BAB I - Universitas Kristen Satya Wacana

PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
T - 31
KURVA PARAMETRIK DAN TRANSFORMASINYA
UNTUK PEMBENTUKAN MOTIF DEKORATIF
Veronica Suryaningsih1, Hanna Arini Parhusip2, Tundjung Mahatma3
1
Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW
2, 3
Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW
Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana
Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
1
[email protected], [email protected],
3
[email protected]
Abstrak
Dalam makalah ini ditunjukkan bahwa dengan menggunakan persamaan
matematika yang sederhana dapat dibuat bentuk motif dekoratif yang
menarik. Persamaan-persamaan yang digunakan dalam makalah ini adalah
persamaan parametrik,
diambil dari kalkulus. Persamaan parametrik
berbentuk 𝑥 = 𝑥 𝑡 𝑦 = 𝑦(𝑡) . Jadi pasangan titik (𝑥, 𝑦) yang membentuk
motif-motif tersebut. Motif-motif diperoleh dengan memvisualisasikan
persamaan parametrik dengan menggunakan program MATLAB. Kurva
parametrik yang diperoleh dikembangkan dengan berbagai transformasi.
1
Transformasi yang digunakan adalah fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = dan 𝐹 𝑧 =
𝑧
cos(𝑧) , tranformasi refleksi, rotasi, translasi, dilatasi dan komposisi
transformasi. Hasil visualisasi persamaan dipilih yang mempunyai bentuk
simetri dan banyak dijumpai di alam sekitar.
Kata kunci : persamaan parametrik, fungsi kompleks, transformasi refleksi,
rotasi, translasi, dilatasi dan komposisi transformasi
A. PENDAHULUAN
Matematika merupakan salah satu ilmu yang tidak begitu banyak diminati sebagian
besar orang karena dianggap tidak menarik. Namun dengan penelitian ini, akan ditunjukan
bahwa matematika sebenarnya memiliki unsur seni yang menarik pula. Seperti halnya
batik fraktal yang telah dikenal sebagai seni matematika, di sini ditunjukkan pula berbagai
motif yang dapat digunakan sebagai motif dekoratif yang berasal dari berbagai persamaan
sederhana dalam matematika. Persamaan-persamaan yang akan digunakan untuk
pembuatan motif ini adalah persamaan parametrik.
Ada berbagai persamaan parametrik yang kemudian divisualisasikan dengan program
MATLAB. Software yang ingin dikerjakan di sini adalah software untuk membuat
motif-motif dekoratif yang disusun atau dirancang dengan kalkulus, khususnya dengan
menggunakan persamaan parametrik. Berbagai persamaan parametrik akan dipelajari dan
divisualisasikan sehingga menghasilkan sebuah motif dekoratif.
Contoh motif yang diperoleh dengan memvisualisasikan persamaan parametrik
ditunjukkan pada Gambar 1.
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika dengan tema ” Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan
Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 2013 di
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
Gambar 1. Grafik kurva parametrik yang diperoleh dengan memvariasi parameter.
Persamaan parametrik yang telah dikenal dari literatur (Stewart, 2001) diantaranya
adalah Hiposikloid, Episikloid, Bézier, Kokleoid, dan Strofoid Folium Descartes. Pada
penelitian ini ditunjukkan cara memvisualisasikan persamaan-persamaan parametrik
tersebut dengan menggunakan MATLAB. Kurva parametrik yang diperoleh kemudian
diolah kembali dengan mengunakan berbagai macam transformasi sehingga menghasilkan
motif-motif menarik.
Dalam makalah ini ditunjukkan transformasi persamaan parametrik dengan fungsi
1
kompleks 𝐹 𝑧 = 𝑧 dan 𝐹 𝑧 = cos(𝑧). Selain itu, kurva-kurva parametrik yang telah
diperoleh, dikerjakan kembali dengan menggunakan berbagai transformasi.
Transformasi-transformasi yang dikerjakan di antaranya adalah refleksi, rotasi, translasi,
dilatasi serta komposisi transformasi (Web 1).
