri dan persamaan diferensial
standar untuk polinomial Romanovski diperoleh persamaan energi relativistik dan fungsi bobot. Energi relativistik
diperoleh dari penyelesaian persamaan energi relativistik dengan menggunakan metode numerik menggunakan
software Matlab 2011. Fungsi gelombang relativistik diperoleh dari fungsi bobot dan dinyatakan dalam bentuk
polynomial Romanovski, baik untuk komponen bawah dan atas dari spin Dirac.
Kata-kata kunci: Persamaan Dirac, Potensial Manning Rosen hiperbolik, Potensial tensor tipe Coulomb,
Polinomial Romanovski, dan Spin Simetri.
energi relativistik dan fungsi gelombang untuk
potensial Manning Rosen hiperbolik dengan
potensial tensor tipe Coulomb secara spasial
dianalisis dengan polynomial Romanovski.
Polinomial Romanovski pada awalnya diusulkan
oleh S.J Routh dan 45 tahun kemudian dikaji
ulang oleh V.I Romanovski.
PENDAHULUAN
Persamaan Dirac mendeskripsikan prilaku bendabenda subatomik yang ber-spin ½ pada elektron
untuk potensial shape invariance sentral maupun
non-sentral telah dikaji oleh beberapa peneliti
dengan menggunakan metode Nikivarop Uvarop
(NU) menurut Greene dan Aldrich [3, 4, 6, 7, 8].
Potensial fisis tersebut banyak digunakan untuk
mendeskripsikan efek relativistik pada energi
vibrasi-rotasi pada molekul yang berstruktur
kompleks. Dengan mengasumsikan bahwa
potensial skalar sama dengan potensial vektor
maka persamaan Dirac tereduksi menjadi
persamaan yang mirip/setipe dengan persamaan
Schrodinger. Dengan demikian persamaan Dirac
satu dimensi dapat dipecahkan dengan metode
yang digunakan untuk memecahkan persamaan
Schrodinger. Persamaan Dirac untuk beberapa
potensial hanya bisa memecahkan kasus spin
simetri dan pseudospin simetri. Pada paper ini
METODE POLINOMIAL ROMANOVSKI
Persamaan Dirac untuk potensial Manning
Rosen hiperbolik dengan potensial tensor tipe
Coulomb
Persamaan Schrodinger relativistik disebut sebagai
persamaan Klein Gordon untuk spin bilangan bulat
dan persamaan Dirac untuk spin ½. Deskripsi
secara kuantitatif gerak partikel relativistik yang
dipengaruhi
oleh
gaya
medan
yang
direpresentasikan sebagai energi potensial partikel
yang berspin 1/2 tersebut dinyatakan dalam bentuk
197
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922
persamaan diferensial yang disebut
persamaan Dirac yaitu sebagai berikut,
sebagai
Persamaan diferensial Hipergeometri yang dapat
diselesaiakan
dengan
metode
Polinomial
Romanovski memiliki bentuk sebagai berikut:
(1)
Potensial Manning Rosen merupakan bentuk
potensial fungsi radial
dan fungsi polar .
Namun pada makalah ini potensial terkait hanya
merupakan fungsi radial, disebabkan karena terjadi
pada kasus spin Dirac spinor yang hanya mengacu
pada fungsi radial. Maka persamaan potensial
Manning Rosen hiperbolik [9, 10] dinyatakan
dalam persamaan (2),
(2)
Potensial tensor tipe Coulomb
dinyatakan dengan persamaan (3).
(6)
Dengan
adalah polinomial Romanovski.
Fungsi gelombang untuk polynomial Romanoivski
dinyatakan dengan:
(7).
yang
HASIL DAN DISKUSI
Penyelesaian persamaan Dirac potensial Manning
Rosen hiperbolik dengan potensial tensor tipe
Coulomb menggunakan metode polinomial
Romanovski [1,2,5] untuk bagian radial pada
kasus spin simetri komponen atas dilakukan
substitusi persamaan (2) dan (3) ke persamaan
(4a), sehingga diperoleh bentuk:
(3)
Persamaan (2) dan (3) dimasukkan ke persamaan
(1) maka didapatkan persamaan (4) yaitu:
(4a)
(8)
dimana untuk mempermudah perhitungan,
(9)
(10)
(4b)
Dimana
dan
. adalah nomer kuantum yang
berhubungan dengan nomer kuantum untuk spin
simetri dan pseudospin simetri adalah untuk,
(11)
Maka persamaan (6) dapat dituliskan kembali
menjadi persamaan yang mirip dengan persamaan
Scrhodinger yaitu,
(12)
Dengan mensubstitusi variabel,
pada persamaan (12) dimana
dapatkan:
(5)
Polinomial Romanovski
198
,
, kita
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922
(21)
Persamaan (21) merupakan nilai spektrum energi
untuk potensial Manning Rosen Hiperbolik
dengan potensial Tensor tipe Coulomb pada kasus
Spin simetri komponen atas.
