Labkom FT - e

Vol. I, No. 1 – April 2015
ISSN 2302 - 3309
PENGOPTIMALAN JARINGAN LISTRIK DENGAN
MINIMUM SPANNING TREE
Dwiprima Elvanny Myori
Abstract
One of mathematics branch that have many application in daily life is graph theory. Graph theory is used
to link the relationship between a set of objects with a set of other objects. The set can be human, town,
animal, or others. Graph is used to represent discrete objects and links between them. One of the
interesting topic in graph theory is the spanning tree. Spanning tree can determined the shortest route in
a city, optimize the telephone network, the installation of water pipes in a house, optimizing the electrical
network, and other examples. In the electrical network, the minimum spanning tree determines that the
results obtained can help save the cost and length of the cable in the installation process. In this case, we
used Kruskal’s and Prim’s algorithm to obtain optimal results.
Keywords: electrical network, the minimum spanning tree, Kruskal’s algorithm, Prim's algorithm
Pendahuluan
Matematika merupakan salah satu
cabang ilmu yang sering digunakan untuk
menyederhanakan atau menganalisis suatu
permasalahan yang ditemui dalam kehidupan
sehari-hari. Salah satu cabang ilmu yang
dipelajari dalam matematika adalah teori graf.
Walaupun teori graf telah lama digunakan,
namun hingga kini aplikasi teori graf masih tetap
banyak dipakai. Pada aplikasinya, teori graf
sering digunakan untuk mengaitkan hubungan
antara suatu himpunan objek dengan himpunan
objek lainnya. Himpunan itu dapat berupa
manusia, kota, hewan, atau yang lainnya. Jadi,
graf digunakan untuk merepresentasikan objekobjek diskrit dan kaitan antara objek- objek
tersebut. Representasi dari teori graf adalah
dengan menyatakan objek sebagai titik,
sedangkan hubungan antar objek dinyatakan
dengan garis. Sebagai contoh, misalkan sebuah
peta jaringan jalan raya yang menghubungkan
sejumlah kota pada sebuah propinsi. Pada peta
tersebut terdapat sebuah graf, dimana kota
dinyatakan sebagai titik dan jalan raya
dinyatakan sebagai garis.
Dalam kehidupan sehari-hari orang
senang bepergian cenderung berfikir bagaimana
meminimumkan biaya perjalanan. Demikian
pula dengan biaya-biaya lain seperti biaya hidup,
biaya pendidikan dan lain-lain. Untuk masalah
perjalanan atau jaringan, baik itu jaringan
16
transportasi, jaringan listrik, ataupun jaringan
komputer dan imformasi dapat dicari solusinya
dengan memodelkan masalah tersebut ke dalam
model graf, kemudian mencari lintasan
terpendek pada graf hasil pemodelan tersebut.
Dalam teori
Graf, graf
linier
didefinisikan sebagai graf
yang terdiri
dari himpunan objek
yang
disebut vertex (titik) dan himpunan garis
yang disebut edge (sisi). Graf
memiliki banyak konsep, salah satu diantaranya
adalah konsep pohon (tree). Pemilihan konsep
pohon sebagai salah satu konsep terapan graf
disebabkan karena konsep pohon merupakan
konsep yang sangat dekat dengan kehidupan
nyata. Secara tidak disadari, manusia banyak
yang menggunakan pohon sebagai pemodelan
berbagai hal dalam kehidupan sehari-hari. Teori
graf mempunyai penerapan yang luas, beberapa
contoh topik yang dikembangkan dan
diselesaikan dalam teori graf bentuk pohon
adalah seperti kasus Pohon Keputusan (Decision
Tree), Travelling Salesman Problem (TSP),
Penjadwalan dan juga Minimum Spanning Tree
(MST).
Pohon (tree) merupakan graf tak berarah
yang terhubung dan tidak memiliki cycle
(sirkuit). Spanning tree dari suatu graf terhubung
merupakan subgraf yang memuat semua titik
(vertex) dari graf asalnya dan berupa pohon.
Pengoptimalan Jaringan Listrik Denganminimum Spanning Tree
(Dwiprima Elvanny Myori)
Suatu graf dapat memiliki banyak spanning tree.