B. DASAR TEORI
Persamaan Parametrik dan Koordinat Kutub
Pada persamaan parametrik nilai 𝑥 dan 𝑦 muncul secara eksplisit. Bentuk
umumnya adalah sebagai berikut
𝑥 = 𝑓(𝑡)
(1)
𝑦 = 𝑔(𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏
(2)
Persamaan parametrik mempunyai titik awal (𝑓 𝑎 , 𝑔(𝑎)) dan titik akhir (𝑓 𝑏 , 𝑔(𝑏))
(Stewart, 2001). Pasangan titik (𝑥, 𝑦) pada persamaan parametrik adalah titik-titik yang
membentuk motif-motif tersebut.
Sedangkan dalam koordinat kutub nilai 𝑥 dan 𝑦 tidak muncul secara eksplisit
sehingga untuk dapat menggambarkannya perlu mengubahnya ke dalam bentuk persamaan
parametrik. Koordinat kutub umumnya dituliskan dalam bentuk
𝐹 = 𝜑(𝑟, 𝜃) dan 𝜎 = 𝑟(𝜃)
𝑥
dimana 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑦 dan 𝑟 =
persamaan parametrik sebagai
(3)
𝑥 2 + 𝑦 2 . Koordinat kutub dapat dituliskan dalam bentuk
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃
(4)
Beberapa bentuk persamaan parametrik akan digambarkan dengan menggunakan
program MATLAB sehingga akan menghasilkan sebuah kurva.
Model Persamaan 1. 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 . cos 𝑡 − 𝑏. cos 𝑎 + 𝑏 . 𝑡 𝑏
𝑦 = 𝑎 + 𝑏 . sin 𝑡 − 𝑏. sin( 𝑎 + 𝑏 . 𝑡 𝑏)
untuk 𝑎 = 3, 𝑏 = 1, dan 0 ≤ 𝑡 ≤ 500𝜋 dengan 500 titik
Model Persamaan 2. 𝑥 = 𝑟. cos 2𝜋𝑡 , 𝑦 = 𝑟. sin 2𝜋𝑡 , 𝑟 = 2 + sin 20𝜋𝑡
untuk 20 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 2 dengan 500 titik
Model Persamaan 3. 𝑥 = cos 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 + sin 5 ∗ 𝑡
untuk 5 ≤ 𝑡 ≤ 50𝜋 dengan 500 titik
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
Yogyakarta, 9 November 2013
MT- 250
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
Program MATLAB yang digunakan adalah sebagai berikut.
%untuk model persamaan 1
a=0; b=500*pi; c=500;
t=linspace(a,b,c); a=3;b=1;
x=(a+b)*cos(t)-b*cos((a+b)*t/b);
y=(a+b)*sin(t)-b*sin((a+b)*t/b);
figure
plot(x,y,'--ks','LineWidth',2,...
'MarkerEdgeColor','g',...
'MarkerFaceColor','g',...
'MarkerSize',10)
% a batas awal , b batas akhir, c banyak titik
%persamaan parametrik x
%persamaan parametrik y
%menggambar persamaan dengan warna
Hasil keluaran program ditunjukkan pada Gambar 2. Kurva persamaan parametrik ada
juga yang mempunyai bentuk bunga yang sama dengan yang ada di alam. Contohnya
pada Gambar 2 (paling kiri) menyerupai bentuk bunga pada Gambar 3.
