Kuantor - Binus Repository

COUNTER EXAMPLE &
KUANTOR DUA-VARIABEL
ATAU LEBIH
Tujuan
• Mahasiswa akan dapat memberikan
contoh-contoh kuantor dua variabel dan
negasinya.
Cakupan
•
•
•
•
Counter Example
Kuantor dua variabel
Negasi kuantor dua variabel atau lebih
Tabel Kebenaran Kuantor Dua Variabel
Counter Example
• Banyak teorema dalam matematika, khususnya
teori bilangan, dimulai dengan “Untuk setiap n
bilangan bulat, berlaku ..... “.
• Untuk membuktikan bahwa suatu kuantor
universal adalah BENAR, biasanya digunakan
metode induksi lengkap. Yakni: buktikan benar
untuk n=1; anggap benar untuk n=k; dan
akhirnya buktikan benar untuk n=k+1.
• Untuk membuktikan bahwa suatu kuantor
universal adalah SALAH, cukup diberikan
sebuah contoh yang menyangkal pernyataan
tersebut. Contoh penyangkalan ini disebut
counter example.
Contoh
Contoh:
Benarkah pernyataan berikut:
• Untuk setiap n bilangan bulat, berlaku
n2>n ?
• Untuk setiap n bilangan bulat, berlaku
k
  n  1  k (k  1)
n 1
Kuantor Dua Variabel atau lebih
• Kerap kali ditemukan suatu pernyataan
berkuantor yang melibatkan beberapa
variabel.
• Contoh:
• xy, x+y=y+x identik dengan yx,
x+y=y+x
• xy, xy=yx identik dengan yx, xy=yx
• xyz, x+(y+z)=(x+y)+z
• xy bilangan bulat, x+y=6, identik dengan
yx bilangan bulat, x+y=6
Hati-hati
• Pertukaran letak kuantor tidak selalu
identik.
• Soal: Benarkah yang berikut, apakah
identik?
• xy bilangan bulat, x+y=17
• yx bilangan bulat, x+y=17
Contoh
1.
2.
3.
4.
5.
Misalkan himpunan semesta adalah
{1,2,3}.
Periksa kebenaran setiap pernyataan
berikut:
x y, x2 < y + 1
x y, x2 + y2 < 12
x y, x2 + y2 < 12
x y z, x2 + y2 < 2z2
x y z, x2 + y2 < 2z2
Negasi Kuantor
Carilah negasi dari:
1.  > 0, n0 n (n > n0  an < )
2. x y [(p(x,y)  q(x,y))r(x,y)]
3. >0 >0 x [(0 < x – a <) 
(f(x) – L < )]
Tabel Kebenaran Kuantor 2 Var
Pernyataan
Bilamana benar?
Bilamana salah?
xy P(x,y)
P(x,y) benar untuk
setiap pasang x,y
Ada sepasang x,y yang
menyebabkan P(x,y)
salah
xy P(x,y)
Untuk setiap x ada y
sehingga P(x,y)
benar
Ada x sehingga
P(x,y) benar untuk
setiap y
Ada sepasang x,y
sehingga P(x,y)
benar
Ada x sedemikian sehingga
P(x,y) salah untuk setiap
y
Untuk setiap x ada y
sehingga P(x,y) salah
xy P(x,y)
xy P(x,y)
yx P(x,y)
P(x,y) salah untuk setiap
pasang x,y
Penutup
• Counter Example: contoh penyangkalan
kuantor universal
• Urutan kuantor dua variabel atau lebih
pada beberapa hal tidak dapat ditukar
• Negasi kuantor dua variabel atau lebih
dilakukan satu per satu
• Ingat Tabel Kebenaran Kuantor Dua
Variabel