Subgraf
ini
diperoleh
dengan
cara
menghilangkan sirkuit di dalam graf tersebut.
Definisi Minimum Spanning Tree
(MST) dari suatu graf berbobot (weighted)
adalah suatu spanning tree dari
yang sisisisinya memiliki jumlah bobot minimum [4].
Konsep MST diterapkan pada graf berbobot dan
tak berarah. Tujuan dari konsep MST adalah
menemukan
jalur
terpendek
yang
menghubungkan semua titik yang terdapat pada
sebuah graf. Dengan kata lain, MST bekerja
dengan menentukan semua spanning tree yang
mungkin dibuat dan memperhitungkan bobot
yang terkecil.
Masalah MST hampir serupa dengan
masalah rute terpendek (shortest route), tetapi
tujuannya adalah untuk menghubungkan seluruh
simpul dalam jaringan sehingga total panjang
cabang tersebut diminimisasi. Jaringan yang
dihasilkan menghubungkan semua titik dalam
jaringan tersebut pada total jarak (panjang)
minimum.
MST
merupakan
sebuah
permasalahan
dalam suatu graf
yang
penerapannya banyak digunakan, terutama
dalam permasalahan optimasi. Beberapa
masalah tersebut antara lain pencarian jarak
terpendek, meminimalisasi pemasangan jaringan
kabel telepon ataupun kabel jaringan listrik.
1. Pengoptimalan Jaringan Listrik dengan
Minimum Spanning Tree
Penyaluran (transmisi) energi listrik dari
pusat pembangkit listrik dilakukan dengan
kabel melalui saluran udara atau saluran
bawah tanah dengan tegangan tinggi.
Dibandingkan dengan transmisi saluran
bawah tanah, transmisi dengan saluran udara
memiliki beberapa keuntungan, antara lain :
 Isolasinya lebih mudah,
 Pendinginnya baik,
 Gangguan-gangguan lebih mudah
diatasi dengan cepat,
 Jauh lebih murah.
Di Indonesia, tegangan transmisi dari
pusat pembangkit listrik ke gardu induk
antara 70kV – 150 kV dengan menggunakan
saluran udara. Selanjutnya, dari gardu induk
disalurkan ke gardu transformator dengan
tegangan 20kV, sedangkan penyaluran dari
gardu transformator ke konsumen digunakan
tegangan 220/380 V. Untuk jaringan
distribusi ini kebanyakan menggunakan
saluran udara, kecuali di bagian-bagian kota
yang padat menggunakan saluran bawah
tanah. Diagram penyaluran energi listrik dari
pusat
pembangkit
sampai
konsumen
ditunjukkan seperti gambar berikut.
Gambar 1. Diagram blok penyaluran
energi listrik
Ditinjau dari konstruksi sistem jaringan
dibedakan menjadi beberapa jenis, antara
lain:
a. Sistem jaringan radial
Sistem jaringan ini biasanya gardu induk
dihubungkan langsung dengan pusat listrik.
Gardu-gardu transformatornya dihubungkan
langsung dengan salah satu gardu induk.
Sistem ini digunakan jika letak gardu-gardu
induknya tersebar, saling berjauhan dan jauh
dari pusat listrik. Diagram jaringan listrik
dengan sistem radial ditunjukkan pada
Gambar 2.
Gambar 2. Sistem jaringan radial
JTEV (Jurnal Teknik Elektro dan Vokasional),
Vol. I, No. 1 – April 2015
17
Vol. I, No. 1 – April 2015
b. Sistem jaringan lingkaran
Sistem jaringan ini gardu-gardu induk
dihubungkan berderet, sehingga membentuk
lingkaran dengan pusat pembangkit listriknya
seperti ditunjukkan pada Gambar 3.
ISSN 2302 - 3309
ini dapat menggunakan cara manual namun
akan memakan waktu yang lama. Oleh
karena itu terdapat berbagai macam
algoritma
yang
dapat
membantu
menyelesaikan permasalahan pembentukan
MST, seperti algoritma Boruvka, algoritma
Kruskal, agoritma Prim, algoritma genetika,
dan lain sebagainya. Pada tulisan kali ini
akan digunakan algoritma Kruskal dan
algoritma Prim dalam menentukan jaringan
listrik yang optimal pada suatu daerah.