Gambar 2. Grafik kurva parametrik dari model persamaan 1, 2, dan 3
Gambar 3. Bunga dengan
3 kelopak (Web 2)
Transformasi Kurva Parametrik dengan Fungsi Kompleks
Berbagai fungsi kompleks seperti 𝐹 𝑧 = 1 𝑧 , 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) , 𝐹 𝑧 = sin (𝑧) ,
𝐹 𝑧 = tan (𝑧) , 𝐹 𝑧 = 𝑒 𝑧 telah divisualisasikan dengan MATLAB untuk beberapa
domain bilangan kompleks (Parhusip, 2010).Seluruh domain bilangan kompleks adalah
sebagai bidang kartesian jelas tidak mungkin dapat divisualisasikan. Untuk itu, hasil-hasil
kurva persamaan dianggap sebagai domain bilangan kompleks. Hal inilah yang akan
ditunjukkan pada makalah ini. Untuk memvisualisasikan hasil transformasi bilangan
kompleks 𝐹(𝑧) selalu perlu disusun dalam bentuk
𝐹 𝑧 = 𝑅𝑒 𝑓 𝑧
+ 𝑖 𝐼𝑚(𝑓(𝑧))
(5)
dimana 𝑅𝑒 𝑓 𝑧 = 𝑢(𝑥, 𝑦) dan 𝐼𝑚 𝑓 𝑧 = 𝑣(𝑥, 𝑦) sedangkan (𝑥, 𝑦) merupakan
titik-titik hasil kurva parametrik.
Sebagai contoh, persamaan parametrik 𝑥 dan 𝑦 akan ditransformasikan terhadap
fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = 1 𝑧 dengan 𝑧 = (𝑥 𝑡 , 𝑦(𝑡)). Bentuk umum bilangan kompleks
adalah
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
(6)
dimana 𝑥 merupakan bagian real dan 𝑦 merupakan bagian imaginer. Untuk 𝐹 𝑧 = 1 𝑧
maka diperoleh persamaan sebagai berikut.
1
1
𝑥 − 𝑖𝑦
𝑥 − 𝑖𝑦
𝑥
𝑦
=
.
= 2
= 2
− 2
𝑖
2
2
𝑥 + 𝑖𝑦 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑥 − 𝑖𝑦
𝑥 −𝑦
𝑥 −𝑦
𝑥 − 𝑦2
𝑥
Persamaan baru dari transformasi fungsi kompleks adalah bagian real 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 −𝑦 2 dan
𝐹 𝑧 =
𝑦
bagian imaginer 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 −𝑦 2 . Persamaan baru 𝑢 dan 𝑣 ini akan digambarkan sebagai
transformasi persamaan parametrik terhadap fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = 1 𝑧.
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
Yogyakarta, 9 November 2013
MT- 251
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
Secara sama, persamaan parametrik 𝑥 dan 𝑦 dapat ditransformasikan juga dengan
fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = cos(𝑧). Bentuk trigonometri dari fungsi kompleks umumnya
dituliskan (Beem, 2006)
1
1
sin 𝑧 = 2 (𝑒 𝑖𝑧 − 𝑒 −𝑖𝑧 ) dan cos 𝑧 = 2 (𝑒 𝑖𝑧 + 𝑒 −𝑖𝑧 )
(7)
𝑒 𝑖𝑧 = cos 𝑧 + 𝑖 sin 𝑧 dan 𝑒 −𝑖𝑧 = cos 𝑧 − 𝑖 sin 𝑧
(8)
Sehingga
𝐹 𝑧 = cos(𝑧) = cos(𝑥 + 𝑖𝑦)
1
1
= (𝑒 𝑖(𝑥+𝑖𝑦 ) + 𝑒 −𝑖(𝑥+𝑖𝑦 ) ) = (cos 𝑥. ( 𝑒 −𝑦 + 𝑒 𝑦 ) + 𝑖 sin 𝑥 . (𝑒 −𝑦 − 𝑒 𝑦 ))
2
2
Dari persamaan di atas didapatkan persamaan baru 𝑢(𝑥, 𝑦) =
𝑣 𝑥, 𝑦 =
1
sin 𝑥
2
. (𝑒 −𝑦 − 𝑒 𝑦 ).
