permasalahan mekanika solid elastik linear

PENGGUNAAN HAMILTON'S PRINCIPLE UNTUK MEMPEROLEH GOVERNING
EQUATIONS : PERMASALAHAN MEKANIKA SOLID ELASTIK LINEAR
Iskandar Yasin
Abstrak
Dalam penyelesaian masalah mekanika pada material dapat dilakukan dengan Mathematics
Analysis maupun dengan Numerical Analysis. Dengan menggunakan solusi ini maka harus ditentukan
dahulu Constitutive Equations sebelum menentukan Governing Equations-nya pada suatu kontinum.
Permasalahannya adalah apabila hukum-hukum Newton sulit untuk memformulasikan Constitutive
Equations-nya dan permasalahan akan komplek jika kontinum pada kondisi elastic nonlinearity
maupun jika sudah dalam kondisi plastis.
Hamilton's Principle mengasumsikan bahwa suatu sistem mekanika berdasar pada fungsi
tenaga kinetik (T) dan fungsi tenaga potensial (V). Jika sistem mekanikanya dinamis maka Hamilton's
Principle ditinjau dengan sistem konservatif yang berdasar pada persamaah La grange.
Dengan penggunaan Hamilton's Principle maka sangat memudahkan dalam memformulasikan
persamaan diferensial untuk memperoleh Governing Equations. Hamilton's Principle berguna sekali
pada permasalahan sistem mekanika, dimana hukum-hukum Newton sangat sulit untuk
memformulasikan penyelesainnya.
Kata kunci: Elastik, Constitutive Equations, Hamilton's Principle, Governing Equations.
1.
LATAR BELAKANG
Banyak sekali di alam ini yang berupa
material solid yang berguna untuk keperluan
konstruksi seperti baja, aluminium, batu,
beton, kayu dan lain sebagainya. Sangat
diperlukan
suatu
perhitungan
yang
menyelesaikan permasalahan pada suatu
kontinum, dimana solusi yang digunakan bisa
mencapai nilai aproksimasi yang maksimal.
Jika dalam suatu keadaan tenentu terdapat
suatu kondisi dimana material solid dastik
linear perilaku mekanikanya sulit diterapkan
dengan hukum-hukum Newton, maka dapat
digunakan Hamilton's Principle. Asas ini
berdasarkan
konsep
tenaga
yang
mengasumsikan bahwa suatu sistem mekanika
ditandai oleh fungsi tenaga kinetik (T) dan
fungsi tenaga potensial (V). Jika yang ditinjau
sistem dinarms tanpa terdapat tenaga yang
hilang maka Hamilton 'a Principle dalam hal
ini akan ditinjau dari sistem konservatif yang
berdasar
pada
persamaan
Lagrange.
Hamilton's Principle sangat berguna untuk
memperoleh persamaan-persamaan gerak
sistem kontinyu.
Karakteristik material elastik linear
adalah regangan yang terjadi akan menjadi
konstan selama beban bekerja, dan secara
seketika akan hilang apabila tegangan tidak
bekerja lagi. Pada tegangan yang kecil
kebanyakan material berperilaku elastik linear
atau mendekati elastik linear, yang berarti
bahwa regangan akan bertambah secara
proporsional seauai pertambahan tegangan.
2.
ELASTISITAS,
HUKUM HOOKE
DAN ENERGI REGANGAN
Dari Generalized Hooke's law akan
didapatkan constitutive equations untuk linear
elastic solid sebagai berikut :
Hukum
Hooke
konstanta elastik :
untuk
Isotropik,
14
Dengan pendeferensialan terhadap
waktu
komponen-komponen
motion
kontinum dapat dibawa ke bentuk :
3. PERSAMAAN LAGRANGE
Dalam hal ini akan diberikan suatu
bukti persamaan Lagrange untuk suatu
zarah. Bukti ini dapat dengan mudah
diperluas untuk suatu kontinum zarah dan
benda tegar.
Suatu kontinum .dengan massa M
menurut hukum II Newton, persamaan
gerak bebas kontinum ini terhadap suatu
sistem koordinat siku-siku diberikan oleh:
dengan Fx, Fy dan Fz menyajikan
komponen-komponen gaya yang efektif
yang bekerja pada kontinum itu pada araharah x, y dan z. Koor-dinat ini dapat
dinyatakan dalam koordinat.
15
16
6.
KESIMPULAN
Dengan penggunaan Hamilton's
Principle ini maka sangat memudahkan
dalam
penyelesaian
Governing
Equations yang mana sulit jika
menggunakan hukum Newton. Dengan
persamaan diferensial yang masih
sederhana maka permasalahan mekanika
elastic solid dapat dipecahkan secara
mudah. Tetapi formulasi masalah akan
lebih komplek jika nonlinearity ataupun
kohtinum dalam kondisi plastis.
Pengaruh temperatur dalam hal ini
bisa diformulasikan dalam persamaan
yang
mana
sangat
sulit
jika
menggunakan hukum-hukum Newton.
7. DAFTAR PUSTAKA
Beer, F.P., dan Johnston, E.R.,
1992, Mechanics of Materials, Me Graw
Hill, Inc. New York.
Bedford,
A., 1985, Hamilton's
Principle in Continum Mechanics,
Pitman Advanced Publishing Program,
London.
Chen, W.F., dan Saleeb, A.F.,
1982, Constitutive Equations for
Engineering Materials,, John Wiley and
Sons, Inc., New York.
17
Fung, Y.C., 1994, A first Course in
Continum Mechanics : For Physical and
Biological Scientist and Engineers,
Prentise Hall, Englewood Cliffs, New
Jersey.
Fadell, A.G., 1964, Calculus with
Analytic Geometry, D. Van Nostrand
Company, Inc.
Gere, J,M.,
dan Timoshenko,
S.P., 1988,
Mechanics of Materials,
Van
Nostrand Remhold (UK) Co., Ltd.
Mase, G.E., dan Mase, G.T., 1992,
Continum
Mechanics for Engineers, CRC Press,
Inc. Pipes, L.A., dan Harvill, L.R.,
Applied Mathemathics for Engineers and Physicists,
Me Graw Hill, Inc. New York.
Suhendro, Bambang, 2QQQt'Mekanika
Kontinum,
Yogyakarta. Spencer, A.J.M., 1980,
Continum Mechanics,
Longman
Mathematical
Texts.
Spiegel,
M.R.,
1992,
Matematika
Lanjutan
Untuk Para Insinyur dan Ilmuwan,
Penerbit Erlangga.
Biodata penulis :
Iskandar Yasin, lulus Sarjana Teknik
(S1) Jurusan Teknik Sipil, Fakultas
Teknik Universitas Tunas Pembangunan
Su-rakarta (2001), sedang menyelesaikan
studi S2 Program Pascasarjana Universitas
Gadjah Mada Yogyakarta, dengan
program studi Teknik Struktur. Saat ini
menyelesaikan nset tesis dengan topik
"The Influence Tensile Strength of
Bamboo at Kruing-Sengon Composite
Beams Joint to The Flexural Strength of
Glued Lamminated Beams".
18