1.1 Algoritma Kruskal
Gambar 3. Sistem jaringan lingkaran
Gardu-gardu transformatornya juga
dihubungkan berderet membentuk lingkaran
dengan salah satu gardu induk. Keuntungan
sistem ini jika salah satu salurannya terputus
disuatu tempat, suplai energinya masih dapat
berjalan. Sistem ini digunakan untuk
jaringan-jaringan yang dibangun rapat.
c. Sistem jaringan jala
Sistem jaringan ini gardu-gardu induk
dihubungkan langsung dengan pusat listrik.
Selain itu, gardu induk yang satu juga
dihubungkan
dengan
yang
lain.
Dibandingkan dengan sistem-sistem yang
lain, sistem jala yang paling handal. Dalam
praktik
untuk
mendapatkan
tingkat
kehandalan yang tinggi digunakan suatu
kombinasi dari sistem-sistem tersebut di atas.
Algoritma Kruskal merupakan salah
satu bagian algoritma dalam teori graf yang
digunakan untuk mencari minimum spanning
tree. Algoritma ini pertama kali muncul pada
tahun 1956 dalam sebuah tulisan yang ditulis
oleh Joseph Kruskal. Algoritma Kruskal
adalah sebuah algoritma dalam teori graf
yang mencari sebuah minimum spanning tree
untuk sebuah graf berbobot yang terhubung.
Pada [4] diberikan algoritma Kruskal sebagai
berikut.
Input : Graf tak berarah-berbobot
Output : minimum spanning tree
Urutkan sisi di
terbesar
Buat suatu himpunan untuk setiap titik.
for setiap sisi
yang sudah berurutan
do
if
Gambar 4. Sistem jaringan jala
Pada permasalahan jaringan listrik, MST
dapat digunakan untuk menentukan jaringan
listrik yang membutuhkan biaya minimum
dalam penggunaan kabel. Menentukan MST
18
dari bobot terkecil ke bobot
then
Secara umum, jika
merupakan suatu
graf terhubung berbobot dengan
buah titik,
maka langkah-langkah memperoleh MST
dengan algoritma Kruskal adalah sebagai berikut
:
i.
masih kosong
ii. pilih sisi
dengan bobot minimum
Pengoptimalan Jaringan Listrik Denganminimum Spanning Tree
(Dwiprima Elvanny Myori)
iii.
iv.
v.
pilih sisi
dengan bobot minimum
berikutnya yang tidak membentuk
sirkuit di , tambahkan
ke
Ulangi langkah 3 sebanyak
kali.
Total langkah
kali
1.2 Algoritma Prim
Salah satu algoritma yang juga
sering digunakan untuk menyelesaikan
persoalan MST adalah algoritma Prim.
Dalam pembentukan MST dengan
menggunakan algoritma Prim, pada
setiap langkah dipilih titik yang
bersisian dengan sisi yang memiliki
bobot paling minimum. Pada langkah
berikutnya, pemilihan sisi selalu
terhubung dengan pohon yang telah
terbentuk. Pada [4] diberikan algoritma
Prim sebagai berikut.
Input : Graf tak berarah-berbobot
Output : minimum spanning tree
Misalkan
titik sebarang di .
while
do
Tentukan
dan
sedemikian sehingga sisi
sisi terkecil antara da
adalah
.
dengan algoritma Prim adalah sebagai
berikut :
i.
masih kosong
ii. Pilih titik secara acak dan pilih sisi
yang terkait berbobot minimum dan
masukkan ke
iii. Pilih sisi
berbobot minimum
dan bersisian dengan titik di ,
tetapi
sirkuit di
tidak membentuk
. Tambahkan
ke
dalam .
iv. Ulangi langkah (iii) sebanyak
kali.
Jumlah langkah seluruhnya di dalam
algoritma Prim adalah
, yaitu
sebanyak jumlah sisi di dalam spanning
tree dengan buah titik.