1
. cos 𝑥. ( 𝑒 −𝑦
2
+ 𝑒 𝑦 ) dan
Tabel 1. Program MATLAB untuk Transformasi Persamaan Parametrik ke Fungsi Kompleks
Program MATLAB untuk 𝑭 𝒛 = 𝒄𝒐𝒔(𝒛)
Program MATLAB untuk 𝑭 𝒛 = 𝟏 𝒛
%transformasi f=1/z
u=x./(x.^2+y.^2) %persamaan baru u(x,y)
v=-y./(x.^2+y.^2)
%persamaan baru v(x,y)
figure
%menggambarkan persamaan (u,v)
plot(u,v,'--ro','LineWidth',2,...
'MarkerEdgeColor','r',...
'MarkerFaceColor','k',...
'MarkerSize',10)
fill ( u, v,'cd')
%transformasi f(z)=cos(z)
u2=0.5*(exp(y)+exp(-y)).*cos(x);
v2=0.5*(exp(-y)-exp(y)).*sin(x);
figure
plot(u2,v2,'--ko','LineWidth',2,...
'MarkerEdgeColor','r',...
'MarkerFaceColor','k',...
'MarkerSize',10)
Hasil keluaran program ditunjukkan pada Gambar 4.
Gambar 4a. Hasil pemetaan
persamaan parametriks 𝑥
dan 𝑦 terhadap fungsi
kompleks 𝐹 𝑧 = 1 𝑧
Gambar 4b. Hasil pemetaan
persamaan parametriks 𝑥
dan 𝑦 terhadap fungsi
kompleks 𝐹 𝑧 = cos 𝑧
Transformasi fungsi kompleks terhadap persamaan parametrik 𝑥 dan 𝑦 di atas telah
memberikan hasil gambar-gambar yang menarik sebagai motif dekoratif.
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
Yogyakarta, 9 November 2013
MT- 252
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
Transformasi Refleksi, Rotasi, Transalasi dan Dilatasi
Hasil kurva-kurva tersebut dapat ditransformasikan untuk mendapatkan
motif-motif yang lebih bervariasi.
Refleksi adalah transformasi yang memindahkan objek dengan menggunakan sifat
bayangan cermin (Web 1). Ada beberapa matriks yang dapat digunakan untuk
merefleksikan kurva parametrik yang telah di dapatkan. Diantaranya adalah :
1 0
a. Refleksi terhadap sumbu 𝑥 digunakan matriks
0 −1
b. Refleksi terhadap sumbu 𝑦 digunakan matriks
−1 0
0 1
c. Refleksi terhadap titik asal 𝑂 atau setengah putaran digunakan matriks
−1 0
0 −1
Rotasi adalah transformasi yang memindahkan suatu objek dengan cara memutar
pada pusat tertentu, dengan tidak merubah ukuran dan bentuk objek (Web 1). Matriks yang
bersesuaian dengan transformasi rotasi terhadap titik O sebesar 𝜃 adalah
cos 𝜃 − sin 𝜃
.
sin 𝜃 cos 𝜃
Translasi adalah transformasi yang mengubah kedudukan suatu objek dengan jarak
dan arah tertentu dengan tidak mengubah bentuk dan ukuran objek tersebut (Web 1).
𝑎
Translasi 𝑇 =
pada titik 𝑃 (𝑥 , 𝑦) akan menjadi 𝑥 + 𝑎 dan 𝑦 + 𝑏 . Sehingga dapat
𝑏
dituliskan sebagai berikut :
𝑎
𝑇=
∶ 𝑃( 𝑥, 𝑦) → 𝑃′ (𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏)
𝑏
Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk
(Web 1). Dalam hal ini untuk mengubah skala dari kurva parametrik yang telah diperoleh
maka digunakan sebuah konstanta yang akan dioperasikan terhadap 𝑥 dan 𝑦.
Tabel 2. Program MATLAB untuk Transformasi Refleksi, Rotasi, Translasi, dan Dilatasi
Jenis Transformasi
Program MATLAB
%refleksi thdp sumbu y
A=[-1 0;0 1];
%matriks refleksi terhadap sumbu y
nm=length(x);
for i=1:nm
lama=[u2(i);v2(i)]; vxy=A*lama;
Ms(i,:)=vxy';
Refleksi
end
figure
plot(Ms(:,1),Ms(:,2),'--mo','LineWidth',2,...