Hasil perhitungan spektrum energi tersebut diatas
dapat dilihat pada tabel di bawah ini,
(13)
Untuk memecahkan persamaan (13), kita
menggunakan persamaan (6) yang merupakan
fungsi gelombang baru,
(14)
Setelah itu memanipulasikan persamaan (12) dan
(13), kita dapatkan,
Untuk
=0
(15)
Persamaan (15) dibuat menjadi persamaan
diferensial orde duapolinomial Romanovski,
dengan menjadikan
berpenyebut
, sehingga berlaku:
dan
(16)
Sehingga persamaan (12) menjadi,
(17)
Dengan
membandingkan
parameter
pada
persamaan (6) dan (17), kita dapatkan hubungan
sebagai berikut
1
0
1
3.913096
1.870714
2
0
2
1.301789
0.838385
3
0
3
0.655419
0.476103
4
0
4
0.394680
0.306836
1
1
1
4.437382
2.109494
2
1
2
1.466768
0.944218
3
1
3
0.738065
0.536089
4
1
4
0.444393
0.345475
Untuk
=0
1 0
-2
3.913096
3.565998
2 0
-3
1.301789
2.313176
3 0
-4
0.655419
0.960355
4 0
-5
0.394680
0.526648
1 1
-2
4.437382
3.89531
(19)
Dengan menggunakan persamaan (16) dan (19),
kita dapatkan
2 1
-3
1.466768
2.610610
3 1
-4
0.738065
1.081691
(20)
4 1
-5
0.444393
0.593016
(18)
Dari persamaan (18), kita mempunyai
.
Sehingga
, maka diperoleh nilai
dari
persamaan (18) adalah:
=
Persamaan (19) dan (20) dimasukkan ke dalam
persamaan (16) maka,
199
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922
Journal Chinese Physics B sebagai artikel No.
140287. Akan dipublikasikan pada juli 2014
sampai halaman 12.
[2] A. Suparmi,. C. Cari. Solution of Dirac
Equation for q-Deformed Eckart potensial with
Yukawa-type Tensor Interaction for Spin dan
Pseudospin
simetry
Using
Romanovski
Polynomial. Atom Indonesia Vol. 39. No. 3. 2013
hal 112-123.
Gambar 1. Hasil perhitungan spektrum energi dengan
H=0 pada n tertentu
[3] Arda A, Server R. 2012. Non central potential,
exact solution and laplace transform approach. Ar
Xiv:1202.4271v (math-ph).
[4] C. Cari., A. Suparmi. 2012. Approximate
Solution
of Schrodinger equation for
Trigonometric Scarf Potential with the PoschlTeller Non-central Potential Using NU Method.
IOSR Journal of Applied Physics (IOSR-JAP)
ISSN: 2278-4861, Vol. 2 Issue 3, pp. 13-23.
[5] C. Cari,. A. Suparmi,. U. A Deta. Solution of
Dirac Equation for Cotangent Potential with
Coulomb- type Tensor Interaction for Spin and
Pseudospin
Symetry
Using
Romanovski
Polynomial. Makara journal of Science. Vol. 17.
No. 3. 2013. Hal 93-102.
Gambar 2. Hasil perhitungan spektrum energi dengan
H=0.6 pada n tertentu.
KESIMPULAN
Solusi persamaan Dirac untuk potensial Manning
Rosen hiperbolik dengan potensial tensor tipe
Coulomb menggunakan polynomial Romanovski
pada kasus spin simetri. Apabila H=0 maka nilai
pada saat n tertentu, sedangkan pada
saat H>0 maka nilai energi
ini
sesuai dengan aturan (
) pada kasus ini
terjadi proses degenerasi energi pada nukleon.
Pada kasus spin simetri hasilnya selalu positif
yang dihitung dengan Matlab 2011.
[6] Greene R L,. and Aldrich C. 1976. Phys. Rev.
A 142363.
[7] Ikhdair S M,. and Sever R 2010. Applied Math
Comput. 216 911.
[8] Ikot, A. N. and Akpabio, L. E. 2010.
Approximate Solution of the Schrodinger
Equation with Rosen-Morse Potential Including
the Centrifugal Term. Applied hysics Research.
Vol. No. 2, pp. 202-208.
UCAPAN TERIMA KASIH
Penelitian ini didukung oleh Hibah Peneliti Utama
(PUT UNS) 2014 dan DIKTI No. kontrak
351/UN 27.11/PN 2014.
[9] Cari. Mekanika Kuantum. Cetakan pertama.
Surakarta, UNS PRESS 2013.
DAFTAR PUSTAKA
[1] A. Suparmi,. C. Cari,. and Deta. Exact Solution
of Dirac Equation for Scarf potential with New
Tensor Coupling potential for Spin and
Pseudospin Symmetries Using Romanovski
Polynomial. Diterima untuk dipublikasikan pada
[10] Suparmi. Mekanika Kuantum II. Cetakan
pertama. Surakarta. Jurusan Fisika MIPA UNS.
2011.
200