2. Hasil dan Pembahasan
Diberikan ilustrasi, yaitu dimana pada suatu
daerah terdapat 20 lokasi yang akan
dihubungkan dengan jaringan listrik. Dengan
menggunakan MST diharapkan dapat
meminimalisir biaya dan jarak dalam
pengerjaan
jaringan
listrik
tersebut.
Diasumsikan bahwa masing-masing lokasi
sebagai titik pada graf dan jarak antar lokasi
yang memungkinkan untuk dipasang jaringan
listrik (dengan satuan meter) sebagai sisi
berbobot pada graf. Pada ilustrasi ini terdapat
20 titik (vertex) dan 27 sisi (edge) berbobot.
Untuk lebih jelasnya, diberikan pada Gambar
5 berikut:
Secara umum, jika
merupakan
suatu graf terhubung berbobot, maka
langkah-langkah memperoleh MST
JTEV (Jurnal Teknik Elektro dan Vokasional),
Vol. I, No. 1 – April 2015
19
Vol. I, No. 1 – April 2015
ISSN 2302 - 3309
52
B
A
56
56
E
44
10
52
12
N
25
T
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
20
O
12
19
M
S
73
49
R
10
Gambar 5. Ilustrasi perencanaan jaringan9 listrik pada suatu daerah
Dalam penyelesaian permasalahan yang
diberikan pada ilustrasi dengan menggunakan
algoritma Kruskal, dilakukan langkahlangkah sebagai berikut.
i. Urutkan sisi dari bobot terkecil ke bobot
terbesar
No.
1
52
57
14
G
63
Q
43
11
L
I
D
68
K
54
15
47
31
P
55
65
C
F
H
46
J
Sisi
22
23
24
25
26
27
Bobot
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
Pilih sisi yang memiliki bobot terkecil,
yaitu sisi
dengan bobot
dan
diperoleh spanning tree .
Pilih lagi sisi yang memiliki bobot
minimum yang tidak membentuk
sirkuit di , yaitu sisi
dengan
bobot 11.
Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi
dengan bobot 12.
Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi
dengan bobot 12.
Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi
dengan bobot 14.
Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi
dengan bobot 15.
Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi
dengan bobot 25.
Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi
dengan bobot 31.
Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi
dengan bobot 43.
Pengoptimalan Jaringan Listrik Denganminimum Spanning Tree
(Dwiprima Elvanny Myori)
xi. Ulangi langkah (iii), diperoleh
dengan bobot 44.
xii. Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi
dengan bobot 46.
xiii. Ulangi langkah (iii), diperoleh
dengan bobot 49.
xiv. Ulangi langkah (iii), diperoleh
dengan bobot 52.
xv. Ulangi langkah (iii), diperoleh
dengan bobot 52.
xvi. Ulangi langkah (iii), diperoleh
dengan bobot 54.
xvii. Ulangi langkah (iii), diperoleh
dengan bobot 55.
xviii. Ulangi langkah (iii), diperoleh
dengan bobot 56.
xix. Ulangi langkah (iii), diperoleh
dengan bobot 63.
sisi
vii.
sisi
viii.
sisi
ix.
sisi
x.
sisi
sisi
sisi
sisi
Diperoleh 19 langkah untuk menyelesaikan
permasalahan pada ilustrasi ini menggunakan
algoritma Kruskal. Pada graf awal, sisi yang
membentuk sirkuit dihilangkan akan tetapi
setiap titik tetap terhubung. Panjang kabel yang
dibutuhkan pada pemasangan jaringan listrik
menggunakan algoritma Kruskal adalah 663
meter.
Jika dengan menggunakan algoritma Prim,
maka dilakukan langkah-langkah sebagai
berikut.
i. Pilih titik secara acak dan pilih sisi yang
terkait berbobot minimum dan masukkan ke
. Dalam hal ini dipilih sisi
dengan
bobot .
ii.
Pilih sisi yang berisisian dengan sisi
dan memiliki bobot minimum. Dalam hal
ini diperoleh sisi
dengan bobot .
iii. Pilih sisi yang berisisian dengan sisi
dan memiliki bobot minimum, serta tidak
membentuk sirkuit. Dalam hal ini diperoleh
sisi
dengan bobot .
iv. Ulangi langkah (iv), diperoleh sisi
v.
dengan bobot .