'MarkerEdgeColor','c',...
'MarkerFaceColor','y',...
'MarkerSize',10)
%rotasi sebesar tt
tt=pi/6;
%besar sudut rotasi
B=[cos(tt) -sin(tt); sin(tt) cos(tt)];
%matriks rotasi
for i=1:nm
lama=[u2(i);v2(i)]; vxy=B*lama;
Mr(i,:)=vxy';
Rotasi
end
figure
plot(Mr(:,1),Mr(:,2),'--mo','LineWidth',2,...
'MarkerEdgeColor','c',...
'MarkerFaceColor','y',...
'MarkerSize',10)
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
Yogyakarta, 9 November 2013
MT- 253
PROSIDING
Translasi
Dilatasi
ISBN : 978–979–16353–9–4
%translasi
T=[100 200];
%besar perpindahan x dan y
for i=1:nm
lama=[u2(i);v2(i)]; vxy=T'+lama;
Mt(i,:)=vxy';
end
figure
plot(Mt(:,1),Mt(:,2),'--mo','LineWidth',2,...
'MarkerEdgeColor','c',...
'MarkerFaceColor','y',...
'MarkerSize',10)
%dilatasi
D=1/2;
%memperkecil ukuran objek ½ kali
nya
for i=1:nm
lama=[u2(i);v2(i)]; vxy=D*lama;
Mp(i,:)=vxy';
end
figure
plot(Mp(:,1),Mp(:,2),'--mo','LineWidth',2,...
'MarkerEdgeColor','c',...
'MarkerFaceColor','y',...
'MarkerSize',10)
Komposisi Transformasi
Komposisi transformasi adalah transformasi yang dilakukan lebih dari satu kali
secara berurutan. Misalkan kurva parametrik yang telah ditransformasikan terhadap fungsi
kompleks 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) direfleksikan terhadap sumbu 𝑥 kemudian hasil refleksinya
dirotasikan sebesar 𝜃. Contoh program di MATLAB adalah sebagai berikut.
%komposisi rotasi kemudian direfleksikan
for i=1:nm
vh=[u2(i);v2(i)];
komposisi=A*(B*vh);
%A matriks refleksi, B matriks rotasi
Mk(i,:)=komposisi';
end
figure
plot(Mk(:,1),Mk(:,2),'--ko')
C. METODE PENELITIAN
Penelitian disusun dalam 2 bagian yaitu visualisasi sederhana persamaan parametrik
(Bagian I) dan memvariasikan kurva parametrik dengan berbagai transformasi (Bagian II).
Bagian I
Langkah 1.
Mengumpulkan berbagai persamaan parametrik yang terkenal
dari literatur.
Langkah 2.
Memvisualisasikan persamaan parametrik dengan menggunakan
software MATLAB.
Langkah 3.
Mentransformasikan persamaan parametrik 𝑥 dan 𝑦 dengan
beberapa fungsi kompleks dengan persamaan baru dalam 𝑢 dan 𝑣
sehingga menghasilkan motif yang lainnya
Langkah 4.
Memberikan variasi warna dan variasi garis untuk setiap Gambar
yang akan ditampilkan dengan MATLAB.
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
Yogyakarta, 9 November 2013
MT- 254
PROSIDING
Bagian II
Langkah5.
Langkah 6.
ISBN : 978–979–16353–9–4
.Mendapatkan motif dengan berbagai transformasi dengan
mengembangkan domain mula-mula.
Mengubah parameter sehingga menghasilkan motif terbaik yang
mungkin untuk digunakan sebagai suatu motif.
D. HASIL DAN PEMBAHASAN
Sebuah persamaan parametrik divisualisasikan dengan menggunakan MATLAB
menghasilkan sebuah kurva parametrik. Kurva yang terbentuk kemudian dikerjakan
kembali dengan berbagai transformasi. Kurva-kurva inilah yang kemudian akan dijadikan
sebagai motif kain. Pada model-model persamaan sebelumnya, telah didapatkan tiga
macam motif untuk masing-masing model. Ketiga motif tersebut adalah motif persamaan
parametrik (𝑥, 𝑦) , transformasinya terhadap fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = 1 𝑧 dan 𝐹 𝑧 =
cos(𝑧).