Ulangi langkah (iv), diperoleh sisi
dengan bobot
vi.
Ulangi langkah (iv),
dengan bobot .
Ulangi langkah (iv),
dengan bobot .
Ulangi langkah (iv),
dengan bobot .
Ulangi langkah (iv),
dengan bobot .
diperoleh sisi
diperoleh sisi
diperoleh sisi
diperoleh sisi
Ulangi langkah (iv), diperoleh sisi
dengan bobot .
xi.
Ulangi langkah (iv), diperoleh sisi
dengan bobot .
xii.
Ulangi langkah (iv), diperoleh sisi
dengan bobot .
xiii.
Ulangi langkah (iv), diperoleh sisi
dengan bobot .
xiv.
Ulangi langkah (iv), diperoleh sisi
dengan bobot .
xv.
Ulangi langkah (iv), diperoleh sisi
dengan bobot .
xvi.
Ulangi langkah (iv), diperoleh sisi
dengan bobot .
xvii. Ulangi langkah (iv), diperoleh sisi
dengan bobot .
xviii. Ulangi langkah (iv), diperoleh sisi
dengan bobot .
xix.
Ulangi langkah (iv), diperoleh sisi
dengan bobot .
Dalam hal ini, diperoleh hasil yang sama dengan
hasil yang diperoleh menggunakan algoritma
Kruskal, yaitu panjang kabel yang dibutuhkan
adalah 663 meter. Meskipun kelihatannya
algoritma Kruskal lebih efektif dalam
menyelesaikan masalah, tetapi algoritma Prim
ini merupakan algoritma yang lebih cocok
digunakan dalam hal pemasangan jaringan
listrik. Hal ini disebabkan oleh pemasangan
jaringan listrik biasanya diselesaikan pada suatu
titik terlebih dahulu dan kemudian dilanjutkan
dengan titik-titik yang berhubungan dengan titik
yang telah selesai dikerjakan. Hasil yang
diperoleh dari langkah-langkah menggunakan
algortima Kruskal dan algortima Prim dapat
dilihat pada Gambar 6.
.
JTEV (Jurnal Teknik Elektro dan Vokasional),
Vol. I, No. 1 – April 2015
21
Vol. I, No. 1 – April 2015
ISSN 2302 - 3309
52
B
A
46
J
P
55
56
E
44
10
C
N
31
I
12
63
11
L
D
25
Q
43
15
F
H
54
52
T
14
12
19
M
G
O
S
49
R
Gambar 6. Graf yang diperoleh setelah menggunakan algoritma Kruskal dan algoritma Prim
3. Kesimpulan
Dalam menentukan minimum spanning tree
dengan menggunakan algoritma Kruskal
merupakan langkah yang lebih efektif
dibandingkan
dengan
menggunakan
algoritma Prim, meskipun hasil yang
diperoleh sama. Namun dalam kasus
optimasi jaringan listrik, algoritma Prim yang
lebih cocok digunakan. Hal ini dikarenakan
pada pemasangan jaringan listrik tidak bisa
hanya dilihat dari segi jaraknya, tetapi juga
pada langkah pemasangannya. Jaringan
listrik harus diselesaikan pada satu daerah
terlebih dahulu dan diuji apakah pemasangan
kabelnya sudah cocok atau belum.
4. Daftar Pustaka
[1] Bondy, J. A dan Murty, U. S. R. 1976.
Graph Theory with Applications.
Macmillan, London.
[2] Danutama, Karol. 2009. Optimasi
Algoritma Pohon Merentang Minimum
Kruskal. Makalah IF2091 Struktur
Diskrit.
[3] Tim Fakultas Teknik UNY. 2003.
Modul
Teknik
Jaringan
Listrik.
Departemen Pendidikan Nasional.
[4] Ye Wu, Bang dan Chao, Kun-Mao.
2004. Spanning Trees and Optimization
Problems. Chapman & Hall/CRC Press,
USA.
22
Pengoptimalan Jaringan Listrik Denganminimum Spanning Tree
(Dwiprima Elvanny Myori)