Selanjutnya, motif dapat divariasi dengan transformasi lainnya untuk mendapatkan
bentuk motif yang lebih bervariasi.
Model Persamaan 1
Motif yang dijadikan domain adalah motif transformasi fungsi kompleks 𝐹 𝑧 =
cos(𝑧). Motif ini akan direfleksikan terhadap sumbu 𝑦 sehingga akan menghasilkan motif
yang ditunjukkan pada Gambar 5.
Untuk mendapatkan motif dalam bentuk (arah) berbeda, tidak perlu menggambarkan
ulang dengan mencari persamaan yang memenuhi namun cukup hanya dengan
menggunakan transformasi saja.
Motif lain yang dapat dikerjakan adalah dengan mentransformasikan motif
𝐹 𝑧 = cos(𝑧) dengan fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = 1 𝑧. Motif yang terbentuk ditunjukkan
pada Gambar 6.
Gambar 5. Motif 𝐹 𝑧 = cos(𝑧)
dari model persamaan 1
direfleksikan terhadap sumbu 𝑦
Gambar 6. Motif 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) dari
model persamaan 1
ditransformasikan terhadap fungsi
kompleks 𝐹 𝑧 = 1 𝑧.
Hasil transformasi dua kali terhadap fungsi kompleks di atas dapat divariasi kembali
dengan komposisi transformasi. Disini akan digabungkan hasil transformasi 𝐹 𝑧 = 1 𝑧
dengan refleksinya terhadap sumbu 𝑦. Kemudian ditambahkan dengan hasil rotasinya
sebesar 90° dan refleksi dari rotasinya terhadap sumbu 𝑥 . Motif yang terbentuk
ditunjukkan pada Gambar 7.
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
Yogyakarta, 9 November 2013
MT- 255
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
Gambar 7. Komposisi transformasi 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) terhadap
𝐹 𝑧 = 1 𝑧 yang kemudian di gabungkan.
Model Persamaan 2
Kurva parametrik (𝑥, 𝑦) akan ditransformasi dengan dilatasi sebesar 1 1.25 dan
1 . Kurva-kurva yang diperoleh kemudian akan digabungkan untuk menghasilkan suatu
5
motif baru. Namun karena motif ini belum terisi penuh, maka akan ditambahkan dengan
motif persamaan parametrik (𝑥, 𝑦) yang telah ditransformasikan terhadap fungsi kompleks
𝐹 𝑧 = 1 𝑧. Kurva ini juga akan ditransformasikan dengan dilatasi sebesar 1 2. Sehingga
disini akan ada lima buah motif yang akan digabungkan menjadi satu buah motif baru.
Motif-motif yang akan digabungkan dapat diberikan variasi warna. Motif baru ditunjukkan
pada Gambar 9 dan bunga natural yang mungkin serupa ditunjukkan pada Gambar 8.
Gambar 8. Bunga
(Web 3)
Gambar 9. Motif dari persamaan parametrik (𝑥, 𝑦) ditransformasikan dengan
dilatasi dan fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = 1 𝑧 yang kemudian digabungkan.
Model Persamaan 3
Pada persamaan parametrik (𝑥, 𝑦) akan dilakukan penggabungan kurva parametrik
yang telah ditransformasikan dengan fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) . Untuk
menggabungkan kurva-kurva pamametrik ini perlu dilakukan komposisi parametrik.
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
Yogyakarta, 9 November 2013
MT- 256
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
Transformasi yang digunakan diantaranya adalah refleksi terhadap sumbu 𝑥, rotasi sebesar
90° dan rotasi sebesar 45° . Disini diperlukan translasi untuk mengatur axis dari
masing-masing motif agar ketika digabungkan gambar tidak menumpuk. Translasi yang
digunakan adalah [1.4 2.7] dan [2.8 0].
Disini akan digabungkan tiga buah kurva hasil transformasi terhadap fungsi kompleks
𝐹 𝑧 = cos(𝑧) sehingga ada tiga jenis transformasi yang harus dikerjakan. Yang pertama
adalah komposisi transformasi dengan merefleksikan kurva terhadap sumbu 𝑥 yang
kemudian dirotasikan sebesar 90° . Komposisi pertama ini kemudian ditranslasikan
dengan T [1.4 2.7]. Transformasi kedua adalah dengan merotasikan kurva sebesar 45°.
Dan yang ketiga merupakan komposisi dari rotasi sebesar 45° yang kemudian
direfleksikan terhadap sumbu 𝑥 dan ditranslasi sebesar [2.8 0]. Gabungan ketiga hasil
transformasi ini memberikan bentuk motif yang baru yang ditunjukkan pada Gambar 11
dan bentuk natural yang dianggap serupa adalah Gambar 10. Akan tetapi warna masih
perlu di atur lebih lanjut.
Gambar 10. Ubur-ubur Gambar 11. Motif baru dari gabungan hasil transformasi kurva parametrik
(Web 4)
(𝑥, 𝑦) terhadap 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) yang dikerjakan dengan beberapa transformasi
kembali.
E. SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan :
 Persamaan parametrik sederhana dalam matematika dapat divisualisasikan dengan
menggunakan MATLAB sehingga menghasilkan kurva-kurva menarik.
1
 Kurva-kurva parametrik dapat ditransformasikan kedalam fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = 𝑧
dan 𝐹 𝑧 = cos(𝑧).
 Hasil transformasi fungsi kompleks dapat ditranformasikan kembali dengan
transformasi refleksi, rotasi, translasi, dan dilatasi.
 Untuk mentransformasikan kurva lebih dari satu kali maka digunakan komposisi
transformasi.
Saran :
 Motif-motif yang diperoleh dapat digunakan juga sebagai motif kain dan batik. Untuk
motif kain batik memang diperlukan satu cuplikan yang dipenuhi oleh motif yang
dipilih. Sedangkan pada persamaan sebelumnya hanya ada satu motif yang telah
mengisi seluruh cuplikan agar dapat diulang pada seluruh ukuran kain yang
dikehendaki.
 Koleksi gambar dari kurva-kurva mungkin digunakan dengan GUI dari MATLAB.
Namun masih ada gambar yang ketika menggunakan GUI hasilnya tidak sesuai
dengan gambar yang dihasilkan pada program MATLAB.
F. DAFTAR PUSTAKA
Beem JK. 2006. Geometri Connections. Mathematics Departement, University of
Missourri-Columbia. New Jersey 07458 : Pearson.
Parhusip HA. 2010. Learning Complex Function and Its Visualization with MATLAB.
Department of Industrial Mathematics and Statistics, Science and Mathematics
Faculty-Satya Wacana Christian University.
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
Yogyakarta, 9 November 2013
MT- 257
PROSIDING
ISBN : 978–979–16353–9–4
Pesta ES, Anwar C. 2008. Matematika Aplikasi Jilid 3 untuk SMA & MA Kelas XII
Program Studi Ilmu Alam. Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan
Nasional.
Stewart J. 2001. Kalkulus Jilid II: Penerjemah I Nyoman Susilo. Jakarta : Erlangga.
Web 1. http://files.sman1-mgl.sch.id/ Diakses pada 10 September 2013 pukul 14.16
WIB
Web 2. http://lh3.ggpht.com/_ Diakses pada 22 Oktober 2013 pukul 11.21 WIB
Web 3. http://gambargambarbunga.com/ Diakses pada 22 Oktober 2013 pukul 11.34
WIB
Web 4. http://1.bp.blogspot.com/_ Diakses pada 22 Oktober 2013 pukul 11.47 WIB
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
Yogyakarta, 9 November 2013
MT- 258